Các Mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK.

Xét mệnh đề D. Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngoài  $x_0\in \left(a;b\right)$ là cực đại của  $f\left(x\right)$ thì còn có cực trị nào khác nữa hay không. Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác) thì tính đơn điệu của hàm sẽ bị thay đổi theo.

Có thể xét ví dụ khác: Xét hàm  $f\left(x\right)=x^4-2x^2$, hàm số này đạt cực đại tại  $x_0=0\in \left(-2;2\right)$, nhưng hàm số này không đồng biến trên  $\left(-2;0\right)$ và cũng không nghịch biến trên  $\left(0;2\right).$ 

Chọn D.

Chọn D

vì theo định lí trong SGK. Các mệnh đề sau sai vì:

Mệnh đề A sai, ví dụ hàm  $y=\left|x\right|$ không có đạo hàm tại  $x=0$ nhưng đạt cực tiểu tại  $x=0$ .

Mệnh đề B thiếu điều kiện  $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu khi qua .

Mệnh đề C sai, ví dụ hàm  $y=x^4$ có   $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0\end{array}\right.$ nhưng  $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn A

vì đúng theo lý thuyết SGK. Các mệnh đề sau sai vì:

Mệnh đề B thiếu điều kiện  $f\text{'}\left(x\right)$  đổi dấu khi qua  $x_0$.

Mệnh đề C sai, ví dụ hàm  $y=x^4$ có  $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0\end{array}\right.$ nhưng  $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Mệnh đề D sai. Sửa lại cho đúng là Nếu  $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và  $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại .

Mệnh đề A sai (phải thêm điều kiện  $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu khi qua  $x_0$).

Mệnh đề B sai. Sửa lại cho đúng là Nếu dấu của   $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi x qua  $x_0$ thì  $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.

Mệnh đề C đúng, từ đó hiểu rõ tại sao D sai. (Phân biệt điểm cực tiểu của hàm số và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số).

Chọn C.

Chọn C.

Ta có  $y\text{'}=3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\Rightarrow y=4\\ x=1\Rightarrow y=0\end{array}\right..$

Do đó giá trị cực đại của hàm số là  $y_{\text{CD}}=4$. Chọn A.

Ta có  $y\text{'}=3x^2-10x+3;y\text{'}=0\iff 3x^2-10x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right..$ Chọn D.

Ta có  $y\text{'}=3x^2-3=3\left(x^2-1\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\to y\left(-1\right)=3\\ x=1\to y\left(1\right)=-1\end{array}\right..$

Vậy hàm số đạt cực đại tại  $x=-1$. Chọn A.

Ta có  $y\text{'}=3x^2-6x=3x\left(x-2\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\to y=0\\ x=2\to y=-4\end{array}\right..$

 Chọn C.

Ta có  $y\text{'}=3x^2+8x-3;y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right..$

Vẽ bảng biến thiên, ta kết luận được  $x_{\text{CT}}=\frac{1}{3}$. Chọn A.

Ta có  $y\text{'}=3x^2-6x-9;y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\to y\left(3\right)=-23\\ x=-1\to y\left(-1\right)=9\end{array}\right..$

Suy ra  $P=y_1.y_2=9.\left(-23\right)=-207$. Chọn C.

Ta có  $y\text{'}={\left(x-2\right)}^2+\left(x+1\right).2\left(x-2\right)=3x\left(x-2\right)$;  $y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\to y=4\\ x=2\to y=0\end{array}\right..$

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là  $A\left(0;4\right)$ và  $B\left(2;0\right)$.

Suy ra $AB=2\sqrt{5}$. Chọn A.

Ta có  $f\left(x\right)=x^4-6x^2+9\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=4x^3-12x$.

Tính  $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x^2-12;f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\pm 1$.

Vẽ bảng biến thiên, ta thấy  $f\text{'}\left(x\right)$ đạt cực đại tại  $x=-1$, giá trị cực đại  $f\text{'}\left(-1\right)=8$.

Chọn C.

Ta có  $y^{\text{'}}=-6x^2+6x;y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=1\\ x=1\Rightarrow y=2\end{array}\right..$

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là  $A\left(0;1\right)$ và  $B\left(1;2\right)$.

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình  $y=x+1.$ 

Cách 2. Lấy y chia cho y', ta được  $\iff y=\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)y^{\text{'}}+x+1$.

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là y=x+1.

Chọn B.

Xét hàm  $y=x^3-3x^2+1$, có  $y^{\text{'}}=3x^2-6x\stackrel{}{\to }{y}^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\to y\left(0\right)=1\\ x=2\to y\left(2\right)=-3\end{array}\right..$

Suy ra  $A\left(0;1\right),B\left(2;-3\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là  $\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)\stackrel{}{\to }$VTPT  $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(2;1\right).$

Đường thẳng  $d:y=\left(2m-1\right)x+3+m$ có một VTCP là  $\overrightarrow{n_d}=\left(2m-1;-1\right).$

Ycbt  $\iff \overrightarrow{n_{AB}}.\overrightarrow{n_d}=0\iff 2.\left(2m-1\right)-1=0\iff m=\frac{3}{4}.$ Chọn D.

Ta có  $y\text{'}=-4x^3+4x=-4x\left(x^2-1\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}\right..$

Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. 

Cách 2. Ta có  $\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}\right.\stackrel{}{\to }ab<0\stackrel{}{\to }$ đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.

Vì  $a=-1<0$ nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.

Chọn D.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị => phương trình  $y^{\text{'}}=0$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt với   $a,b,c$ là các số thực.

Chọn D.

Ta có  $f\text{'}\left(x\right)=4x^3-4x\stackrel{}{\to }f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\to f\left(0\right)=3\\ x=\pm 1\to f\left(\pm 1\right)=2\end{array}\right..$

Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là  $A\left(0;3\right),B\left(1;2\right),C\left(-1;2\right)$.

Gọi H là trung điểm  $BC\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}H\left(0;2\right)\\ AH\perp BC\end{array}\right..$ Khi đó  $z_1=1+i$

 Chọn B.

Nhận thấy y' đổi dấu khi qua x=-3 và x=2 nên hàm số có 2 điểm cực trị. (x=1 không phải là điểm cực trị vì y' không đổi dấu khi qua x=1).

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:

= Hàm số có ba điểm cực trị, gồm các điểm  $x=-1,x=1,x=0$ vì đạo hàm $y^{\text{'}}$ đổi dấu đi qua các điểm đó.

= Hàm số đạt cực đại tại  $x=0$, đạt cực tiểu tại  $x=\pm 1.$

(đáp án A sai vì hàm số chỉ có hai giá trị cực trị là  $y_{\text{CD}}=-3$ và  $y_{\text{CT}}=-4$. Nói đến đồ thị hàm số thì khi đó mới có ba điểm cực trị là  $A\left(0;-3\right),B\left(-1;4\right),C\left(1;-4\right).$)

Chọn B. 

● Tại  $x=x_2$ hàm số  $y=f\left(x\right)$ không xác định nên không đạt cực trị tại điểm này.

● Tại  $x=x_1$  thì dễ thấy hàm số đạt cực đại tại điểm này.

● Tại $x=x_0$, hàm số không có đạo hàm tại  $x_0$ nhưng liên tục tại  $x_0$ thì hàm số vẫn đạt cực trị tại  $x_0$ và theo như bảng biến thiên thì đó là cực tiểu.

Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

=  $f^{\text{'}}\left(x\right)$ đổi dấu từ  $"+"$ sang  $"-"$ khi đi qua điểm  $x_1$ nhưng tại  $x_1$ hàm số  $f\left(x\right)$ không xác định nên  $x_1$ không phải là điểm cực đại.

=  $f^{\text{'}}\left(x\right)$ đổi dấu từ  $"-"$ sang  $"+"$ khi đi qua điểm  $x_2$ suy ra  $x_2$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số  $y=f\left(x\right)$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$có hai điểm cực trị suy ra đồ thị hàm số  $y=\left|f\left(x\right)\right|$ có 3 điểm cực trị.

Chọn B.

Dễ nhận thấy hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x=1

Xét hàm số  $f\left(x\right)$ trên khoảng  $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, ta có  $f\left(x\right)<f\left(0\right)$ với mọi  $x\in \left(-\frac{1}{2};0\right)\cup \left(0;\frac{1}{2}\right)$. Suy ra  $x=0$ là điểm cực đại của hàm số.

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn D.

Dễ nhận thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua  $Oy.$

Vấn đề nằm ở chỗ là điểm có đồ thị gấp khúc có phải là điểm cực trị của đồ thị hàm số hay không? Câu trả lời là có (tương tự lời giải thích như câu 25).

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị, gồm 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.

Chọn A.

Hàm số xác định trên $ℝ$ và có đạo hàm  $y\text{'}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}},\forall x\ne 0.$

Ta có  $\left[\begin{array}{l}y\text{'}>0,\forall x>0\\ y\text{'}<0,\forall x<0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }y\text{'}$ đổi dấu khi qua  $x=0$.

Vậy  $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn B.

TXĐ:  $\text{D}=ℝ.$

Ta có  $y=\left\{\begin{array}{l}{x}^3-3x+1,x\ge 0\\ -x^3-3x+1,x<0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }y\text{'}=\left\{\begin{array}{l}3x^2-3,x>0\\ -3x^2-3,x<0\end{array}\right.$. Suy ra  $y\text{'}=0\iff x=1$.

Lập bảng biến thiên ta thấy  $y\text{'}$ chỉ đổi dấu khi qua  $x=1.$

Vậy hàm số có một điểm cực trị.

Chọn B.

Ta có  $y\text{'}=3x^2-6mx+6m=3\left(x^2-2mx+2m\right)$.

Để hàm số có hai điểm cực trị  $\iff x^2-2mx+2m=0$  có hai nghiệm phân biệt

 $\iff \Delta \text{'}=m^2-2m>0\iff \left[\begin{array}{l}m<0\\ m>2\end{array}\right..$

Chọn C.

Nếu  $m=0$ thì  $y=x^2+x+2017$: Hàm bậc hai luôn có cực trị.

Khi  $m\ne 0$, ta có  $y\text{'}=m{x}^2+2x+1$.

Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình  $m{x}^2+2x+1=0$ có hai nghiệm phân biệt  $\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta \text{'}=1-m>0\end{array}\right.\iff 0\ne m<1.$

Hợp hai trường hợp ta được  $m<1$ .

Chọn D.

Ta có  $y\text{'}=3{\left(x+a\right)}^2+3{\left(x+b\right)}^2-3x^2,\forall x\in ℝ$.

Có  $y\text{'}=0\iff {\left(x+a\right)}^2+{\left(x+b\right)}^2-x^2=0\iff x^2+2\left(a+b\right)x+a^2+b^2=0.$  $\left(\ast \right)$

Để hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi  $\left(\ast \right)$ có hai nghiệm phân biệt

 $\iff \Delta \text{'}={\left(a+b\right)}^2-\left(a^2+b^2\right)>0\iff ab>0$. Chọn A.

Nếu  $m=3$ thì  $y=-6x^2+3$. Đây là một Parabol nên luôn có một cực trị.

● Nếu  $m\ne 3$, ta có  $y\text{'}=3\left(m-3\right)x^2-4mx$.

Để hàm số có không có cực trị khi  $y\text{'}=0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

 $\iff \Delta \text{'}=4m^2\le 0\iff m=0.$ Chọn C.

Ta có  $y\text{'}=x^2-\left(3m+2\right)x+\left(2m^2+3m+1\right)$.

Yêu cầu bài toán  $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm  $x=3$  hoặc  $x=5$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}9-3\left(3m+2\right)+\left(2m^2+3m+1\right)=0\\ 25-5\left(3m+2\right)+\left(2m^2+3m+1\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m^2-6m+4=0\\ 2m^2-12m+16=0\end{array}\right.\iff m=2$.

Chọn C.

Đạo hàm  $y^{\text{'}}=6x^2+2bx+c$ và  $y^{\text{'}\text{'}}=12x+2b$.

Điểm  $M\left(1;-6\right)$ là điểm cực tiểu  $\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ y\left(1\right)=-6\\ y^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2b+c=-6\\ b+c=-9\\ 2b+12>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3\\ c=-12\end{array}\right..$

Khi đó  $y=f\left(x\right)=2x^3+3x^2-12x+1$.

Ta có  $f^{\text{'}}\left(x\right)=6x^2+6x-12;f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}f\left(-2\right)=21\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(-2\right)<0\end{array}\right..$

Suy ra  $N\left(-2;21\right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Chọn B.

Ta có  $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2bx+c$.

Vì  $M\left(0;2\right),N\left(2;-2\right)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên

     $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(0\right)=0\\ y^{\text{'}}\left(2\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}c=0\\ 12a+4b+c=0\end{array}\right.;$  (1)

     $\left\{\begin{array}{l}y\left(0\right)=2\\ y\left(2\right)=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}d=2\\ 8a+4b+2c+d=-2\end{array}\right..$                  (2)

Giải hệ (1) và (2), ta được  $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\\ c=0\\ d=2\end{array}\right.\stackrel{}{\to }y=x^3-3x^2+2\stackrel{}{\to }y\left(-2\right)=-18.$

 Chọn D.

Ta có  $y\text{'}=3a{x}^2+2bx+c$.

Hàm số nhận  $x=-1$ là một điểm cực trị nên suy ra  $x=-1$

 $\iff 3a-2b+c=0\iff 3a+c=2b$.

Chọn C.

Ta có  $y\text{'}=x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-3$.

Yêu cầu bài toán  $\iff y\text{'}=0$  có hai nghiệm phân biệt  $x_1\ne x_2=-1$ 

 $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}={\left(m+1\right)}^2-\left(m^2-3\right)>0\\ y\text{'}\left(-1\right)=m^2+2m=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m+4>0\\ m^2+2m=0\end{array}\right.\iff m=0.$ 

Chọn A.

Ta có  $y\text{'}=9x^2-2mx+m$.

Để hàm số có hai điểm cực trị  $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt

 $\iff \Delta \text{'}=m^2-9m>0\iff \left[\begin{array}{l}m<0\\ m>9\end{array}\right..$  $\left(*\right)$ 

Theo giả thiết:  $y\text{'}\left(-1\right)=0\iff 9+3m=0\iff m=-3$ (thỏa mãn  $\left(*\right)$).

Với  $m=-3$ thì  $y\text{'}=9x^2+6x-3;y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right..$ Chọn B.

Thử từng đáp án.

● Kiểm tra khi m=0 thì hàm số có đạt cực đại tại x=1 không

Và tiếp theo tính tại  $x=1^{-}$ (cho  $x=0.9$) và  $x=1^{+}$ (cho  $x=1.1$)

Vậy y' đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị  $x=1\stackrel{}{\to }x=1$ là điểm cực tiểu.

 $\stackrel{}{\to }m=0$ loại => Đáp án A hoặc D sai.

● Tương tự kiểm tra khi  $m=2$ 

Và tiếp theo tính tại  $x=1^{-}$ (cho  $x=0.9$) và  $x=1^{+}$ (cho  $x=1.1$)

Ta thấy y' đổi dấu từ dương sang âm qua giá trị  $x=1\stackrel{}{\to }x=1$ là điểm cực đại.

 $\stackrel{}{\to }m=2$  thỏa mãn => Đáp án B chính xác. Chọn B.

Ta có  $y\text{'}=x^2-2mx+\left(m^2-4\right)$.

Vì  $x=-1$ là điểm cực tiểu của hàm số  $\stackrel{}{\to }y\text{'}\left(-1\right)=0\iff m^2+2m-3=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-3\end{array}\right..$

Thử lại ta thấy chỉ có giá trị  $m=-3$ thỏa mãn y' đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua x=-1.

Chọn B.

Đạo hàm  $f\text{'}\left(x\right)=12x^2+2mx-12$ và  $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=24x+2m$.

Riêng hàm bậc ba, yêu cầu bài toán tương đương với  $\left\{\begin{array}{l}f\text{'}\left(-2\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(-2\right)>0\end{array}\right.$

 $\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}12.4-4m-12=0\\ -48+2m>0\end{array}\right.\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m=9\\ m>24\end{array}\right.$: vô nghiệm.

Chọn D.

Nếu  $a=0$ thì  $y=1$: Hàm hằng nên không có cực trị.

● Với  $a\ne 0$, ta có  $y\text{'}=3a{x}^2-2ax=ax\left(3x-2\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2}{3}\end{array}\right..$

    ▪  $a>0\stackrel{}{\to }y\text{'}$ đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua  $x=\frac{2}{3}\stackrel{}{\to }$ hàm số đạt cực tiểu tại điểm  $x=\frac{2}{3}$. Do đó  $a>0$ thỏa mãn.

    ▪  $a<0\stackrel{}{\to }y\text{'}$ đổi dấu từ "+" sang "-" khi qua  $x=\frac{2}{3}\stackrel{}{\to }$hàm số đạt cực đại tại điểm  $x=\frac{2}{3}$. Do đó  $a<0$ không thỏa mãn.

Chọn B.

Nhận xét. Nếu dùng  $\left\{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)=0\\ y^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)>0\end{array}\right.$ mà bổ sung thêm điều kiện  $a\cancel{=}0$ nữa thì được, tức là giải hệ  $\left\{\begin{array}{l}a\cancel{=}0\\ y^{\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)=0\\ y^{\text{'}\text{'}}\left(\frac{2}{3}\right)>0\end{array}\right.$. Như vậy, khi gặp hàm  $y=a{x}^3+b{x}^2+cd+d$ mà chưa chắc chắn hệ số  $a\cancel{=}0$ thì cần xét hai trường hợp   $a=0$ và  $a\cancel{=}0$ (giải hệ tương tự như trên).