20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Hàm số mũ. Hàm số Logarit có đáp án (Thông hiểu)

Câu 1:

Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số $y = 5^{- x}$ đồng biến trên R

B. Hàm số $y = {(\frac{π}{4})}^{- x}$ nghịch biến trên R

C. Hàm số $y = {(\frac{π}{5})}^{- x}$ đồng biến trên R

D. Hàm số $y = a^{- x} (0 < a \neq 1)$ luôn nghịch biến trên R

Xem đáp án

Do $y = a^{- x} = \frac{1}{a^{x}} = {(\frac{1}{a})}^{x}$ nên:

+ Nếu 0<a<1 thì $y = a^{- x}$ đồng biến.

+ Nếu a > 1 thì $y = a^{- x}$ nghịch biến

Từ đó ta thấy các đáp án A, B, D đều sai.

Đáp án C có $0 < \frac{π}{5} < 1$ nên hàm số $y = {(\frac{π}{5})}^{- x}$ đồng biến trên R.

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 2:

Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?

A. $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$

B. $y = 2^{x}$

C. $y = 3 x^{3}$

D. $y = {(\frac{1}{3})}^{- x}$

Xem đáp án

Dáng đồ thị là của hàm số $y = a^{x}$ với a > 1 nên loại A và C

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 3) nên chỉ có D thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 3:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = {(\sqrt{3})}^{x}$

B. $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

C. $y = 2^{x} + \frac{5}{2}$

D. $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$

Xem đáp án

Dựa vào hình dáng của đồ thị từ trái sang phải ta thấy: x tăng nhưng y giảm.

Suy ra hàm số tương ứng của đồ thị là hàm nghịch biến nên loại A, C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (-1 ; 3) nên chỉ có D thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 4:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \sqrt{1 - 3^{x^{2} - 5 x + 6}}$

A. $D = [2; 3]$

B. $D = (- \infty; 2] \cup [3; + \infty)$

C. $D = [1; 6]$

D. $D = (2; 3)$

Xem đáp án

Hàm số xác định $\Leftrightarrow 1 - 3^{x^{2} - 5 x + 6} \geq 0 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 5 x + 6} \leq 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 \leq 0 \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 3$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = [2; 3]$

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 5:

Tính đạo hàm của hàm số $y = f (x) = x^{π} . π^{x}$ tại điểm x = 1.

A. $f' (1) = π$

B. $f' (1) = π^{2} + lnπ$

C. $f' (1) = π^{2} + πlnπ$

D. $f' (1) = 1$

Xem đáp án

Đạo hàm

$f' (x) = (x^{π})' . π^{x} + x^{π} . (π^{x})' = π . x^{π - 1} . π^{x} + x^{π} . π^{x} . lnπ$

Suy ra $f' (1) = π^{2} + πlnπ$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 6:

Hàm số $y = 2^{\ln x + x^{2}}$ có đạo hàm là:

A. $(\frac{1}{x} + 2 x) 2^{\ln x + x^{2}}$

B. $(\frac{1}{x} + 2 x) 2^{\ln x + x^{2}} . \ln 2$

C. $\frac{2^{\ln x + x^{2}}}{\ln 2}$

D. $(\frac{1}{x} + 2 x) \frac{2^{\ln x + x^{2}}}{\ln 2}$

Xem đáp án

Có $y = 2^{\ln x + x^{2}} \Rightarrow y' = (\frac{1}{x} + 2 x) 2^{\ln x + x^{2}} . \ln 2$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Tính đạo hàm của hàm số $y = e^{\sqrt{2 x}}$

A. $y' = \frac{e^{\sqrt{2 x}}}{2 \sqrt{2 x}}$

B. $y' = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{2 x}}$

C. $y' = \frac{e^{\sqrt{2 x}}}{\sqrt{2 x}}$

D. $y' = \sqrt{2 x} . e^{\sqrt{2 x}}$

Xem đáp án

Ta có: $y' = (\sqrt{2 x})' . e^{\sqrt{2 x}} = \frac{2}{2 \sqrt{2 x}} . e^{\sqrt{2 x}} = \frac{e^{\sqrt{2 x}}}{\sqrt{2 x}}$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 8:

Tính đạo hàm của hàm số $y = x^{x}$ với x > 0.

A. $y' = x . x^{x - 1}$

B. $y' = (\ln x + 1) x^{x}$

C. $y' = x^{x} \ln x$

D. $y' = \frac{x^{x}}{\ln x}$

Xem đáp án

Viết lại: $y = x^{x} = e^{x \ln x}$

Suy ra

$y' = (x \ln x)' e^{x \ln x} = (\ln x + 1) . e^{x \ln x} = (\ln x + 1) x^{x}$

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 9:

Cho hàm số $y = 3^{x} + \ln 3$ . Chọn mệnh đề đúng:

A. $y' = y \ln 3 - \ln^{2} 3$

B. $y' . \ln 3 = y + \ln 3$

C. $y' = y - \ln^{2} 3$

D. $y' = y - \ln 3$

Xem đáp án

Ta có: $y = 3^{x} + \ln 3 \Rightarrow y' = 3^{x} \ln 3$

Lại có:

$y = 3^{x} + \ln 3 \Rightarrow 3^{x} = y - \ln 3 \Rightarrow y' = (y - \ln 3) \ln 3 = y \ln 3 - \ln^{2} 3$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Tập tất cả các giá trị của tham số a để hàm số $y = {(a - 2)}^{x}$ nghịch biến trên R là:

A. $(3; + \infty)$

B. $(- \infty; 3)$

C. (2;3)

D. $(\infty; 1)$

Xem đáp án

Hàm số $y = {(a - 2)}^{x}$ nghịch biến trên R khi và chỉ khi $0 < a - 2 < a \Leftrightarrow 2 < a < 3$

Vạy tập các giá trị của tham số a để hàm số đã cho nghịch biến trên R là (2;3)

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 11:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} (2 x + 1)$

A. $y' = \frac{2}{2 x + 1}$

B. $y' = \frac{1}{2 x + 1}$

C. $y' = \frac{2}{(2 x + 1) \ln 2}$

D. $y' = \frac{1}{(2 x + 1) \ln 2}$

Xem đáp án

Áp dụng $(\log_{a} u)' = \frac{u'}{u . \ln a}$ , ta được

$y' = \frac{(2 x + 1)'}{(2 x + 1) . \ln 2} = \frac{2}{(2 x + 1) . \ln 2}$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 12:

Chọn công thức đúng?

A. $(\ln 4 x)' = \frac{1}{x}; (x > 0)$

B. $(\ln x)' = \frac{1}{x \ln a}; (x > 0)$

C. $(\log_{a} x)' = \frac{1}{x}; (x > 0)$

D. $(\log_{a} x)' = \frac{1}{\ln a}; (x > 0)$

Xem đáp án

Áp dụng công thức ta có:

$(\log_{a} x)' = \frac{1}{x \ln a}; (x > 0) (\ln 4 x)' = (\ln 4 + \ln x)' = (\ln 4)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} (x > 0) (\ln x)' = \frac{1}{x} (x > 0)$

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 13:

Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị hàm số $y = \log_{a} x (0 < a \neq 1)$ ?

A. (1;0)

B. (a;1)

C. $(a^{2}; a)$

D. $(a^{2}; 2)$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1).

Với $x = a^{2}$ thì $y = \log_{a} x = \log_{a} a^{2} = 2$ nên đồ thị hàm số đi qua $(a^{2}; 2)$ nên C sai, D đúng

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 14:

Cho a, b là các số thực, thỏa mãn 0<a<1<b, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\log_{b} a + \log_{a} b < 0$

B. $\log_{b} a > 1$

C. $\log_{a} b > 0$

D. $\log_{b} a + \log_{a} b \geq 2$

Xem đáp án

Ta có: 0 < a < 1 nên hàm số $y = \log_{a} x$ nghịch biến, do đó b > 1 nên $\log_{a} b < \log_{a} 1 = 0$

Vì b > 1 nên hàm số $y = \log_{b} x$ đồng biến, do đó a < 1 nên $\log_{b} a < \log_{b} 1 = 0$

Vậy

$\log_{a} b < 0; \log_{b} a < 0 \Rightarrow \log_{b} a + \log_{a} b < 0$

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 15:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} |5 x + 1|$

A. $y' = \frac{1}{|5 x + 1| \ln 2}$

B. $y' = \frac{5}{|5 x + 1| \ln 2}$

C. $y' = \frac{1}{(5 x + 1) \ln 2}$

D. $y' = \frac{5}{(5 x + 1) \ln 2}$

Xem đáp án

ĐK: $x \neq - \frac{1}{5}$

Ta có:

$y' = (\log_{2} |5 x + 1|)' = \frac{(|5 x + 1|)'}{|5 x + 1| \ln 2} = \frac{5 x + 1}{|5 x + 1| |5 x + 1| \ln 2} = \frac{5 x + 1}{{(5 x + 1)}^{2} \ln 2} = \frac{1}{(5 x + 1) \ln 2}$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 16:

Cho hàm số $f (x) = \ln x$ . Tính đạo hàm của hàm số $g (x) = \log_{3} (x^{2} f' (x))$

A. $g' (x) = \frac{1}{x}$

B. $g' (x) = \frac{1}{x \ln 3}$

C. $g' (x) = \frac{\ln 3}{x}$

D. $g' (x) = \frac{x}{\ln 3}$

Xem đáp án

Ta có:

$f' (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow g (x) = \log_{3} (x^{2} . \frac{1}{x}) = \log_{3} x$

Suy ra $g' (x) = \frac{1}{x \ln 3}$

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 17:

Cho hàm số $y = \ln x$ có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y=ln|x|

B. y=|lnx|

C. y=|ln(x+1)|

D. y=ln|x+1|

Xem đáp án

Đồ thị hình 2 được suy ra từ đồ thị hình 1 bằng cách:

+ Giữ nguyên phần $y \geq 0$

+ Lấy đối xứng qua Ox phần y < 0.

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 18:

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số $y = \log_{a} x; y = \log_{b} x; \log_{c} x$ được cho trong hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a<b<c

B. b<c<a

C. a<c<b

D. c<a<b

Xem đáp án

Quan sát hình vẽ ta thấy:

Hàm số $y = \log_{a} x$ là hàm đồng biến nên ta có a > 1.

Hai hàm số $y = \log_{b} x, \log_{c} x$ nghịch biến nên có 0<b, c<1

Từ nhận xét này ta thấy a là số lớn nhất.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R.

A. $y = 2017^{x}$

B. $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

C. $y = \log_{\sqrt{2}} (x^{2} + 1)$

D. $y = {(\frac{π}{4})}^{x}$

Xem đáp án

Hàm số $y = 2017^{x}$ có TXĐ: D = R; cơ số 2017 > 1 nên đồng biến trên R

Hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ có TXĐ: $D = (0; + \infty)$ nên không thỏa mãn.

Hàm số $y = \log_{\sqrt{2}} (x^{2} + 1)$ có TXĐ: D = R

Ta có: $y' = \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln \sqrt{2}}$ nên hàm số $y = \log_{\sqrt{2}} (x^{2} + 1)$ đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0. Do đó C sai.

Hàm số $y = {(\frac{π}{4})}^{x}$ có TXĐ: D=R cơ số $\frac{π}{4} < 1$ nên nghịch biến trên R

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 20:

Cho a là một số thực dương khác 1 và các mệnh đề sau:

1) Hàm số liên tục trên R.

2) Nếu $\log_{a} \frac{2}{3} < 0 \Rightarrow a > 1$

3) $\log_{a} x^{2} = 2 \log_{a} x$

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Hàm số $y = \log_{a} x$ xác định trên $(0; + \infty)$ . Do đó 1) sai.

Ta có $\log_{a} \frac{2}{3} < 0 \Leftrightarrow \log_{a} \frac{2}{3} < \log_{a} 1 \Rightarrow a > 1$ . Do đó 2) đúng

Ta có $\log_{a} x^{2} = 2 \log_{a} |x|$ . Do đó 3) sai.

Đáp án cần chọn là: A.