Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua (O)), trên tia đối của BA lấy S, SC cắt đường tròn tại M thuộc cung nhỏ BC

a) Chứng minh ∆SMA ᔕ ∆SBC.

b) Gọi H là giao điểm của MA và BC, K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh tứ giác BMHK nội tiếp và HK // CD.

c) Chứng minh OK . OS = R².

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD // AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2 cm; OA = 4 cm.

d) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.

Chứng minh: AM.AD = AH.AO.

e) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.

b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng: DC // OA.

c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.

Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d) (m là tham số và m ≠ 1).

a) Vẽ đồ thị khi m = 2.

b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = −3x + 2 (d₁).

c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính BC, BH, HC, AH .

b) Kẻ phân giác AD. Tính BD, DC.
c) Tính diên tích tam giác AHD.

Xác định hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện.

a) Cho (P): y = ax² + bx + c. Tìm a, b, c biết (P) đi qua điểm A(1; 2) và có đỉnh I(−1; −2).

b) Tìm hàm số y = ax² + bx − 3 biết đồ thị có tọa độ đỉnh là \(I\left( {\frac{1}{2};\; - 5} \right)\).

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM.

a) Chứng minh rằng tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: ∆AKN = ∆BKM.

c) Chứng minh: AM . BE = AN . AQ.

d) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp ∆OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định

Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x²[f (x − 1)]⁴ là:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:

a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) AE . AF = AC².

c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Cho 2 đường thẳng: \(\left( {{d_1}} \right):\;y = \frac{1}{2}x + 2\) và (d₂): y = −x + 2.

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d₁) và (d₂) với trục Ox, C là giao điểm của (d₁), (d₂). Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm).

Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x⁴[f (x − 1)]² là: