42 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 1 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 8)

Câu 1:

y = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 4

. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây

A. (-1;3)

B. (-3;1)

C. $(- \infty; - 3)$

D. $(3; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A.

$\begin{array}{l} D = ℝ \\ y' = - 3 x^{2} + 6 x + 9; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array} \\ y' > 0, \forall x \in (- 1; 3) \end{array}$

Câu 2:

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

?

A. x = 1

B. y = -1

C. y = 2

D. x = -1

Xem đáp án

Chọn D.

Rõ ràng đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

nhận đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng.

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong (ảnh 1)

A. x = -2

B. x = -1

C. x = 1

D. x = 2

Xem đáp án

Chọn B.

Từ hình vẽ ta có ngay hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x = -1

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ . Hàm số có:

A. Một cực đại.

B. Một cực tiểu.

C. Một cực đại và một cực tiểu.

D. Không có cực trị.

Xem đáp án

Chọn D.

Tập xác định $D = ℝ \ \{1\}$ .

Đạo hàm: $y' = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}} < 0$ với $\forall x \in D$ ⇒ Hàm số không có cực trị.

Nhận xét rằng hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị nên ta thấy ngay việc lựa chọn đáp án D là đúng

Câu 5:

Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\ln (a b) = \ln a + \ln b$

B. $\ln (a b) = \ln a \ln b$

C. $\ln \frac{a}{b} = \frac{\ln a}{\ln b}$

D. $\ln \frac{a}{b} = \ln b - \ln a$

Xem đáp án

Chọn A.

Với các số thực dương a,b bất kì ta có

\ln (a . b) = \ln a + \ln b

và

\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b

Câu 6:

Giải phương trình

\log_{4} (x - 1) = 3

A. x = 63

B. x = 65

C. x = 80

D. x = 82

Xem đáp án

Chọn B.

Biến đổi $\log_{4} (x - 1) = 3 \Leftrightarrow x - 1 = 4^{3} \Leftrightarrow x = 65$ hoặc sử dụng MTCT thử các kết quả bằng phím CALC

Câu 7:

Tính đạo hàm của hàm số

y = 13^{x}

.

A. $y' = x {.13}^{x - 1}$

B. $y' = 13^{x} . \ln 13$

C. $y' = 13^{x}$

D. $y' = \frac{13^{x}}{\ln 13}$

Xem đáp án

Chọn B.

Áp dụng công thức đạo hàm: $(a^{x})' = a^{x} \ln a, \forall x \in ℝ$ với $a > 0, a \neq 1$

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $R \ \{0\}$ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI?

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R trừ {0} và có bảng biến thiên: (ảnh 1)

A. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

(- \infty; - 1)

và

(1; + \infty)

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 và giá trị cực tiểu bằng -2

D. Hàm số có hai cực trị.

Xem đáp án

Chọn C.

Khẳng định C sai vì hàm số có giá trị cực đại bằng -2 và giá trị cực tiểu bằng 2.

Câu 9:

Cho hàm số

y = \frac{x^{2} - x + 4}{x - 1}

. Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng:

A. -15

B. -10

C. -5

D. 0

Xem đáp án

Chọn A.

Tập xác định $D = ℝ \ \{1\}$ .

Đạo hàm: $y' = 1 - \frac{4}{{(x - 1)}^{2}}$ , $y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{(x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 3 \end{array}$ .

Khi đó, tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng:

P = y (- 1) . y (3) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 + 4}{- 1 - 1} . \frac{3^{2} - 3 + 4}{3 - 1} = - 15

.

Câu 10:

Đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{\sqrt{x^{2} - 1}}

có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn D.

$y = \frac{2 x - 3}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ TXĐ: $D = (- \infty; 1) \cup (1; = \infty)$ .

Ta có: $\lim_{x \to - \infty} y = - 2$ suy ra đường thẳng y = -2 là TCN của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty} y = - 2$ suy ra đường thẳng y = 2 là TCN của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to 1^{+}} y = - \infty$ suy ra đường thẳng x = 1 là TCN của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to - 1^{-}} y = - \infty$ suy ra đường thẳng x = -1 là TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị của hàm số đã cho có tổng cộng 4 đường tiệm cận.

Câu 11:

Cho hàm số

(C) : y = \frac{4 x - 6}{x - 1}

. Tổng bình phương các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng y = 6x + 5 bằng:

A. $\frac{5}{36}$

B. $\frac{7}{36}$

C. $\frac{11}{36}$

D. $\frac{13}{36}$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{4 x - 6}{x - 1} = 6 x + 5 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x_{1} = \frac{1}{3}$ và $x_{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{36}$ .

Câu 12:

GTNN của hàm số

y = x - 5 + \frac{1}{x}

trên

[\frac{1}{2}; 5]

A. $- \frac{5}{2}$

B. $\frac{1}{5}$

C. -3

D. -2

Xem đáp án

Chọn C.

$\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} (L) \\ f (1) = - 3; f (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{2}; f (5) = \frac{1}{5} \end{array}$

Vậy GTNN của hàm số là -3.

Câu 13:

Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên tập xác định (các khoảng xác định)?

A. $y = - x^{3} - x$

B. $y = x^{4} + x^{2}$

C. $y = \frac{x - 1}{x - 2}$

D. $y = \frac{1 - x}{x - 2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $y = - x^{3} - x \Rightarrow y' = - 3 x^{2} - 1 < 0$ với mọi x nên hàm số nghịch biến trên R

Hàm trùng phương $y = x^{4} + x^{2}$ luôn có cực trị nên không đồng biến trên R.

$y = \frac{x - 1}{x - 2} \Rightarrow y' = \frac{- 1}{{(x - 2)}^{2}} < 0$ với mọi x thuộc tập xác định nên hàm số nghịch biến.

$y = \frac{1 - x}{x - 2} \Rightarrow y' = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} > 0$ với mọi x thuộc tập xác định nên hàm số đồng biến.

Câu 14:

Đồ thị hàm số ở hình bên dưới là của đáp án:

A. $y = x^{3} - 2 x^{2} + 1$

B. $y = x^{3} - x^{2} + 1$

C. $y = x^{3} - 2 x^{2} + 2$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn A.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;1) nên loại C.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;0) nên loại B, D.

Câu 15:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên

ℝ \ \{0\}

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.

A. [-1;2]

B. (-1;2)

C. (-1;2]

D. $(- \infty; 2]$

Xem đáp án

Chọn B.

Từ bảng biến thiên trên ta có ngay

- 1 < m < 2 \Leftrightarrow m \in (- 1; 2)

thỏa mãn bài toán

Câu 16:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3

B. Hàm số có GTLN bằng 1, GTNN bằng

- \frac{1}{3}

C. Hàm số có hai điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Xem đáp án

Chọn C.

Nhận thấy hàm số đạt cực đại tại

x_{C D} = 3

, giá trị cực đại bằng 1 và đạt cực tiểu tại

x_{C T} = 1

, giá trị cực tiểu bằng

- \frac{1}{3}

.

Câu 17:

Cho biểu thức

P = \sqrt[4]{x . \sqrt[3]{x^{2} . \sqrt{x^{3}}}}

, với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $P = x^{\frac{1}{2}}$

B. $P = x^{\frac{13}{24}}$

C. $P = x^{\frac{1}{4}}$

D. $P = x^{\frac{2}{3}}$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

P = \sqrt[4]{x . \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x^{3}}}} = \sqrt[4]{x . \sqrt[3]{x^{2} . x^{\frac{3}{2}}}} = \sqrt[4]{x . \sqrt[3]{x^{\frac{7}{2}}}} = \sqrt[4]{x . x^{\frac{6}{7}}} = \sqrt[4]{x^{\frac{13}{6}}} = x^{\frac{13}{24}}

Câu 18:

Cho các số thực dương a, b với

a \neq 1

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\log_{\sqrt[3]{a}} (a^{2} \sqrt{b}) = 6 + \frac{3}{2} \log_{a} b$

B. $\log_{\sqrt[3]{a}} (a^{2} \sqrt{b}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} \log_{a} b$

C. $\log_{\sqrt[3]{a}} (a^{2} \sqrt{b}) = \frac{3}{2} \log_{a} b$

D. $\log_{\sqrt[3]{a}} (a^{2} \sqrt{b}) = \frac{1}{6} \log_{a} b$

Xem đáp án

Chọn A.

$\begin{array}{l} \log_{\sqrt[3]{a}} (a^{2} \sqrt{b}) = \log_{a^{\frac{1}{3}}} (a^{2} b^{\frac{1}{2}}) = 3 \log_{a} (a^{2} b^{\frac{1}{2}}) = 3 (\log_{a} a^{2} + \log_{a} b^{\frac{1}{2}}) \\ = 3 (2 + \frac{1}{2} \log_{a} b) = 6 + \frac{3}{2} \log_{a} b \end{array}$

Câu 19:

Phương trình

\log_{3} (6 x^{3} - 7 x + 1) = \log_{3} (x^{2} - 3 x + 2)

có tập nghiệm là:

A. $T = \{\frac{1}{2}; \frac{1}{3}\}$

B. $T = \{\frac{1}{2}; - \frac{1}{3}\}$

C. $T = \{- \frac{1}{2}; \frac{1}{3}\}$

D. $T = \{- \frac{1}{2}; \frac{1}{3}\}$

Xem đáp án

Chọn D.

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x^{2} - 3 x + 2 > 0 \\ 6 x^{3} - 7 x + 1 = x^{2} - 3 x + 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 1 \end{array} \\ 6 x^{3} - x^{2} - 4 x - 1 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 1 \end{array} \\ (x - 1) (6 x^{2} + 5 x + 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 1 \end{array} \\ x = 1, x = - \frac{1}{2}, x = - \frac{1}{3} \end{cases} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}; x = - \frac{1}{3} \end{array}$

Vậy, phương trình có tập nghiệm là

T = \{- \frac{1}{2}; - \frac{1}{3}\}

Câu 20:

Phương trình

3^{1 + x} + 3^{1 - x} = 10

có tập nghiệm là:

A. $T = \{- 1; 0\}$

B. $T = \{0; 1\}$

C. $T = \{- 1; 1\}$

D. Vô nghiệm

Xem đáp án

Chọn C.

Biến đổi phương trình về dạng:

${3.3}^{x} + {3.3}^{- x} = 10$ .

Đặt $t = 3^{x}, (t > 0)$ , phương trình có dạng:

$3 t + \frac{3}{t} = 10 \Leftrightarrow 3 t^{2} - 10 t + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{3} \\ t = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x} = \frac{1}{3} \\ 3^{x} = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$ .

Vậy, phương trình có tập nghiệm là $T = \{\pm 1\}$ .

Câu 21:

Một người đầu tư 100 triệu đồng vào một công ty theo thể thực lãi kép với lãi suất 13% một năm. Hỏi nếu sau 5 năm mới rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền lãi ? (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không thay đổi)

A. $100 [{(1, 13)}^{5} - 1]$ (triệu đồng)

B. $100 [{(1, 13)}^{5} + 1]$ (triệu đồng)

C. $100 [{(0, 13)}^{5} - 1]$ (triệu đồng)

D. $100 {(0, 13)}^{5}$ (triệu đồng)

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có số tiền lãi là

100 [{(1 + 13 %)}^{5} - 1] = 100 ({1.13}^{5} - 1)

.

Câu 22:

Cho hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $a < 0, b > 0, c > 0, d < 0$

B. $a < 0, b < 0, c > 0, d < 0$

C. $a > 0, b < 0, c < 0, d > 0$

D. $a < 0, b > 0, c < 0, d < 0$

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ , ta có nhận xét sau

* Đồ thị hình chữ N ngược nên hệ số a < 0

* Ta có $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \Rightarrow y' = 3 a x^{2} + 2 b c + c = 0 (*) \Rightarrow Δ'_{(*)} = b^{2} - 3 a c$

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm cực trị có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ trái dấu nhau nên

$\{\begin{cases} Δ'_{(*)} > 0 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{3 a} < 0 \end{cases} \Rightarrow c > 0$

* Dễ thấy $x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} > 0 \Rightarrow b > 0$ và đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt nên d < 0

Câu 23:

Cho hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + m (m + 2) x + 2016

. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng (3;7).

A. $m \leq 1$

B. $m < 1$

C. $m \geq 5$

D. $m \geq 5; m \leq 1$

Xem đáp án

Chọn D.

$y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + m (m + 2) x + 2016 \Rightarrow y' = x^{2} - 2 (m + 1) x + m (m + 2)$

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ x = m + 2 \end{array}$ . Lúc này hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; m), (m + 2; + \infty)$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

(3; 7) \Rightarrow [\begin{array}{l} m + 2 \leq 3 \Leftrightarrow m \leq 1 \\ m + 2 \geq 7 \Leftrightarrow m \geq 5 \end{array}

Câu 24:

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số

y = a^{x}, y = b^{x}, y = c^{x}

được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y = a^x, y = b^x, y = c^x (ảnh 1)

A. $a < b < c$

B. $a < c < b$

C. $b < c < a$

D. $c < a < b$

Xem đáp án

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có nhận xét sau:

* $y_{1} = a^{x}$ là hàm số nghịch biến trên TXĐ và $y_{2} = b^{x}, y_{3} = c^{x}$ là các hàm số đồng biến trên TXĐ. Do đó a < b và a < c.

* Tại điểm $x = x_{0} > 0 \Rightarrow y_{2} (x_{0}) > y_{3} (x_{0}) \Rightarrow b^{x_{0}} > c^{x_{0}} \Leftrightarrow b > c$ và tương tự tại điểm $x = x_{0} < 0$

$\Rightarrow y_{2} (x_{0}) < y_{3} (x_{0}) \Rightarrow b^{x_{0}} < c^{x_{0}} \Leftrightarrow b > c$ . Do đó b > c > a

Câu 25:

Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

s (t) = s (0) {.2}^{t}

, trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ?

A. 48 phút.

B. 19 phút.

C. 7 phút.

D. 12 phút.

Xem đáp án

Chọn C.

Sau 3 phút số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con, do đó

$625000 = s (0) {.2}^{3} \Leftrightarrow s (0) = \frac{625000}{8} = 78125$

Sau t phút số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con, do đó

${10.10}^{6} = {78125.2}^{t} = t \Leftrightarrow \log_{2} (\frac{10^{7}}{78125}) = 7$

Câu 26:

Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiểu rộng 8cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiểu rộng 8cm. (ảnh 1)

A. $6 \sqrt{5}$

B. $6 \sqrt{2}$

C. 6

D. $6 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt $E F = x, E C = 8 - x \Rightarrow F C = \sqrt{x^{2} - {(8 - x)}^{2}} = \sqrt{16 x - 64}$

Ta có

Δ A D F ~ Δ F C E (g . g) \Rightarrow \frac{E F}{A F} = \frac{C F}{A D} \Rightarrow

A F = \frac{E F . A D}{F C} = \frac{8 x}{\sqrt{16 x - 64}}

y = A E = \sqrt{A F^{2} + E F^{2}} = \sqrt{\frac{64 x^{2}}{16 x - 64} + x^{2}} = \sqrt{\frac{16 x^{3}}{16 x - 64}}

f (x) = \frac{16 x^{3}}{16 x - 64} x \in (0; 8)

;

f' (x) = \frac{48 x^{2} (16 x - 64) - 16.16 x^{3}}{{(16 x - 64)}^{2}}

f' (x) = 0 \Leftrightarrow 768 x^{3} - 3072 x^{2} - 256 x^{3} = 0 \Leftrightarrow 512 x^{3} - 3072 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 6

BBT:

Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiểu rộng 8cm. (ảnh 2)

y = \sqrt{f (x)} \Rightarrow y_{\min} = \sqrt{f_{\min}} = \sqrt{108} = 6 \sqrt{3}

Câu 27:

Xét các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

P_{\min}

của biểu thức

P = \log_{\frac{a}{b}}^{2} (a^{2}) + 3 \log_{b} (\frac{a}{b})

A. $P_{\min} = 19$

B. $P_{\min} = 13$

C. $P_{\min} = 14$

D. $P_{\min} = 15$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $P = {(2 \log_{\frac{a}{b}} a)}^{2} + 3 (\log_{b} a - 1) = \frac{4}{{(\log_{a} \frac{a}{b})}^{2}} + \frac{3}{\log_{a} b} - 3 = \frac{4}{{(1 - \log_{a} b)}^{2}} + \frac{3}{\log_{a} b} - 3$

Đặt $t = \log_{a} b$ (Do a > b > 1 => 0 < t < 1).

Xét $f (t) = \frac{4}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{3}{t} - 3$

Khi đó $f' (t) = \frac{- 8}{{(t - 1)}^{3}} - \frac{3}{t^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$ . Ta có: $\lim_{x \to 0^{+}} f (t) = \lim_{x \to 1^{-}} f (t) = + \infty; f (\frac{1}{3}) = 15$

Do đó $P_{\min} = 15$

Câu 28:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

6^{x} + (3 - m) 2^{x} - m = - 0

có nghiệm thuộc khoảng (0;1).

A. [3;4]

B. [2;4]

C. (2;4)

D. (3;4)

Xem đáp án

Chọn C.

Phương trình $6^{x} + (3 - m) {.2}^{x} - m = 0 \Leftrightarrow 6^{x} + {3.2}^{x} = m (2^{x} + 1) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{3.2}^{x} + 6^{x}}{2^{x} + 1} (*)$

Đặt $t = 2^{x} \Leftrightarrow x = \log_{2} t \Rightarrow 6^{x} = 6^{\log_{2} t}$ và với $x \in (0; 1) \Rightarrow t \in (1; 2)$ .

Khi đó $m = f (t) = \frac{3 t + 6^{\log_{2} t}}{t + 1} (1)$

Xét hàm số $f (x) = \frac{3 t + 6^{\log_{2} t}}{t + 1}$ trên $(1; 2), f' (t) = \frac{3 t + 6^{\log_{2} t} [t . (\ln 3 - 1) + \ln 3]}{{(t + 1)}^{2} . t} > 0; \forall t \in (1; 2)$

Nên hàm số f(t) là hàm số đồng biến trên (1;2). Do đó để (*) có nghiệm thuộc khoảng (0;1) khi và chỉ khi (I) có nghiệm thuộc (1;2) => f(1) < m < f(2) <=> 2 < m <4.

Vậy $m \in (2; 4)$ là giá trị cần tìm.

Câu 29:

Số cạnh của một hình bát diện đều là

A. 8

B. 10

C. 12

D. 20

Xem đáp án

Chọn C.

Câu 30:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình lập phương là hình đa diện lồi

B. Tứ diện là đa diện dồi

C. Hình hộp là là đa diện lồi

D. Hình tạo bởi hai tứ diện đều là ghép với nhau là một hình đa diện lồi

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 31:

Một hình trụ (T) có bán kính đáy r = 4 và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 5. Tính diện tích xung quanh S của (T)

A. $S = 40 π$

B. $S = 80 π$

C. $S = \frac{80 π}{3}$

D. $S = 20 π$

Xem đáp án

Chọn A.

Diện tích xung quanh của hình trụ là

S = 2 π r h = 2 π .4.5 = 40 π

Câu 32:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy

Δ A B C

vuông tại B;

A B = a

,

\hat{B A C} = 60^{0}

;

AA' = a \sqrt{3}

. Thể tích khối lăng trụ là:

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $\frac{2 a^{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $B C = A B . \tan 60^{0} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{A B C . A' B' C'} = S_{A B C} .AA'= \frac{1}{2} .a.a. \sqrt{3} . a \sqrt{3} = \frac{3 a^{2}}{2}$

Câu 33:

Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a. Tính diện tích

S_{t p}

toàn phần của hình nón đó:

A. $S_{t p} = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$

B. $S_{t p} = \frac{π a^{2} (\sqrt{2} + 4)}{2}$

C. $S_{t p} = \frac{π a^{2} (\sqrt{2} + 8)}{2}$

D. $S_{t p} = \frac{π a^{2} (\sqrt{2} + 1)}{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a (ảnh 1)

Theo đề suy ra đường sinh l = a, và đường tròn đáy có bán kính $r = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ . Khi đó $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$ , diện tích đáy $S = \frac{π a^{2}}{2}$

Vậy

S_{t p} = \frac{π a^{2} (\sqrt{2} + 1)}{2}

Câu 34:

Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng

a \sqrt{3}

, cạnh bên bằng 2a . Khi đó, thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A. $V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{10}}{2}$

B. $V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{10}}{4}$

C. $V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a căn bậc hai 3 , cạnh bên bằng 2a (ảnh 1)

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD $\Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Ta có $A H = \frac{A C}{2} = \frac{A B \sqrt{2}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2} \Rightarrow S H = \sqrt{S A^{2} - H A^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2}$

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{S H . A B^{2}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{10}}{2}$

Câu 35:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, A'C hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60⁰. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng:

A. $\frac{3 a^{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{2 a^{3}}{3}$

D. $\frac{3 a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, A'C hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60 độ (ảnh 1)

V = A' A . S_{A B C} = a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3}}{4}

Câu 36:

Cho phép vị tự tâm O biến A thành B, biết rằng OA = 4OB . Khi đó tỉ số vị tự là bao nhiêu?

A. -4

B. 4

C. $\frac{1}{4}$

D. $\pm \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn D.

Từ giả thiết OA = 4OB, suy ra: $O B = \frac{1}{4} O A \Rightarrow \vec{O B} = \pm \frac{1}{4} \vec{O A} \Leftrightarrow k = \pm \frac{1}{4}$

Câu 37:

Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó?

A. $\frac{7}{5}$

B. $\frac{6}{5}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{8}$

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 38:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60^o . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{1}{7}$

D. $\frac{7}{5}$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 độ (ảnh 1)

Đặt

\{\begin{cases} V_{1} = V_{S A B I K N} \\ V_{2} = V_{N B C D I K} \end{cases} \to \frac{V_{1}}{V_{2}} = ?

*

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{2} a^{2} = \frac{\sqrt{6}}{6} a^{3}

*

V_{N . B M C} = \frac{1}{3} . N H . S_{Δ B M C} = \frac{1}{3} . \frac{S O}{2} . S_{Δ B M C} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{6}}{4} . \frac{1}{2} . a .2 a = \frac{\sqrt{6}}{12} a^{3}

* Nhận thấy K là trọng tâm của tam giác SMC

\to \frac{M K}{M N} = \frac{2}{3}

*

\frac{V_{M . D I K}}{V_{M . C B N}} = \frac{M D}{M C} . \frac{M I}{M B} . \frac{M K}{M N} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{6}

\begin{array}{l} \to V_{2} = V_{M . C B N} - V_{M . D I K} = \frac{5}{6} V_{M . C B N} = \frac{5}{6} . \frac{\sqrt{6}}{12} a^{3} = \frac{5 \sqrt{6}}{72} a^{3} \\ \to V_{1} = V_{S . A B C D} - V_{2} = \frac{\sqrt{6}}{6} a^{3} - \frac{5 \sqrt{6}}{72} a^{3} = \frac{7 \sqrt{6}}{72} a^{3} \to \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{7 \sqrt{6}}{72} a^{3}}{\frac{5 \sqrt{6}}{72} a^{3}} = \frac{7}{5} \end{array}

Câu 39:

Cho hai đường thẳng song song (d), (d') và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến (d) thành (d') ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 0 hoặc 1

Xem đáp án

Chọn D.

Với giả thiết có hai trường hợp là:

$O \in ((d), (d'))$ hoặc $O \notin ((d), (d'))$ .

Trường hợp 1: Nếu $O \in ((d), (d'))$ , với $M \in (d)$ ta có:

$V_{O}^{k} (M) = M' \in (d') \Rightarrow \vec{O M'} = k \vec{O M}$ .

Gọi H, H' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O lên (d) và (d’), suy ra:

$\vec{O H'} = k \vec{O H}$ ⇒ k không đổi.

Vậy, trong trường hợp này có đúng một phép vị tự tâm O biến (d) thành (d’).

Trường hợp 2: Nếu $O \notin ((d), (d'))$ thì không có phép vị tự tâm O nào biến (d) thành (d’), bởi nếu trái lại với $M \in (d)$ ta có:

$V_{O}^{k} (M) = M' \in (d') \Rightarrow \vec{O M'} = k \vec{O M}$ ⇒ O, M, M' thẳng hàng

$\Rightarrow O \in ((d), (d'))$ , mâu thuẫn.

Vậy, trong trường hợp này không có phép vị tự tâm O nào biến (d) thành (d’).

Do đó, đáp án D là đúng

Câu 40:

Một hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 120°. Trên đường tròn đáy lấy một điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí của M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất?

A. Có 1 vị trí

B. Có 2 vị trí

C. Có 3 vị trí

D. Có vô số vị trí

Xem đáp án

Chọn B.

Một hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 120°. Trên đường tròn đáy (ảnh 1)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên SA.

Ta có, diện tích ΔSAM được cho bởi:

$S = \frac{1}{2} S A . M H$ .

Do đó, diện tích ΔSAM đạt giá trị lớn nhất khi:

MH đạt giá trị lớn nhất ⇔ MH = MS

$\Leftrightarrow M S ⊥ S A$ .

Tức M là giao điểm của đường tròn đáy hình nón với mặt phẳng (P) qua S và vuông góc với SA.

Từ giả thiết

\hat{A S B} = 120 °

suy ra tồn tại điểm M trên đường tròn đáy thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 41:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m^{3}

với giá trị nào của m để hàm số có 2 điểm cực trị A và B sao cho

A B = \sqrt{20}

Xem đáp án

$y' = 3 x^{2} - 6 m x = 3 x (x - 2 m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 m \end{array}$

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị $A, B \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ó $m \neq 0$ (*)

Giả sử: $\{\begin{cases} x_{A} = 0 \Rightarrow y_{A} = 4 m^{3} \Rightarrow A (0; 4 m^{3}) \\ x_{B} = 2 m \Rightarrow y_{B} = 8 m^{3} - 12 m^{3} + 4 m^{3} = 0 \Rightarrow B (2 m; 0) \end{cases} \Rightarrow \bar{A B} = (2 m; - 4 m^{3})$

$\Rightarrow A B = \sqrt{4 m^{2} + 16 m^{6}} = \sqrt{20} \Leftrightarrow 4 {(m^{2})}^{3} + m^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$ thỏa mãn (*)

Câu 42:

Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là

\frac{16 π}{9} (d m^{3})

. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình dưới) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh

S_{x q}

của bình nước.

Xem đáp án

Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình (ảnh 1)

Xét mặt cắt và kí hiệu các điểm như hình vẽ, ta có thể tích nước tràn ra chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy là

D H = E H = r_{0}

và chiều cao

H K = h_{0}

. Còn chiều cao của bình đựng nước dạng hình nón là

A H = h

và bán kính đáy là

B H = C H = r

. Để ý rằng

h = 3 r

và

h_{0} = 2 r

.

Ta có: $\frac{M K}{B H} = \frac{A K}{A H} \Leftrightarrow \frac{r_{0}}{r} = \frac{h - h_{0}}{h} \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{h - h_{0}}{r_{0}} \Leftrightarrow 3 = \frac{3 r - 2 r}{r_{0}} \Leftrightarrow r_{0} = \frac{r}{3}$

Theo đề, thể tích khối trụ là:

$\begin{array}{l} \frac{16 π}{9} = π r_{0}^{2} h_{0} \Rightarrow r_{0}^{2} h_{0} = \frac{16}{9} = 2 r_{0}^{2} r = 2 {(\frac{r}{3})}^{2} r \Leftrightarrow r = 2 \\ \Rightarrow h = 3 r = 6 \Rightarrow l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = 2 \sqrt{10} \Rightarrow S_{x q} = π r l = 4 π \sqrt{10} (d m^{3}) \end{array}$