40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình $\frac{x - 1}{3} = \frac{3 y}{2} = \frac{3 - z}{1}$ ?

A.

\vec{a} = (3; \frac{3}{2}; 1)

.

B.

\vec{a} = (9; 2; - 3)

.

C.

\vec{a} = (3; 2; 1)

.

D.

\vec{a} = (3; \frac{2}{3}; 1)

.

Xem đáp án

Ta có $\frac{x - 1}{3} = \frac{3 y}{2} = \frac{3 - z}{1} \Leftrightarrow \frac{x - 1}{9} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{- 3}$ .

Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{a} = (9; 2; - 3)$ .

Chọn B.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆$ vuông góc với mặt phẳng $(α)$ có phương trình $x + 2 z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của $∆$ là:

A. $\vec{a} (1; 0; 2)$ .

B.

\vec{b} (2; - 1; 0)

.

C.

\vec{v} (1; 2; 3)

.

D.

\vec{u} (2; 0; - 1)

.

Xem đáp án

Vì $∆$ vuông góc với mặt phẳng $(α)$ nên vectơ chỉ phương của $∆$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ .

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{O A} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} - 5 \vec{k}; \vec{O B} = - 2 \vec{j} - 4 \vec{k}$ . Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\vec{u} (2; 5; - 1)$ .

B.

\vec{u} (2; 3; - 5)

.

C.

\vec{u} (- 2; - 5; - 1)

.

D.

\vec{u} (2; 5; - 9)

.

Xem đáp án

Ta có $\vec{O A} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} - 5 \vec{k} \Rightarrow A (2; 3; - 5)$ ;

$\vec{O B} = - 2 \vec{j} - 4 \vec{k} \Rightarrow B (0; - 2; - 4)$

Suy ra $\vec{A B} = (- 2; - 5; 1)$ .

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} (2; 5; - 1)$ .

Chọn A.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2,-1,3) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} (1; 2; - 4)$ là

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 4}{3}$ .

B.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 4}{3}

.

C.

\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 3}{- 4}

.

D.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 4}

.

Xem đáp án

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $M (2; - 1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} (1; 2; - 4)$ là $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 4}$ .

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1,2,3) và mặt phẳng (P) có phương trình $3 x - 4 y + 7 z + 2 = 0$ .

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - 4 + 2 t \\ z = 7 + 3 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

B.

\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases} (t \in ℝ)

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 2 - 4 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases} (t \in ℝ)

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 - 4 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases} (t \in ℝ)

.

Xem đáp án

Gọi $\vec{u_{Δ}}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $(Δ)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ : $\vec{n_{P}} = (3; - 4; 7)$ .

Vì $\{\begin{cases} Δ ⊥ (P) \\ A \in Δ \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{u_{Δ}} = \vec{n_{P}} = (3; - 4; 7) \\ A (1; 2; 3) \in (Δ) \end{cases}$ nên phương trình tham số của $∆$ là $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 - 4 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Chọn B.

Câu 6:

Cho điểm A(1,2,3) và hai mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y + z + 1 = 0, (Q) : 2 x - y + 2 z - 1 = 0$ .

Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 4}$ .

B.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 6}

.

C.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z - 3}{2}

.

D.

\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 3}{- 6}

.

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(P)}} = (2; 2; 1)$ .

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(Q)}} = (2; - 1; 2)$

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\vec{u_{d}}$ .

Do đường thẳng d song song với (P) và (Q) nên

$\{\begin{cases} \vec{u_{d}} ⊥ \vec{n_{(P)}} \\ \vec{u_{d}} ⊥ \vec{n_{(Q)}} \end{cases} \Rightarrow \vec{u_{d}} = [\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}] = (5; - 2; - 6)$

Suy ra đường thẳng d đi qua $A (1; 2; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{d}} = (5; - 2; - 6)$ .

Phương trình chính tắc của d là $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 3}{- 6}$ .

Chọn D.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; 4; - 1), B (2; 4; 3), C (2; 2; - 1)$ . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

A. $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 4 + t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$

B.

\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 4 + t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}

C.

\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 4 + t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}

D. $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC.

Ta có: $\vec{B C} = (0; - 2; - 4)$ .

Do $∆$ song song với BC nên một vectơ chỉ phương của $∆$ là $\vec{u_{Δ}} = (0; 1; 2)$ .

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $∆$ là $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 4 + t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$ .

Chọn A.

Câu 8:

Đường thẳng $∆$ là giao tuyến của hai mặt phẳng x+z-5=0 và x-2y-z+3=0 thì $∆$ có phương trình là

A. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{- 1}$ .

B.

\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 1}

.

C.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{- 1}

.

D.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{- 1}

.

Xem đáp án

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (1; 0; 1)$ .

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}} = (1; - 2; - 1)$ .

Ta có $[\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}] = (2; 2; - 2)$ .

Gọi $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của $∆$ thì $\vec{u} ⊥ \vec{n_{1}}$ và $\vec{u} ⊥ \vec{n_{2}}$ .

Suy ra $\vec{u}$ cùng phương với $[\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}]$ . Chọn $\vec{u} = (1; 1; - 1)$

Lấy $M (2; 1; 3)$ thuộc mặt phẳng (P) và (Q).

Đường thẳng $∆$ đi qua $M (2; 1; 3)$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; - 1)$ .

Vậy phương trình $∆$ là: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{- 1}$ .

Chọn C.

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2,1,-1), B(-2,3,1) và C(0,-1,3). Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ . Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ .

B.

\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

.

C.

\frac{x}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}

.

D.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}

.

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (- 4; 2; 2) \Rightarrow A B = \sqrt{16 + 4 + 4} = 2 \sqrt{6}$ .

$\vec{A C} = (- 2; - 2; 4) \Rightarrow A C = \sqrt{4 + 4 + 16} = 2 \sqrt{6}$

$\vec{B C} = (2; - 4; 2) \Rightarrow B C = \sqrt{4 + 16 + 4} = 2 \sqrt{6}$

Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm $G (0; 1; 1)$ .Ta có $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (12; 12; 12) = 12 (1; 1; 1)$ .

Đường thẳng d đi qua $G (0; 1; 1)$ và có vectơ chỉ phương cùng phương với $[\vec{A B}, \vec{A C}]$ , do đó chọn $\vec{u} = (1; 1; 1)$ .

Phương trình đường thẳng d là $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

Với $t = - 1$ , ta có điểm $A (- 1; 0; 0) \in d$ .

Vậy đường thẳng d đi qua $A (- 1; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 1)$ .

Chọn B.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho hai M(1,2,3), N(3,4,5) và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z - 14 = 0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng (P), các điểm H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M,N trên $∆$ . Biết rằng khi $M H = N K$ thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là

A. $\{\begin{cases} x = t \\ y = 13 - 2 t \\ z = - 4 + t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = t \\ y = 13 + 2 t \\ z = - 4 + t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = t \\ y = 13 - 2 t \\ z = - 4 - t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 13 - 2 t \\ z = - 4 + t \end{cases}

.

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của HK.

Do $M H = N K$ nên $Δ H M I = Δ K N I \Rightarrow I M = I N$ . Khi đó I thuộc mặt phẳng $(Q)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn MN.

Ta có $(Q)$ đi qua trung điểm của MN là điểm $J (2; 3; 4)$ và nhận $\vec{n} = \frac{1}{2} \vec{M N} = (1; 1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $(Q) : x + y + z - 9 = 0$ .

Mà $I \in A \subset (P)$ . Suy ra $I \in d = (P) \cap (Q) : \{\begin{cases} x + y + z - 9 = 0 \\ x + 2 y + 3 z - 14 = 0 \end{cases}$

Tìm được $(0; 13; - 4) \in d$ và vectơ chỉ phương của d là $(1; - 2; 1)$ .

Vậy $d : \{\begin{cases} x = t \\ y = 13 - 2 t \\ z = - 4 + t \end{cases}$ .

Chọn A.

Câu 11:

Trong không gian Oxyz. Cho điểm E(1,1,1), mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ và mặt phẳng $(P) : x - 3 y + 5 z - 3 = 0$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho $Δ O A B$ là tam giác đều. Phương trình tham số của $∆$ là

A. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 1 + t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 1 - t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - 2 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Gọi $\vec{u} = (a; b; c)$ là một vectơ chỉ phương của $∆$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0$ .

Ta có $\vec{n_{P}} = (1; - 3; 5)$ .

Vì $Δ \subset (P)$ nên $\vec{u} ⊥ \vec{n_{P}} \Rightarrow \vec{u} . \vec{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow a - 3 b + 5 c = 0 \Leftrightarrow a = 3 b - 5 c$ .(1)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O (0; 0; 0)$ và bán kính $R = 2$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB

Ta có $Δ O A B$ là tam giác đều cạnh R nên $O H = \frac{R \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ .

Suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng $∆$ bằng $O H = \sqrt{3}$ .

Khi đó $\frac{|[\vec{u}, \vec{O E}]|}{|\vec{u}|} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$\Leftrightarrow {(a + b + c)}^{2} = 0 \Leftrightarrow a + b + c = 0$ (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

$3 b - 5 c + b + c = 0 \Leftrightarrow b = c \Rightarrow a = - 2 c$

Thay $c = - 1$ thì $b = - 1$ và $a = 2$ .

Ta được một vectơ chỉ phương của $∆$ là $\vec{u} = (2; - 1; - 1)$

Vậy phương trình của đường thẳng $∆$ là $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 1 - t \end{cases}$ .

Chọn C.

Câu 12:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z-1=0 và đường thẳng $d : \frac{x - 4}{- 2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$ . Phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) là

A. $\frac{x}{5} = \frac{y + 2}{7} = \frac{z + 1}{2}$ .

B.

\frac{x}{- 5} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 1}{2}

.

C.

\frac{x}{- 5} = \frac{y + 2}{7} = \frac{z + 1}{2}

.

D.

\frac{x}{5} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 1}{2}

.

Xem đáp án

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 4 - 2 t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = - 1 + t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Lấy điểm $M = d \cap (P) \Rightarrow M (4 - 2 t; - 2 + 2 t; - 1 + t) \in d$ . Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta được: $4 - 2 t - 2 + 2 t + 1 - t = 0 \Leftrightarrow t = 2$ .

Suy ra $M (0; 2; 1)$ .

Do đó $d \cap (P) = M (0; 2; 1)$ .

Lấy $A (4; - 2; - 1) \in d$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $(P)$ .

Đường thẳng AH đi qua $A (4; - 2; - 1)$ và nhận $\vec{n_{(P)}} = (1; 1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương nên AH có phương trình là $\{\begin{cases} x = 4 + t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = - 1 - t_{1} \end{cases} (t_{1} \in ℝ)$ .

Suy ra $H (4 + t_{1}; - 2 + t_{1}; - 1 - t_{1})$ .

Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) được

$4 + t_{1} - 2 + t_{1} + 1 + t_{1} - 1 = 0 \Leftrightarrow t_{1} = - \frac{2}{3} \Rightarrow H (\frac{10}{3}; - \frac{8}{3}; - \frac{1}{3})$

MH là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P), đi qua $M (0; 2; 1)$ và nhận $\vec{M H} = (\frac{10}{3}; - \frac{14}{3}; - \frac{4}{3}) = - \frac{2}{3} (- 5; 7; 2)$ là vectơ chỉ phương nên có phương trình là $\frac{x}{- 5} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 1}{2}$ .

Chọn B.

Câu 13:

Cho các đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 1}$ và đường thẳng $d_{2} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 3}{2}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua $A (1; 0; 2)$ , cắt $d_{1}$ và vuông góc với $d_{2}$ là

A. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$ .

B.

\frac{x - 1}{4} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1}

.

C.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{- 4}

.

D.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}

.

Xem đáp án

Gọi $I = d_{1} \cap Δ, I (1 + t, - 1 + 2 t, - t) \Rightarrow \vec{A I} = (t; 2 t - 1; - t - 2)$ là một vectơ chỉ phương của $∆$ .

Do ${\vec{u}}_{_{d_{2}}} = (1; 2; 2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_{2}$ và $Δ ⊥ d_{2}$ .

Suy ra $\vec{A I} . {\vec{u}}_{d_{2}} = 0 \Leftrightarrow t + 2 (2 t - 1) + 2 (- t - 2) = 0 \Leftrightarrow 3 t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ .

Vậy $\vec{A I} = (2; 3; - 4)$ . Phương trình đường thẳng $∆$ cần tìm là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{- 4}$ .

Chọn C.

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 3 x + y - 2 z = 0$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{2} = \frac{z}{1}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 4}{4}$ .

Đường thẳng vuông góc với $(P)$ cắt cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là

A. $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{- 2}$ .

B.

\frac{x + 5}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 4}{2}

.

C.

\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 8}{1} = \frac{z - 1}{- 2}

.

D.

\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{- 2}

.

Xem đáp án

$d_{1} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{2} = \frac{z}{1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 - t \\ y = 6 + 2 t \\ z = t \end{cases}, t \in ℝ$

$M \in d_{1} \Leftrightarrow M (- 1 - t; 6 + 2 t; t)$

$d_{2} : \frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 4}{4} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 - 3 t^{'} \\ y = 2 - t^{'} \\ z = - 4 + 4 t^{'} \end{cases}, t^{'} \in ℝ N \in d_{1} \Leftrightarrow N (1 - 3 t^{'}; 2 - t^{'}; - 4 + 4 t^{'}) \vec{M N} = (2 + t - 3 t^{'}; - 4 - 2 t - t^{'}; - 4 - t + 4 t^{'})$

$(P) : 3 x + y - 2 z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (3; 1; - 2)$ .

Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $(P)$ cắt cả hai đường thẳng $d_{1}$ tại M và cắt $d_{2}$ tại N suy ra

$\vec{M N} = k \vec{n} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 + t - 3 t^{'} = 3 k \\ - 4 - 2 t - t^{'} = k \\ - 4 - t + 4 t^{'} = - 2 k \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 2 \\ t^{'} = 1 \\ k = - 1 \end{cases}$

$t = - 2 \Rightarrow M (1; 2; - 2)$

Do $(d) ⊥ (P)$ nên $\vec{u_{d}} = \vec{n_{(P)}}$ .

Phương trình đường thẳng d là $\{\begin{cases} x = 1 + 3 s \\ y = 2 + s \\ z = - 2 - 2 s \end{cases}; s \in ℝ$ .

Chọn $s = - 1 \Rightarrow A (- 2; 1; 0) \in d \Rightarrow d : \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{- 2}$ .

Chọn A.

Câu 15:

Viết phương trình đường thẳng d qua A(1,2,3) cắt đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$ và song song với mặt phẳng $(P) : x + y - z - 2 = 0$ .

A. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}

.

Xem đáp án

Do $d \cap d_{1} = B \Rightarrow B (2 m; m; m + 2) \Rightarrow \vec{A B} = (2 m - 1; m - 2; m - 1)$ .

d song song với mặt phẳng $(P)$ nên

$\vec{A B} . {\vec{n}}_{_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow 1 (2 m - 1) + 1. (m - 2) - (m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow \vec{A B} = (1; - 1; 0)$

Vậy phương trình đường thẳng $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 \end{cases}$ .

Chọn C.

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x-y+z-10=0, điểm A(1,3,2) và đường thẳng $d : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ .

Tìm phương trình đường thẳng $∆$ cắt $(P)$ và d lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN.

A. $\frac{x + 6}{7} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 3}{- 1}$ .

B.

\frac{x - 6}{7} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 3}{- 1}

.

C.

\frac{x - 6}{7} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z + 3}{- 1}

.

D.

\frac{x - 6}{7} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - 3}{- 1}

.

Xem đáp án

Ta có $N = Δ \cap d \Rightarrow N (- 2 + 2 t; 1 + t; 1 - t)$ .

A là trung điểm của $M N \Rightarrow M (4 - 2 t; 5 - t; 3 + t)$ .

Mà $M \in (P)$ nên tọa độ M thỏa phương trình (P), ta được:

$2 (4 - 2 t) - (5 - t) + (3 + t) - 10 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow N (- 6; - 1; 3), M (8; 7; 1)$

Suy ra $\vec{M N} = (14; 8; - 2)$ .

Đường thẳng $∆$ đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = \frac{1}{2} \vec{N M} = (7; 4; - 1)$ nên có phương trình là $\frac{x + 6}{7} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 3}{- 1}$ .

Chọn A.

Câu 17:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3,3,-3) thuộc mặt phẳng $(α) : 2 x - 2 y + z + 15 = 0$ và mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 100$ .

Đường thẳng $∆$ qua A, nằm trên mặt phẳng $(α)$ cắt $(S)$ tại $M, N$ . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng $∆$ là

A. $\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 3}{6}$ .

B.

\frac{x + 3}{16} = \frac{y - 3}{11} = \frac{z + 3}{- 10}

.

C.

\{\begin{cases} x = - 3 + 5 t \\ y = 3 \\ z = - 3 + 8 t \end{cases}

.

D.

\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 3}{3}

.

Xem đáp án

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (2; 3; 5)$ và bán kính $R = 10$ .

Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 2; 1)$ .

Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên $∆$ và mặt phẳng $(α)$ .

$\Rightarrow I K ⊥ (α)$ nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng $(α)$ là $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 3 - 2 t \\ z = 5 + t \end{cases}$ .

Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 3 - 2 t \\ z = 5 + t \\ 2 x - 2 y + z + 15 = 0 \end{cases} \Rightarrow K (- 2; 7; 3)$ .

Vì $Δ \subset (α)$ nên $I H \geq I K$ . Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K.

Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất.

Khi đó đường thẳng $∆$ cần tìm đi qua A và K. Ta có $\vec{A K} = (1; 4; 6)$ .

Đường thẳng $∆$ có phương trình là: $\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 3}{6}$ .

Chọn A.

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2,3,3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $d : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ , phương trình đường phân giác trong của góc C là $Δ : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1}$ .

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là

A. $\vec{u} (2; 1; - 1)$ .

B.

\vec{u} (1; - 1; 0)

.

C.

\vec{u} (0; 1; - 1)

.

D.

\vec{u} (1; 2; 1)

.

Xem đáp án

Ta có phương trình tham số của $∆$ là: $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 4 - t \\ z = 2 - t \end{cases} \Rightarrow C (2 + 2 t; 4 - t; 2 - t)$ .

Gọi M là trung điểm của AC nên $M = (2 + t; \frac{7 - t}{2}; \frac{5 - t}{2})$ .

Vì $M \in d$ nên $\frac{(2 + t) - 3}{- 1} = \frac{(\frac{7 - t}{2}) - 3}{2} = \frac{(\frac{5 - t}{2}) - 2}{- 1} \Leftrightarrow \frac{t - 1}{- 1} = \frac{1 - t}{4} = \frac{1 - t}{- 2} \Rightarrow t = 1$ .

Suy ra $C (4; 3; 1)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua A và vuông góc với $∆$ là: $2 x - y - z + 2 = 0$ .

Gọi H là giao điểm của $(P)$ và $∆ \Rightarrow H (2; 4; 2)$ .

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường phân giác $∆$ , suy ra H là trung điểm AA' $\Rightarrow A^{'} (2; 5; 1)$ .

Do $A^{'} \in B C$ nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là $\vec{C A^{'}} = (- 2; 2; 0) = 2 (- 1; 1; 0)$ .

Suy ra phương trình của đường thẳng BC là $\{\begin{cases} x = 4 - t \\ y = 3 + t \\ z = 1 \end{cases}$ .

Vì $B = B M \cap B C \Rightarrow B (2; 5; 1) = A^{'}$ .

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (0; 2; - 2) = 2 (0; 1; - 1)$ .

Chọn C.

Câu 19:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$ và hai điểm $A (4; - 2; 4), B (0; 0; - 2)$ . Gọi d là đường thẳng song song và cách $∆$ một khoảng bằng $\sqrt{5}$ , gần đường thẳng AB nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng $(O x y)$ tại điểm nào dưới đây?

A. $(2; 1; 0)$ .

B.

(- \frac{2}{3}; - \frac{14}{3}; 0)

.

C.

(3; 2; 0)

.

D.

(0; 0; 0)

.

Xem đáp án

Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng: $\{\begin{cases} x = 4 t \\ y = - 2 t \\ z = - 2 + 6 t \end{cases}$ .

Để đường thẳng d thỏa mãn bài toán thì ta có hình vẽ tương ứng

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và $∆$ là MN với $M (0; - 5; 1), N (3; 1; 1)$ .

Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà $D N = d (d, Δ) = \sqrt{5}, M N = 3 \sqrt{5}$ . Do đó $\vec{M N} = 3 \vec{D N} \Rightarrow D = (2; - 1; 1)$ .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u_{(d)}} = (2; - 1; 1)$ .

Suy ra phương trình tham số của d là $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Đường thẳng d cắt $(O x y)$ tại điểm có $z = 1 + t = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$ .

Vậy giao điểm của d và $(O x y)$ là $(0; 0; 0)$ .

Chọn D.

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng

$Δ_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}; Δ_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1} Δ_{3} : \frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{1}; Δ_{4} : \frac{x - 5}{1} = \frac{y - a}{3} = \frac{z - b}{1}$

Biết không tồn tại đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng trên. Giá trị của biểu thức $T = a - 2 b$ bằng

A. -2.

B. -3.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Ta có: $Δ_{1} // Δ_{3}$ .

Gọi (P) là mặt phẳng chứa $Δ_{1}$ và $Δ_{3} \Rightarrow (P) : x + 2 y - z + 3 = 0$ .

Gọi $I = Δ_{2} \cap (P) \Rightarrow I (0; - 1; 1)$ .

Gọi $J = Δ_{4} \cap (P) \Rightarrow J (\frac{- 2 a + b + 22}{6}; \frac{3 b - 24}{6}; \frac{- 2 a + 7 b - 8}{6})$ .

$\Rightarrow \vec{I J} = (\frac{- 2 a + b + 22}{6}; \frac{3 b - 18}{6}; \frac{- 2 a + 7 b - 14}{6})$

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $\vec{I J}$ phải cùng phương với $\vec{u_{Δ_{1}}} = (1; - 1; - 1)$ .

Suy ra $\frac{- 2 a + b + 22}{6} = \frac{3 b - 18}{- 6} = \frac{- 2 a + 7 b - 14}{- 6} \Leftrightarrow a - 2 b = 2$ .

Chọn A.

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{2}$

A. $\vec{u} = (1; - 2; 0)$ .

B.

\vec{u} = (- 2; 2; - 4)

.

C.

\vec{u} = (1; 1; 2)

.

D.

\vec{u} = (- 1; 2; 0)

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua hai điểm M(-2,1,2), N(3,-1,0) có vectơ chỉ phương là

A. $\vec{u} = (1; 0; 2)$ .

B.

\vec{u} = (5; - 2; - 2)

.

C.

\vec{u} = (- 1; 0; 2)

.

D.

\vec{u} = (5; 0; 2)

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 23:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}

nhận vectơ

\vec{u}

là vectơ chỉ phương. Giá trị

a + b

bằng

A. -8.

B. 8.

C. 4.

D. -4.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm E(-1,0,2) và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (3; 1; - 7)$ . Phương trình của đường thẳng d là

A. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 7}$ .

B.

\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 7}

.

C.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

.

D.

\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{3}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho E(-1,0,2) và F(2,1,-5). Phương trình đường thẳng EF là

A. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 7}$ .

B.

\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 7}

.

C.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}

.

D.

\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{3}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 26:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 2}{3}$ . Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của d?

A. $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - t \\ z = - 2 + 3 t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 + 3 t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 2 t \\ z = - 2 + 3 t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = 1 - t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 27:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z + 9 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1}$ .

Phương trình tham số của đường thẳng $∆$ đi qua $A (0; - 1; 4)$ vuông góc với d và nằm trong $(P)$ là

A. $\{\begin{cases} x = 5 t \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + 5 t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 - 2 t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = - t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 4 + t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 28:

Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α) : x - 3 y + z = 0$ và $(β) : x + y - z + 4 = 0$ . Phương trình tham số của đường thẳng d là

A. $\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 2 \\ z = 2 - 2 t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + 2 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : 3 x + y + z = 0$ và đường thẳng $Δ : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 4}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$ . Phương trình của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng $(α)$ , cắt và vuông góc với đường thẳng $∆$ là

A. $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 2 - 5 t \\ z = - 1 - 7 t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = - 5 t \\ z = - 3 - 7 t \end{cases}

.

C. $\{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 5 \\ z = - 7 - 3 t \end{cases}$ .

D.

\{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = 5 t \\ z = - 3 + 7 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z - 12 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P).

A. $d^{'} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ .

B.

d^{'} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 4}{- 4} = \frac{z + 3}{1}

.

C.

d^{'} : \frac{x}{3} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{1}

.

D.

d^{'} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 4}{- 4} = \frac{z - 2}{1}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1}, d_{2} : \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - 1 + t \end{cases}$ và điểm $A (1; 2; 3)$ . Đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ có phương trình là

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 1}$ .

B.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}

.

C.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{5}

.

D.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 5}

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2,1,0) và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng d là

A. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z}{1}$ .

B.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z}{1}

.

C.

\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z}{1}

.

D.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 4} = \frac{z}{- 2}

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1}; d_{2} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$ . Phương trình đường thẳng $∆$ cắt $d_{1}, d_{2}$ lần lượt tại A và B sao cho AB nhỏ nhất là

A. $\{\begin{cases} x = t \\ y = 3 - 2 t \\ z = 2 - t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = - 2 - t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = - t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 2 - t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z + 3 = 0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $\frac{x - 1}{- 4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}$ .

B.

\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{3}

.

C.

\frac{x + 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{- 3}

.

D.

\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{3}

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 35:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 20$ , mặt phẳng $(α)$ có phương trình: $x - 2 y + 2 z - 1 = 0$ và đường thẳng $∆$ có phương trình: $\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z + 4}{- 3}$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ^{'}$ nằm trong mặt phẳng $(α)$ , vuông góc với đường thẳng $∆$ , đồng thời $Δ^{'}$ cắt mặt cầu (S) theo dây cung có độ dài lớn nhất.

A. $Δ^{'} : \{\begin{cases} x = 3 t \\ y = - 2 \\ z = - 4 + t \end{cases}$ .

B.

Δ^{'} : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 1 \\ z = 1 + t \end{cases}

.

C.

Δ^{'} : \{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 1 + 5 t \\ z = 3 + 4 t \end{cases}

.

D.

Δ^{'} : \{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 1 - 5 t \\ z = 1 - 4 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 36:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 y + 12 z + 9 = 0$ . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

A. $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = - 2 + 2 t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 - 4 t \\ z = - 2 + t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 - 2 t \\ z = - 2 + t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 4 t \\ z = - 2 - t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 3}{- 1}$ và mặt cầu (S) có phương trình: ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua $A (2; 1; 3)$ , vuông góc với đường thẳng d và cắt $(S)$ tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng $∆$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; a; b)$ . Giá trị của $a + b$ bằng

A. 4.

B. -2.

C.

- \frac{1}{2}

.

D. 5.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 38:

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm M(3,1,1), nằm trong mặt phẳng $(α) : x + y - z - 3 = 0$ và tạo với đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 4 + 3 t \\ z = - 3 - 2 t \end{cases}$ một góc nhỏ nhất thì phương trình của đường thẳng $∆$ là

A. $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = - t^{'} \\ z = 2 t^{'} \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 8 + 5 t^{'} \\ y = - 3 - 4 t^{'} \\ z = 2 + t^{'} \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t^{'} \\ y = 1 - t^{'} \\ z = 3 - 2 t^{'} \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 + 5 t^{'} \\ y = 1 - 4 t^{'} \\ z = 3 + 2 t^{'} \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết $A (2; 1; 0), B (3; 0; 2), C (4; 3; - 4)$ . Phương trình đường phân giác trong của góc A là

A. $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = 0 \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 40:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A (1; 1; 2), B (- 2; 3; 1), C (3; - 1; 4)$ . Phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là

A. $\{\begin{cases} x = - 2 - t \\ y = 3 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$ .

B.

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 3 \\ z = 1 - t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = - 2 - t \\ y = 3 + t \\ z = 1 + t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 3 - t \\ z = 1 + t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn B