IMG-LOGO

Câu hỏi:

10/07/2024 81

Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2.

Tính \(P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\).

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2

2ab + 2bc + 2ac = 0

ab + bc + ac = 0

\(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ab =   - bc - ac}}\\{\rm{bc =   - ab - ac}}\\{\rm{ac =   - ab - bc}}\end{array} \right.\)

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ab =   - bc - ac}}\\{\rm{bc =   - ab - ac}}\\{\rm{ac =   - ab - bc}}\end{array} \right.\) vào biểu thức P ta có

P = \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\)

P = \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + bc + bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + ac + ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + ab + ab}}\)

P = \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + bc - ab - ac}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + ac - ab - bc}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + ab - bc - ac}}\)

P = \(\frac{{{a^2}}}{{a(a - b) - c(a - b)}} + \frac{{{b^2}}}{{ - b(a - b) + c(a - b)}} + \frac{{{c^2}}}{{ - c(b - c) + a(b - c)}}\)

P = \(\frac{{{a^2}}}{{(a - b)(a - c)}} + \frac{{{b^2}}}{{(a - b)(c - b)}} + \frac{{{c^2}}}{{(b - c)(a - c)}}\)

P = \(\frac{{{a^2}(c - b) + {b^2}(a - c) + {c^2}(b - a)}}{{(a - b)(b - c)(c - a)}}\)

P = \(\frac{{{a^2}c - {a^2}b + {b^2}a - {b^2}c + {c^2}b - {c^2}a}}{{(a - b)(b - c)(c - a)}}\)

P = \(\frac{{{a^2}c - {a^2}b + {b^2}a - {b^2}c + {c^2}b - {c^2}a}}{{(a - b)(b - c)(c - a)}}\)

P = \(\frac{{(abc - {b^2}c - a{c^2} + b{c^2}) + ({a^2}c - {a^2}b + a{b^2} - abc)}}{{(a - b)(b - c)(c - a)}}\)

P = \(\frac{{c(ab - {b^2} - ac + bc) + a(ac - ab + {b^2} - bc)}}{{(a - b)(b - c)(c - a)}}\)

P = \(\frac{{(ab - {b^2} - ac + bc)(c - a)}}{{(a - b)(b - c)(c - a)}}\)

P = \(\frac{{(a - b)(b - c)(c - a)}}{{(a - b)(b - c)(c - a)}} = 1\)

Vậy P = 1.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC > BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây AC ở H. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt tia OH ở D. BD cắt đường tròn tâm O ở E.

a) Chứng minh HA = HC và \(\widehat {DCO} = 90^\circ \)

b) Chứng minh DH . DO = DE . DB

c) Trên tia đối của EA lấy F sao cho E là trung điểm AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc AD ở K. KF cắt BC ở M. Chứng minh MK = MF.

Xem đáp án » 03/07/2023 479

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc cạnh BC. Từ M vẽ các đường thẳng vuông góc với cạnh AB ở D và với cạnh AC ở E.

a) Chứng minh AM = DE

b) Gọi I là điểm đối xứng của D qua A và K là điểm đối xứng của E qua M. Chứng minh rằng các đoạn thẳng IK, DE, AM đồng quy tại trung điểm O của mỗi đoạn
c) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc BC). Tính số đo góc DHE
d) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để tứ giác DIEK là hình thoi

Xem đáp án » 03/07/2023 322

Câu 3:

Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đướng phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N
a) Chứng minh AM = CN
b) Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành.
c) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu M và N trên BN và DM. Tứ giác MHNK là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh ba đường thẳng AC, MN, KH đồng quy.

Xem đáp án » 03/07/2023 142

Câu 4:

Cho hàm số y = (2m – 3).x + m – 5. Tìm m để đồ thị hàm số:

a) tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân

b) cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oy

c) cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên Ox.

Xem đáp án » 03/07/2023 142

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh rằng DE // BF.

b) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

Xem đáp án » 03/07/2023 138

Câu 6:

Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.

b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.

Xem đáp án » 03/07/2023 138

Câu 7:

Cho hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \), \[AB = AD = \frac{1}{2}CD\]. Gọi E là trung điểm của CD. M là giao điểm của AC và BE, K là giao điểm của AE và DM. Kẻ DH vuông góc với AC, cắt AE ở I.

a) Tứ giác ABCE là hình gì?

b) Tứ giác ABED là hình gì?

c) Tứ giác BIDK là hình gì?

Xem đáp án » 03/07/2023 130

Câu 8:

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng 2R. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.

a) Chứng minh: AMON là hình thoi.

b) Chứng minh: MN là tiếp tuyến của đường tròn.

c) Tính diện tích AMON.

Xem đáp án » 03/07/2023 125

Câu 9:

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng d ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) ở N.

a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân

b) Kẻ OI vuông góc MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I

c) Chứng minh AM . BN = R2

d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.

Xem đáp án » 03/07/2023 123

Câu 10:

Một người nông dân mua một con bò giá 10 triệu, rồi bán đi với giá 15 triệu, sau đó mua lại giá 20 triệu rồi lại bán đi với giá 17 triệu. Người bán bò lãi bao nhiêu?

Xem đáp án » 03/07/2023 116

Câu 11:

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By của đường tròn(O) lấy một điểm C sao cho AC < BC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại E, F.

a) Chứng minh EF= AE + BF.

b) BC cắt Ax tại D. Chứng minh AD2 = DC. DB.

c) Gọi I là giao điểm của OD và AC, OE cắt AC tại H, tia DH cắt AB tại K. Chứng minh IK//AD.

d) IK cắt EO tại M. Chứng minh: A, M, F thẳng hàng.

Xem đáp án » 03/07/2023 114

Câu 12:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

Xem đáp án » 03/07/2023 108

Câu 13:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB2 = BH . BC;

b) AH2 = BH . HC;

c) AB . AC = AH . BC;

d) AC2 = CH . BC.

Xem đáp án » 03/07/2023 107

Câu 14:

Cho hình bình hành ABCD có AB > BC. Đường phân giác của góc D cắt AB tại M, đường phân giác của góc B cắt CD tại N.                                                                               
a)
Chứng minh: AM = CN.    

b) Chứng minh: tứ giác DMBN là hình bình hành.

Xem đáp án » 03/07/2023 105

Câu 15:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(– 1; 2), B(2; 3), C(0; 2). Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Tính diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án » 03/07/2023 102

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »