Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.
b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D ∈ AB, E ∈ AC). Chứng
minh BD.DA + CE.EA = AH2.
c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:
\[\sin \widehat {AMB}\,\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 8\;(cm)\)
\[\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \]
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
b) Tứ giác ADHE có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) nên ADHE là hình chữ nhật.
Suy ra DE = AH và \(\widehat {DHE} = 90^\circ \).
Do đó ∆DHE vuông tại H nên DH2 + EH2 = DE2.
Xét ∆ADH và ∆HDB có:
\[\widehat {ADH} = \widehat {HDB}\;\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\]
\(\widehat {DAH} = \widehat {DHB}\) (cùng phụ \(\widehat {AHD}\))
Do đó ∆ADH ᔕ ∆HDB (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{EA}}{{EH}} = \frac{{EH}}{{CE}} \Rightarrow EA.EC = E{H^2}\).
Þ BD.DA + CE.EA = DH2 + EH2 = DE2 = AH2.
c) Vì \(\widehat {AIB} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) nên I, H thuộc đường tròn đường kính AB
Þ Tứ giác ABHI nội tiếp đường tròn đường kính AB
\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BIH}\) (Góc nội tiếp chắn cung BM)
Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BCM}\) (cùng phụ \(\widehat {CAM}\))
\( \Rightarrow \widehat {BIH} = \widehat {BCM}\)
Xét ∆BIH và ∆BCM có:
\(\widehat B\): góc chung
\(\widehat {BIH} = \widehat {BCM}\) (cmt)
Do đó ∆BIH ᔕ ∆BCM (g.g)
Suy ra \(\frac{{BH}}{{BM}} = \frac{{HI}}{{CM}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ).
Xét ∆BAM và ∆BCA có:
\(\widehat B\): góc chung
\(\widehat {BMA} = \widehat {BAC}\;\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\) (cmt)
Do đó ∆BAM ᔕ ∆BCA (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{BC.BM}} = \frac{{HI}}{{CM}}\)
Khi đó \(\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BM}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{BM.BC}} = \frac{{HI}}{{CM}}\).
Vậy \[\sin \widehat {AMB}\,\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\] (đpcm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.
a) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ) và đường cao AH.
b) Chứng minh rằng: \(AB.\cos B + AC.\cos C = BC.\)
c) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho DC = 2DA. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{4}{{9D{E^2}}}\)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F.
a) Chứng minh: \(\widehat {COD} = 90^\circ \).
b) Tứ giác MEOF là hình gì?
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.
b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D thuộc AB, E thuộc AC). Chứng
minh BD.DA + CE.EA = AH2.
c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:
\[\sin \widehat {AMB}\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].
Cho hình chữ nhật ABCD có (AD < AB). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại C, cắt đường thẳng AD, AB lần lượt tại M, N.
a) Chứng minh rằng AB.AN = AD.AM.
b) Cho AD = 3 cm, AB = 4 cm. Tính DM và SAMN.
c) Chứng minh CD.CB = AB.AD.
d) Gọi E là trung điểm của MC, kẻ CH vuông DB tại H. Cho EB cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm của CH.
Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song với BA (K và A nằm cùng phía đối với BC) tiếp tuyến đường trong tâm O tại C cắt ở I , OI cắt tại H.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
b) Chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm, tính các độ dài OI và CI.
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:
a) sin A = sin B.cos C + sin C.cos B;
b) ha = 2R.sin B.sin C.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường thẳng này cắt AC tại H, cắt CD tại M.
a) Chứng minh ΔCMH ᔕ ΔCAD.
b) Chứng minh BC2 = CM.CD. Tính độ dài đoạn MC, biết AB = 8 cm, BC = 6 cm.
c) Kẻ MK vuông góc với AB tại K, MK cắt AC tại điểm I. Chứng minh \(\widehat {BIM} = \widehat {AMC}.\)
Cho tam giác ABC có các đường phân giác cắt nhau tại N cho ha, hb, hc là đường cao gọi r là khoảng cách từ N đến cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{1}{r}\]
