Cho đường tròn (O) và dây cung AB của (O) không là đường kính. Gọi I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OI tại P và Q.
a) Chứng minh rằng AP . AQ = AI2.
b) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ cắt AB tại K khác B. Chứng minh
rằng AK . AB = AP . AQ.
c) Chứng minh rằng K là trung điểm của AI.
Giải bởi Vietjack
a) Xét (O; OA) có I là trung điểm của dây cung AB, suy ra OI ⊥ AB
Xét (O; OI) có OI ⊥ AI
Suy ra AI là tiếp tuyến của (O; OI) tại I
Do đó \(\widehat {PIA} = \widehat {PQI}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung PI)
Xét DAIP và DAQI có
\(\widehat {PIA} = \widehat {PQI}\) (chứng minh trên);
\(\widehat {PAI}\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{AI}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AI}}\), suy ra AP . AQ = AI2
b) Vì BKPQ là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {APK} = \widehat {KBQ}\)
Xét DAPK và DABQ có
\(\widehat {APK} = \widehat {ABQ}\) (chứng minh trên);
\(\widehat {PAK}\) là góc chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AQ}}\), suy ra AP . AQ = AB . AK.
c) Ta có AP . AQ = AB . AK (chứng minh câu b)
AP . AQ = AI2 (chứng minh câu a)
Suy ra AB . AK = AI2
⇔ 2AI . AK = AI2 (vì I là trung điểm của AB)
⇔ 2AK = AI
\( \Rightarrow AK = \frac{1}{2}AI\)
Vậy K là trung điểm của AI.
Số học sinh khối 6 của một trường khoảng từ 400 đến 500 em. Mỗi lần xếp hàng 6 hoặc hàng 9 đều dư 2 em nhưng khi xếp hàng 5 thì vừa đủ. Tính số học sinh khối 6 của trường đó.
Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB. Gọi C là 1 điểm thuộc tia Ax. Đường vuông góc với OC cắt By tại D. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
Số học sinh khối lớp 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 300 học sinh, khi xếp thành các hàng 10; 12 và 15 người đều thừa 5 em. Tính số học sinh khối lớp 6.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành
b) Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện gì để tứ giác MPNQ là hình thoi.
Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D và AC tại E. Chứng minh DE = BD + CE.
Cho các số x, y thõa mãn đẳng thức 3x2 + 3y2 + 4xy + 2x – 2y + 2 = 0.
Tính M = (x + y)2010 + (x + 2)2011 + (y – 1)2012.
Hiện nay tổng số tuổi 2 bố con là 48 tuổi. Biết tuổi con có bao nhiêu ngày thì bố có mấy nhiều tuần. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Mua 0,5 kg nho và 1 kg táo phải trả 60 000 đồng. Mua 1 kg nho và 0,5 kg táo phải trả 72 000 đồng. Tính giá tiền mua 1 kg nho và giá tiền mua 1 kg táo.
Một con cá có đuôi cân nặng 0,25 kg; đầu cân nặng bằng đuôi và nửa thân; thân cân nặng bằng đầu và đuôi. Hỏi con cá cân nặng bao nhiêu kg?
Tìm 2 phân số có tử số cùng là 1, mẫu số là 2 số tự nhiên liên tiếp sao cho \(\frac{2}{{13}}\) nằm giữa 2 phân số đó.
a) Tính bằng cách thuận tiện nhất:
0,12 × 400;
4,7 × 5,5 – 4,7 × 4,5
b) Tính nhẩm kết quả tìm x:
5,4 × x = 5,4
9,8 × x = 6,2 × 9,8.
Một lớp có 60 em, 42 em biết bơi, 46 em biết đi xe đạp, 55 em biết chơi bóng. Hỏi có ít nhất bao nhiêu em biết cả 3 thứ?
Tìm x:
a) 4x(3x – 7) – 6(2x2 – 5x + 1) = 12
b) (5x + 3)(4x – 1) + (10x – 7)(–2x + 3) = 27
c) (8x – 5)(3x + 2) – (12x + 7)(2x – 1) = 17
d) (5x + 9)(6x – 1) – (2x – 3)(15x + 1) = – 190.
