Chứng minh các biểu thức sau dương:
a) x2 – 8x + 20.
b) 4x2 – 12x + 11.
c) x2 – x + 1.
d) x2 – 2x + y2 + 4y + 6.
Giải bởi Vietjack
a) x2 – 8x + 20 = (x2 – 8x + 16) + 4 = (x + 4)2 + 4
Vì (x + 4)2 ≥ 0 với mọi x
Nên (x + 4)2 + 4 > 0 với mọi x
Vậy biểu thức x2 – 8x + 20 dương.
b) 4x2 – 12x + 11 = (4x2 – 12x + 9) + 2 = (2x – 3)2 + 2
Vì (2x – 3)2 ≥ 0 với mọi x
Nên (2x – 3)2 + 2 > 0 với mọi x
Vậy biểu thức 4x2 – 12x + 11 dương.
c) \[{{\rm{x}}^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\]
Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi x
Nên \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi x
Vậy biểu thức x2 – x + 1 dương.
d) x2 – 2x + y2 + 4y + 6
= (x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) + 1
= (x – 1)2 + (y + 2)2 + 1
Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x
(y + 2)2 ≥ 0 với mọi y
Nên (x – 1)2 + (y + 2)2 + 1 > 0 với mọi x, y
Vậy biểu thức x2 – 2x + y2 + 4y + 6 dương.
Số học sinh khối 6 của một trường khoảng từ 400 đến 500 em. Mỗi lần xếp hàng 6 hoặc hàng 9 đều dư 2 em nhưng khi xếp hàng 5 thì vừa đủ. Tính số học sinh khối 6 của trường đó.
Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB. Gọi C là 1 điểm thuộc tia Ax. Đường vuông góc với OC cắt By tại D. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành
b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi.
Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D và AC tại E. Chứng minh DE = BD + CE.
Số học sinh khối lớp 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 300 học sinh, khi xếp thành các hàng 10; 12 và 15 người đều thừa 5 em. Tính số học sinh khối lớp 6.
Mua 0,5 kg nho và 1 kg táo phải trả 60 000 đồng. Mua 1 kg nho và 0,5 kg táo phải trả 72 000 đồng. Tính giá tiền mua 1 kg nho và giá tiền mua 1 kg táo.
Cho các số x, y thõa mãn đẳng thức 3x2 + 3y2 + 4xy + 2x – 2y + 2 = 0.
Tính M = (x + y)2010 + (x + 2)2011 + (y – 1)2012.
Hiện nay tổng số tuổi 2 bố con là 48 tuổi. Biết tuổi con có bao nhiêu ngày thì bố có mấy nhiều tuần. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Tìm 2 phân số có tử số cùng là 1, mẫu số là 2 số tự nhiên liên tiếp sao cho \(\frac{2}{{13}}\) nằm giữa 2 phân số đó.
Một lớp có 60 em, 42 em biết bơi, 46 em biết đi xe đạp, 55 em biết chơi bóng. Hỏi có ít nhất bao nhiêu em biết cả 3 thứ?
Một con cá có đuôi cân nặng 0,25 kg; đầu cân nặng bằng đuôi và nửa thân; thân cân nặng bằng đầu và đuôi. Hỏi con cá cân nặng bao nhiêu kg?
Tìm x:
a) 4x(3x – 7) – 6(2x2 – 5x + 1) = 12
b) (5x + 3)(4x – 1) + (10x – 7)(–2x + 3) = 27
c) (8x – 5)(3x + 2) – (12x + 7)(2x – 1) = 17
d) (5x + 9)(6x – 1) – (2x – 3)(15x + 1) = – 190.
Có 4 bạn Hoa, Mai, Lan, Phượng. Các bạn Hoa, Mai, Lan cân nặng tất cả là 108,6 kg. Các bạn Mai, Lan, Phượng cân nặng hết tất cả 105,4 kg. Các bạn Hoa, Mai, Phượng cân nặng tất cả là 110,3 kg. Các bạn Hoa, Lan, Phượng cân nặng tất cả là 107,7 kg. Hỏi mỗi bạn nặng bao nhiêu kg?
