Giải bởi Vietjack
Lời giải
12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
Û 3y2 + 2y(3x − 14) + 12x2 − 28x = 0 (1)
Ta xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi ∆' là số chính phương
Ta có: ∆' = (3x − 14)2 − 3(12x2 − 28x) = −27x2 + 196 (2)
Þ −27x2 + 196 = k2 ≥ 0 Þ 27x2 £ 196
Û x2 £ 7
Mà x Î ℤ nên x Î {0; ±1; ±2}.
Lần lượt thử các giá trị của x vào (2) ta có:
+) Với x = 0 Þ ∆' = 196 = 142 (thỏa mãn) nên khi đó phương trình (1) trở thành
(1) Û 3y2 − 28y = 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\;\;\;\left( {TM} \right)\\y = \frac{{28}}{3}\;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\]
+) Với x = ±1 Þ ∆' = 169 = 132 (thỏa mãn) nên khi đó
x = 1, phương trình (1) trở thành
(1) Û 3y2 − 22y − 16 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 8\;\;\;(TM)\\y = \frac{{ - 2}}{3}\;(KTM)\end{array} \right.\)
• Với x = −1, phương trình (1) trở thành
(1) Û 3y2 − 34y + 40 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 10\;(TM)\\y = \frac{4}{3}\;\;(KTM)\end{array} \right.\)
•Với x = ±2 Þ ∆' = 88 (không thỏa mãn) nên khi đó không cho y là số nguyên.
Vậy cặp nghiệm nguyên (x; y) thỏa mãn là {(0; 0), (1; 8), (−1; 10)}.\(\)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD // AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC, biết OB = 2 cm; OA = 4 cm.
d) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.
Chứng minh: AM.AD = AH.AO.
e) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường BC tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: DC // OA.
c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.
Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d) (m là tham số và m ≠ 1).
a) Vẽ đồ thị khi m = 2.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = −3x + 2 (d1).
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính BC, BH, HC, AH .
b) Kẻ phân giác AD. Tính BD, DC.
c) Tính diên tích tam giác AHD.
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM.
a) Chứng minh rằng tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: ∆AKN = ∆BKM.
c) Chứng minh: AM . BE = AN . AQ.
d) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp ∆OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định
Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x2[f (x − 1)]4 là:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE . AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Cho 2 đường thẳng: \(\left( {{d_1}} \right):\;y = \frac{1}{2}x + 2\) và (d2): y = −x + 2.
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox, C là giao điểm của (d1), (d2). Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm).
Cho hàm số bậc bốn f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x4[f (x − 1)]2 là:
