Cho ∆ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D ∈ BC), EF // BC (F ∈ AB).
a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
b) Gọi H là điểm đối xứng của D qua F. CHứng minh rằng HB // AD.
c) Gọi I là trung điểm của HB, K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng.
d) ∆ABC cần thêm điều kiện gì để HF = \[\frac{{AB}}{2}\].
a)
Xét tứ giác BDEF có:
EF // BD (vì EF // BC)
ED // FB (vì ED // AB)
Do đó tứ giác BDEF là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song)
Tam giác ABC có:
EA = EC (gt)
ED // AB (gt)
Do đó DB = DC hay D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
b)
Vì H đối xứng D qua F
⇒ F là trung điểm của HD (1)
Vì E là trung điểm của AC và EF // BC
⇒ F là trung điểm của AB (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác HABD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
⇒ AHBD là hình hình hành
⇒ HB // AD.
c)
Xét tam giác ∆HBD có:
I là trung điểm của HB
F trung điểm của HD
⇒ IF // BD (3)
Mà FE // BD (4)
⇒ I, F, E thẳng hàng.
⇒ I, K, E thẳng hàng.
d) Để HF = \(\frac{{AB}}{2}\) thì \(\frac{{HD}}{2} = \frac{{AB}}{2}\)
⇒ HD = AB
Hình bình hành AHBD có HD = AB
⇒ AHBD là hình chữ nhật
⇒ AD vuông góc với BC
Xét tam giác ABC có AD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (D là trung điểm của BC)
⇒ ΔABC cân tại A.
Vậy ∆ABC cân tại A thì HF = \(\frac{{AB}}{2}\).
Có hai sợi dây sợi thứ nhất dài hơn sợi thứ hai 54m. Nếu cắt đi 1200 cm ở mỗi sợi thì phần còn lại của sợi thứ nhất gấp 4 lần phần còn lại của sợi thứ hai. Hỏi mỗi sợi dây dài bao nhiêu mét.
Một bếp ăn dự trữ gạo cho 80 người ăn trong 30 ngày. Nay có thêm 40 người nữa mới đến. Hỏi số gạo đó đủ ăn trong bao nhiêu ngày?
Một lớp học có 3 tổ học sinh cùng nhặt giấy vụn tổ 1 và tổ 2 thu nhập được 25,3 kg tổ 1 và tổ 3 nhặt được 36,2 kg tổ 2 và tổ 3 nhặt được 24,5 kg hỏi lớp đó thu nhặt được bao nhiêu kg giấy loại?
cho tam giác abc cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.
Có đường gấp khúc ABCD, có AB bằng 15cm. Biết đường gấp khúc ABC dài hơn đường gấp khúc BCD là 3cm. Tính độ dài đường gấp khúc CD.
Một bếp ăn dự trữ gạo đủ cho 120 người ăn trong 18 ngày. Nay có 80 người được chuyển đi nơi khác. Hỏi số gạo đó đủ cho những người còn lại ăn trong bao nhiêu ngày? (Mức ăn mỗi người như nhau).
Hai người thợ nếu làm chung 1 công việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Nhưng sau khi cùng làm được 2 giờ thì người thứ hai có việc bận phải nghỉ làm. Người thứ nhất phải làm thêm 9 giờ mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người sẽ mất bao nhiêu thời gian?
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo M, N là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. F là giao điểm của CN và AB.
a, Chứng minh: Tứ giác AMCN là hình bình hành
b, Tứ giác AECF là hình gì?
c, Chứng minh: E, F đối xứng qua O
d, Chứng minh: EC = 2DE.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho ít nhất một trong ba số 3, 4, 5.
Lớp 12B có ba tổ tham gia trồng cây, tổ 1 có 7 bạn mỗi bạn trồng được 12 cây. Tổ 2 có 8 người trồng được 90 cây, tổ 3 có 10 người trồng được 76 cây. Hỏi trung bình mỗi người trồng được bao nhiêu cây?
Năm năm trước con 5 tuổi và kém cha 32 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi cha gấp 3 lần tuổi con?
Một tấm vải dài 9,7m. Người ta cắt ra 4,75m để may áo. Hỏi tấm vải còn lại dài bao nhiêu mét?
Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên Oz lấy điểm I. Chứng minh:
a) Tam giác ∆AOI = tam giác ∆BOI.
b) AB vuông góc với OI.