Gọi A₁ là tập các số có 4 chữ số chia hết cho 3

A₂ là tập các số có 4 chữ số chia hết cho 4

A₃ là tập các số có 4 chữ số chia hết cho 5

Theo nguyên lý bao hàm loại trừ:

\[|{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}| = |{A_1}| + |{A_2}| + |{A_3}| - |{A_1} \cap {A_2}| - |{A_2} \cap {A_3}| - |{A_1} \cap {A_3}| + |{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}|\]

= 3000 + 2250 + 1800 − 750 − 450 − 600 + 150

= 5400 (số).

Tổ 1 trồng được số cây là:

12 × 8 = 96 (cây)

Trung bình 1 đội có số cây là:

(96 + 72 + 84) : 3 = 84 (cây)

Đáp số: 84 cây.

Tổng ba tổ có tất cả số người là:

7 + 8 + 10 = 25 (người)

Tổ 1 trồng được số cây là:

12 × 7 = 84 (cây)

Tổng số cây 3 tổ trồng được là:

84 + 90 + 76 = 250 (cây)

Trung bình mỗi người trồng được số cây là:

250 : 25 = 10 (cây)

Đáp số: 10 cây.

Số sách đọc thêm thư viện cho mượn là:

(65 − 17) : 2 = 24 (quyển)

Số sách giáo khoa thư viện cho mượn là:

65 − 24 = 41(quyển)

        Đáp số: 24 quyển sách đọc thêm, 41 quyển sách giáo khoa.

Trong một tháng nào đó có ba ngày thứ bảy là ngày chẵn thì chắc chắn còn có hai ngày thứ Bảy là ngày lẻ. Năm ngày thứ Bảy đó sắp xếp như sau:

Số ngày nhiều nhất trong một tháng là 31 ngày. Tháng này có 4 tuần và 3 ngày. Nếu thứ bảy đầu tiên là ngày mùng 4 thì tháng đó sẽ có số ngày là:

4 + 7 × 4 = 32 (ngày)

 Vì 1 tháng nhiều nhất có 31 ngày nên 32 ngày là trái với lịch thông thường. 

 Vì vậy thứ bảy đầu tiên (1) phải là ngày mùng 2, thứ 7 thứ tư (4) sẽ là ngày:

2 + 7 × 3 = 23 

 Vậy ngày 25 của tháng đó là ngày thứ hai. 

Cách 2.

Lập bảng theo tuần lễ:

Trong 3 cột đầu tiên chỉ có cột 2 thích hợp với đầu bài toán. Cột này có 5 ngày thứ bảy. Vì ngày 23 là thứ bảy, nên ngày 25 là thứ hai.

Ta thấy: Các số trên lập thành một dãy số cách đếu với khoảng cách giữa 2 số liền nhau là 3 đơn vị.

Có số số hạng là: (2001 − 3) : 3 + 1 = 667 (số)

Tổng dãy số trên là: (2001 +   3) × 667 : 2 = 668334

Trung bình cộng của dãy số trên là: 668334 : 667 = 1102

                     Đáp số: trung bình cộng của dãy số là 1102.

Trong tích đã cho ta có các thừa số tận cùng bằng 0 là: 10, 20, 30, 40, 50 và tận cùng bằng 5 là: 5, 15, 25, 35, 45.

- Tích 10 × 20 × 30 × 40 tận cùng bằng 4 chữ số 0.

Tích của 50 và một số chẵn (50 × 2 chẳng hạn) tận cùng bằng 2 chữ số 0.

- Tích 25 × 24 tận cùng bằng 2 chữ số 0.

- Mỗi số 5, 15, 35, 45 nhân với một số chẵn (ngoài những số đã lấy ở trên) cho một số tận cùng bằng một chữ số 0.

Thí dụ: 5 × 6; 15 × 8; 35 × 34; 45 × 44; đều tận cùng bằng 1 chữ số 0.

Ngoài ra, không còn có hai thừa số nào có tích tận cùng bằng 0.

Ta có:

4 + 2 + 2 + 4 = 12 chữ số 0

Đáp số: 12 chữ số 0.

Ta thấy tích đó có:

+ Các số 10, 20, 30, 40, ..., 90 có 1 chữ số 0 và 100 có 2 chữ số không. Tổng cộng là 11 chữ số 0.

Vậy Tích (1): 10 × 20 × 30 × 40 ×... × 100 sẽ tận cùng 11 chữ số 0.

+ Các số 5, 15, 25, 35, ..., 95 không có chữ số 0, mà các số tận cùng bằng 5 nhân với nhau sẽ không bao giờ tận cùng bằng 0.

Vậy Tích (2): 5 × 15 × 25 × 35 × ... × 95 sẽ không tận cùng chữ số 0 nào

Vậy Tích (1) × Tích (2) = 5 × 10 × 15 × 20 × 25 × 30 × ... × 100 sẽ tận cùng bằng 11 chữ số 0.

Tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 6 là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Đáp số: tổng các số tự nhiên nhỏ hơn 6 là 15.

Đặt A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 100.103

= 1(2.2) + 2(3 + 2) + 3(4+ 2) + ...+ 100(101+ 2)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 100.101 + (1.2 + 2.2 + 3.2 + ... + 100.2)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 + 2(1 + 2 + 3 + ... + 100)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 + 10100

Đặt B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101

⇒ 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 100.101.3

⇒ 3B = 1.2.3 + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 2) + ... + 100.101(102 − 99)

⇒ 3B = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + ... + 100.101.102 − 99.100.101

⇒ 3B = 100.101.102

⇒ B = 343400

Khi đó A = B + 10100 = 343400 + 10100 = 353500

Ta có: 1m² = 100dm²

Vậy 12m² + 9dm² = 1200dm² + 9dm² = 1209dm².

Đáp số: 1209 dm²

Ta có: 16 giờ = 16 × 60 phút = 960 phút

          16 giờ 40 phút = 1000 phút = \(\frac{{1000}}{{60}} = \frac{{50}}{3}\)giờ

          Đáp số: 16 giờ 40 phút = \(\frac{{50}}{3}\) giờ.

Trong 1 giờ, cả hai người làm được là:

       1 : 5 = \(\frac{1}{5}\) (giờ)

Trong 3 giờ, cả hai làm được là:

      \(\frac{1}{5}\) × 3 = \(\frac{3}{5}\) (công việc)

Số công việc người thứ hai làm xong trong 6 giờ là:

    1 − \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{2}{5}\) (công việc)

Nếu 1 mình người thứ hai làm thì xong trong:

   \(6:\frac{2}{5} = 15\) (giờ)

Một mình người thợ cả làm xong trong:

   1 : (\(\frac{1}{5}\) – 1 : 15) = 7,5 (giờ)

  Đổi: 7,5 giờ = 7 giờ 30 phút

Đáp số:        Người thợ cả làm xong công việc một mình hết 7 giờ 30 phút.

                   Người thợ thứ hai làm xong công việc một mình hết 15 giờ.

Trong một giờ, cả hai người làm được là:

1 : 5 = \(\frac{1}{5}\) (giờ)

Trong hai giờ, cả hai làm được là:

\(\frac{1}{5}\) × 2 = \(\frac{2}{5}\) (công việc)

Để làm \(\frac{3}{5}\) số công việc còn lại, người thứ nhất mất 9 giờ. Vậy để hoàn thành toàn bộ công việc, người đó mất số thời gian là:

 9 : \(\frac{3}{5}\) = 15 (giờ)

Một giờ người thứ nhất làm được số công việc là:

1 : 15 = \(\frac{1}{{15}}\)(công việc)

Một giờ người thứ hai làm được số công việc là:

\(\frac{1}{5} - \frac{1}{{15}} = \frac{2}{{15}}\) (giờ)

Thời gian để người thứ hai làm xong công việc là:

          \(1:\frac{2}{{15}} = \frac{{15}}{2}\)giờ = 7,5 giờ = 7 giờ 30 phút\(\)

     Đáp số:   Người thợ thứ hai làm xong công việc một mình hết 7 giờ 30 phút.

                   Người thợ thứ nhất làm xong công việc một mình hết 15 giờ.

\[\begin{array}{l}{3^{x - 1}} = \frac{1}{{243}}\\ \Rightarrow {3^{x - 1}} = {3^{ - 5}}\\ \Rightarrow x - 1 = - 5\\ \Rightarrow x = - 5 + 1\\ \Rightarrow x = - 4\end{array}\]

Đáp số: x = \[ - 4\].

\[\begin{array}{l}\frac{6}{8} + \frac{6}{{56}} + \frac{6}{{140}} + ... + \frac{6}{{1100}} + \frac{6}{{1400}}\\ = \frac{3}{4} + \frac{3}{{28}} + \frac{3}{{140}} + ... + \frac{3}{{550}} + \frac{3}{{700}}\\ = \frac{3}{{1.4}} + \frac{3}{{4.7}} + \frac{3}{{7.10}} + ... + \frac{3}{{22.25}} + \frac{3}{{25.28}}\\ = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{10}} + ... + \frac{1}{{22}} - \frac{1}{{25}} + \frac{1}{{25}} - \frac{1}{{28}}\\ = 1 - \frac{1}{{28}}\\ = \frac{{28}}{{28}} - \frac{1}{{28}}\\ = \frac{{27}}{{28}}\end{array}\]

Minh góp kém mức trung bình cộng của 3 bạn là 3000 đồng thì hai bạn Hùng, Thắng bù cho Minh 3000 đồng đó.

Mức trung bình cộng của cả ba bạn là:

          (45000 + 30000 – 3000) : 2 = 36000 (đồng) 

Minh góp số tiền là:

36000 – 3000 = 33000 (đồng)

Đáp số: 33000 đồng.

BA + BC = 2a + 3a = 5a.

Theo Pitago ta có: ID² = AD² + AI² = 2a²  \[ \Rightarrow ID = a\sqrt 2 \]

 Mặt khác kẻ DH vuông góc với BC thì DHBA là hình chữ nhật nên DH = 2a, BH = a. Suy ra CH = 2a.

Theo Pitago ta có:

\[\begin{array}{l}D{C^2} = D{H^2} + H{C^2} = {(2a)^2} + {(2a)^2} = 8{a^2}\\ \Rightarrow DC = 2\sqrt 2 a\end{array}\]

Vậy \[ID + DC = a\sqrt 2 + 2\sqrt 2 a = 3\sqrt 2 a\]

a) Ta có: AB² + AC² = 2AH² + BH² + CH²

= 2AM² − 2HM² + (BM − HM)² + (CM + HM)²

= 2AM² − 2HM² + BM² − 2BM.HM + HM² + CM² + 2CM.HM + HM²

= 2AM² + BC² − 2BM.CM = 2AM² + BC² − \(\frac{{2B{C^2}}}{4}\)

= 2AM² + \(\frac{{B{C^2}}}{2}\)(đpcm)

b) Ta có: AC² – AB² = AH² + HC² – BH² – AH²

= HC² – BH² = (CM + HM)² − (BM − HM)²

= CM² + 2CM.HM + HM² – BM² + 2BM.HM – HM²

= 2HM(CM + BM)

= 2HM.BC (đpcm).

Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABC. Ta có:

sin² C = sin² A + sin² B

⇒ ​\(\frac{{{C^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{{A^2}}}{{4{R^2}}} + \frac{{{B^2}}}{{4{R^2}}}\)

⇒ C² = A² + B²

⇒ ΔABC vuông tại C.

Ta thấy: 1794 là 9 lần số mới sau khi xóa chữ số hàng đơn vị

Mà 1794 = 199 × 9 + 3 

Do đó số mới là 199

Số phải tìm là 199 thêm 3 vào hàng đơn vị: 1993.

Đáp số: 1993.

Đổi 1200cm = 12m

Nếu cắt đi 1200cm ở mỗi sợi thì phần còn lại của sợi thứ nhất hơn phần còn lại của sợi dây thứ hai 54m

Hiệu số phần bằng nhau là:

4 – 1 = 3 (phần)

Phần dây còn lại của sợi thứ 2 là:

54 : 3 × 1 = 18 (m)

Ban đầu sợi dây thứ 2 dài là:

18 + 12 = 30 (m)

Ban đầu sợi dây thứ nhất dài là:

30 + 54 = 84 (m)

Đáp số:       sợi dây thứ nhất dài: 84m

sợi dây thứ hai dài: 30m.

Tổng số phần bằng nhau là:

2 + 3 = 5 phần

Độ dài đoạn MB là:

1 : 5 × 3 = 0,6 (km)

Đáp số: Độ dài đoạn MB là: 0,6km.

Tổng số bài kiểm tra đạt loại giỏi là:

25 + 20 + 18 = 63 (bài kiểm tra)

Trong đó có 5 học sinh giỏi cả 3 môn, vậy số học sinh đạt loại giỏi ít hơn 3 môn là:

45 − 5 = 40 (học sinh)

Số bài đạt điểm giỏi cho 40 học sinh đạt loại giỏi ít hơn 3 môn là:

          63 – 5 × 3 = 48 (bài kiểm tra)

Mặt khác có 6 học sinh ko đạt giỏi môn nào nên 48 điểm giỏi nằm trong:

40 – 6 = 34 (học sinh)

Hay nói cách khác trong 34 học sinh sẽ có x học sinh giỏi 1 môn và y học sinh giỏi 2 môn và từ đó ta có phương trình x + y = 34 và x + 2y = 48 (x, y > 0)

Giải hệ phương trình này ta được x = 20, y = 14.

Vậy lớp có 20 học sinh giỏi một môn và 14 học sinh giỏi hai môn.

Trung bình cộng số cây của tổ 2 và tổ 3 là:

(26 + 1) : 1 = 27 ( cây)

Số cây của tổ 2 trồng được là:

27 + 1 = 28 (cây)

Nếu tổ một mà hơn trung bình cộng của mỗi tổ là 6 cây thì số cây của tổ 1 là:

 (26 + 28 + 6) : 2 + 6 = 36 (cây)

Đáp số: Tổ một trồng được 36 cây.

Tổ hai trồng được số cây là :

1353 : 3 = 451 (cây)

Tổ ba trồng được số cây là :

(1353 + 451) : 2 = 902 (cây)

Cả ba tổ trồng được số cây là :

1353 + 451 + 902 = 2706 (cây)

Đáp số: Cả ba tổ trồng được 2706 cây.

Số suất ăn dành cho 120 người trong 18 ngày là:

          120 × 18 = 2160 (suất) 

Số người còn lại sau khi 80 người chuyển đi nơi khác là:

          120 − 80 = 40 (người) 

2160 suất ăn đủ cho 40 người ăn trong số ngày là: 

          2160 : 40 = 54 (ngày) 

Một người sửa hết khối lượng quần áo đó trong số ngày là:

63 × 11 = 693 (ngày)

Số người sau khi bổ sung là:

693 : 9 = 77 (người)

Muốn sửa khối lượng quần áo đó trong 9 ngày thì cần thêm số người là:

77 – 63 = 14 (người)

Đáp số: 14 người.

Gọi x là giá bán ban đầu (x > 0) ⇒ giá bán khi giảm đi 20% là 0,8x

Gọi y là % để giá trở lại như cũ (y > 0).

Ta có phương trình: 

          0,8x + y ∙ 0,8x = x

          ⇒ 0,8x ∙ (1 + y) = x

          ⇒ 0,8 ∙ (1 + y) = 1 

          ⇒ y = 0,25

 Vậy phải tăng thêm 25% để giá trở lại như cũ.

Đáp số: cửa hàng cần tăng 25% giá hiện đang bán để trở về giá ban đầu.

Phần chu vi tăng thêm là: 

(15 + 10) × 2 = 50 (m)

Chu vi thửa ruộng ban đầu là: 

86 – 50 = 36 (m)

Độ dài cạnh thửa ruộng ban đầu là: 

36 : 4 = 9 (m)

Diện tích thửa ruộng hình vuông là: 

9 × 9 = 81 (m²)

Vậy diện tích thửa ruộng hình vuông là 81 m².

Tổng của tử số và mẫu số của phân số \(\frac{{13}}{{25}}\) là:

13 + 25 = 38

Khi cộng tử của phân số \(\frac{{13}}{{25}}\) và mẫu số của phân số \(\frac{{13}}{{25}}\) với cùng 1 số thì tổng của tử số với mẫu số của phân số mới không thay đổi và bằng 38.

Chia tử của phân số mới thành 9 phần thì mẫu của phân số mới là 10 phần.

Tổng số phần bằng nhau là:

9 + 10 = 19 (phần)

Giá trị 1 phần là:

38 : 19 = 2

Tử của phân số mới là:

2 × 9 = 18

Số tự nhiên cần tìm là:

18 – 13 = 5

Đáp số: 5.

Ta có: x⁵ – x = x (x⁴ – 1)

                   = x (x – 1) (x + 1) (x² + 1) ⋮ 3

Mà x (x – 1) (x + 1) (x² + 1) ⋮ 3 nên x⁵ – x + 2 chia 3 dư 2

⇒ x⁵ – x + 2 phải là số chính phương (đpcm).

79^{m + 1} – 79^m = 79.79^m – 79^m

                   = 79^m. (79 – 1)

                   =78.79^m chia hết cho 78.

Vậy 79^{m + 1} – 79^m chia hết cho 78 (m thuộc ℕ).

2⁶⁴ + 1

= (1844674407 + 10000000000000000000) + 1

= 18446744000000000000 + 1

Gọi tích của 3 số liên tiếp là:

A= a ∙ (a + 1) ∙ (a + 2) (a thuộc ℕ^*)

Giả sử a ⋮ 3 ⇒ A ⋮ 3

Nếu a ko chia hết cho 3 thì có 2 khả năng: 3n + 1 hoặc 3n + 2

Với a = 3n + 1

⇒ a + 2 = (3n + 1) + 2 = 3n + 3 ⋮ 3 

⇒ A ⋮ 3 (1)

Với a = 3n + 2 

⇒ a +1 = 3n + 2 + 1 = 3n + 3 ⋮ 3

⇒ A chia hết 3 (2)

Vậy với mọi A thuộc N thì A ⋮ 3 (điều đã được chứng minh).

Số suất ăn có là:

80 × 30 = 2400 (suất)

Lúc sau có số người ăn là:

80 + 40 = 120 (người)

Số gạo đó ăn trong số ngày là:

2400 : 120 = 20 (ngày)

       Đáp số: Số gạo đó đủ ăn trong 20 ngày cho 120 người.

Số người còn lại sau khi giảm đi 30 người là:

180 − 30 = 150 (người)

Số gạo đó đủ cho 150 người ăn trong số ngày là:

10 × 180 : 150 = 12 (ngày)

         Đáp số: Số gạo đó đủ ăn trong 12 ngày với 150 người.

Một em bé sẽ ăn hết số gạo dự trữ trong:

20 × 120 = 2400 (ngày)

Số gạo sau khi thêm người sẽ đủ ăn trong:

20 – 4 = 16 (ngày)

Số em ở nhà trẻ sau khi thêm là:

2400 : 16 = 150 (em)

Số em mới đến thêm là:

150 – 120 = 30 (em)

Đáp số: 30 em mới đến.

Ta có: 

4³⁰ = 2³⁰ ∙ 2³⁰ = 2³⁰ ∙ (2²)¹⁵ = 2³⁰ ∙ 4¹⁵ = 2³⁰ ∙ 4¹¹ ∙ 4⁴

3 ∙ 24¹⁰ = 3 ∙ (3.2³)¹⁰ = 3 ∙ 3¹⁰ ∙ 2³⁰ = 3¹¹ ∙ 2³⁰

Mà 4¹¹ ∙ 4⁴ > 3¹¹ nên 4³⁰ > 3 ∙ 24¹⁰ .

Ta gọi mẫu của 2 phân số đó là b va b + 1. ( b ≠ 0, b ≠ – 1)

Khi đó ta có:

          \[\frac{1}{b} > \frac{1}{{b + 1}}\]

Mà \(\frac{{13}}{{84}}\) nằm giữa 2 phân số đó

⇒ \[\frac{1}{b} > \frac{{13}}{{84}} > \frac{1}{{b + 1}}\]

⇒ \[\frac{{13}}{{13b}} > \frac{{13}}{{84}} > \frac{{13}}{{13b + 13}}\]​

⇒ 13b < 84 < 13b + 13

* Do 13b < 84 ⇒ b < \(\frac{{84}}{{13}}\) (1)

* Do 84 < 13b + 13 ⇒ 71 < 13b

                                ⇒ \(\frac{{71}}{{13}}\) < b (2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \frac{{71}}{{13}} < b < \frac{{84}}{{13}}\] mà a là số tự nhiên

                 ⇒ b = 6

                 ⇒ b + 1 = 7

Vậy 2 phân số cần tìm là: \(\frac{1}{6}\)và \(\frac{1}{7}\).

Ta thấy:

Hiệu giữa 3 và 17 là 14

Hiệu giữa 17 và 59 là 42 = 14 ∙ 3 

Hiệu giữa 59 và 185 là 126 = 42 ∙ 3

Hiệu giữa 185 và 563 là 378 = 126 ∙ 3

Suy ra quy luật hiệu của hai số sau sẽ gấp 3 lần hiệu của hai số trước (có lặp lại số ở giữa 2 số kia) 

Vậy số cần điền là: 378 ∙ 3 + 563 = 1697.

Ta có \[A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{5.6}} + .... + \frac{1}{{99.100}}\]

\[\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}}} \right) + \left( {\frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{99.100}}} \right)\\A = \frac{7}{{12}} + \left( {\frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{99.100}}} \right) > \frac{7}{{12}}\end{array}\]

(vì \[\frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{99.100}} > 0\])

Ta có:

\[\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\\ \Rightarrow A = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\end{array}\]

\[ \Rightarrow A = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[ \Rightarrow A = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right) - 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{50}}} \right)\\ \Rightarrow A = \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{53}} + ... + \frac{1}{{100}}\end{array}\]

Tổng A có (100 – 51) : 1 + 1 = 50 (số hạng)

Như vậy, ta nhóm 10 số vào 1 nhóm được:

\[\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right) + \left( {\frac{1}{{61}} + \frac{1}{{62}} + ... + \frac{1}{{70}}} \right)\\ + \left( {\frac{1}{{71}} + \frac{1}{{72}} + ... + \frac{1}{{80}}} \right) + \left( {\frac{1}{{81}} + \frac{1}{{82}} + ... + \frac{1}{{90}}} \right)\\ + \left( {\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{92}} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)\end{array}\]

Ta thấy:

\[\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right) < 10\cdot \frac{1}{{50}} = \frac{1}{5}\\\left( {\frac{1}{{61}} + \frac{1}{{62}} + ... + \frac{1}{{70}}} \right) < 10\cdot \frac{1}{{60}} = \frac{1}{6}\\\left( {\frac{1}{{71}} + \frac{1}{{72}} + ... + \frac{1}{{80}}} \right) < 10\cdot \frac{1}{{80}} = \frac{1}{7}\\\left( {\frac{1}{{81}} + \frac{1}{{82}} + ... + \frac{1}{{90}}} \right) < 10\cdot \frac{1}{{90}} = \frac{1}{8}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{92}} + ... + \frac{1}{{100}}} \right) < \frac{1}{9}\\ \Rightarrow \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right) + \left( {\frac{1}{{61}} + \frac{1}{{62}} + ... + \frac{1}{{70}}} \right) + \left( {\frac{1}{{71}} + \frac{1}{{72}} + ... + \frac{1}{{80}}} \right)\\ + \left( {\frac{1}{{81}} + \frac{1}{{82}} + ... + \frac{1}{{90}}} \right) + \left( {\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{92}} + ... + \frac{1}{{100}}} \right) < \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} < \frac{5}{6}\\ \Rightarrow A < \frac{5}{6}\end{array}\]

Vậy \(\frac{7}{{12}} < A < \frac{5}{6}\).

\[\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{5.6}} + .... + \frac{1}{{99.100}}\\ = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + \frac{{6 - 5}}{{5.6}} + .... + \frac{{100 - 99}}{{99.100}}\\ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\\ = \left( {1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + .... + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + .... + \frac{1}{{100}}} \right)\\ = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + .... + \frac{1}{{100}}} \right) - 2\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + .... + \frac{1}{{50}}} \right)\\ = \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + .... + \frac{1}{{100}}\end{array}\]

Mặt khác:

\[\begin{array}{l}151B = \frac{{51 + 100}}{{51.100}} + \frac{{52 + 99}}{{52.99}} + .... + \frac{{99 + 52}}{{99.52}} + \frac{{100 + 51}}{{100.51}}\\ = \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{52}} + .... + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{100}}\\ = \left( {\frac{1}{{100}} + \frac{1}{{99}} + .... + \frac{1}{{52}} + \frac{1}{{51}}} \right) + \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + .... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right)\\ = 2\left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + .... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right)\\ = 2A\\ \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{{151}}{2}\end{array}\]

Vậy \[\frac{A}{B} = \frac{{151}}{2}\].

Hiện tại con có số tuổi là:

5 + 5 = 10 (tuổi)

Số tuổi con kém cha không bao giờ thay đổi. Ta có sơ đồ khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con:

Hiệu số phần bằng nhau là:

3 − 1 = 2 (phần)

Giá trị 1 phần hay tuổi con khi đó là:

32 : 2 × 1 = 16 (tuổi)

Vậy tuổi cha gấp 3 lần tuổi con sau số năm là:

16 − 10 = 6 (năm)

                   Đáp số: 6 năm.

Vì số dư là 98 nên số chia là 99.

Gọi số bị chia là X.

Ta có:

X : 99 = 23 (dư 98)

X = (23 × 99) + 98

X = 2375

Vậy số bị chia là 2375.

Tấm vài còn lại dài số mét là:

          9,7 – 4,75 = 4,95 (mét)

          Đáp số: 4,95m.

Muốn làm xong công việc trong một ngày cần số người là:

8 × 6 = 48 (người)

Muốn làm xong công việc trong ba ngày cần số người là:

48 : 3 = 16 (người)

Đ/S: 16 người

Tổng của số bị chia và số chia là: 136 – 20 = 116

Gọi a là số bị chia, b là số chia.

Theo bài ra ta có:

a + b = 116 (1)

a = 3b + 20 (2)

Thay (2) vào (1) có:

3b + 20 + b = 116

4b = 116 − 20

4b = 96

⇒ b = 96 : 4 = 24 (3)

Thay (3) vào (2) có:

a = 3b + 20

  = 3 × 24 + 20

  = 92

Vậy số bị chia là 92, số chia là 24.

x³ + 3x² – 4 = x³ + 4x² + 4x – x² − 4x − 4

= x (x² + 4x + 4) – (x² + 4x + 4)

= (x − 1) (x² + 4x + 4)

= (x − 1) (x + 2)²

0 có chia hết cho 3 vì 0 chia cho số nào cũng bằng 0.

Nhưng 0 kông thể chia cho 0.

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ≥ 3; n ∈ ℕ)

Số đường chéo của đa giác là: \[\frac{{n(n - 3)}}{2}\]

Theo đề bài ta có:

\[\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = n\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} - 3n = 2n\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} - 5n = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow n(n - 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0(ktm)\\n = 5(tm)\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy đa giác thỏa mãn đề bài là ngũ giác.

Ta có g′(x) = f′(x) – x² + 2x − 1; g′(x) = 0 ⇒ f′(x) = (x−1)².

 Suy ra số nghiệm của phương trình g′(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f′(x) và parapol (P): y = (x−1)².

Dựa vào đồ thị ta suy ra g′(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy g(x) đạt cực đại tại x = 1.

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là \(\overline {abcde} \).

Buộc 3 chữ số 1, 2, 3 thành 1 cụm, đặt là A

Hoán vị các chữ số 1, 2, 3 cho nhau ta được 3! = 6 khả năng xảy ra của A

Có 3 cách chọn vị trí cho A trong \(\overline {abcde} \)

Sau khi chọn xong vị trí cho A, 2 chữ số còn lại có \(A_7^2 = 42\) cách chọn

Như vậy, sẽ có 3 ∙ 6 ∙ 42 = 756 số được tạo thành tính cả trường hợp a = 0.

Xét a = 0: 

Khi đó, ta có 2 vị trí cho A, và mỗi vị trí có 6 khả năng xảy ra của A (Hoán vị 1, 2, 3)

Chữ số còn lại có 6 cách chọn

Vậy nếu a = 0 thì sẽ có 72 số được tạo thành.

Vậy số số tự nhiên có 5 chữ số (a khác 0) thỏa mãn yêu cầu bài toán: 756 − 72 = 684 số tự nhiên.

\[2\sqrt {31} = \sqrt {{2^2}.31} = \sqrt {4.31} = \sqrt {124} \]

Mà \(10 = \sqrt {100} \)

Vì \(\sqrt {124} > \sqrt {100} \Rightarrow 2\sqrt {31} > 10\).

(ĐK 1) a ≠ 0 ⇒ m ≠ 0

(ĐK 2) ∆’ = (m + 1)² + 2m (m + 1) > 0

⇒ (m + 1) (m + 1 + 2m) > 0

⇒ (m + 1) (3m + 1) > 0

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy với m ≠ 0, m < – 1, \(m > \frac{{ - 1}}{3}\) thì phương trình mx² – 2(m + 1) – 2m – 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

x + 45 − 25 = 32

x + 45 = 32 + 25

x + 45 = 57

        x = 57 − 45

        x = 12

Vậy x = 12 thì x + 45 – 25 = 32.

3 = 3,0

\[\frac{1}{4} = \frac{{25}}{{100}} = 0,25\]

ƯCLN _{(a, b)} = 16 

⇒ a =16k, b = 16q (k, q thuộc N, (k, q) = 1)

⇒ BCNN _{(a, b)} = 240 = 16 ∙ k ∙ q

⇒ k ∙ q = 15 (1)

Lại có: b − a = 32

⇒ 16q − 16k = 32

⇒ 16 (q − k) = 32

⇒ q − k = 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ k = 3, q = 5

⇒ a = 48, b = 80

Vậy a = 48, b = 80 tmđk.

Tổng số giấy vụn thu được là:

(25,3 + 36,2 + 24,5) : 2 = 43 (kg)

Tổ 1 thu được số giấy vụn là:

43 − 24,5 = 18,5 (kg)

Tổ 2 thu được số giấy vụn là:

43 − 36,2 = 6,8 (kg)

Tổ 3 thu được số giấy vụn là:

43 − 25,3 = 17,7 (kg)

Đáp số:        Tổ 1: 18,5 kg

Tổ 2: 6,8 kg

Tổ 3: 17,7 kg.