20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hai đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2 x^{2} - x + 1$ và đồ thị hàm số $y = x^{2} - x + 3$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình:

$x^{3} + 2 x^{2} - x + 1 = x^{2} - x + 3 \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} + 2 x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Như vậy hai đồ thị có 1 điểm chung

Câu 2:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R có BBT:

Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào?

A. $y = x^{3} + 2 x^{2} - 5$

B. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3$

C. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Nhận xét: dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 3 nên loại đáp án B.

Ngoài cùng bên phải của $y < 0 \Rightarrow a < 0$ nên loại đáp án A.

Thay lần lượt hai điểm (0; - 1) và (2; 3) vào 2 hàm số còn lại

Thay x = 0 vào cả hai hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ và $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$ ta thu được $y = - 1 \Rightarrow (0; - 1)$ đều thuộc vào 2 đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ và $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Thay x = 2 vào hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ ta được $y = 3 \Rightarrow (2; 3)$ thuộc vào đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$

Thay x = 2 vào hàm số $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$ ta được $y = - 21 \Rightarrow (2; 3)$ không thuộc vào đồ thị hàm số $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{4} + b^{2} x^{2} + 1 (a > 0)$ . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là sai?

A. Đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi a, b

B. Đồ thị hàm số không có tâm đối xứng

C. Đồ thị hàm số luôn có duy nhất 1 điểm cực trị với mọi $a > 0, b \in R$

D. Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Xem đáp án

Đáp án C

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0; 1) cố định nên A đúng.

Đồ thị hàm số không có tâm đối xứng nên B đúng.

Có

$y' = 4 a x^{3} + 2 b^{2} x = 2 x (4 a x^{2} + b^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 4 a x^{2} + b^{2} = 0 \end{matrix}$

Phương trình $4 a x^{2} + b^{2} = 0$ chỉ có thể vô nghiệm nếu $b \neq 0$ và có nghiệm duy nhất x = 0 nếu b = 0

Do đó phương trình y' = 0 chỉ có nghiệm duy nhất x = 0 và y’ đổi dấu qua nghiệm đó nên hàm số chỉ có duy nhất 1 điểm cực trị (cụ thể là điểm cực tiểu) nên C đúng.

D sai vì đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương không có tâm đối xứng

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 2)$

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3

C. $f (x) \geq 0, \forall x \in R$

D. Hàm số đồng biến trên (0;3)

Xem đáp án

Đáp án C

A sai vì hàm số chỉ nghịch niến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(0; 2)$

B sai vì hàm số đạt giá trị cực đại là y = 3 tại x = 0.

C đúng vì từ bảng biến thiên ta thấy:

$\min_{R} f (x) = 0 \Rightarrow f (x) \geq 0, \forall x \in R$

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $(- 2; 0)$ và $(2; + \infty)$

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\max_{x \in R} f (x) = 3$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 3)$

C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2

D. $\min_{x \in [0; 4]} f (x) = - 1$

Xem đáp án

Đáp án D

A sai vì y = 3 là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0), (2; + \infty)$

C sai vì x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn [0;4] thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng – 1 đạt được tại x = 2

Câu 6:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{2} - 3 x + 1$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB

A. AB = 3

B. $A B = 2 \sqrt{2}$

C. AB = 2

D. AB = 1

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P) là: $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = x^{2} - 3 x + 1$

$\Leftrightarrow x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y (1) = - 1 \\ x = 2 \Rightarrow y (2) = - 1 \end{matrix}$

Khi đó $A (1; - 1), B (2; - 1) \Rightarrow \vec{A B} (1; 0) \Rightarrow A B = 1$

Câu 7:

Các đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$ và $y = - x^{2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 4

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

$x^{4} - 2 x^{2} + 2 = - x^{2} + 4 \Leftrightarrow x^{4} - x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} = - 1 (l) \\ x^{2} = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$

Như vậy hai đồ thị có 2 giao điểm

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in (- 5; 5)$ để phương trình $f^{2} (x) - (m + 4) |f (x)| + 2 m + 4 = 0$ có 6 nghiệm phân biệt

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f^{2} (x) - (m + 4) |f (x)| + 2 m + 4 = 0$

$\Leftrightarrow {|f (x)|}^{2} - (m + 4) |f (x)| + 2 m + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} |f (x)| = 2 \\ |f (x)| = m + 2 \end{matrix}$

Dựng đồ thị hàm số ta được:

Dễ thấy phương trình $|f (x)| = 2$ có 4 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ nên để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình $|f (x)| = m + 2$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên

Do đó đường thẳng y = m + 2 cắt đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ tại 2 điểm phân biệt

Từ hình vẽ ta có:

$[\begin{matrix} m + 2 > 4 \\ m + 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m > 2 \\ m = - 2 \end{matrix}$

Mà $m \in Z$ và $m \in (- 5; 5)$ nên $m \in \{- 2; 3; 4\}$

Vậy có 3 giá trị thỏa mãn

Câu 9:

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x - 2}$

B. $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$

C. $y = \frac{4 x - 3}{2 x + 2}$

D. $y = \frac{- 2 x - 5}{- 1 - x}$

Xem đáp án

Đáp án C

- Tiệm cận đứng x = - 1 nên loại A

- Tiệm cận ngang y = 2, cả 3 đáp án B, C, D đều thỏa mãn

- Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ nên $a d - b c > 0$ . Thử vào các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn

Câu 10:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a < 0, b > 0, c > 0, d > 0$

B. $a > 0, b > 0, c < 0, d > 0$

C. $a < 0, b < 0, c < 0, d > 0$

D. $a < 0, b > 0; c < 0, d > 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $y \to - \infty$ khi $x \to + \infty$ nên a < 0.

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow d > 0$

Có $y' = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ có 2 nghiệm dương (2 điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương) $\Rightarrow$ b trái dấu với a và c, cùng dấu với a $\Rightarrow b > 0, c < 0$

Câu 11:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Tính tổng S = a + b + c + d

A. S = 0

B. S = 6

C. S = -4

D. S = 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2) ; (2; - 2)

Đồng thời đây cũng là 2 điểm cực trị của hàm số. Do đó ta có hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} f (2) = - 2 \\ f' (2) = 0 \\ f (0) = 2 \\ f' (0) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 8 a + 4 b + 2 c + d = - 2 \\ 12 a + 4 b + c = 0 \\ d = 2 \\ c = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = 0 \\ d = 2 \end{matrix}$

Vậy $S = a + b + c + d = 1 + (- 3) + 0 + 2 = 0$

Câu 12:

Cho hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$ có đồ thị như hình dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $- x^{4} + 2 x^{2} + 1 = m$ có 3 nghiệm phân biệt

A. m = 0

B. m = 1

C. m = 2

D. Không có m

Xem đáp án

Đáp án B

Xét $- x^{4} + 2 x^{2} + 1 = m$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1; y = m$

Nhìn đồ thị ta thấy khi m = 1 thì đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại đúng 3 điểm

Câu 13:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 3 x^{2}$ và $y = x^{3} + x^{2} + x + 1$ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm: $3 x^{2} = x^{3} + x^{2} + x + 1 \Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} + x + 1 = 0$

Xét hàm $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ ta có:

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \Rightarrow f (1) = 1 \\ x = \frac{1}{3} \Rightarrow f (\frac{1}{3}) = \frac{31}{27} \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy đường thẳng y = 0 chỉ cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm duy nhất nên hai đồ thị hàm số cắt nhau tại duy nhất 1 điểm

Câu 14:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 1$ tại điểm có hoành độ x = - 1 là:

A. 0

B. 2

C. -2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = x^{3} + x$

$\Rightarrow$ Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = - 1 là $k = y' (- 1) = - 2$

Câu 15:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 2 x^{3} + 4 x + 2$ tại điểm có hoành độ bằng 0

A. y = 4x

B. y = 4x + 2

C. y = 2x

D. y = 2x + 2

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là A(0; 2)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng: $y = y' (0) (x - 0) + 2$

Ta có: $y' = - 6 x^{2} + 4 \Rightarrow y' (0) = 4$ . Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = 4 x + 2$

Câu 16:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ tại điểm có hoành độ x = 0 là:

A. y = x + 1

B. $y = x + \sqrt{2}$

C. y = x - 1

D. $y = x - \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: D = R

Ta có: $y' = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow y' (0) = 1; y (0) = 1$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 0 là:

$y = y' (0) (x - 0) + y (0) = 1 (x - 0) + 1 = x + 1$

Câu 17:

Cho hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 2$ . Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu tiếp tuyến song song với trục hoành

A. 0

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 2 \\ x = 2 \Rightarrow y = - 2 \\ x = - 2 \Rightarrow y = - 2 \end{matrix}$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (0;2) có phương trình $y = 0 (x - 0) + 2 \Leftrightarrow y = 2$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2;-2) có phương trình $y = 0 (x - 2) - 2 \Leftrightarrow y = - 2$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (-2;-2) có phương trình $y = 0 (x + 2) - 2 \Leftrightarrow y = - 2$

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 2 và y = - 2

Câu 18:

Tìm m để phương trình $x^{5} + x^{3} - \sqrt{1 - x} + m = 0$ có nghiệm trên $(- \infty; 1]$

A. $m \geq - 2$

B. m > 2

C. $m \leq - 2$

D. m < 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị (C): $y = x^{5} + x^{3} - \sqrt{1 - x}$ và đường thẳng d: y = -m

Xét hàm số (C): $y = x^{5} + x^{3} - \sqrt{1 - x}$ có $y' = 5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} > 0 \forall x \in (- \infty; 1) \Rightarrow$ hàm số luôn đồng biến trên $(- \infty; 1]$

Lại có y(1) = 2

Ta có BBT:

Theo BBT ta thấy phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - m \leq 2 \Leftrightarrow m \geq - 2$

Câu 19:

Đồ thị hàm số nào sau đây có tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục tung có hệ số góc âm?

A. $y = \frac{5 x + 1}{x + 1}$

B. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x + 1$

D. $y = \frac{1}{x + 1}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đối với hàm số $y = \frac{5 x + 1}{x + 1}$ thì $y' = \frac{4}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 1$

$\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương

Đối với hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ thì $y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 1$

$\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương

Đối với hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x + 1$

$\Rightarrow y' = x^{2} + 2 x + 4 = {(x + 1)}^{2} + 3 > 0, \forall x$

$\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương

Xét hàm số $y = \frac{1}{x + 1}$ có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là A (0; 1)

Có $y' = \frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1 \Rightarrow y' (0) < 0$

$\Rightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến tại A có hệ số âm

Câu 20:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất

A. y = 2x - 2

B. y = 2x - 1

C. y = -2x

D. y = -2x + 1

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số: $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ trên R

Có $y' = 3 x^{2} - 6 x + 5 = 3 {(x - 1)}^{2} + 2 \geq 2$

Dấu bằng xảy ra khi x = 1

Với $x = 1 \Rightarrow y = 1$

Vậy đường thẳng cần tìm là $y - 1 = 2 (x - 1) \Leftrightarrow y = 2 x - 1$