32 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 32 câu trắc nghiệm: Hàm số mũ và hàm số lôgarit có đáp án

Câu 1:

Viết các số ${(\frac{1}{3})}^{0}, {(\frac{1}{3})}^{- 1}, {(\frac{1}{3})}^{π}, {(\frac{1}{3})}^{\sqrt{2}}$ theo thứ tự tăng dần

A. ${(\frac{1}{3})}^{π}, {(\frac{1}{3})}^{\sqrt{2}}, {(\frac{1}{3})}^{0}, {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

B. ${(\frac{1}{3})}^{- 1}, {(\frac{1}{3})}^{0}, {(\frac{1}{3})}^{π}, {(\frac{1}{3})}^{\sqrt{2}}$

C. ${(\frac{1}{3})}^{- 1}, {(\frac{1}{3})}^{0}, {(\frac{1}{3})}^{\sqrt{2}}, {(\frac{1}{3})}^{π}$

D. ${(\frac{1}{3})}^{0}, {(\frac{1}{3})}^{- 1}, {(\frac{1}{3})}^{π}, {(\frac{1}{3})}^{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

Ta có $- 1 < 0 < \sqrt{2} < π$ và $0 < \frac{1}{3} < 1$ nên

Chọn đáp án A.

Câu 2:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = l o g_{5} (x e^{x})$

A. $y' = \frac{x + 1}{x e^{x} l n 5}$

B. $y' = \frac{1}{x e^{x} l n 5}$

C. $y' = \frac{e^{x} (x + 1)}{x l n 5}$

D. $y' = \frac{x + 1}{x l n 5}$

Xem đáp án

Để thuận tiện, ta viết lại

Chọn đáp án D

Câu 3:

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = x^{2} e^{- 4 x}$

A. $(- \frac{1}{2}; 0)$

B. $(0; \frac{1}{2})$

C. $(- \infty; - \frac{1}{2}) v à (0; + \infty)$

D. $(- \infty; 0) v à (- \frac{1}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Tập xác định R.

Ta có:

$y' = 2 x e^{- 4 x} + x^{2} e^{- 4 x} (- 4) = 2 e^{- 4 x} x (1 - 2 x)$

Bảng biến thiên

Khoảng đồng biến của hàm số là (0; 1/2) .

Chọn đáp án C

Câu 4:

Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y = 3 l n (x + 1) + x - \frac{x^{2}}{2}$

A.(-1; 2)

B. (2; +∞)

C. (-2 ;-1) và (2; +∞)

D. (-∞; -2) và (-1 ;2)

Xem đáp án

Tập xác định : (-1; +∞)

Bảng biến thiên :

Kết hợp điều kiện, x > -1.

Từ đó, khoảng nghịch biến của hàm số là(2; +∞) .

Chọn đáp án B

Câu 5:

Cho hai số thực a và b , với 0 < a < b < 1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\log_{b} a < 1 < \log_{a} b$

B. $\log_{b} a < \log_{a} b < 1$

C. $\log_{a} b < 1 < \log_{b} a$

D. $1 < \log_{a} b < \log_{b} a$

Xem đáp án

Câu 6:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} e^{- 2 x}$ trên đoạn [1; 4]

A. $\underset{[1; 4]}{m a x} y = \frac{27 e^{- 3}}{8}, \underset{[1; 4]}{m i n} y = 64 e^{- 8}$

B. $\underset{[1; 4]}{m a x} y = \frac{27 e^{= 3}}{8}, \underset{[1; 4]}{m i n} y = e^{- 2}$

C. $\underset{[1; 4]}{m a x} y = e^{- 2}, \underset{[1; 4]}{m i n} y = 64 e^{- 8}$

D. $\underset{[1; 4]}{m a x} y = \frac{27 e^{- 3}}{8}, \underset{[1; 4]}{m i n} y = 0$

Xem đáp án

Câu 7:

Số lượng cá thể của một mẻ cấy vi khuẩn sau t ngày kể từ lúc ban đầu được ước lượng bởi công thức $N (t) = 1200 . (1, 148)^{t} .$ Hãy tính số lượng cá thể của mẻ vi khuẩn ở hai thời điểm: ban đầu và sau 10 ngày. Làm tròn kết quả đến hàng trăm có kết quả là:

A. 1200 và 4700 cá thể

B. 1400 và 4800 cá thể

C. 1200 và 1400 cá thể

D. 1200 và 4800 cá thể

Xem đáp án

Số lượng ban đầu: $N (0) = 1200 . (1, 148)^{0} = 1200$ cá thể

Số lượng sau 10 ngày: $N (10) = 1200 . (1, 148)^{1} 0 \approx 4771 \approx 4800$ cá thể

Chọn đáp án D.

Câu 8:

Dựa trên dữ liệu của WHO (Tổ chức Y tế thế giới), số người trên thế giới bị nhiễm HIV trong khoảng từ năm 1985 đến 2006 được ước lượng bằng công thức

$N (t) = \frac{39, 88}{1 + 18, 9 e^{- 0, 2957 t}} (0 \leq t \leq 21)$

trong đó N(t) tính bằng đơn vị triệu người, t tính bằng đơn vị năm và t = 0 ứng với đầu năm 1985. Theo công thức trên, có bao nhiêu số người trên thế giới bị nhiễm HIV ở thời điểm đầu năm 2005?

A. 37,94 triệu người

B. 37,31 triệu người

C. 38,42 triệu người

D. 39,88 triệu người

Xem đáp án

Ta có 2005 – 1985 = 20 (năm). Vậy đầu năm 2005 ứng với t = 20. Số cần tìm

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Biết rằng năm 2003 dân số Việt Nam là 80 902 000 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm đó thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

A. 101119000 người

B. 103681000 người

C. 103870000 người

D. 106969000 người

Xem đáp án

Công thức tính dân số theo dữ kiện đã cho là: $N (t) = 80902000 . e^{0, 0147 t}$ ở đó thời gian t tính bằng năm và t = 0 ứng với đầu năm 2003.

Ta có 2020 – 2003 = 17.

Vậy năm 2020 ứng với t = 17

Dân số năm 2020 tính theo dữ kiện đã cho : $N (17) = 80902000 . e^{0, 0147.17}$ ≈ 103870000 người.

Chọn đáp án C.

Câu 10:

Nồng độ c của một chất hóa học sau thời gian t xảy ra phản ứng tự xúc tác được xác định bằng công thức $c (t) = \frac{6}{1 + 2 e^{- 2 t}}, t \geq 0$

Hãy chọn phát biểu đúng :

A. Nồng độ c ngày càng giảm

B. Nồng độ c ngày càng tăng

C. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c tăng, sau đó giảm dần

D. Trong khoảng thời gian đầu nồng độ c giảm, sau đó tăng dần

Xem đáp án

với mọi t ≥ 0 nên c(t) tăng trên [0; +∞) , nghĩa là nồng độ c ngày càng tăng.

Chọn đáp án B.

Câu 11:

Cho các hàm số:

$(I) y = (0, 3)^{- x}$

$(I I) y = (1, 3)^{- 2 x}$

$(I I I) y = {(\frac{4}{\sqrt{5} + 2})}^{x}$

$(I V) y = {(\frac{e + 1}{3})}^{x}$

Trong các hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến trên R ?

A. Chỉ có (I) và (II)

B. Chỉ có (I) và (IV)

C. Chỉ có (IV)

D. Chỉ có (II) và (III)

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số đồng biến khi a > 1.

Viết lại các hàm số về dạng hàm số mũ $y = a^{x} :$

Trong bốn cơ số ta thấy chỉ có hai cơ số lớn hơn 1 là

Do đó chỉ có hai hàm số (I) và (IV) là đồng biến trên R

Câu 12:

Cho các phát biểu sau đây về đồ thị của hàm số y = log_ax (0 < a ≠ 1):

(I) Cắt trục hoành

(II) Cắt trục tung

(III) Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

(IV) Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

Trong những phát biểu trên, phát biểu nào đúng ?

A. Chỉ có (I), (II) và (III)

B. Chỉ có (II), (III) và (IV)

C. Chỉ có (II) và (IV)

D. Chỉ có (I) và (III)

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ luôn cắt trục hoành tại điểm (1 ;0), luôn nằm bên phải trục tung (vậy không cắt trục tung), nhận trục tung làm tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang. Vậy chỉ có (I) và (III) đúng

Chọn D

Câu 13:

Tìm miền xác định của hàm số $y = l o g_{5} (x - 2 x^{2})$

A. D = (0; 2)

B. D = (-∞; 0) ∪ (2; +∞)

C. D = (0; 1/2)

D. D = (-∞; 0) ∪ (1/2; +∞)

Xem đáp án

Điều kiện để hàm số xác định $x - 2 x^{2} > 0$ <=> $2 x^{2} - x$ < 0 <=> 0 < x < 1/2 .

Vậy miền xác định là D = (0; 1/2)

Chọn C

Câu 14:

Tìm miền xác định của hàm số $y = \log (\frac{1 - 5 x}{2 - x})$

A. $D = (- \infty; \frac{1}{5}) \cup (2; + \infty)$

B. $D = (- \infty; 2) \cup (\frac{1}{5}; + \infty)$

C. $D = (- \infty; 2] \cup [\frac{1}{5}; + \infty)$

D. $D = (- \infty; \frac{1}{5}) \cap (2; + \infty)$

Xem đáp án

Điều kiện

Miền xác định là

Chọn A

Câu 15:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $π^{e} < π^{2}$

B. ${(\sqrt{2})}^{e} < {(\sqrt{2})}^{π}$

C. $e^{\sqrt{2}} > e^{π}$

D. ${(\frac{π}{4})}^{\sqrt{2}} < {(\frac{π}{4})}^{π}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 16:

Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. $2^{- \sqrt{2}} < 2^{- 1, 4}$

B. ${(\frac{1}{2})}^{e} < {(\frac{1}{2})}^{2, 7}$

C. ${\sqrt{3}}^{π} > {\sqrt{3}}^{3, 14}$

D. ${(\frac{3}{4})}^{e} > {(\frac{3}{4})}^{\frac{e}{2}}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 17:

Số lượng cá thể của một quần thể vi khuẩn sau thời gian t kể từ thời điểm ban đầu được ước lượng bởi công thức $N (t) = 5000 . {(\frac{3}{4})}^{t}, t \geq 0 .$ Phát biểu nào sau đây (về quần thể vi khuẩn nói trên) là đúng?

A. Số lượng cá thể ngày càng tăng dần

B. Số lượng cá thể ngày càng giảm dần

C. Số lượng cá thể tăng trong khoảng thời gian đầu, sau đó giảm dần

D. Số lượng cá thể giảm trong khoảng thời gian đầu, sau đó tăng dần

Xem đáp án

Câu 18:

Giá trị của một chiếc xe ô tô sau t năm kể từ khi mua được ước lượng bằng công thức $G (t) = 600 e^{- 0, 12 t}$ (triệu đồng). Tính giá trị của chiếc xe này tại hai thời điểm : lúc mua và lúc đã sử dụng 5 năm (làm tròn kết quả đến hàng triệu)

A. 532 và 329 (triệu đồng)

B. 532 và 292 (triệu đồng)

C. 600 và 292 (triệu đồng)

D. 600 và 329 (triệu đồng)

Xem đáp án

Chọn D

Giá trị xe lúc mua: G(0) = 600 triệu đồng

Giá trị xe sau khi mua 5 năm : G(5) $= 600 . e^{- 0, 12.5}$ ≈ 329 triệu đồng

Câu 19:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = x . 2^{3 x}$

A. $y' = 2^{3 x} (1 + 3 x \ln 2)$

B. $y' = 2^{3 x} (1 + x \ln 2)$

C. $y' = 2^{3 x} (1 + 3 \ln 3)$

D. $y' = 2^{3 x} (1 + x \ln 3)$

Xem đáp án

Câu 20:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{3^{x}}{x}$

A. $y' = \frac{3^{x} (x - 1) \ln 3}{x^{2}}$

B. $y' = \frac{3^{x - 1} (x - 3)}{x^{2}}$

C. $y' = \frac{3^{x} (x \ln 3 - 1)}{x^{2}}$

D. $y' = \frac{3^{x - 1} (x \ln 3 - 1)}{x^{2}}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 21:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{\log_{2} x}{x}$

A. $y' = \frac{\ln x - 1}{x^{2} l n 2}$

B. $y' = \frac{1 - \ln x}{x^{2} l n 2}$

C. $y' = \frac{1 - \ln x}{x^{3} l n 2}$

D. $y' = \frac{\ln x + 1}{x^{3} l n 2}$

Xem đáp án

Chọn B

Để thuận tiện, ta viết lại

Câu 22:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x e^{- 2 x} + 2$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

A. y = x + 2

B. y = x

C. y = 2x + 2

D. y = -2x + 2

Xem đáp án

Câu 23:

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = 4 x - 5 l n (x^{2} + 1)$

A. $(- 2; \frac{1}{2})$

B. $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

C. $(- \infty; \frac{1}{2}) v à (2; + \infty)$

D. $(- \infty; - \frac{1}{2}) v à (\frac{1}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Tập xác định : R

Bảng xét dấu

Khoảng đồng biến của hàm số là $(- \infty; \frac{1}{2}) v à (2; + \infty)$

Chọn C

Câu 24:

Cho hàm số $y = x^{2} e^{- x} .$ Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu

B. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = -2 là điểm cực đại

C. Hàm số có x = 0 là điểm cực đại, x = -2 là điểm cực tiểu

D. Hàm số có x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại

Xem đáp án

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

Chọn D

Câu 25:

Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3}{2 + e^{- x}}$

A. y=0

B. y=3

C. y=0 và $y = \frac{3}{2}$

D. y=0 và y=3

Xem đáp án

Từ đó suy ra hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 3/2 và y = 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là: y = 3/2; y = 0

Chọn C

Câu 26:

Một quần thể vi khuẩn lúc đầu có 200 cá thể và cứ sau một ngày thì số lượng cá thể tăng lên gấp ba lần. Tìm công thức biểu thị số lượng cá thể (kí hiệu N) của quần thể này sau t ngày kể từ lúc ban đầu.

A. $N (t) = 200 . t^{3}$

B. $N (t) = 200 . 3^{t}$

C. $N (t) = 200 . e^{3 t}$

D. $N (t) = 200 . e^{\frac{t}{3}}$

Xem đáp án

Theo giả thiết, số lượng vi khuẩn sau 1, 2, 3,… ngày là 200.3 ; 200 .3.3 ; 200.3.3.3 ;… Từ đó ta thấy công thức đúng là $N (t) = 200 . 3^{t}$

Chọn B

Câu 27:

Số lượng cá thể của một loài sinh vật bị suy giảm trong 10 năm theo cách : số lượng năm sau bằng 95% số lượng năm trước đó. Tại thời điểm chọn làm mốc thời gian loài này có 5000 cá thể. Công thức nào sau đây diễn tả số lượng cá thể (kí hiệu N) của loài theo thời gian t (tính bằng năm, 0 ≤ t ≤ 10 ) ?

A. $N = 5000 . {(1 + 0, 95)}^{t}$

B. $N = 5000 . {(0, 95)}^{t}$

C. $N = 5000 . e^{- 0, 95 t}$

D. $N = 5000 . e^{- 0, 05 t}$

Xem đáp án

Tại thời điểm chọn làm mốc thời gian có 5000 cá thể.

Sau 1 năm số lượng cá thể còn lại là 5000. 95% = 0,95. 5000

Sau 2 năm số lượng cá thể còn lại là : (0,95. 5000). 0,95 = $0, 95^{2}$ . 5000

...Sau t ( ) năm số lượng cá thể còn lại là : $0, 95^{t} . 5000$

Chọn B

Câu 28:

Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với hình thức lãi kép và lãi suất 6,8% một năm. Hỏi sau 3 năm trong tài khoản tiết kiệm của người đó có bao nhiêu tiền (làm tròn kết quả đến hàng nghìn) ?

A. 60200000 đồng

B. 60909000 đồng

C. 61280000 đồng

D. 61315000 đồng

Xem đáp án

Số tiền trong tài khoản người đó sau n năm nếu người đó không rút tiền và lãi suất không thay đôỉ được tính theo công thức : $P (t) = 50000000 (1 + 0, 068)^{t}$ (đồng)

Số tiền cần tính : $P (3) = 50000000 (1 + 0, 068)^{3} \approx 60909000$ (đồng)

Chọn B

Câu 29:

Cho hai số thực a và b, với 0 < a < 1 < b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\log_{b} a + \log_{a} b < 0$

B. $\log_{b} a + \log_{a} b = 0$

C. $\log_{b} a + \log_{a} b > 0$

D. $\log_{b} a + \log_{a} b \geq 2$

Xem đáp án

Câu 30:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{2} - 2 x + l n (2 x + 1)$ trên [0; 1]

A. $\underset{[0; 1]}{m a x} y = \ln 3 + 1; \underset{[0; 1]}{m i n} y = \ln 2$

B. $\underset{[0; 1]}{m a x} y = \ln 3 - 1; \underset{[0; 1]}{m i n} y = 0$

C. $\underset{[0; 1]}{m a x} y = \ln 3 - 1; \underset{[0; 1]}{m i n} y = \ln 2 - \frac{3}{4}$

D. $\underset{[0; 1]}{m a x} y = \ln 2 + \frac{3}{4}; \underset{[0; 1]}{m i n} y = \ln 3 - 1$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 31:

Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1,08%. Hỏi nếu vẫn giữ nguyên tỉ lệ tăng dân số hàng năm này thì năm 2020 dân số Việt Nam sẽ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng chục nghìn) ?

A. 96,66 triệu người

B. 96,77 triệu người

C. 96,80 triệu người

D. 97,85 triệu người

Xem đáp án

Câu 32:

Giả sử số lượng cá thể trong một mẻ cấy vi khuẩn thay đổi theo thời gian t theo công thức $N (t) = 5000 (25 + t e^{- \frac{t}{20}})$

Tìm số lượng cá thể vi khuẩn lớn nhất (kí hiệu M) và nhỏ nhất (kí hiệu m) của mẻ cấy này trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 100

A. M = 161788, m = 128369

B. M = 161788, m = 125000

C. M = 225000, m = 125000

D. M = 225000, m = 128369

Xem đáp án