Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ABCD là hình thang cân thì MP là phân giác của góc QMN.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó MN // AC, \(MN = \frac{1}{2}AC\) (1)
Chứng minh tương tự, ta có: QP//AC, \(QP = \frac{1}{2}AC\) (2)
QM // BD, \(QM = \frac{1}{2}BD\) (3)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Khi ABCD là tam giác cân với AB // CD ta có AC = BD.
Từ (3) suy ra: \(QM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = MN\) (4)
Theo câu a) MNPQ là hình bình hành mà mặt khác tứ giác MNPQ có QM = MN mà QM và MN là hai cạnh kề nên suy ra MNPQ là hình thoi.
Do đó MP là tia phân giác của \(\widehat {QMN}\) theo tính chất của hình thoi.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Tính sin của góc tạo bởi giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SHK).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường tròn.
b) CK.CD = CA.CB.
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Kẻ đường kính CD. Tia phân giác của góc BOD cắt AB tại E.
a) Chứng minh rằng ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh AC + DE ≥ 2R.
c) Tính số đo góc AOE.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, N là điểm trên nửa đường tròn. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By và một tiếp tuyến tại N cắt hai tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
Chứng minh: AC + BD = CD và AC.BD không đổi.
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi E là trung điểm cạnh AB. Gọi I, K, M lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA.
a) Tứ giác EIKM là hình gì?
b) Tìm điều kiện của hình thang ABCD để EIKM là hình vuông.
