40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 6)

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức 2z?

A. Điểm Q

B. Điểm P

C. Điểm E

D. Điểm N

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi (a, b $\in$ ℝ)

$\Leftrightarrow$ 2z = 2a + 2bi.

Do đó điểm biểu diễn số phức 2z là E(2a; 2b).

Câu 2:

Tìm x + y thỏa mãn (2x – 3yi) + (1 – 3i) = –1 + 6i với i là đơn vị ảo.

A. –4

B. 4

C. 5

D. –2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

(2x – 3yi) + (1 - 3i) = -1 + 6i

$\Leftrightarrow$ (2x + 1) – (3y + 3)i = –1 + 6i

$\Rightarrow \{\begin{cases} 2 x + 1 = - 1 \\ 3 y + 3 = - 6 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = - 2 \\ 3 y = - 9 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 3 \end{cases}$

Do đó, x + y = (–1) + (–3) = –4.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M(1; 3; –2), cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho $\frac{O A}{1} = \frac{O B}{2} = \frac{O C}{4}$ .

A. x + 2y + 4z + 1 = 0

B. 2x – y – z – 1 = 0

C. 4x + 2y + z – 8 = 0

D. x + 2y + 4z + 10 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{O A}{1} = \frac{O B}{2} = \frac{O C}{4} = m$

$\Rightarrow$ OA = m; OB = 2m; OC = 4m

Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên tọa độ các điểm A, B, C lần lượt là A(m; 0; 0), B(0; 2m; 0), C(0; 0; 4m).

Mặt phẳng đoạn chắn (P) có phương trình là: $\frac{x}{m} + \frac{y}{2 m} + \frac{z}{4 m} = 1$

Do M $\in$ (P) nên ta có: $\frac{1}{m} + \frac{3}{2 m} - \frac{2}{4 m} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2 m} + \frac{3}{2 m} - \frac{1}{m} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{4}{2 m} = 1 \Leftrightarrow m = 2$

Từ đó, (P): $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1$

$\Leftrightarrow$ 4x + 2y + z – 8 = 0.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; 1) và B(1; 2; 3). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

A. x + 3y + 4z – 26 = 0

B. x + y + 2z – 6 = 0

C. x + 3y + 4z – 7 = 0

D. x + y + 2z – 3 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\vec{A B} = (1; 1; 2)$

Vì $\vec{A B} ⊥ (P)$ nên vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (1; 1; 2)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là và đi qua điểm A(0; 1; 1) có phương trình:

x + (y – 1) + 2(z – 1) = 0

$\Leftrightarrow$ x + y – 1 + 2z – 2 = 0

$\Leftrightarrow$ x + y + 2z – 3 = 0.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox có tọa độ là

A. (1; 0; 0)

B. (0; 2; 5)

C. (0; 0; 5)

D. (0; 2; 0)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Theo lý thuyết ta có:

Hình chiếu của điểm A(x; y; z) lên trục Ox có tọa độ là A₁(x; 0; 0)

Vậy nên, hình chiếu của điểm A(1; 2; 5) lên trục Ox có tọa độ là A₁(1; 0; 0).

Câu 6:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = –1 và x = 5 (như hình vẽ bên).

Media VietJack

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $- \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{5} f (x) d x$ .

B. $\int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x$ .

C. $\int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{5} f (x) d x$ .

D. $- \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng S là:

$S = \int_{- 1}^{5} | f (x) | d x = \int_{- 1}^{1} | f (x) | d x + \int_{1}^{5} | f (x) | d x$

$\Rightarrow S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{5} f (x) d x$

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; –2; 3), C(1; 1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa A, B sao cho khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng

\frac{2}{\sqrt{3}}

. Phương trình mặt phẳng (P) là:

A. 2x + 3y + z – 1 = 0 hoặc 3x + y + 7z + 6 = 0

B. x + y + z – 1 = 0 hoặc –2x + 37y + 17z + 13 = 0

C. x + y + 2z – 1 = 0 hoặc –2x + 3y + 7z + 23 = 0

D. x + y + z – 1 = 0 hoặc –23x + 37y + 17z + 23 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng (P) có vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (- 1; - 2; 3)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (A; B; C)$ sao cho:

$\vec{n} . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow$ (–1).A + (–2).B + 3.C = 0

$\Leftrightarrow$ A = 3C – 2B $\Rightarrow \vec{n} = (3 C - 2 B; B; C)$

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 0) và có Vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3 C - 2 B; B; C)$ có dạng:

(3C – 2B).(x – 1) + By + Cz = 0

$\Leftrightarrow$ (3C – 2B).x + By + Cz + 2B – 3C = 0

Khoảng cách từ C(1; 1; 1) đến (P) là d với:

$d = \frac{| (3 C - 2 B) .1 + B .1 + C .1 + 2 B - 3 C |}{\sqrt{{(3 C - 2 B)}^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

$= \frac{| B + C |}{\sqrt{5 B^{2} - 12 B C + 10 C^{2}}}$

+ Với C = 0 $\Rightarrow d = \frac{1}{\sqrt{5}}$ (loại)

+ Với C ≠ 0 $\Rightarrow d = \frac{| \frac{B}{C} + 1 |}{\sqrt{5 {(\frac{B}{C})}^{2} - 12 (\frac{B}{C}) + 10}}$

Đặt $t = \frac{B}{C}$ (t > 0)

Ta có: $d = \frac{| t + 1 |}{\sqrt{5 t^{2} - 12 t + 10}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Bình phương hai vế, ta được:

3|t + 1|² = 4(5t² – 12t + 10)

$\Leftrightarrow$ 3.(t² + 2t + 1) = 4.(5t² – 12t + 10)

$\Leftrightarrow$ 3t² + 6t + 3 = 20t² – 48t + 40

$\Leftrightarrow$ 17t² – 54t + 37 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \frac{37}{17} \\ t = 1 \end{matrix}$

+ Với $t = \frac{37}{17}$ , chọn B = 37, C = 17 $\Rightarrow$ A = –D = –23.

Do đó (P): –23x + 37y + 17z + 23 = 0

+ Với t = 1, chọn B = C = 1 $\Rightarrow$ A = –D = 1.

Do đó (P): x + y + z – 1 = 0.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1; –2; 3). Tính khoảng cách d từ A đến (P).

A. $d = \frac{5}{29}$ .

B. $d = \frac{5}{9}$ .

C. $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

D. $d = \frac{5}{\sqrt{29}} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách d từ A đến (P) là:

$d = \frac{| 3 x_{A} + 4 y_{A} + 2 z_{A} + 4 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}}$

$= \frac{| 3.1 + 4. (- 2) + 2.3 + 4 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}}$

$= \frac{| 3 - 8 + 6 + 4 |}{\sqrt{9 + 16 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –2; 7), B (–3; 8; –1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \sqrt{45}$

B. (x + 1)² + (y – 3)² + (z – 3)² = 45

C. (x – 1)² + (y + 3)² + (z + 3)² = 45

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \sqrt{45}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trung điểm I của A và B là $I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Nên ta có I(–1; 3; 3)

Độ dài đoạn thẳng AB là: $A B = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2} + {(z_{A} - z_{B})}^{2}}$

$= \sqrt{{(1 + 3)}^{2} + {(- 2 - 8)}^{2} + {(7 + 1)}^{2}}$

$= \sqrt{4^{2} + 10^{2} + 8^{2}} = 6 \sqrt{5}$

AB = 2R $\Rightarrow R = 3 \sqrt{5}$

Mặt cầu tâm I(–1; 3; 3) có bán kính $R = 3 \sqrt{5}$ là:

(x + 1)² + (y – 3)² + (z – 3)² = 45.

Câu 10:

Biết z là số phức có phần ảo âm và là nghiệm của phương trình z² – 6z + 10 = 0. Tính tổng phần thực và ảo của số phức $w = \frac{z}{\bar{z}}$ .

A. $\frac{7}{5}$ .

B. $\frac{1}{5}$ .

C. $\frac{2}{5} .$

D. $\frac{4}{5}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$z^{2} - 6 z + 10 = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} z_{1} = 3 + i \\ z_{2} = 3 - i \end{matrix}$

Do z là số phức có phần ảo âm nên z = 3 – i $\Rightarrow \bar{z} = 3 + i$

Từ đó $w = \frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{z . \bar{z}} = \frac{{(3 - i)}^{2}}{{| z |}^{2}}$ $= \frac{8 - 6 i}{3^{2} + 1^{2}} = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

Tổng số phần thực và phần ảo của số phức w là: $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ .

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0; 0; –3) và đi qua điểm M(4; 0; 0). Phương trình của (S) là

A. x² + y² + (z + 3)² = 5

B. x² + y² + (z + 3)² = 25

C. x² + y² + (z – 3)² = 25

D. x² + y² + (z – 3)² = 5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt cầu (S) tâm I đi qua điểm M thì bán kính mặt cầu là $R = I M = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$

Mặt cầu (S) có tâm I(0; 0; –3) và bán kính R = 5 có phương trình là: x² + y² + (z + 3)² = 25.

Câu 12:

Cho hàm số f (x) thỏa mãn $f^{'} (x) = 3 - 4 e^{2 x}$ và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f (x) = 3x – 4e^2x + 10

B. f (x) = 3x – 4e^2x + 14

C. f (x) = 3x – 2e^2x + 12

D. f (x) = 3x – 2e^2x + 10

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int f^{'} (x) d x = \int (3 - 4 e^{2 x}) d x = 3 x - 2 e^{2 x} + C$

Ta có: f (0) = C – 2 =10 $\Rightarrow$ C = 12

Vậy f (x) = 3x – 2e^2x + 12.

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a} = (2; - 2; - 4), \vec{b} = (1; - 1; 1)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\cos (\vec{a}; \vec{b}) = 0$

B.

\vec{a}

và

\vec{b}

cùng phương

C. $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ .

D. $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

+ $\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{2.1 + (- 2) . (- 1) + (- 4) .1}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = 0$

Do đó mệnh đề A đúng.

+ Với $\vec{a} = k \vec{b}$ $(k \in ℤ, k > 0)$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương. Không tìm được $(k \in ℤ, k > 0)$ thỏa mãn.

Do đó mệnh đề B sai.

+ $| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$

Do đó mệnh đề C đúng

+ $\vec{a} . \vec{b} = 2.1 + (- 2) . (- 1) + (- 4) . 1 = 0$

Khi đó $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

Do đó mệnh đề D đúng.

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (1; 2; –3) và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2; 3)$

A. x – 2y – 3z – 6 = 0

B. x – 2y – 3z + 6 = 0

C. x – 2y + 3z + 12 = 0

D. x – 2y + 3z – 12 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; –3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2; 3)$ có phương trình là:

(P): (x – 1) – 2(y – 2) + 3(z + 3) = 0

$\Leftrightarrow$ x – 1 – 2y + 4 + 3z + 9 = 0

$\Leftrightarrow$ x – 2y + 3z + 12 = 0.

Câu 15:

Cho số phức $z = \frac{(2 - 3 i) (4 - i)}{3 + 2 i}$ . Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức $\bar{z}$ trên mặt phẳng Oxy.

A. (1; 4)

B. (–1; 4)

C. (1; –4)

D. (–1; –4)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$z = \frac{(2 - 3 i) (4 - i)}{3 + 2 i} = \frac{5 - 14 i}{3 + 2 i}$

$= \frac{(5 - 14 i) . (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) . (3 - 2 i)}$

$= \frac{- 13 - 52 i}{3^{2} + 2^{2}} = - 1 - 4 i$

$\Rightarrow \bar{z} = - 1 + 4 i$

Tọa độ điểm biểu diễn của $\bar{z}$ là M(–1; 4).

Câu 16:

Cho số phức z thỏa mãn $3 (\bar{z} + i) - (2 - i) z = 3 + 10 i$ . Môđun của z bằng

A. $\sqrt{5}$ .

B. $\sqrt{3}$ .

C. 3.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho số phức $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$

$3 (\bar{z} + i) - (2 - i) z = 3 + 10 i$

$\Leftrightarrow$ 3(a – bi + i) – (2 – i)(a + bi) = 3 + 10i

$\Leftrightarrow$ (a – b) + (a – 5b + 3)i = 3 + 10i

$\Rightarrow \{\begin{cases} a - b = 3 \\ a - 5 b + 3 = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

$\Rightarrow z = 2 - i \Rightarrow | z | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{5}$

Câu 17:

Cho tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{7}}{{(1 + x^{2})}^{5}} dx$ , giả sử đặt t = 1 + x². Tìm mệnh đề đúng.

A. $I = \frac{3}{2} \int_{1}^{4} \frac{{(t - 1)}^{3}}{t^{4}} d t$

B. $I = \int_{1}^{3} \frac{{(t - 1)}^{3}}{t^{5}} d t$

C. $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{{(t - 1)}^{3}}{t^{5}} d t$

D. $I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{{(t - 1)}^{3}}{t^{5}} d t$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt: t = 1 + x² $\Rightarrow$ dt = 2x dx và x⁶ = (t – 1)³

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow I = \int_{1}^{2} \frac{{(t - 1)}^{3}}{2 t^{5}} d t = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{{(t - 1)}^{3}}{t^{5}} d t$

Câu 18:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

A. $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

B. $V = π^{2} \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

C. $V = 2 π \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

D. $V = π^{2} \int_{a}^{b} f (x) dx$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là:

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

Câu 19:

Cho hai số phức z = 1 + 3i và w = 1 + i. Mô đun của số phức

z . \bar{w}

bằng

A. $2 \sqrt{2}$ .

B. $2 \sqrt{5}$ .

C. 20.

D. 8.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\bar{w} = 1 - i$

$\Rightarrow z . \bar{w} = (1 + 3 i) . (1 - i)$

$\Rightarrow z . \bar{w} = 1 + 3 i - i - 3 i^{2} = 4 + 2 i$

$\Rightarrow | z . \bar{w} | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}$

Câu 20:

Cho

\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 1, \int_{- 2}^{4} f (t) d t = - 4

. Tính

\int_{2}^{4} f (y) d y

.

A. I = 5

B. I = –3

C. I = 3

D. I = –5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{2}^{4} f (y) d y = \int_{- 2}^{4} f (y) d y - \int_{- 2}^{2} f (y) d y$

$= \int_{- 2}^{4} f (t) d t - \int_{- 2}^{2} f (x) d x = (- 4) - 1 = - 5$

Câu 21:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x³ – x và đồ thị hàm số y = x – x².

A. $\frac{37}{12}$ .

B. $\frac{9}{4}$ .

C. $\frac{81}{12}$ .

D. 13

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

x³ – x = x – x²

$\Leftrightarrow$ x³ + x² – 2x = 0

$\Leftrightarrow$ x.(x² + x – 2) = 0

$\Leftrightarrow$ x.(x² – x + 2x – 2) = 0

$\Leftrightarrow$ x.(x – 1).(x + 2) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x - 1 = 0 \\ x + 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số là:

$S = \int_{- 2}^{1} |(x^{3} - x) - (x - x^{2})| d x$

$= \int_{- 2}^{0} (x^{3} + x^{2} - 2 x) d x - \int_{0}^{1} (x^{3} + x^{2} - 2 x) d x$

$= \frac{8}{3} - (- \frac{5}{12}) = \frac{37}{12}$

Câu 22:

Tính thể tích của vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị (P) : y = 2x – x² và trục Ox bằng:

A. $\frac{17 π}{15}$ .

B. $\frac{16 π}{15}$ .

C. $\frac{19 π}{15}$ .

D. $\frac{13 π}{15}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và Ox là:

2x – x² = 0

$\Leftrightarrow$ x.(2 – x) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 2 - x = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

Áp dụng công thức tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là:

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx = π \int_{0}^{2} {(2 x - x^{2})}^{2} dx$

$= π \int_{0}^{2} (4 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}) d x$

$= π (\frac{4}{3} x^{3} - x^{4} + \frac{1}{5} x^{5})_{0}^{2}$

$= π (\frac{4}{3} {.2}^{3} - 2^{4} + \frac{1}{5} {.2}^{5})$

$= π (\frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5}) = \frac{16}{15} π$

Câu 23:

Cho số phức z = m + 3i. Tìm m để số phức $w = i \bar{z} + 3 z$ là số thuần ảo?

A. m = 1

B. $m = \frac{- 9}{4}$

C. $m = - 1$

D. m = –3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$z = m + 3 i \Rightarrow \bar{z} = m - 3 i$

$w = i \bar{z} + 3 z = i (m - 3 i) + 3 (m + 3 i)$

= 3m + 3 + (m + 9)i

Để số phức w là số thuần ảo thì:

3m + 3 = 0

$\Leftrightarrow$ 3m = – 3

$\Leftrightarrow$ m = –1.

Câu 24:

Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A. $f^{'} (x) = F (x), \forall x \in K$

B. $F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$

C. $F^{'} (x) = - f (x), \forall x \in K$

D. $f^{'} (x) = - F (x), \forall x \in K$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo lý thuyết thì hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu:

$F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$

Câu 25:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, 3 điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của ba số phức z₁ = 3 – 7i, z₂ = 9 – 5i và z₃ = –5 + 9i. Khi đó, trọng tâm G của tam giác ABC là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

A. $z = \frac{7}{3} - i$ .

B. z = 1 – 9i

C. z = 2 + 2i

D. z = 3 + 3i

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu 3 số phức z₁, z₂, z₃ nên ta có tọa độ ba điểm lần lượt là A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

$\Rightarrow G (\frac{3 + 9 - 5}{3}; \frac{- 7 - 5 + 9}{3})$

$\Rightarrow G (\frac{7}{3}; - 1)$

Þ G là điểm biểu diễn của số phức $z = \frac{7}{3} - i$

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; –2), B (2; –3; 5). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB, tọa độ điểm M là

A. (4; 5; –9)

B. $(\frac{7}{3}; \frac{5}{3}; \frac{17}{2})$

C. $(\frac{7}{3}; - \frac{5}{3}; \frac{8}{3})$

D. (1; –7; 12)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x; y; z)

Vì điểm M thuộc đoạn AB và MA = 2MB nên $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ . Khi đó, $\{\begin{cases} x - 3 = 2 (2 - x) \\ y - 1 = 2 (- 3 - y) \\ z + 2 = 2 (5 - z) \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 = 4 - 2 x \\ y - 1 = - 6 - 2 y \\ z + 2 = 10 - 2 z \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 7 \\ 3 y = - 5 \\ 3 z = 8 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{7}{3} \\ y = - \frac{5}{3} \\ z = \frac{8}{3} \end{cases}$

Do đó $M (\frac{7}{3}; - \frac{5}{3}; \frac{8}{3})$

Câu 27:

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần A, B lần lượt bằng 11 và 2. Giá trị của

I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x

bằng

A. 9

B. 13

C. $\frac{13}{3}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt t = 3x + 1 $\Rightarrow$ dt = 3 dx

$I = \frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} f (t) d t = \frac{1}{3} (\int_{- 2}^{0} f (x) dx + \int_{0}^{1} f (x) dx)$

$= \frac{1}{3} (\int_{- 2}^{0} | f (x) | dx - \int_{0}^{1} | f (x) | dx)$

$= \frac{1}{3} (11 - 2) = 3$ .

Câu 28:

Xét các số phức z thỏa mãn $(\bar{z} + 2 i) (z - 2)$ là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

A. $\sqrt{2}$ .

B. 4.

C. 2.

D. $2 \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi số phức $(\bar{z} + 2 i) (z - 2) = (a - b i + 2 i) (a + b i - 2)$

= a² + abi – 2a – abi – b²i² + 2bi + 2ai + 2bi² – 4i

= (a² + b² – 2a – 2b) + (2a + 2b – 4)i

Để $(\bar{z} + 2 i) (z - 2)$ là số thuần ảo nên:

a² + b² – 2a – 2b = 0

$\Leftrightarrow$ a² – 2a + 1 + b² – 2b + 1 = 2

$\Leftrightarrow$ (a – 1)² + (b – 1)² = 2

Do đó tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính $R = \sqrt{2}$ .

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho (P) : x + y – 2z + 5 = 0 và (Q) : 4x + (2 – m)y + mz – 3 = 0, m là tham số thực. Tìm tham số m sao cho mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).

A. m = –3

B. m = –2

C. m = 3

D. m = 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n_{1}} = (1; 1; - 2)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\vec{n_{2}} = (4; 2 - m; m)$

Để $(P) ⊥ (Q) \Rightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = \vec{0}$

$\Rightarrow$ (1; 1; –2).(4; 2 – m; m) = 0

$\Leftrightarrow$ 1.4 + 1.(2 – m) + (– 2).m = 0

$\Leftrightarrow$ 4 + 2 – m – 2m = 0

$\Leftrightarrow$ 6 – 3m = 0

$\Rightarrow$ m = 2.

Câu 30:

Cho $\int_{5}^{21} \frac{d x}{x \sqrt{x + 4}} = a \ln 3 + b \ln 5 + c \ln 7$ , với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a – b = –2c

B. a + b = –2c

C. a + b = c

D. a – b = –c

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt $t = \sqrt{x + 4} \Rightarrow t^{2} = x + 4 \Rightarrow 2 t d t = d x$

$\Rightarrow \int_{5}^{21} \frac{d x}{x \sqrt{x + 4}} = \int_{3}^{5} \frac{2 t}{(t^{2} - 4) t} d t$

$= \int_{3}^{5} \frac{2}{(t - 2) (t + 2)} d t$ $= \frac{1}{2} \int_{3}^{5} \frac{4}{(t - 2) (t + 2)} d t$

$= \frac{1}{2} \int_{3}^{5} \frac{(t + 2) - (t - 2)}{(t - 2) (t + 2)} d t$ $= \frac{1}{2} \int_{3}^{5} (\frac{1}{t - 2} - \frac{1}{t + 2}) d t$

$= \frac{1}{2} [\ln (t - 2) - \ln (t + 2)]_{3}^{5}$

$= \frac{1}{2} [\ln (3) - \ln (7)] - \frac{1}{2} [- \ln (5)]$

$= \frac{1}{2} \ln (3) + \frac{1}{2} \ln (5) - \frac{1}{2} \ln (7)$

$\Rightarrow a = b = - c = \frac{1}{2}$

Câu 31:

Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f, g liên tục trên K và a, b là các số bất kỳ thuộc K?

A. $\int_{a}^{b} [f (x) . g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x$

B. $\int_{a}^{b} [f (x) + 2 g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + 2 \int_{a}^{b} g (x) d x$

C. $\int_{a}^{b} \frac{f (x)}{g (x)} d x = \frac{\int_{a}^{b} f (x) d x}{\int_{a}^{b} g (x) d x}$

$\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x = {[\int_{a}^{b} f (x) d x]}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tính chất của tích phân: $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$

Nên tương tự ta có $\int_{a}^{b} [f (x) + 2 g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + 2 \int_{a}^{b} g (x) d x$

Câu 32:

Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 – i)² = 4 + i. Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z.

A. M(–1; 1)

B. M (–1; –1)

C. M(1; 1)

D. M(1; –1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi số phức z = a + bi

(3 + 2i)z + (2 – i)² = 4 + i

$\Leftrightarrow$ (3 + 2i)(a + bi) + (2 – i)² = 4 + i

$\Leftrightarrow$ (3a – 2b) + (2a + 3b)i = 1 + 5i

$\{\begin{cases} 3 a - 2 b = 1 \\ 2 a + 3 b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow$ z = 1 + i

Vậy điểm M biểu diễn số phức z là M(1; 1).

Câu 33:

Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

A. 1 + 3i

B. –1 + 3i

C. –1 – 3i

D. 1 – 3i

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là z = 1 + 3i.

Câu 34:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f (1) = 0. Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ .

A. $\frac{e - 1}{2}$ .

B. $\frac{e^{2}}{4} .$

C. e – 2

D. $\frac{e}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x$

Ta có: $\{\begin{cases} u = f (x) \Rightarrow d u = f^{'} (x) dx \\ d v = (x + 1) . e^{x} dx \Rightarrow v = x . e^{x} \end{cases}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x$ $= x . e^{x} . f (x)_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x . e^{x} . f^{'} (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} x . e^{x} . f^{'} (x) dx = - \frac{e^{2} - 1}{4} = - \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} dx$

$\Rightarrow f^{'} (x) = - x . e^{x}$

$\Rightarrow f (x) = \int f^{'} (x) dx= (1 - x) . e^{x} + C$

Với f (1) = 0 Þ C = 0 Þ f (x) = (1 – x).e^x

$\int_{0}^{1} f (x) dx = \int_{0}^{1} (1 - x) . e^{x} dx$

$= (2 - x) . e^{x}_{0}^{1} = e - 2$

Câu 35:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{x^{4} + 2}{x^{2}}

A. $\int f (x) dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{x} + C$ .

B. $\int f (x) dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + C$ .

C. $\int f (x) dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{x} + C$ .

D. $\int f (x) dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x} + C$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int f (x) d x = \int \frac{x^{4} + 2}{x^{2}} d x$

$= \int (x^{2} + \frac{2}{x^{2}}) d x = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{x} + C$

Câu 36:

Giả sử $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 3 x d x = a + b \frac{\sqrt{2}}{2} (a, b \in ℚ)$ . Khi đó giá trị a – b là

A. 0

B. $- \frac{3}{10}$ .

C. $- \frac{1}{6}$ .

D. $\frac{1}{5}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin 3 x dx = - \frac{1}{3} \cos 3 x_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{3} \\ b = \frac{1}{3} \end{cases}$ $\Rightarrow$ a – b = 0.

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2y – 3z + 1 = 0. Chọn đáp án sai?

A. VTPT :

\vec{n} = (0; 2; - 3)

.

B. M(1; 1; 1)

\in

(P)

C. (P) // Ox

D. Ox

\subset

(P)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

+ Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (0; 2; - 3)$

Do đó, đáp án A đúng.

+ 2.1 – 3.1 + 1 = 0 $\Rightarrow$ M(1; 1; 1) $\in$ (P).

Do đó, đáp án B đúng.

+ Vectơ chỉ phương của Ox có dạng: $\vec{u} = (1; 0; 0) \Rightarrow \vec{n} . \vec{u} = \vec{0}$

Suy ra (P) // Ox.

Do đó, đáp án C đúng.

+ Ox $\subset$ (P). Đáp án D sai.

Câu 38:

Xét tất cả các số phức z thỏa mãn $| z - 3 i + 4 | = 1$ . Giá trị nhỏ nhất của $| z^{2} + 7 - 24 i |$ nằm trong khoảng nào?

A. (0; 1009)

B. (2018; 4036)

C. (4036; +∞)

D. (1009; 2018)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $1 = | z - 3 i + 4 | \geq | | z | - | 3 i - 4 | | = || z | - 5|$

$\Rightarrow$ −1 ≤ |z| − 5 ≤ 1

$\Rightarrow$ 4 ≤ |z| ≤ 6

Đặt $z_{0} = 4 - 3 i \Rightarrow | z_{0} | = 5, {z_{0}}^{2} = 7 - 24 i$

$I = {|z^{2} + 7 - 24 i|}^{2} = {|z^{2} + {z_{0}}^{2}|}^{2}$ $= (z^{2} + {z_{0}}^{2}) ({\bar{z}}^{2} + {\bar{z_{0}}}^{2})$

$= {| z |}^{4} + {| z_{0} |}^{4} + {(z . \bar{z_{0}} + z_{0} . \bar{z})}^{2} - 2 {| z . z_{0} |}^{2}$

Mà $(z + z_{0}) (\bar{z} + \bar{z_{0}}) = 1$

$\Rightarrow z . \bar{z_{0}} + z_{0} . \bar{z} = 1 - {| z |}^{2} - {| z_{0} |}^{2}$

$\Rightarrow I = {| z |}^{4} + {| z_{0} |}^{4} + {(1 - {| z |}^{2} - {| \bar{z_{0}} |}^{2})}^{2} - 2 {| z . z_{0} |}^{2}$

$= 2 {| z |}^{4} - 2 {| z |}^{2} + 1201$

Hàm số y = 2t⁴ – 2t² + 1201 đồng biến trên [4; 6] nên I $⩾$ 2.4⁴ – 2.4² + 1201 = 1681

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} | z | = 4 \\ | z + 4 - 3 i | = 1 \end{cases}$

Do đó $| z^{2} + 7 - 24 i | \geq 41$

Câu 39:

Mô đun của số phức liên hợp của số phức z = –2 + 5i là

A. 29

B. $\sqrt{9}$ .

C. $\sqrt{7}$ .

D. $\sqrt{29}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mô đun của số phức liên hợp của số phức z = –2 + 5i là:

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 5^{2}} = \sqrt{29}$

Câu 40:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 4)² = 20.

A. $I (- 1; 2; - 4), R = 2 \sqrt{5}$

B. I (1;–2;4), R = 20

C. $I (1; - 2; 4), R = 2 \sqrt{5}$

D. $I (- 1; 2; - 4), R = 5 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 4)² = 20 có tâm I (1; –2;4) và bán kính $R = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$