35 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 1)

$\begin{array}{l} I = \int 2 \sin 3 x . \cos 2 x d x = \int (\sin 5 x + \sin x) d x \\ = \int \sin 5 x d x + \int \sin x d x = - \frac{cos5x}{5} - c osx +C \end{array}$

Câu 4:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số

y = x e^{x^{2}}

. Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

A. $F (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + 2$

B. $F (x) = \frac{1}{2} (e^{x^{2}} + 5)$

C. $F (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

D. $F (x) = - \frac{1}{2} (2 - e^{x^{2}})$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt

t = x^{2} \Rightarrow d t = 2 x d x

Suy ra

I = \int x . e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int e^{t} d t = \frac{1}{2} e^{t} + C = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C

Câu 5:

Tính nguyên hàm

I = \int \frac{\ln (l n x)}{x} d x

được kết quả nào sau đây?

A. $I = \ln x . \ln (\ln x) + C .$

B. $I = \ln x . \ln (\ln x) + \ln x + C .$

C. $I = \ln x . \ln (\ln x) - \ln x + C .$

D. $I = \ln (\ln x) + \ln x + C .$

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt

\ln x = t \Rightarrow d t = \frac{d x}{x}

. Suy ra

I = \int \frac{\ln (l n x)}{x} d x = \int \ln t d t

Đặt

\{\begin{cases} u = \ln t \\ d v = d t \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d t}{t} \\ v = t \end{cases}

. Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

I = t \ln t - \int d t = t \ln t - t + C = \ln x . \ln (\ln x) - \ln x + C

Câu 6:

Cho

\int_{0}^{2} f (x) d x = 3

. Khi đó

\int_{0}^{2} [4 f (x) - 3] d x

bằng

A. 2 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 8

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

\int_{0}^{2} [4 f (x) - 3] d x = 4 \int_{0}^{2} f (x) d x - 3 \int_{0}^{2} d x = 4.3 - 3 x |_{0}^{2} = 12 - 6 = 6

Câu 7:

Cho hàm số f liên tục trên đoạn

[a; b]

có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn

[a; b]

. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A. $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

B. $F' (x) = f (x)$ với mọi $x \in (a; b)$

C. $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (b) - f (a)$

D. Hàm số G cho bởi

G (x) = F (x) + 5

cũng thỏa mãn

\int_{a}^{b} f (x) d x = G (b) - G (a)

Xem đáp án

Chọn C

Câu 8:

Tích phân

I = \int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x - 1) d x

bằng

A. I = 1.

B. I = 2.

C. I = 3

D. I = -1.

Xem đáp án

Chọn A.

I = \int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x - 1) d x = \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x - \int_{0}^{1} d x = {(x^{3} + x^{2} - x)|}_{0}^{1} = 1

Câu 9:

Tích phân $K = \int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2} - 1} d x$ bằng

A. $K = \ln 2$

B. $K = 2 \ln 2$

C. $K = \ln \frac{8}{3}$

D. $K = \frac{1}{2} \ln \frac{8}{3}$

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt

t = x^{2} - 1 \Rightarrow \frac{d t}{2} = x d x

Đổi cận

x = 2 \Rightarrow t = 3; x = 3 \Rightarrow t = 8

K = \frac{1}{2} \int_{3}^{8} \frac{1}{t} d x = {\frac{1}{2} (\ln t)|}_{3}^{8} = \frac{1}{2} \ln \frac{8}{3} .

Câu 10:

Biết $\int_{0}^{b} (2 x - 4) d x = 0$ . Khi đó $b$ nhận giá trị bằng:

A. b = 0 hoặc b = 2.

B. b = 0 hoặc b = 4.

C. b= 1 hoặc b= 2.

D. b = 1 hoặc b = 4.

Xem đáp án

Chọn B.

\int_{0}^{b} (2 x - 4) d x = {(x^{2} - 4 x)|}_{0}^{b} = b^{2} - 4 b

Vậy

\int_{0}^{b} (2 x - 4) d x = 0 \Leftrightarrow b^{2} - 4 b = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 4 \\ b = 0 \end{array}

Câu 11:

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn

[0; 2]

thỏa mãn

\int_{0}^{2} f (x) d x = 6

. Giá trị của tích phân

\int_{0}^{π / 2} f (2 \sin x) \cos x d x

là

A. -6 .

B. 6 .

C. -3 .

D. 3.

Xem đáp án

Chọn D.

Đặt

t = 2 \sin x \Rightarrow d t = 2 \cos x d x

Đổi cận:

$x$	0	$\frac{π}{2}$
$t$	0	2

Vậy $\int_{0}^{π / 2} f (2 \sin x) \cos x d x = \int_{0}^{2} \frac{f (t)}{2} d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f (t) d t = 3$

Câu 12:

Tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin^{2} \frac{x}{2} d x

bằng:

A. $\frac{π}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{π}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $- \frac{π}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $- \frac{π}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin^{2} \frac{x}{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - \cos x) d x = {[x - \sin x]}_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{4} - \sin \frac{π}{4} = \frac{π}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}

Câu 13:

Tích phân

I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{3} x . \cos x d x

bằng:

A. 6

B. 5

C. 4

D. $\frac{1}{64}$

Xem đáp án

Chọn D.

Cách 1:

I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{3} x . \cos x d x = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{3} x . d (\sin x) = {\frac{\sin^{4} x}{4}|}_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{1}{64}

Vậy

I = \frac{1}{64}

Cách 2:

I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{3} x . \cos x d x

Đặt

t = \sin x \Rightarrow d t = \cos x d x

Đổi cận:

\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \frac{π}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}

Khi đó:

I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} t^{3} d t = {\frac{1}{4} t^{4}|}_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{64}

Vậy

I = \frac{1}{64}

Câu 14:

Tích phân

L = \int_{0}^{π} x \sin x d x

bằng:

A. L = p

B. L = -p

C. L = -2

D. L = 0

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt

\{\begin{cases} u = x \\ d u = \sin x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \cos x \end{cases}

Khi đó:

L = - {[x \cos x]}_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos x d x = - π \cos π + {[\sin x]}_{0}^{π} = π + \sin π - \sin 0 = π

Câu 15:

Để hàm số $f (x) = a \sin π x + b$ thỏa mãn $f (1) = 2$ và $\int_{0}^{1} f (x) d x = 4$ thì a, b nhận giá trị

A. $a = π, b = 0$

B. $a = π, b = 2$

C. $a = 2 π, b = 2$

D. $a = 2 π, b = 3$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

f (1) = 2 \Leftrightarrow a \sin π + b = 2 \Leftrightarrow b = 2

Suy ra

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (a \sin π x + 2) d x = {(- \frac{a}{π} \cos π x + 2 x)|}_{0}^{1} = \frac{2 a}{π} + 2

Mà

\int_{0}^{1} f (x) d x = 4 \Rightarrow \frac{2 a}{π} + 2 = 4 \Rightarrow a = π

Vậy

a = π, b = 2

Câu 16:

Tích phân $I = \int_{0}^{\ln 2} x e^{- x} d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2} (1 - \ln 2)$

B. $\frac{1}{2} (1 + \ln 2)$

C. $\frac{1}{2} (\ln 2 - 1)$

D. $\frac{1}{4} (1 + \ln 2)$

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt

u = x, d v = e^{- x} d x

Suy ra

d u = d x, v = - e^{- x}

I = \int_{0}^{\ln 2} x e^{- x} d x = {- x e^{- x}|}_{0}^{\ln 2} + \int_{0}^{\ln 2} e^{- x} d x = {- x e^{- x}|}_{0}^{\ln 2} - {e^{- x}|}_{0}^{\ln 2} = \frac{1}{2} (1 - \ln 2)

Câu 17:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = 2 x - x^{2}$ và đường thẳng $x + y = 2$ là:

A. $\frac{1}{6} (d v d t)$

B. $\frac{5}{2} (d v d t)$

C. $\frac{6}{5} (d v d t)$

D. $\frac{1}{2} (d v d t)$

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

y = 2 x - x^{2}

và

x + y = 2

là:

2 x - x^{2} = 2 - x \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}

Ta có:

x^{2} - 3 x + 2 \leq 0, \forall x \in [1; 2]

Do đó:

S = \int_{1}^{2} |x^{2} - 3 x + 2| d x = - \int_{1}^{2} (x^{2} - 3 x + 2) d x = \frac{1}{6}

Câu 18:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần có đánh dấu gạch trong hình) là:

A. $\int_{- 3}^{0} f (x) d x + \int_{4}^{0} f (x) d x$

B. $\int_{- 3}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x$

C. $\int_{0}^{- 3} f (x) d x + \int_{0}^{4} f (x) d x$

D. $\int_{- 3}^{4} f (x) d x$

Xem đáp án

Chọn A.

Xét trên

[- 3; 0]

thì

f (x) \geq 0 \Rightarrow \int_{- 3}^{0} |f (x)| d x = \int_{- 3}^{0} f (x) d x

Xét trên

[0; 4]

thì

f (x) \leq 0 \Rightarrow \int_{0}^{4} |f (x)| d x = - \int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{4}^{0} f (x) d x

Suy ra, xét trên

[- 3; 4]

thì

S = \int_{- 3}^{4} |f (x)| d x = \int_{- 3}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{4} f (x) d x

\Rightarrow S = \int_{- 3}^{0} f (x) d x + \int_{4}^{0} f (x) d x .

Câu 19:

Cho hai hàm số $f (x)$ và $g (x)$ liên tục trên $[a; b]$ và thỏa mãn:

$0 < g (x) < f (x), \forall x \in [a; b]$ . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: $y = f (x), y = g (x)$ , $x = a; x = b$ . Khi đó V dược tính bởi công thức nào sau đây?

A. $π \int_{a}^{b} {[f (x) - g (x)]}^{2} d x$

B. $π \int_{a}^{b} [f^{2} (x) - g^{2} (x)] d x$

C. ${\{π \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x\}}^{2}$

D. $\int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x$

Xem đáp án

Chọn B.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: giới hạn bởi đồ thị $y = f (x), y = g (x),$ $x = a, x = b$ khi quay xung quanh trục Ox: $V = π \int_{a}^{b} |f^{2} (x) - g^{2} (x)| d x$

Vì

0 < g (x) < f (x), \forall x \in [a; b]

nên

V = π \int_{a}^{b} [f^{2} (x) - g^{2} (x)] d x

Câu 20:

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = \sqrt{x}

và

y = x

quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng:

A. $- π$

B. $\frac{π}{3}$

C. $\frac{π}{6}$

D. $π$

Xem đáp án

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm:

x = \sqrt{x} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}

Suy ra:

V = π |\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x| = π |{(\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{1}| = \frac{π}{6}

Câu 21:

Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = |\ln x|$ và $y = 1$ là $S = a e + \frac{b}{e} + c$ với a , b , c là các số nguyên. Tính $P = a + b + c .$

A. P = -2

B. P = 3

C. P = 0

D. P = 4

Xem đáp án

Chọn C.

Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = trị tuyệt đối ln x và y = 1 là (ảnh 1)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

|\ln x| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \ln x = 1 \\ \ln x = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = e \\ x = \frac{1}{e} \end{array}

S = \int_{\frac{1}{e}}^{e} (1 - |\ln x|) d x = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (1 + \ln x) d x + \int_{1}^{e} (1 - \ln x) d x = I_{1} + I_{2}

Tính

I_{1} = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (1 + \ln x) d x

. Đặt

\{\begin{cases} u = 1 + \ln x \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = x \end{cases}

\Rightarrow I_{1} = x (1 + \ln x) |_{\frac{1}{e}}^{1} - \int_{\frac{1}{e}}^{1} d x = 1 - x |_{\frac{1}{e}}^{1} = 1 - (1 - \frac{1}{e}) = \frac{1}{e}

Tính

I_{2} = \int_{1}^{e} (1 - \ln x) d x

. Đặt

\{\begin{cases} u = 1 - \ln x \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = - \frac{1}{x} d x \\ v = x \end{cases}

\Rightarrow I_{2} = x (1 - \ln x) |_{1}^{e} + \int_{1}^{e} d x = - 1 + x |_{1}^{e} = - 1 + (e - 1) = e - 2

Suy ra

S = e + \frac{1}{e} - 2 = a e + \frac{b}{e} + c \Rightarrow a = 1

Vậy,

P = a + b + c = 0

Câu 22:

Cho parabol

(P) : y = x^{2} + 1

và đường thẳng

d : y = m x + 2

. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A. S = 4

B. S = $\frac{4}{3}$

C. S = 0

D. S = $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là :

x^{2} + 1 = m x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 1 = 0 (*)

Ta có

Δ = m^{2} + 4 > 0, \forall m \in R

nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

x = a

và

x = b (a < b) .

Do đó (P) luôn cắt d tại 2 điểm phân biệt

A (a; m a + 2)

và

B (b; m b + 2) .

Với mọi m, đường thẳng d luôn đi qua điểm

M (0; 2) .

Mà

y_{C T} = 1.

Suy ra

m x + 2 \geq x^{2} + 1, \forall x \in [a; b] .

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là.

\begin{array}{l} S = \int_{a}^{b} (m x + 2 - (x^{2} + 1)) d x = \int_{a}^{b} (m x + 1 - x^{2}) d x = (\frac{m x}{2} + x - \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} b \\ a \end{array} \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + a b)] \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b] \\ \Rightarrow S^{2} = {(b - a)}^{2} {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \\ = [{(b + a)}^{2} - 4 a b] {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \end{array}

Vì a, b là nghiệm của phương trình (*) nên ta có

\{\begin{cases} a + b = m \\ a b = - 1 \end{cases} .

Khi đó

S^{2} = (m^{2} + 4) {(\frac{m^{2}}{6} + \frac{2}{3})}^{2} \geq 4. \frac{4}{9} = \frac{16}{9} .

Đẳng thức xảy ra khi

m = 0.

Vậy

S_{\min} = \frac{4}{3} .

Câu 23:

Trong không gian Oxyz với hệ tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ cho $\vec{O A} = - \vec{i} + 3 \vec{k}$ . Tìm tọa độ điểm A

A. $(- 1; 0; 3)$

B. $(0; - 1; 3)$

C. $(- 1; 3; 0)$

D. $(- 1; 3)$

Xem đáp án

Chọn A

Từ

Câu 24:

Cho

\vec{a} (2; 3; 1), \vec{b} (5; 6; 4)

. Tìm m, n sao cho

\vec{c} (m; n; 1)

và

[\vec{a}, \vec{b}]

cùng phương.

A. m = 2 và n = –1.

B. m = –2 và n = 1.

C. m = 1 và n = –2.

D. m = –1 và n = 2.

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

[\vec{a}, \vec{b}] = (6; - 3; - 3)

\vec{c} (m; n; 1)

và

[\vec{a}, \vec{b}]

cùng phương khi

\frac{m}{6} = \frac{n}{- 3} = \frac{1}{- 3} \Rightarrow \{\begin{cases} m = - 2 \\ n = 1 \end{cases}

Câu 25:

Cho $\vec{a} (1; - 3; 2), \vec{b} (m + 1; m - 2; 1 - m), \vec{c} (0; m - 2; 2)$ .

Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.

A. m = 0 V m = –2.

B. m = –1 V m = 2.

C. m = 0 V m = –1.

D. m = 2 V m = 0.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

[\vec{a}, \vec{b}] = (m + 1; 3 m + 1; 4 m + 1)

Ba vectơ

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

đồng phẳng khi

[\vec{a}, \vec{b}] \vec{c} = 0

\Leftrightarrow 3 m^{2} + 3 m = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 1 \end{array}

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình bình hành MNPQ có M ( 2; 0; 0) ; N ( 0; -3; 0 ) ; P ( 0; 0; -4). Tìm tọa độ điểm Q

A. $Q (- 2; - 3; - 4) .$

B. $Q (2; 3; - 4) .$

C. $Q (- 2; - 3; 4) .$

D. $Q (4; 4; 2) .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

\vec{M N} = (- 2; - 3; 0),

\vec{Q P} = (- x_{Q}; - y_{Q}; - 4 - z_{Q})

Tứ giác MNPQ là hình bình hành khi và chỉ khi

\vec{M N} = \vec{Q P}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} - x_{Q} = - 2 \\ - y_{Q} = - 3 \\ - 4 - z_{Q} = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{Q} = 2 \\ y_{Q} = 3 \\ z_{Q} = - 4 \end{cases}

Vậy Q( 2; 3; -4)

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho điểm

M (- 1; 2; 3)

. Tọa độ hình chiếu của M trên trục Ox là:

A. (-1;2;0)

B. (-1;0;0)

C. $(0; 0; 3)$

D. (0;2;0)

Xem đáp án

Chọn B.

Hình chiếu của điểm M trên trục Ox là

M_{1} (- 1; 0; 0)

Câu 28:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1; 2; -3), B(1; 0; 2), C(x,y,-2) thẳng hàng. Khi đó tổng x + y bằng bao nhiêu?

A. x + y = 1

B. x + y = 17

C. x + y = $\frac{11}{5}$

D. x + y = $- \frac{11}{5}$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có

Khi đó A, B, C thẳng hàng nên hai vecto

\vec{A B}; \vec{A C}

cùng phương

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1; 2; 4); B (- 1; 1; 4); C (0; 0; 4). Tìm số đo của

\hat{A B C}

A. $135^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $120^{0}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\vec{B A} (0; 1; 0), \vec{B C} (1; - 1; 0)$

$c o s \hat{A B C} = c o s (\hat{B A}, \vec{B C}) = \frac{0.1 + 1. (- 1) + 0.0}{\sqrt{0 + 1 + 0} \sqrt{1 + 1 + 0}} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \hat{A B C} = 135^{0}$

Câu 30:

Trong không gian

O x y z

, cho bốn điểm

A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1), D (- 2; 1; - 1)

. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. $45^{0}$

B. $60^{0}$

C. $90^{0}$

D. $135^{0}$

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi

φ

là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD

Ta có:

\vec{A B} (- 1; 1; 0), \vec{B C} (- 2; 1; - 2)

c o s φ = |c o s (\hat{B A}, \vec{B C})| = \frac{|- 1. (- 2) + 1.1 + 0. (- 2)|}{\sqrt{1 + 1 + 0} \sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\Rightarrow φ = 45^{0}

Câu 31:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho ba điểm $A (3; 2; 1), B (1; - 1; 2), C (1; 2; - 1)$ . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn $\vec{O M} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ .

A. $M (- 2; 6; - 4)$

B. $M (2; - 6; 4)$

C. $M (- 2; - 6; 4)$

D. $M (5; 5; 0)$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (- 2; - 3; 1) \Rightarrow 2 \vec{A B} = (- 4; - 6; 2) \\ \vec{A C} = (- 2; 0; - 2) \Rightarrow - \vec{A C} = (2; 0; 2) \\ \Rightarrow \vec{O M} = (- 2; - 6; 4) \Rightarrow M (- 2; - 6; 4) . \end{array}$

Câu 32:

Trong không gian với hệ trục tọa độ

O x y z

, cho tam giác ABC với

A (1; 2; 1),

B (2; 1; 3),

C (3; 2; 2)

.

Độ dài chiều cao AH của tam giác bằng

A. $\frac{\sqrt{21}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{42}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{14}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{14}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

+ $\{\begin{cases} \vec{A B} = (1; - 1; 2) \\ \vec{A C} = (2; 0; 1) \end{cases} \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 1; 3; 2)$ $\Rightarrow |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \sqrt{14}$