Hàm số $y={\log }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}x$ có tập xác định $D=\left(0;+\infty \right)$

Vì $0<\frac{\mathrm{\pi }}{4}<1$ nên hàm số nghịch biến trên TXĐ.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là trục Oy.

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục hoành (vì x > 0)

Đáp án cần chọn là: D.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên loại A và B.

Lại có, đồ thị hàm số đi qua điểm (-1;-2) nên thay tọa độ điểm này vào các hàm số C và D ta được đáp án C

Đáp án càn chọn là: C.

Ta thấy:

Hàm số $y=b^x$ nghịch biến nên 0<b<1

Hàm số $y=a^x, y=c^x$ đồng biến nên a, c > 1 > b, loại B và D

Xét phần đồ thị hàm số $y=a^x, y=c^x$ ta thấy phần đồ thị hàm số $y=c^x$ nằm trên đồ thị hàm số $y=a^x$ nên $c^x>a^x,\forall x>0\iff c>a$

Đáp án cần chọn là: A

Kẻ đường thẳng x = 1 cắt đồ thị các hàm số $y=a^x, y=b^x, y=c^x$ lần lượt tại các điểm có tung độ y=a, y=b, y=c.

Dựa vào đồ thị ta thấy ngay c>a>b

Đáp án cần chọn là: C.

Ta thấy: đồ thị hàm số $y=b^x$ đi xuống nên hàm số $y=b^x$ nghịch biến nên 0<b<1

Đồ thị hàm số $y=a^x$ đi lên nên hàm số $y=a^x$ đồng biến nên a > 1.

Vậy 0<b<1<a

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\left(x^2+1\right)\text{'}{2}^{x^2+1}.\ln 2 \\ =2x.\ln 2.2^{x^2+1} \end{gathered}$$

Vậy

$$\begin{gathered} T=2^{-x^2-1}.f\text{'}\left(x\right)-2x\ln 2+2 \\ =2x\ln 2-2x\ln 2+2=2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B.

Áp dụng công thức $\left(a^x\right)\text{'}=a^x.\ln a$, ta có $y\text{'}=\left({13}^x\right)\text{'}={13}^x.\ln 13$

Đáp án cần chọn là: B.

Áp dụng công thức $\left(a^u\right)\text{'}=u\text{'}.a^u.\ln a$, ta có

$$\begin{gathered} y\text{'}=\left(x^2\right)\text{'}.2^{x^2}.\ln 2 \\ \Rightarrow 2x.2^{x^2}.\ln 2=x.2^{1+x^2}.\ln 2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=\left(\frac{x+1}{4^x}\right)\text{'}=\frac{\left(x+1\right)\text{'}.4^x-\left(x+1\right).\left(4^x\right)\text{'}}{{\left(4^x\right)}^2} \\ =\frac{4^x-\left(x+1\right).4^x.\ln 4}{{\left(4^x\right)}^2} \\ =\frac{1-\left(x+1\right).\ln 4}{4^x}=\frac{1-2\left(x+1\right)\ln 2}{2^{2x}} \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=e^{-\frac{x^2}{2}}+x.\left(-x{e}^{-\frac{x^2}{2}}\right)=e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2{e}^{-\frac{x^2}{2}} \\ =\left(1-x^2\right)e^{-\frac{x^2}{2}} \end{gathered}$$

Nhân hai vế cho x, ta được $x.y\text{'}=x\left(1-x^2\right).e^{-\frac{x^2}{2}}=\left(1-x^2\right)y$

Đáp án cần chọn là: D.

Ta có: $y\text{'}=e^{-x}-x.e^{-x}=\left(1-x\right)e^{-x}$

Nhân hai vế cho x, ta được $x.y\text{'}=x.(1-x).e^{-x}=(1-x).y$

Đáp án cần chọn là: C.

Điều kiện: x+y>0, x-y>0

$$\begin{gathered} {\log }_4(x+y)+{\log }_4(x-y)\ge 1 \\ \iff {\log }_4\left(x^2-y^2\right)\ge 1\iff x^2-y^2\ge 4 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} P=2x-y \\ =\frac{x+y+3\left(x-y\right)}{2}\ge \sqrt{\left(x+y\right).3\left(x-y\right)} \\ =\sqrt{3\left(x^2-y^2\right)}\ge \sqrt{3.4}=2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Dấu bằng xảy ra khi:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=3(x-y)\\ x^2-y^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=3(x-y)\\ 3{(x-y)}^2=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x-y=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ x+y=2\sqrt{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $P_{min}=2\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: C.

Vì -5<0 nên ${\left(-5\right)}^x$ không tồn tại. Do đó 1 sai.

Vì cơ số $\mathrm{\pi }>1$ nên từ ${\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\alpha }}<{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\alpha }}\Rightarrow \mathrm{\alpha }<2\mathrm{\alpha }\iff 0<\mathrm{\alpha }$. Do đó 2 sai.

Hàm số $y=a^x$ xác định với mọi x. Do đó 3 đúng.

Vì $a^x>0, \forall x\in R$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$ nên hàm $y=a^x$ có TGT là $\left(0;+\infty \right)$. Do đó 4 đúng

Vậy có 3 và 4 đúng

Đáp án cần chọn là: B.

Do $0<\frac{2}{e}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{2}{e}\right)}^x$ nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$

Đáp án cần chọn là: C.

$$\begin{gathered} y\text{'}=\left(x^2-3x\right)\text{'}.2^{x^2-3x}.\ln 2 \\ =\left(2x-3\right).2^{x^2-3x}.\ln 2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A.

$$\begin{gathered} y=2^{\sin x}\Rightarrow y\text{'}=\left(\sin x\right)\text{'}.2^{\sin x}\ln 2 \\ \Rightarrow y\text{'}=\cos x.2^{\sin x}.\ln 2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có:

$$\begin{gathered} y=2^{x^3-x^2+mx+1} \\ \Rightarrow y\text{'}=\left(3x^2-2x+m\right).2^{x^3-x^2+mx+1} \end{gathered}$$

Hàm số đã cho dồng biến trên (1;2)

$\iff y\text{'}\ge 0, \forall x\in \left(1;2\right)$

$$\begin{gathered} \iff \left(3x^2-2x+m\right).2^{x^3-x^2+mx+1}\ge 0, \\ \forall x\in \left(1;2\right) \\ \iff \left(3x^2-2x+m\right)\ge 0, \forall x\in \left(1;2\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B.

Ta có:

 nên khẳng định (1) sai.

Đặt: thì 

Xét nên hàm số nghịch biến trên $[2;+\infty )$

hay $f\left(x\right)<1, \forall x$

Suy ra f(1)<1, f(2)<1,.... f(2017)<1

=> f(1)+f(2)+...+f(2017)<2017 nên (2) sai

 (chẳng hạn x = 1) nên (3) sai.

Do đó không có khẳng định nào đúng.

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

+  hay khẳng định (1) đúng

+  

khẳng định (2) đúng.

+   hay khẳng định (3) sai

+ Do g(2x)=2g(x)f(x), lấy đạo hàm 2 vế . Ta có:

 hay khẳng định A sai.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Đáp án cần chọn là: C.

Có số $3-\sqrt{2}>1$

Ta có:  suy ra khẳng định 1 đúng.

Ta có:  

 suy ra khẳng định 2 sai.

Ta có:

Suy ra khẳng định 3 đúng.

Ta có:

Suy ra khẳng định 4 đúng

Vậy có 3 khẳng định đúng

Đáp án cần chọn là: B.

Đáp án A: Hàm số $y={\log }_2\left(x-1\right)$ xác định nếu $x-1>0\iff x>1$ nên loại  A.

Đáp án B: Hàm số $y={\log }_2\left(x^2-1\right)$ xác định nếu $x^2-1>0\iff [\begin{array}{c}x>1\\ x<-1\end{array}$ nên loại B.

Đáp án C: Hàm số $y={\log }_2\left(x^2+1\right)$ xác định nếu $x^2+1>0$ (luôn đúng)

Vậy hàm số xác định trên R.

Đáp án D: Hàm số $y={\log }_2\left(\sqrt{x}\right)$ xác định nếu $\sqrt{x}>0\iff x>0$ nên loại D.

Đáp án cần chọn là: C.

Ta có:

Do đó  (do a,b nguyên dương và (a,b)=1)

Vậy 

Đáp án cần chọn là: A.

Chọn a = 2 chẳng hạn, khi đó f (x) và g (x) cùng đồng biến.

Mà hai hàm cùng đồng biến thì không kết luận được số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) vì nó có thể vô nghiệm, hoặc có một nghiệm, hoặc có hai nghiệm. Do đó 1 sai.

Tổng của hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, tổng của hai hàm nghịch biến là hàm nghịch biến. Do đó 2 đúng.

Dựa vào lí thuyết, đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ nhận trục Oy làm tiệm cận đứng. Do đó 3 đúng.

Đồ thị hàm số $y=a^x$ nhận trục Ox làm tiệm cận ngang. Do đó 4 sai.

Vậy có các mệnh đề 2 và 3 đúng.

Đáp án cần chọn là: B.

Cho x = 1 thì $y={\log }_{2}3$ hay đồ thị hàm số đi qua điểm $(1;{\log }_{2}3)$ chứ không phải (1;0) nên A sai.

Cho x = 3 thì hay đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(3;{\log }_{2}9\right)$ nên B sai.

Cho x = 0 thì 3x = 0 nên hàm số không xác định tại x = 0, loại C.

Cho x = 2 thì hay đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(2;1+{\log }_{2}3\right)$

Đáp án cần chọn là: D.

Cho $x=-1\Rightarrow y={\log }_{\frac{1}{2}}\left(1\right)=0$ nên đồ thị hàm số đi qua điểm (-1;0)

Cho $x=\pm 2\Rightarrow y={\log }_{\frac{1}{2}}\left(4\right)=-2$ nên đồ thị hàm số đi qua điểm (2;-2); (-2;-2)

Cho $x=\frac{1}{2}\Rightarrow y={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}=2$ nên đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(\frac{1}{2};2\right)$ chứ không phải $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Đáp án cần chọn là: C.

TXĐ: $D=\left(-1;+\infty \right)$

Đạo hàm 

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số giảm trên (-1;0) và tăng trên $\left(0;+\infty \right)$

Đáp án cần chọn là: C.

Viết lại 

Nếu để ý thấy thì đây là hàm bậc ba thuần túy và có đạo hàm:

Lập BBT, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)

Đáp án cần chọn là: D.

Tập xác định: $D=R\backslash \left\{0\right\}$. Do đó A sai.

Với x > 0, ta có $y={\log }_{4}x\Rightarrow$ hàm số đồng biến.

Với x < 0, ta có => y nghịch biến.

Do đó B sai.

Ta có:

=> hàm số $y={\log }_4\left|x\right| \left(x\ne 0\right)$ chẵn trên tập xác định nên nhận Oy làm trục đối xứng. Do đó C đúng.

Đáp án D sai. Ta có . Suy ra x = 0 là tiệm cận đứng.

Đáp án cần chọn là: C.

loga+logb=log(ab) nên ý A sai.

Nhận thấy $a^{x+y}=a^x.a^y$ nên mệnh đề ở ý B sai.

Vì $12>1\Rightarrow y={\log }_{12}x$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ nên D sai.

Đáp án cần chọn là: C.

Hàm số $y={\log }_{a}x \left(0<a\ne 1\right)$

+ TXĐ: $\left(0;+\infty \right)$ nên C sai

+ Đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ nếu a > 1 và nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$ nếu  0<a<1nên A đúng.

+ Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = 0 và không có tiệm cận ngang nên B đúng.

+ Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: C.

Vì cơ số $e>1\Rightarrow y=\ln x$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$. Do đó 1) sai.

Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có cơ số $a=\frac{1}{2}\in \left(0;1\right)$ nên nghịch biến trên R, suy ra nghịch biến trên khoảng (1;3). Do đó 2) đúng.

Nếu cơ số $a\in \left(0;1\right)\Rightarrow y={\log }_{a}x$ nghịch biến. Vì vậy với M>N>0 thì ${\log }_{a}M>{\log }_{a}N$. Do đó 3) sai.

Ta có ${\log }_{a}3<0\Rightarrow {\log }_{a}3<{\log }_{a}1\Rightarrow 0<a<1$. Do đó 4) đúng

Vậy có 2) và 4) đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: 

Do đó hàm số có tập xác định là D = R. Suy ra C đúng.

Đạo hàm

. Do đó A đúng.

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, ta có:

hay

Suy ra . Do đó B đúng, D sai

Đáp án cần chọn là: D.

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta được:

Đáp án cần chọn là: D.

Ta có:

Đáp án cần chọn là: D.

Ta có:

Đáp án cần chọn là: D.

Ta có:

Đáp án cần chọn là: C.

Ta có:

Mà 

Suy ra 

Đáp án cần chọn là: D.

Ta có:

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Đáp án cần chọn là: C.

Dựa vào đồ thị thấy có tiệm cận đứng x = - 1. Loại đáp án A, C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (2; 1) nên chỉ có D thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Đồ thị hàm số đã cho có $y\to -\infty$ khi $x\to 0^{+}$ nên nó là đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ với a > 1

Đáp án cần chọn là: D.

Quan sát hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Đáp án cần chọn là: C.

Dựa vào lí thuyết “Đồ thị hàm số y = f (x) đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y=-f(x)”

Do đó đồ thị hàm số $y={\log }_{2}x$ đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số $y=-{\log }_{2}x={\log }_{2^{-1}}x={\log }_{\frac{1}{2}}x$

Đáp án cần chọn là: A.

Kẻ đường thẳng y=m>0 như hình vẽ ta có:

Quan sát hình vẽ ta thấy 

Mà m > 0 nên b<c<a hay a>c>b

Đáp án cần chọn là: C.

Ta thấy hàm $y={\log }_{a}x$ có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi xuống nên là hàm nghịch biến hay 0 < a < 1.

Còn hàm số $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ là những hàm đồng biến  => b,c>1

Từ đó loại được các đáp án C, D

Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị $x_0>1$ thì đồ thị hàm số $y={\log }_{b}x$ nằm trên đồ thị hàm số  hay  

Vậy a < b < c

Đáp án cần chọn là: B.

Giải điều kiện 

Suy ra -2<m<2.

Đáp án cần chọn là: D.

Hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn $\left[1;e^2\right]$

Đạo hàm 

Ta có: 

Đáp án cần chọn là: C.

Giả sử $M\left(x_m;y_m\right)$ là điểm thuộc hàm số $y=a^x; N\left(x_0;y_0\right)$ là điểm đối xứng của M

qua đường thẳng y = - x.

Gọi I là trung điểm của MN 

Vì M, N đối xứng nhau qua d 

Ta có: $M\left(x_m;y_m\right)\in$ đồ thị $y=a^x$ nên $y_M=a^{x_M}$

Do đó, 

Điều này chứng tỏ điểm N thuộc đồ thị hàm số $f\left(x\right)=-{\log }_3(-x)$

Khi đó 

Đáp án cần chọn là: C.

Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn: $y=3^{\frac{x}{2}}={\left(\sqrt{3}\right)}^x$

Dựa vào lý thuyết “Hai hàm số $y=a^x$ và $y={\log }_{a}x$ có đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x”

Khi đó đồ thị hàm số $y=3^{\frac{x}{2}}={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ đối xứng với đồ thị hàm số $y={\log }_{\sqrt{3}}x=2{\log }_{3}x$ qua đường thẳng y = x.

Đáp án cần chọn là: A.

Đặt $t=\ln x, t\in R$. Hàm số đã cho trở thành  (1)

Xét hàm số t=lnx với $x\in \left(e^2;+\infty \right)$ ta có: 

Do đó hàm số t=lnx đồng biến trên khoảng $\left(e^2;+\infty \right)$, do đó ta có $t\in \left(2;+\infty \right)$

Yêu cầu bài toán trở thành: tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số m để hàm số

 đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$

Ta có: 

Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ khi nó xác định trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$. Đồng thời $f\text{'}\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left(2;+\infty \right)$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn.

Do đó, 

Suy ra không có giá trị nguyên không dương nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: C.

Ta có: 

Đặt $t={\log }_{2}x$, với $x\in \left(0;1\right)\Rightarrow t\in \left(-\infty ;0\right)$

=> hàm số  đồng biến trên khoảng (0; 1) khi và chỉ khi  đồng biến trên $\left(-\infty ;0\right)$

Đáp án cần chọn là: C.

Xét hàm số $y={\log }_{\frac{e}{3}}\left(x-1\right)$ có TXĐ: $D=\left(1;+\infty \right)$ và $a=\frac{e}{3}<1$

=> hàm số nghịch biến trên $\left(1;+\infty \right)$

Đáp án cần chọn là: A.

Hàm số $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left({\log }_4\left({\log }_{\frac{1}{4}}\left({\log }_{16}\left({\log }_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right)$ xác định

Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là: 

=> Tập xác định là khoảng có độ dài là 

Vậy m-n=256-15=241

Đáp án cần chọn là: C.

Lấy điểm $A(x_0;a^{x_0})\in \left(C_1\right)$ (đồ thị của hàm số $y=a^x$. Gọi B là điểm đối xứng của A qua M (1; 1)

=> hàm số 

Đáp án cần chọn là: B.

Gọi ta có: 

=>  (do )

Theo bài ra ta có: 

Đáp án cần chọn là: D.

Ta có: $f\left(x\right)=\ln \left(e^x+m\right)$

Điều kiện: $e^x+m>0$

Đáp án cần chọn là: A.

Ta có:

Đặt . Khi đó 

Đáp án cần chọn là: D.

ĐKXĐ: $x\ne 0; x\ne 2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Đặt 

Ta có:

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy dể phương trình có nghiệm duy nhất thì:

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 505+506=1011

Đáp án cần chọn là: B.