50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 1 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 1)

Câu 1:

Đường thẳng nào cho dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{x + 1}

A. y = -2

B. y = -1

C. x = 2

D. y = 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Nếu $\lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ hoặc $\lim_{x \to - \infty} f (x) = a \Rightarrow y = a$ là TCN của đồ thị hàm số.

Cách giải:

\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 3}{x + 1} = 2, \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{x + 1} = 2 \Rightarrow

Đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{x + 1}

có tiệm cận ngang là:

y = 2

Câu 2:

Cho hàm số

f (x) = x^{2} \ln x

. Tính

f' (e)

A. 3e

B. 2e

C. e

D. 2+e

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của một tích $(f . g)' = f' . g + f . g'$

Cách giải:

Ta có:

f (x) = x^{2} \ln x \Rightarrow f' (x) = 2 x . \ln x + x^{2} . \frac{1}{x} = 2 x \ln x + x \Rightarrow f' (e) = 2 e \ln e + e = 2 e + e = 3 e

Câu 3:

Viết công thức tính V của khối cầu có bán kính r.

A. $V = \frac{4}{3} π r^{3}$

B. $V = \frac{1}{3} π r^{3}$

C. $V = π r^{3}$

D. $V = 4 π r^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu.

Cách giải:

Công thức tính V của khối cầu có bán kính r:

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Câu 4:

Thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 6 gần bằng số nào sau đây nhất?

A. 48

B. 46

C. 52

D. 51

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích chóp

V_{c h ó p} = \frac{1}{3} S_{đ á y} . h

Cách giải:

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Diện tích đáy: $S_{đ} = A B^{2} = 6^{2} = 36$

ABCD là hình vuông tâm O $\Rightarrow O B = \frac{A B}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2}$

Tam giác SOB vuông tại O

$\Rightarrow S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{6^{2} - {(3 \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{36 - 18} = 3 \sqrt{2}$

Thể tích khối chóp:

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S O . S_{đ} = \frac{1}{3} .3 \sqrt{2} .36 = 36 \sqrt{2} \approx 51

Câu 5:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = \ln (x^{2} - 3 x)

A. $D = (0; 3)$

B. $D = [0; 3]$

C. $D = (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

D. $D = (- \infty; 0) \cup [3; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số $y = \log_{a} f (x) (0 < a \neq 1)$ xác định khi và chỉ khi $\Leftrightarrow f (x) > 0$

Cách giải:

ĐKXĐ: $x^{2} - 3 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ x < 0 \end{array}$

TXĐ:

D = (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)

Câu 6:

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên là b và chiều cao là h (b > h). Tính thể tích của khối chóp đó.

A. $V = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} - h^{2}) h$

B. $V = \frac{\sqrt{3}}{12} (b^{2} - h^{2}) h$

C. $V = \frac{\sqrt{3}}{8} (b^{2} - h^{2}) h$

D. $V = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} - h^{2}) b$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow S G ⊥ (A B C)$

+) Tính diện tích tam giác đều ABC theo b và h.

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S G . S_{A B C}

Cách giải:

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên là b và chiều cao là h (b > h). (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow S G ⊥ (A B C)$

Tam giác SCG vuông tại G

\Rightarrow C G = \sqrt{S C^{2} - S G^{2}} = \sqrt{b^{2} - h^{2}}

\begin{array}{l} \Rightarrow C I = \frac{3}{2} C G = \frac{3}{2} . \sqrt{b^{2} - h^{2}} \\ \Rightarrow A I = C I . \tan 30^{0} = \frac{\frac{3}{2} . \sqrt{b^{2} - h^{2}}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} . \sqrt{b^{2} - h^{2}} \Rightarrow A B = \sqrt{3} . \sqrt{b^{2} - h^{2}} \\ \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} . C I . A B = \frac{1}{2} . \frac{3}{2} \sqrt{b^{2} - h^{2}} . \sqrt{3} . \sqrt{b^{2} - h^{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} (b^{2} - h^{2}) \end{array}

Thể tích của khối chóp là:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S G . S_{A B C} = \frac{1}{3} . h . \frac{3 \sqrt{3}}{4} (b^{2} - h^{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} - h^{2}) h

Câu 7:

Cho hàm số

y = x^{3} - m x + 1

(với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

A. $m \leq \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$

B. $m > \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$

C. $m < \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$

D. $m \geq \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

+) Xác định m để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

+) Cô lập m, sử dụng phương pháp hàm số.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - m x + 1$ và trục hoành là:

$\begin{array}{l} x^{3} - m x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{3} - m x + 1 = 0 \Leftrightarrow m x = x^{3} + 1 (*) \end{array}$

+) $x = 0 : (*) \Leftrightarrow m .0 = 1$ : vô lý $\Rightarrow$ Phương trình (*) không có nghiệm $x = 0$ với mọi m

+) $x \neq 0 : (*) \Leftrightarrow m = \frac{x^{3} + 1}{x} = x^{2} + \frac{1}{x} (* *)$

Xét hàm số

f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}, (x \neq 0), f' (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} - 1}{x^{2}}, f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

Cho hàm số y = x^3 -mx +1 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để (ảnh 1)

Số nghiệm của phương trình (**) là số giao điểm của đồ thị hàm số $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ và đường thẳng $y = m$ song song với trục hoành.

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow (* *)

có 3 nghiệm phân biệt khác 0

\Rightarrow m > \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}

Câu 8:

Nếu tăng chiều cao một khối chóp lên 2 lần và giảm diện tích đáy đi 6 lần thì thể tích khối chóp đó tăng hay giảm bao nhiêu lần?

A. Giảm 12 lần.

B. Tăng 3 lần.

C. Giảm 3 lần.

D. Không tăng, không giảm.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} S h$

Cách giải:

Thể tích khối chóp ban đầu: $V = \frac{1}{3} S h$

Theo đề bài, ta có: $S' = \frac{S}{6}; h' = 2 h$

V' = \frac{1}{3} S' h' = \frac{1}{3} . \frac{S}{6} .2 h = \frac{1}{3} . (\frac{1}{3} S h) = \frac{1}{3} V \Rightarrow

Thể tích khối chóp đó giảm 3 lần.

Câu 9:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

f (x) = m

có ba nghiệm thực phân biệt.

A. $m \in (- 1; + \infty)$

B. $m \in (- \infty; 3)$

C. $m \in (- 1; 3)$

D. $m \in [- 1; 3]$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình $f (x) = m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = m$

Cách giải:

Số nghiệm của phương trình $f (x) = m (*)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = m$

\Rightarrow

Để (*) có 3 nghiệm thực phân biệt thì

m \in (- 1; 3)

Câu 10:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có điểm cực tiểu bằng 0.

B. Hàm số có điểm cực đại bằng 5.

C. Hàm số có điểm cực tiểu bằng -1.

D. Hàm số có điểm cực tiểu bằng 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Nếu $f' (x)$ đổi dấu khi qua điểm $x = x_{0} \Rightarrow x = x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số.

Cách giải:

Tại

x = 1, f' (x)

đổi dấu từ âm sang dương

\Rightarrow

Hàm số có điểm cực tiểu bằng 1.

Câu 11:

Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đều nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y

A. $\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y$

B. $\log_{a} (x y) = \log_{a} (x + y)$

C. $\log_{a} (x y) = \log_{a} (x - y)$

D. $\log_{a} (x y) = \log_{a} x . \log_{a} y$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính logarit của 1 tích.

Cách giải:

$\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y$

Câu 12:

Cho hàm số

y = \frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}

có đồ thị (C). Đồ thị (C) có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x)$

Nếu $\lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ hoặc $\lim_{x \to - \infty} f (x) = a \Rightarrow y = a$ là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f (x)$

Nếu $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty$ hoặc $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = + \infty$ hoặc $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = - \infty$ thì $x = a$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

TXĐ: $D = (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; + \infty)$

$\lim_{x \to + \infty} \frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{4 - \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{2}; \lim_{x \to - \infty} \frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 - \frac{1}{x^{2}}}} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow$ Đồ thị (C) có TCN là $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to {(- \frac{1}{2})}^{-}} \frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} = - \infty; \lim_{x \to {(\frac{1}{2})}^{+}} \frac{x - 2}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} = - \infty$

$\Rightarrow$ Đồ thị (C) có TCĐ là $x = - \frac{1}{2}, x = \frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số (C) có tất cả 4 đường tiệm cận.

Câu 13:

Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có

A B = 3, A D = 4, A A' = 5

A. V = 12

B. V = 60

C. V = 10

D. V = 20

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Thể tích khối hộp chữ nhật: $V = a b c$

Cách giải:

Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’:

V = 3.4.5 = 60

Câu 14:

Cho hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1 (C)

. Biết đồ thị

(C)

có hai tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng

d : y = x

. Gọi h là khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó. Tính h.

A. $h = \sqrt{2}$

B. $h = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

C. $h = \frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $h = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ là: $y = f' (x_{0}) . (x - x_{0}) + y_{0}$

Cách giải:

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1 \Rightarrow y' = x^{2} - 4 x + 2$

Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng $d : y = x$ nên tiếp tuyến có hệ số góc $k = - 1$

Gọi

M (x_{0}; y_{0})

là tiếp điểm

\Rightarrow y' (x_{0}) \Leftrightarrow x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 2 = - 1 \Leftrightarrow x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 1 \\ x_{0} = 3 \end{array}

+)

x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = \frac{4}{3} \Rightarrow

Phương trình tiếp tuyến:

y = - 1. (x - 1) + \frac{4}{3} \Leftrightarrow y = - x + \frac{7}{3} (d_{1})

hay

x + y - \frac{7}{3} = 0

+) $x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = - 2 \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến: $y = - 1. (x - 3) + (- 2) \Leftrightarrow y = - x + 1 (d_{2})$

Ta có:

d_{1} / / d_{2}, A (1; 0) \in d_{2} \Rightarrow d (d_{1}; d_{2}) = d (A; d_{1}) = \frac{|1 + 0 - \frac{7}{3}|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \Rightarrow h = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

Câu 15:

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và biết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích của khối chóp.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Phương pháp:

+) Gọi b là độ dài cạnh bên, sử dụng giả thiết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy biểu diễn b theo a.

+) Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

+)

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D}

Cách giải:

Gọi b là độ dài cạnh bên, I là trung điểm của BC $\Rightarrow S I ⊥ B C$

Tam giác SIB vuông tại I $\Rightarrow S I = \sqrt{S B^{2} - I B^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$

$\Rightarrow S_{S B C} = \frac{1}{2} . S I . B C = \frac{1}{2} . \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}} . a \Rightarrow S_{x q} = 4. S_{S B C} = 2 a \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$

Diện tích đáy: $S_{A B C D} = a^{2}$

Theo đề bài, ta có:

$2 a \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = 2 a^{2} \Leftrightarrow \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = a \Leftrightarrow b^{2} - \frac{a^{2}}{4} = a^{2} \Leftrightarrow b^{2} = \frac{5}{4} a^{2} \Leftrightarrow b = \frac{\sqrt{5}}{2} a$

ABCD là hình vuông cạnh a $\Rightarrow O B = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Tam giác SOB vuông tại O $\Rightarrow S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{\frac{5}{4} a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

Thể tích của khối chóp

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} a . a^{2} = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}

Câu 16:

Cho khối tứ diện ABCD, M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MCD) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện nào?

A. Hai khối lăng trụ tam giác.

B. Hai khối chóp tứ giác.

C. Một khối lăng trụ tam giác và một khối tứ diện

D. Hai khối tứ diện.

Xem đáp án

Đáp án D

Cách giải:

Mặt phẳng (MCD) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện là: A.MCD và M.BCD

Câu 17:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

y = (x - 1) (x^{2} - 2 x)

với trục hoành.

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Cho $y = 0 \Rightarrow (x - 1) (x^{2} - 2 x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Vậy đồ thị hàm số

y = (x - 1) (x^{2} - 2 x)

cắt trục hoành tại 3 điểm

Câu 18:

Cho hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 3; 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 3; 1)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(1; + \infty)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 3)

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Tính y’, xét dấu y’ và tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Cách giải:

$y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1 \Rightarrow y' = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array}$

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1)

Câu 19:

Cho

a > 0

. Hãy viết biểu thức

\frac{a^{4} . \sqrt[4]{a^{5}}}{\sqrt[3]{a \sqrt{a}}}

dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

A. $a^{\frac{9}{2}}$

B. $a^{\frac{19}{4}}$

C. $a^{\frac{23}{4}}$

D. $a^{\frac{3}{4}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng các công thức: $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}; a^{m} . a^{n} = a^{m + n}; \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

Cách giải:

Ta có:

\frac{a^{4} . \sqrt[4]{a^{5}}}{\sqrt[3]{a \sqrt{a}}} = \frac{a^{4} . a^{\frac{5}{4}}}{{(a^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{21}{4}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{21}{4} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{19}{4}}

Câu 20:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2

trên đoạn

[0; 4]

A. $\min_{[0; 4]} y = - 18$

B. $\min_{[0; 4]} y = 2$

C. $\min_{[0; 4]} y = - 25$

D. $\min_{[0; 4]} y = - 34$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f (x)$ trên $[a; b]$

Bước 1: Tính y’, giải phương trình $y' = 0 \Rightarrow x_{i} \in [a; b]$

+) Bước 2: Tính các giá trị $f (a); f (b); f (x_{i})$

+) Bước 3: $\underset{[a; b]}{m a x} f (x) = m a x \{f (a); f (b); f (x_{i})\}; \min_{[a; b]} f (x) = \min \{f (a); f (b); f (x_{i})\}$

Cách giải:

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2 \Rightarrow y' = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \notin [0; 4] \\ x = 3 \in [0; 4] \end{array}$

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[0; 4]$ có $y (0) = 2, y (3) = - 25, y (4) = - 18 \Rightarrow \min_{[0; 4]} y = - 25$

Câu 21:

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm, chiều cao h = 7cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. $S_{x q} = 35 π (c m^{2})$

B. $S_{x q} = 70 π (c m^{2})$

C. $S_{x q} = \frac{35}{3} π (c m^{2})$

D. $S_{x q} = \frac{70}{3} π (c m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{x q} = 2 π r h$

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ:

S_{x q} = 2 π r h = 2 π .5.7 = 70 π (c m^{2})

Câu 22:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây (ảnh 1)

A. $y = x^{4} - 3 x^{2} - 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x - 1$

C. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 1$

D. $y = x^{3} - 2 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Nhận biết đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương, hàm số bậc ba.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: đây không phải đồ thị hàm số bậc 3 $\Rightarrow$ Loại bỏ phương án B và D

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương

\Rightarrow

Chọn phương án C

Câu 23:

Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với

(A B C)

và

A D = a, A C = 2 a

; cạnh BC vuông góc với cạnh AB . Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. $r = a \sqrt{5}$

B. $r = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $r = a$

D. $r = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

+) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện là điểm cách đều tất cả các đỉnh của tứ diện.

+) Áp dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Cách giải:

Tam giác ABC vuông tại B, M là trung điểm của AC $\Rightarrow$ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I là trung điểm của CD $\Rightarrow I C = I D (1)$

Ta có: IM là đường trung bình của tam giác ACD $\Rightarrow I M / / A D$

Mà $A D ⊥ (A B C) \Rightarrow I M ⊥ (A B C)$

Do đó, IM là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\Rightarrow I A = I B = I C (2)$

Từ (1), (2)

\Rightarrow I A = I B = I C = I D \Rightarrow

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính mặt cầu:

r = \frac{C D}{2} = \frac{\sqrt{A D^{2} + A C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} + 4 a^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2}

Câu 24:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh

A B = 2 a, A D = a

. Hình chiếu của đỉnh S lên đáy là trung điểm của AB, cạnh bên SC tạo với đáy một góc

45^{0}

. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. $V = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}$

C. $V = 2 \sqrt{2} a^{3}$

D. $V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Xác định góc giữa SC và mặt đáy là góc giữa SC và hình chiếu của nó trên (ABCD).

+) Áp dụng định lí Pytago tính SM.

+)

V = \frac{1}{3} . S M . S_{A B C D}

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của AB

\Rightarrow S M ⊥ (A B C D)

\Rightarrow (S C; (A B C D)) = (S C; M C) = \hat{S C M} = 45^{0}

\Rightarrow Δ S M C

vuông cân tại M.

\Rightarrow S M = M C = \sqrt{M B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}

(tam giác MBC vuông tại B)

Thể tích khối chóp S.ABCD:

V = \frac{1}{3} . S M . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{2} . a .2 a = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}

Câu 25:

Cho khối chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và

S A = a, S B = b, S C = c

. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $V = \frac{1}{6} a b c$

B. $V = \frac{1}{3} a b c$

C. $V = a b c$

D. $V = \frac{1}{2} a b c$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Thể tích khối chóp vuông $S_{S . A B C} = \frac{1}{6} S A . S B . S C$

Cách giải:

S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau

\Rightarrow

S.ABC là tứ diện vuông tại đỉnh S

\Rightarrow V = \frac{1}{6} . S A . S B . S C = \frac{1}{6} a b c

Câu 26:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình

2^{2 x - 1} - {5.2}^{x - 1} + 3 = 0

. Tìm S.

A. $S = \{1; \log_{2} 3\}$

B. $S = \{0; \log_{2} 3\}$

C. $S = \{1; \log_{3} 2\}$

D. $S = \{1\}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai một ẩn. Giải phương trình và suy ra ẩn t.

Cách giải:

$2^{2 x - 1} - {5.2}^{x - 1} + 3 = 0 \Leftrightarrow {2.2}^{2 (x - 1)} - {5.2}^{x - 1} + 3 = 0$

Đặt

2^{x - 1} = t, (t > 0)

. Phương trình đã cho trở thành:

2 t^{2} - 5 t + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \frac{3}{2} \end{array} (t m)

\Rightarrow [\begin{array}{l} 2^{x - 1} = 1 \\ 2^{x - 1} = \frac{3}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ x - 1 = \log_{2} \frac{3}{2} = \log_{2} 3 - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \log_{2} 3 \end{array}

Vậy, phương trình có tập nghiệm

S = \{1; \log_{2} 3\}

Câu 27:

Đồ thị hàm số nào dưới đây đi qua điểm

M (2; - 1)

A. $y = - x^{3} + 3 x - 1$

B. $y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

C. $y = \frac{2 x - 3}{x - 3}$

D. $y = \frac{- x + 3}{x + 1}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm M và các hàm số.

Cách giải:

Ta có:

- 1 = \frac{2.2 - 3}{2 - 3}

luôn đúng

\Rightarrow M (2; - 1)

nằm trên đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{x - 3}

Câu 28:

Viết công thức diện tích xung quanh

S_{x q}

của hình nón tròn xoay có độ dài đường sinh l và bán kính đường tròn đáy r.

A. $S_{x q} = 2 π r l$

B. $S_{x q} = r l$

C. $S_{x q} = π r l$

D. $S_{x q} = \frac{1}{2} π r l$

Xem đáp án

Đáp án C

Cách giải:

Công thức diện tích xung quanh

S_{x q}

của hình nón:

S_{x q} = π r l

Câu 29:

Cho hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x - 1}

. Phương trình tiếp tuyến tại điểm

M (2; 5)

của đồ thị hàm số trên là:

A. $y = 3 x - 11$

B. $y = - 3 x + 11$

C. $y = - 3 x - 11$

D. $y = 3 x + 11$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f (x)

tại điểm

M (x_{0}; y_{0})

là

y = f' (x_{0}) . (x - x_{0}) + y_{0}

Cách giải:

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}, (D = R \ \{1\}) \Rightarrow y' = - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} \Rightarrow y' (2) = \frac{- 3}{{(2 - 1)}^{2}} = - 3$

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M( 2; 5) là:

y = - 3. (x - 2) + 5 \Leftrightarrow y = - 3 x + 11

Câu 30:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}

A. $D = [\frac{1}{3}; + \infty)$

B. $D = R$

C. $D = R \ \{\frac{1}{3}\}$

D. $D = (\frac{1}{3}; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Cho hàm số

y = x^{n}

Với $n \in Z^{+} \Rightarrow T X Đ : D = R$

Với $n \in Z^{-} \Rightarrow T X Đ : D = R \ \{0\}$

Với

n \in Z \Rightarrow T X Đ : D = (0; + \infty)

Cách giải:

Vì $\frac{1}{3} \notin Z \Rightarrow$ Hàm số xác định $\Leftrightarrow 3 x - 1 > \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$

Vậy tập xác định D của hàm số

y = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}

là

D = (\frac{1}{3}; + \infty)

Câu 31:

Cho đồ thị hàm số

(C) : y = x^{3} - 3 x

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Đồ thị (C) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

B. Đồ thị (C) cắt trục tung tại 1 điểm.

C. Đồ thị (C) nhận trục Oy làm trục đối xứng.

D. Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng tính chất:

+) Hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+) Hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Cách giải:

+) $y = x^{3} - 3 x = f (x), (D = R) \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

Ta có $f (- x) = {(- x)}^{3} - 3 (- x) = - x^{3} + 3 x = - f (x)$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = x^{3} - 3 x$ là hàm lẻ $\Rightarrow$ Đồ thị $(C)$ nhận điểm O làm tâm đối xứng $\Rightarrow$ A đúng

+) Cho $x = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm duy nhất $O (0; 0) \Rightarrow$ B đúng

+) Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} - 3 x = 0 \Leftrightarrow x (x^{2} - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{3} \end{array} \Rightarrow$ Đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $\Rightarrow$ D đúng.

Câu 32:

Tính đạo hàm của hàm số

y = 3^{x}

A. $y' = \frac{1}{\ln 3} {.3}^{x}$

B. $y' = 3^{x}$

C. $y' = 3^{x} . \ln 3$

D. $y' = x {.3}^{x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: $(a^{x})' = a^{x} . \ln a$

Cách giải: $y = 3^{x} \Rightarrow y' = 3^{x} \ln 3$

Câu 33:

Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.

B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.

C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.

Xem đáp án

Đáp án A

Cách giải:

Khẳng định sai là: Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.

Câu 34:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có tâm I. Gọi

V, V_{1}

lần lượt là thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và khối chóp I.ABCD. Tính tỉ số

k = \frac{V_{1}}{V}

A. $k = \frac{1}{6}$

B. $k = \frac{1}{3}$

C. $k = \frac{1}{8}$

D. $k = \frac{1}{12}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Xác định tỉ số chiều cao và tỉ số diện tích đáy của chóp I.ABCD và khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

Cách giải:

$\begin{array}{l} V = A A' . S_{A B C D} \\ V_{1} = \frac{1}{3} . d (I; (A B C D)) . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} d (A'; (A B C D)) . S_{A B C D} \end{array}$

(do I là trung điểm của A’C)

= \frac{1}{6} . A A' . S_{A B C D} = \frac{1}{6} V \Rightarrow k = \frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{6}

Câu 35:

Bảng sau là bảng biến thiên của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

Bảng sau là bảng biến thiên của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số (ảnh 1)

A. $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

B. $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$

C. $y = \frac{2 x + 3}{x - 2}$

D. $y = \frac{x - 4}{x - 2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Dựa vào TCĐ và TCN của đồ thị hàm số.

Cách giải:

Đồ thị hàm số có TCĐ là

x = 2

là

y = 2 \Rightarrow y = \frac{2 x + 3}{x - 2}

Câu 36:

Tính tổng lập phương các nghiệm của phương trình:

\log_{2} x . \log_{3} x + 1 = \log_{2} x + \log_{3} x

A. 125

B. 35

C. 13

D. 5

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Đưa phương trình về dạng tích sau đó giải phương trình logarit cơ bản.

Cách giải:

ĐKXĐ: $x > 0$

Ta có

\log_{2} x . \log_{3} x + 1 = \log_{2} x + \log_{3} x

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{2} x . \log_{3} x - \log_{2} x + 1 - \log_{3} x = 0 \Leftrightarrow \log_{2} x . (\log_{3} x - 1) + (1 - \log_{3} x) = 0 \\ \Leftrightarrow (\log_{3} x - 1) (\log_{2} x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{3} x - 1 = 0 \\ \log_{2} x - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = 2 \end{array} \end{array}

Tổng lập phương các nghiệm của phương trình là:

3^{3} + 2^{3} = 35

Câu 37:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = \frac{x}{x^{2} + 4}

trên đoạn

[1; 5]

A. $\underset{[1; 5]}{m a x} y = \frac{5}{29}$

B. $\underset{[1; 5]}{m a x} y = \frac{1}{4}$

C. $\underset{[1; 5]}{m a x} y = \frac{\sqrt{2}}{6}$

D. $\underset{[1; 5]}{m a x} y = \frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f (x)$ trên $[a; b]$

Bước 1: Tính y’, giải phương trình $y' = 0 \Rightarrow x_{i} \in [a; b]$

+) Bước 2: Tính các giá trị $f (a); f (b); f (x_{i})$

+) Bước 3: $\underset{[a; b]}{m a x} f (x) = m a x \{f (a); f (b); f (x_{i})\}; \min_{[a; b]} f (x) = \min \{f (a); f (b); f (x_{i})\}$

Cách giải:

$y = \frac{x}{x^{2} + 4} \Rightarrow y' = \frac{1. (x^{2} + 4) - 2 x . x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{4 - x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \notin [1; 5] \\ x = 2 \in [1; 5] \end{array}$

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn

[1; 5]

có

y (1) = \frac{1}{5}; y (2) = \frac{1}{4}; y (5) = \frac{5}{29} \Rightarrow \underset{[1; 5]}{m a x} y = \frac{1}{4}

Câu 38:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = - x^{3} + 2 x^{2} - (m - 1) x + 2

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; + \infty)

A. $m \leq \frac{7}{3}$

B. $m \geq \frac{7}{3}$

C. $m \geq \frac{1}{3}$

D. $m > \frac{7}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ khi và chỉ khi $f' (x) \leq 0, \forall x \in (- \infty; + \infty), f' (x) = 0$ tại hữu hạn điểm.

Cách giải:

$y = - x^{3} + 2 x^{2} - (m - 1) x + 2 \Rightarrow y' = - 3 x^{2} + 4 x - m + 1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 < 0 (l u ô n đ ú n g) \\ Δ' \leq 0 \end{cases}

\Leftrightarrow 2^{2} - (- 3) . (1 - m) \leq 0 \Leftrightarrow 4 + 3 - 3 m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{7}{3}

Vậy

m \geq \frac{7}{3}

Câu 39:

Cho hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1}

. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[- 5; - 1]

. Tính

M + m

A. -6

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{6}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f (x)$ trên $[a; b]$

Bước 1: Tính y’, giải phương trình $y' = 0 \Rightarrow x_{i} \in [a; b]$

+) Bước 2: Tính các giá trị $f (a); f (b); f (x_{i})$

+) Bước 3: $\underset{[a; b]}{m a x} f (x) = m a x \{f (a); f (b); f (x_{i})\}; \min_{[a; b]} f (x) = \min \{f (a); f (b); f (x_{i})\}$

Cách giải:

y = \frac{x + 1}{x - 1}, (D = R \ \{1\}) \Rightarrow y' = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in [- 5; - 1] \Rightarrow

Hàm số nghịch biến trên

[- 5; - 1]

\Rightarrow \{\begin{cases} \underset{[- 5; - 1]}{m a x} y = y (- 5) = \frac{2}{3} \\ \min_{[- 5; - 1]} y = y (- 1) = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} M = \frac{2}{3} \\ m = 0 \end{cases} \Rightarrow M + m = \frac{2}{3}

Câu 40:

Cho lăng trụ đứng

A B C . A_{1} B_{1} C_{1}

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C,

A C = a \sqrt{2}

. Biết tam giác

A B C_{1}

có chu vi bằng 5a . Tính thể tích V của khối lăng trụ

A B C . A_{1} B_{1} C_{1}

A. $V = \frac{a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

C. $V = a^{3}$

D. $V = \frac{a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ: $V = S h$

Cách giải:

ABC là tam giác vuông cân tại C,

A C = a \sqrt{2} \Rightarrow \{\begin{cases} B C = A C = a \sqrt{2} \\ A B = A C \sqrt{2} = 2 a \end{cases}

Đặt

A A' = B B' = C C' = h

Tam giác

A C C_{1}

vuông tại C

\Rightarrow A C_{1} = \sqrt{2 a^{2} + h^{2}}

Tam giác

B C C_{1}

vuông tại C

\Rightarrow B C_{1} = \sqrt{2 a^{2} + h^{2}}

Chu vi tam giác

A B C_{1} : \sqrt{2 a^{2} + h^{2}} + \sqrt{2 a^{2} + h^{2}} + 2 a = 5 a

\Leftrightarrow 2 \sqrt{2 a^{2} + h^{2}} = 3 a \Leftrightarrow 2 a^{2} + h^{2} = \frac{9}{4} a^{2} \Leftrightarrow h^{2} = \frac{a^{2}}{4} \Leftrightarrow h = \frac{a}{2}

Thể tích V của khối lăng trụ

A B C . A_{1} B_{1} C_{1}

là

V = S_{A B C} . h = \frac{1}{2} . {(a \sqrt{2})}^{2} . \frac{a}{2} = \frac{a^{3}}{2}

Câu 41:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên

ℝ

?

A. $y = {(\frac{2}{3})}^{x}$

B. $y = {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{x}$

C. $y = {(0, 99)}^{x}$

D. $y = {(2 - \sqrt{3})}^{x}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Xét hàm số $y = a^{x}, 0 < a \neq 1$

+) $a > 1$ : Hàm số đồng biến trên R.

+) $0 < a < 1$ : Hàm số nghịch biến trên R.

Cách giải:

Hàm số nào đồng biến trên R là:

y = {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{x}, d o \frac{2}{\sqrt{3}} > 1

Câu 42:

Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số

y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 2 x + 1

A. $M (2; \frac{1}{3})$

B. $M (2; \frac{- 1}{3})$

C. $M (\frac{1}{2}; - \frac{35}{24})$

D. $M (\frac{1}{2}; \frac{35}{24})$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Nếu $\{\begin{cases} y' (x_{0}) = 0 \\ y'' (x_{0}) < 0 \end{cases} \Rightarrow x = x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số.

Cách giải:

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 2 x + 1 \Rightarrow y' = 2 x^{2} - 5 x + 2; y'' = 4 x - 5$

Ta có: $\{\begin{cases} y' = 0 \\ y'' < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{1}{2} \end{array} \\ x < \frac{5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{35}{24}$

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là:

M (\frac{1}{2}; \frac{35}{24})

Câu 43:

Đặt

a = \log_{3} 45

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log_{45} 5 = \frac{a + 2}{a}$

B. $\log_{45} 5 = \frac{a - 1}{a}$

C. $\log_{45} 5 = \frac{2 - a}{a}$

D. $\log_{45} 5 = \frac{a - 2}{a}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng công thức đổi cơ số:

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}, (0 < a, b, c \neq 1)

Cách giải:

Ta có

a = \log_{3} 45 = \log_{3} (3^{2} .5) = \log_{3} 3^{2} + \log_{3} 5 = 2 + \log_{3} 5 \Rightarrow \log_{3} 5 = a - 2

\log_{45} 5 = \frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 45} = \frac{a - 2}{a}

Câu 44:

Tính

\lim_{x \to 0} \frac{e^{2017 x} - 1}{x}

A. 0

B. 1

C. 2017

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: $\lim_{f (x) \to 0} \frac{e^{f (x)} - 1}{f (x)} = 1$

Cách giải:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2017 x} - 1}{x} = 2017. \lim_{x \to 0} \frac{e^{2017 x} - 1}{2017. x} = 2017.1 = 2017$

Câu 45:

Tìm giá trị

y_{C T}

cực tiểu của hàm số

y = x^{4} - 4 x^{2} + 3

A. $y_{C T} =$ 1

B. $y_{C T} = \sqrt{2}$

C. $y_{C T} = 3$

D. $y_{C T} = - 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Nếu $\{\begin{cases} y' (x_{0}) = 0 \\ y'' (x_{0}) > 0 \end{cases} \Rightarrow x = x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Cách giải:

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 3 \Rightarrow y' = 4 x^{3} - 8 x; y'' = 12 x^{2} - 8$

$\{\begin{cases} y' = 0 \\ y'' > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y' = 4 x^{3} - 8 x = 0 \\ 12 x^{2} - 8 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{array} \\ [\begin{array}{l} x > \sqrt{\frac{2}{3}} \\ x < - \sqrt{\frac{2}{3}} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \Rightarrow y = - 1 \\ x = - \sqrt{2} \Rightarrow y = - 1 \end{array}$

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = \pm \sqrt{2}, y_{C T} = - 1

Câu 46:

Tìm nghiệm của phương trình

\log_{2} (2 x - 1) = 3

A. $x = 8$

B. $x = \frac{7}{2}$

C. $x = \frac{9}{2}$

D. $x = 5$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Giải phương trình logarit cơ bản: $\log_{a} f (x) = b \Rightarrow f (x) = a^{b}$

Cách giải:

$\log_{2} (2 x - 1) = 3 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 2^{3} \Leftrightarrow 2 x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{9}{2}$

Câu 47:

Ông A gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi suất kép. Lãi suất ngân hàng là 8% trên năm và không thay đổi qua các năm ông gửi tiền. Sau 5 năm ông cần tiền sửa nhà, ông đã rút toàn bộ số tiền và sử dụng một nửa số tiền đó vào công việc, số còn lại ông tiếp tục gửi ngân hàng và với hình thức như trên. Hỏi sau 10 năm ông A đã thu được số tiền lãi là bao nhiêu? (đơn vị tính là triệu đồng).

A. $\approx 79, 412$

B. $\approx 80, 412$

C. $\approx 81, 412$

D. $\approx 100, 412$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Công thức lãi kép, không kỳ hạn: $A_{n} = M {(1 + r %)}^{n}$

Với: $A_{n}$ là số tiền nhận được sau tháng thứ n,

M là số tiền gửi ban đầu,

n là thời gian gửi tiền (tháng),

r là lãi suất định kì (%).

Cách giải:

Số tiền ông A rút ra sau 5 năm đầu là: $100.1 + 8 %^{5} \approx 146, 933$ (triệu đồng)

Số tiền ông A tiếp tục gửi là: $146, 933 : 2 \approx 73, 466$ (triệu đồng)

Số tiền ông A nhận được sau 5 năm còn lại là: $73, 466.1 + 8 %^{5} \approx 107, 946$ (triệu đồng)

Sau 10 năm ông A đã thu được số tiền lãi là:

107, 946 - 73, 466 + 146, 933 - 100 \approx 81, 412

(triệu đồng)

Câu 48:

Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm

f' (x) = {(x + 1)}^{2} (x - 3)

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$

B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$

D. Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp :

Nếu $f' (x)$ đổi dấu khi qua điểm $x = x_{0} \Rightarrow x = x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số.

Cách giải:

f' (x)

đổi dấu từ - sang + tại

x = 3 \Rightarrow

Hàm số đạt cực tiểu tại

x = 3

Câu 49:

Đồ thị hàm số

y = \frac{1 - 2 x^{2}}{x^{2} + 6 x + 9}

có tiệm cận đứng

x = a

và tiệm cận ngang

y = b

. Tính giá trị

A. $T = - 4$

B. $T = - 8$

C. $T = - 1$

D. $T = - 6$

Xem đáp án

Đáp án A

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x)$

Nếu $\lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ hoặc $\lim_{x \to - \infty} f (x) = a \Rightarrow y = a$ là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f (x)$

Nếu $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = - \infty$ hoặc $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = + \infty$ hoặc $\lim_{x \to a^{-}} f (x) = - \infty$ thì $x = a$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Cách giải:

$\begin{array}{l} y = \frac{1 - 2 x^{2}}{x^{2} + 6 x + 9}, D = R \ \{3\} \\ \lim_{x \to + \infty} f (x) = - 2, \lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2 \\ \lim_{x \to {(- 3)}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(- 3)}^{-}} f (x) = - \infty \end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số có TCN là $y = - 2$ , TCĐ $x = - 3$ $\Rightarrow a = - 3, b = - 2 \Rightarrow T = 2 a - b = 2. (- 3) - (- 2) = - 4$

Câu 50:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng

(- \infty; + \infty)

A. $y = x^{4} + 3 x$

B. $y = x^{3} + 1$

C. $y = \frac{x - 1}{x + 2}$

D. $y = e^{- x}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Xét từng hàm số, giải bất phương trình $y' \geq 0$

Cách giải:

$y = x^{3} + 1 \Rightarrow y' = 3 x^{2} \geq 0, \forall x \in R, y' = 0$ tại điểm duy nhất $x = 0$

\Rightarrow

Hàm số

y = x^{3} + 1

đồng biến trên khoảng

(- \infty; + \infty)