56 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án

Câu 1:

x, y > 0

và

x^{2} + 4 y^{2} = 12 x y .

Khẳng đinh nào sau đây đúng?

A. $\log_{2} (x + 2 y) = \log_{2} x + \log_{2} y + 1.$

B.

\log_{2} (\frac{x + 2 y}{4}) = \log_{2} x - \log_{2} y .

C.

\log_{2} (x + 2 y) = 2 + \frac{1}{2} (\log_{2} x + \log_{2} y) .

D.

4 \log_{2} (x + 2 y) = \log_{2} x + \log_{2} y .

Xem đáp án

Với $x, y > 0$ , ta có: $x^{2} + 4 y^{2} = 12 x y \Leftrightarrow {(x + 2 y)}^{2} = 16 x y$

$\Leftrightarrow \log_{2} {(x + 2 y)}^{2} = \log_{2} 16 x y$

$\Leftrightarrow 2 \log_{2} (x + 2 y) = 4 + \log_{2} x + \log_{2} y$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x + 2 y) = 2 + \frac{1}{2} (\log_{2} x + \log_{2} y) .$

Chọn C.

Câu 2:

Cho các số thực

a < b < 0

. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\ln {(a b)}^{2} = \ln (a^{2}) + \ln (b^{2}) .$

B.

\ln (\sqrt{a b}) = \frac{1}{2} (\ln a + \ln b) .

C.

\ln (\frac{a}{b}) = \ln |a| - \ln |b| .

D.

\ln {(\frac{a}{b})}^{2} = \ln (a^{2}) - \ln (b^{2}) .

Xem đáp án

Vì khi $a < b < 0$ không tồn tại ln a, ln b

Chọn B.

Câu 3:

Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a^{c} = b^{d} \Leftrightarrow \ln (\frac{a}{b}) = \frac{c}{d} .$

B.

a^{c} = b^{d} \Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{d}{c} .

C.

a^{c} = b^{d} \Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{c}{d} .

D.

a^{c} = b^{d} \Leftrightarrow \ln (\frac{a}{b}) = \frac{d}{c} .

Xem đáp án

Do a,b,c,d là các số thực dương, khác 1 nên ta có:

$a^{c} = b^{d} \Leftrightarrow c \ln a = d \ln b \Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{d}{c} .$

Chọn B.

Câu 4:

Với các số thực dương a,b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = 1 + 3 \log_{2} a - \log_{2} b .$

B.

\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a - \log_{2} b .

C.

\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = 1 + 3 \log_{2} a + \log_{2} b .

D.

\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = 1 + \frac{1}{3} \log_{2} a + \log_{2} b .

Xem đáp án

Ta có:

$\log_{2} (\frac{2 a^{3}}{b}) = \log_{2} (2 a^{3}) - \log_{2} (b) = \log_{2} 2 + \log_{2} a^{3} - \log_{2} b = 1 + 3 \log_{2} a - \log_{2} b .$

Chọn A.

Câu 5:

Cho

a, b, c, d > 0

. Rút gọn biểu thức

S = l n \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{c} + \ln \frac{c}{d} + \ln \frac{d}{a}

ta được

A. S = 1

B. S = 0

C.

S = \ln (\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}) .

D.

S = \ln (a b c d) .

Xem đáp án

Ta có: $S = \ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{c} + \ln \frac{c}{d} + \ln \frac{d}{a} = \ln (\frac{a}{b} . \frac{b}{c} . \frac{c}{d} . \frac{d}{a}) = \ln 1 = 0.$

Chọn B.

Câu 6:

Cho

a, b > 0

và

a, b \neq 1

, biểu thức

P = \log_{\sqrt{a}} b^{3} . \log_{b} a^{4}

bằng

A. 6

B. 24

C. 12.

D. 18.

Xem đáp án

Ta có : $P = \log_{\sqrt{a}} b^{3} . \log_{b} a^{4} = \log_{a^{\frac{1}{2}}} b^{3} . \log_{b} a^{4} = \frac{3}{\frac{1}{2}} .4. \log_{a} b . \frac{1}{\log_{a} b} = 24.$

Chọn B.

Câu 7:

Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1,$ $a \neq \sqrt{b}$ và $\log_{a} b = \sqrt{3} .$

Biến đổi biểu thức $P = l o g_{\frac{\sqrt{b}}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}}$ ta được

A. $P = - 5 + 3 \sqrt{3} .$

B.

P = - 1 + \sqrt{3} .

C.

P = - 1 - \sqrt{3} .

D.

P = - 5 - 3 \sqrt{3} .

Xem đáp án

Ta có:

$P = \frac{\log_{a} \sqrt{\frac{b}{a}}}{\log_{a} \frac{\sqrt{b}}{a}} = \frac{\frac{1}{2} (\log_{a} b - 1)}{\log_{a} \sqrt{b} - 1} = \frac{\frac{1}{2} (\sqrt{3} - 1)}{\frac{1}{2} \log_{a} b - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 2} = - 1 - \sqrt{3} .$

Chọn C.

Câu 8:

Biến đổi biểu thức $P = \log_{a^{2}} (a^{10} b^{2}) + \log_{\sqrt{a}} (\frac{a}{\sqrt{b}}) + \log_{\sqrt[3]{b}} b^{- 2}$ (với $0 < a \neq 1, 0 < b \neq 1$ ) ta được

A. P = 2

B. P = 1

C. $P = \sqrt{3} .$

D. $P = \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit ta có:

$P = \log_{a^{2}} (a^{10} b^{2}) + \log_{\sqrt{a}} (\frac{a}{\sqrt{b}}) + \log_{\sqrt[3]{b}} b^{- 2}$

$= \frac{1}{2} [\log_{a} a^{10} + \log_{a} b^{2}] + 2 [\log_{a} a - \log_{a} \sqrt{b}] + 3. (- 2) \log_{b} b$

$= \frac{1}{2} [10 + 2 \log_{a} b] + 2 [1 - \frac{1}{2} \log_{a} b] - 6 = 1.$

Chọn B.

Câu 9:

Cho $\log_{12} 27 = a .$ Khi đó giá trị của $\log_{6} 16$ được tính theo a là

A. $\frac{4 (3 - a)}{3 + a} .$

B.

\frac{4 (3 + a)}{3 - a} .

C.

\frac{4 a}{3 - a} .

D.

\frac{2 a}{3 + a} .

Xem đáp án

Ta có: $a = l o g_{12} 27 = \frac{\log_{2} 27}{\log_{2} 12} = \frac{3 \log_{2} 3}{2 + \log_{2} 3} \Rightarrow \log_{2} 3 = \frac{2 a}{3 - a} .$

Khi đó $\log_{6} 16 = 4 \log_{6} 2 = \frac{4}{\log_{2} 6} = \frac{4}{1 + \log_{2} 3} = \frac{4}{1 + \frac{2 a}{3 - a}} = \frac{4 (3 - a)}{3 + a} .$

Chọn A.

Câu 10:

Cho $\lg 3 = a, \lg 2 = b .$ Khi đó giá trị của $\log_{125} 30$ được tính theo a là:

A. $\frac{4 (3 - a)}{3 - b} .$

B.

\frac{1 + a}{3 (1 - b)} .

C.

\frac{a}{3 + b} .

D.

\frac{a}{3 + a} .

Xem đáp án

Ta có: $\log_{125} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 125} = \frac{1 + \lg 3}{3 (1 - \lg 2)} = \frac{1 + a}{3 (1 - b)} .$

Chọn B.

Câu 11:

Cho

a = \log_{2} 3; b = \log_{3} 5; c = \log_{7} 2.

Khi đó giá trị của

\log_{140} 63

được tính theo a, b, c là:

A. $\frac{2 a c - 1}{a b c + 2 c + 1} .$

B.

\frac{a b c + 2 c + 1}{2 a c + 1} .

C.

\frac{2 a c + 1}{a b c + 2 c + 1} .

D.

\frac{a c + 1}{a b c + 2 c + 1} .

Xem đáp án

Ta có:

$\log_{124} 63 = \frac{\log_{2} 63}{\log_{2} 140} = \frac{\log_{2} 3^{2} .7}{\log_{2} 2^{2} .5.7} = \frac{2 \log_{2} 3 + \log_{2} 7}{2 + \log_{2} 5 + \log_{2} 7}$

$= \frac{2 \log_{2} 3 + \frac{1}{\log_{7} 2}}{2 + \log_{2} 3. \log_{3} 5 + \frac{1}{\log_{7} 2}} = \frac{2 a + \frac{1}{c}}{2 + a b + \frac{1}{c}}$

$= \frac{1 + 2 a c}{1 + 2 c + a b c} .$

Chọn C.

Câu 12:

Nếu

a = \log_{15} 3

thì

A. $\log_{25} 15 = \frac{3}{5 (1 - a)} .$

B.

\log_{25} 15 = \frac{5}{3 (1 - a)} .

C.

\log_{25} 15 = \frac{1}{2 (1 - a)} .

D.

\log_{25} 15 = \frac{1}{5 (1 - a)} .

Xem đáp án

Tư duy tự luận thì ta làm như sau:

Ta có: $a = \log_{15} 3 = \frac{1}{\log_{3} (3.5)} = \frac{1}{1 + \log_{3} 5} \Rightarrow \log_{3} 5 = \frac{1}{a} - 1 = \frac{1 - a}{a .}$

Khi đó: $\log_{25} 15 = \frac{1}{2} \log_{5} 15 = \frac{1}{2} \log_{5} (5.3) = \frac{1}{2} (1 + \log_{5} 3) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{\log_{3} 5})$

$= \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{\frac{1 - a}{a}}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{a}{1 - a}) = \frac{1}{2 (1 - a)} .$

Chọn C.

Câu 13:

Đặt

a = \log_{2} 3,

b = \log_{5} 3.

Biểu diễn

\log_{6} 45

theo a, b ta được

A. $\log_{6} 45 = \frac{a + 2 a b}{a b} .$

B.

\log_{6} 45 = \frac{2 a^{2} - 2 a b}{a b} .

C.

\log_{6} 45 = \frac{a + 2 a b}{a b + b} .

D.

\log_{6} 45 = \frac{2 a^{2} - 2 a b}{a b + b} .

Xem đáp án

Ta có: $l o g_{2} 3 = a \Leftrightarrow \log_{3} 2 = \frac{1}{a}$ và $\log_{5} 3 = b \Leftrightarrow \log_{3} 5 = \frac{1}{b} .$

Khi đó:

$\log_{6} 45 = \frac{\log_{3} 45}{\log_{3} 6} = \frac{\log_{3} 9 + \log_{3} 5}{\log_{3} 3 + \log_{3} 2} = \frac{2 + \log_{3} 5}{1 + \log_{3} 2} = \frac{2 + \frac{1}{b}}{1 + \frac{1}{a}} = \frac{a (1 + 2 b)}{b (1 + a)} = \frac{a + 2 a b}{b + a b} .$

Chọn C.

Câu 14:

Nếu

l o g_{27} 5 = a; l o g_{8} 7 = b; \log_{2} 3 = c

thì

\log_{12} 35

bằng

A. $\frac{3 b + 2 a c}{c + 2} .$

B.

\frac{3 b + 3 a c}{c + 2} .

C.

\frac{3 b + 2 a c}{c + 3} .

D.

\frac{3 b + 3 a c}{c + 1} .

Xem đáp án

Nếu log 27 5 = a, log 8 7 = b, log 2 3= c thì log 12 35 bằng (ảnh 1)

Câu 15:

Với mọi số tự nhiên n. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $n = - \log_{2} \log_{2} \underset{n caên baäc hai}{\underset{⏟}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{... \sqrt{2}}}}}} .$

B.

n = \log_{2} \log_{2} \underset{n caên baäc hai}{\underset{⏟}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{... \sqrt{2}}}}}} .

C.

n = 2 + \log_{2} \log_{2} \underset{n caên baäc hai}{\underset{⏟}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{... \sqrt{2}}}}}} .

D.

n = 2 - \log_{2} \log_{2} \underset{n caên baäc hai}{\underset{⏟}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{... \sqrt{2}}}}}} .

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 16:

Cho a, b là hai số thực dương khác 1 và thỏa mãn $\log_{a}^{2} b - 8 \log_{b} (a \sqrt[3]{b}) = - \frac{8}{3} .$ Tính giá trị biểu thức $P = l o g_{a} (a \sqrt[3]{a b}) + 2017,$ ta được

A. P = 2019

B. P = 2020

C. P = 2017

D. P = 2016

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 17:

Biết $\log_{5} 3 = a,$ khi đó giá trị của $\log_{3} \frac{27}{25}$ được tính theo a là

A. $\frac{3 a - 2}{a} .$

B.

\frac{3 a}{2} .

C.

\frac{3}{2 a} .

D.

\frac{a}{3 a - 2} .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 18:

Cho $a = \log_{2} 20.$ Giá trị $\log_{20} 5$ theo a bằng

A. $\frac{5 a}{2} .$

B.

\frac{a + 1}{a} .

C.

\frac{a - 2}{a} .

D.

\frac{a + 1}{a - 2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 19:

Số thực x thỏa mãn: $\log x = \frac{1}{2} \log 3 a - 2 \log b + 3 \log \sqrt{c}$ (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu diễn x theo a, b, c.

A. $x = \frac{\sqrt{3 a c^{3}}}{b^{2}} .$

B.

x = \frac{\sqrt{3 a}}{b^{2} c^{3}} .

C.

x = \frac{\sqrt{3 a} . c^{3}}{b^{2}} .

D.

x = \frac{\sqrt{3 a c}}{b^{2}} .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 20:

Đặt

\log_{3} 5 = a .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

\log_{15} 75 = \frac{a + 1}{2 a + 1} .

B.

\log_{15} 75 = \frac{2 a + 1}{a + 1} .

C.

\log_{15} 75 = \frac{2 a - 1}{a + 1} .

D.

\log_{15} 75 = \frac{2 a + 1}{a - 1} .

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 21:

Cho a, b là các số thực dương, $a \neq 1.$ Rút gọn biểu thức: $P = \sqrt{\log_{a}^{2} (a b) - \frac{2 \log b}{\log a} - 1},$ ta được

A. $P = |\log_{a} b| .$

B.

P = |\log_{a} b - 1| .

C.

P = |\log_{a} b + 1| .

D. P = 0

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 22:

Cho $\log_{27} 5 = a, \log_{8} 7 = b, \log_{2} 3 = c .$ Giá trị của $\log_{12} 35$ bằng

A. $\frac{3 b + 3 a c}{c + 2} .$

B.

\frac{3 b + 2 a c}{c + 2} .

C.

\frac{3 b + 2 a c}{c + 3} .

D.

\frac{3 b + 3 a c}{c + 1} .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Cho $a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1, n \in ℕ^{*} .$

Một học sinh tính: $P = \frac{1}{\log_{a} b} + \frac{1}{\log_{a^{2}} b} + \frac{1}{\log_{a^{3}} b} + ... + \frac{1}{\log_{a^{n}} b}$ theo các bước sau:

Bước I: $P = \log_{b} a + \log_{b} a^{2} + \log_{b} a^{3} + ... + \log_{b} a^{n} .$

Bước II: $P = \log_{b} (a . a^{2} . a^{3} ... a^{n}) .$

Bước III: $P = \log_{b} a^{1 + 2 + 3 + ... + n} .$

Bước IV: $P = n (n + 1) . \log_{b} a .$

Trong các bước trình bày, bước nào sai?

A. Bước III

B. Bước I

C. Bước II

D. Bước IV

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 24:

Cho $\log_{7} 12 = x, \log_{12} 24 = y$ và $\log_{54} 168 = \frac{a x y + 1}{b x y + c x},$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức S = a + 2b + 3c ta được

A. S = 4

B. S = 19

C. S = 10

D. S = 15

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 25:

Cho

a, b > 0, a \neq 1

thỏa mãn

l o g_{a} b = \frac{b}{4}

và

\log_{2} a = \frac{16}{b} .

Tổng a + b bằng

A. 12

B. 10

C. 16

D. 18

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 26:

Biết rằng $\log_{2} a, \log_{3} b, \log_{5} c$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và có tổng bằng 14, đồng thời $\log_{2} a^{4}, \log_{3} b^{2}, \log_{5} c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của $P = a + b + c$ bằng

A. 125.

B. 390725.

C. 390625.

D. 390710.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 27:

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

\log_{4} x = \log_{9} y = \log_{6} (\frac{x y}{4} + 1) .

Giá trị của biểu thức

P = x^{\log_{4} 6} + y^{\log_{9} 6}

bằng

A. 2

B. 5

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 28:

Cho $a = \log_{20} 15; b = \log_{30} 15$ biết $\log_{4000} 600 = \frac{m a + n b}{a b + p b + q a}$ và trong đó $m, n, p, q \in ℤ .$ Giá trị của biểu thức $S = m + n + p + q$ bằng

A. S = 1

B. S = 2

C. S = 3

D. S = 4

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 29:

Cho $\frac{\log a}{p} = \frac{\log b}{q} = \frac{\log c}{r} = \log x \neq 0; \frac{b^{2}}{a c} = x^{y} .$ Tính y theo p, q, r.

A. $y = q^{2} - p r .$

B.

y = \frac{p + r}{2 q} .

C.

y = 2 q - p - r .

D.

y = 2 q - p r .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 30:

Cho $l o g_{12} 27 = a .$ Khi đó giá trị của $\log_{6} 16$ tính theo a bằng

A. $\frac{4 (3 - a)}{3 + a} .$

B.

\frac{4 (3 + a)}{3 - a} .

C.

\frac{4 a}{3 - a} .

D.

\frac{2 a}{3 + a} .

Xem đáp án

Ta có: $a = l o g_{12} 27 = \frac{\log_{2} 27}{\log_{2} 12} = \frac{3 \log_{2} 3}{2 + \log_{2} 3} \Rightarrow \log_{2} 3 = \frac{2 a}{3 - a} .$

$l o g_{6} 16 = 4 \log_{6} 2 = \frac{4}{\log_{2} 6} = \frac{4}{1 + \log_{2} 3} = \frac{4}{1 + \frac{2 a}{3 - a}} = \frac{4 (3 - a)}{3 + a} .$

Chọn A.

Câu 31:

Cho $\log 3 = a, \log 2 = b .$ Khi đó giá trị của $\log_{125} 30$ tính theo a là

A.

\frac{4 (3 - a)}{3 - b} .

B.

\frac{1 + a}{3 (1 - b)} .

C.

\frac{a}{3 + b} .

D.

\frac{a}{3 + a} .

Xem đáp án

Ta có: $\log_{125} 30 = \frac{\log 30}{\log 125} = \frac{1 + \log 3}{3 (1 - \log 2)} = \frac{1 + a}{3 (1 - b)} .$

Chọn B.

Câu 32:

Cho $a = \log_{2} 3; b = \log_{3} 5; c = \log_{7} 2.$ Khi đó giá trị của biểu thức $\log_{140} 63$ được tính theo a, b, c là

A. $\frac{2 a c - 1}{a b c + 2 c + 1} .$

B.

\frac{a b c + 2 a c + 1}{2 a c + 1} .

C.

\frac{2 a c + 1}{a b c + 2 c + 1} .

D.

\frac{a c + 1}{a b c + 2 c + 1} .

Xem đáp án

Ta có: $l o g_{140} 63 = \frac{\log_{2} 63}{\log_{2} 140} = \frac{\log_{2} 3^{2} .7}{\log_{2} 2^{2} .5.7} = \frac{2 \log_{2} 3 + \log_{2} 7}{2 + \log_{2} 5 + \log_{2} 7}$

$= \frac{2 \log_{2} 3 + \frac{1}{\log_{7} 2}}{2 + \log_{2} 3. \log_{3} 5 + \frac{1}{\log_{7} 2}} = \frac{2 a + \frac{1}{c}}{2 + a b + \frac{1}{c}} = \frac{1 + 2 a c}{1 + 2 c + a b c}$

Chọn C.

Câu 33:

Cho các số thực $a, b, c \in [1; 2]$ thỏa mãn điều kiện $\log_{2}^{3} a + \log_{2}^{3} b + \log_{2}^{3} c \leq 1$

Khi biểu thức $P = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 (\log_{2} a^{a} + \log_{2} b^{b} + \log_{2} c^{c})$ đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a + b + c bằng

A. 3.

B.

{3.2}^{\frac{1}{3 \sqrt[3]{3}}} .

C. 4.

D. 6.

Xem đáp án

Cho các số thực a, b, c thuộc [1;2] thỏa mãn điều kiện log 2 a^3 + log 2 b^ 3 + log 2 c ^3 nhỏ hơn hoặc bằng 1 (ảnh 1)

Chọn C.

Câu 34:

Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn $\log_{x^{2} + y^{2} + 2} (4 x + 4 y - 4) \geq 1.$ Với giá trị nào của m thì tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 2 - m = 0 ?$

A. ${(\sqrt{10} - \sqrt{2})}^{2} .$

B.

{(\sqrt{10} - \sqrt{2})}^{2}

và

{(\sqrt{10} + \sqrt{2})}^{2} .

C.

\sqrt{10} - \sqrt{2}

và

\sqrt{10} + \sqrt{2}

D.

\sqrt{10} - \sqrt{2} .

Xem đáp án

Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn log x^2 + y^2 + 2 ( 4x + 4y -4) lớn hơn hoặc bằng 1. Với giá trị nào của m (ảnh 1)

Chọn B.

Câu 35:

Xét các số thực a, b thỏa mãn $a > b > 1.$ Giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = \log_{\frac{a}{b}}^{2} (a^{2}) + 3 \log_{b} (\frac{a}{b})$ bằng

A. $P_{\min} = 19.$

B.

P_{\min} = 13.

C.

P_{\min} = 14.

D.

P_{\min} = 15.

Xem đáp án

Xét các số thực a, b thỏa mãn a lớn hơn b lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức (ảnh 1)

Chọn D.

Câu 36:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn:

$x^{2} + y^{2} \geq 3$ và $\log_{x^{2} + y^{2}} [x (4 x^{2} - 3 x + 4 y^{2}) - 3 y^{2}] \geq 2$

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x - y

Khi đó biểu thức $T = 2 (M + m + 1)$ có giá trị gần nhất số nào sau đây?

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Xem đáp án

Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x^2 + y^2 lớn hơn hoặc bằng 3 và (ảnh 1)

Câu 37:

Cho $x \neq y; x y < 1$ thỏa mãn $3^{{(x - y)}^{2}} \log_{2} {(x - y)}^{2} = 3^{2 - 2 x y} \log_{2} (2 - 2 x y) .$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $M = 2 (x^{3} + y^{3}) - 3 x y$ bằng

A. 7.

B.

\frac{13}{2} .

C.

\frac{17}{2} .

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 38:

Cho các số thức a, b, c thuộc đoạn $[1; 3]$ thỏa mãn $\log_{2}^{3} a + \log_{2}^{3} b + \log_{2}^{3} c \leq 3.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 (\log_{2} a^{a} + \log_{2} b^{b} + \log_{2} c^{c})$ bằng

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 39:

Cho hai số thực a, b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn a + b = 10. Gọi m, n là hai nghiệm của phương trình $(\log_{a} x) (\log_{b} x) - 2 \log_{a} x - 3 \log_{b} x - 1 = 0.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = mn bằng

A. $\frac{16875}{16} .$

B.

\frac{4000}{27} .

C. 15625.

D. 3456.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 40:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $\log_{2} \frac{a + b + c}{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2} = a (a - 4) + b (b - 4) + c (c - 4) .$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a + 2 b + 3 c$ bằng

A. $3 \sqrt{10} .$

B.

12 + 2 \sqrt{42} .

C.

12 + 2 \sqrt{35} .

D.

6 \sqrt{10} .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 41:

Cho các số thực $a, b > 1$ thỏa mãn điều kiện $\log_{2} a + \log_{3} b = 1.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{\log_{3} a} + \sqrt{\log_{2} b}$ bằng

A. $\sqrt{\log_{3} 2 + \log_{2} 3} .$

B.

\sqrt{\log_{3} 2} + \sqrt{\log_{2} 3} .

C.

\frac{1}{2} (\log_{3} 2 + \log_{2} 3) .

D.

\frac{2}{\sqrt{\log_{3} 2 + \log_{2} 3}} .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 42:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $\log x + \log y + 1 \geq \log (x + y) .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = x + 3 y$ bằng

A. $\frac{1 + \sqrt{3}}{10} .$

B.

\frac{2 + \sqrt{3}}{5} .

C.

\frac{3 + \sqrt{3}}{30} .

D.

\frac{1 + \sqrt{3}}{4} .

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 43:

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn $\log_{\sqrt{3}} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2} + x y + 2} = x (x - 3) + y (x - 3) + x y .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x + 2 y + 3}{x + y + 6}$ bằng

A.

\frac{69 + \sqrt{249}}{94} .

B.

\frac{43 + 3 \sqrt{249}}{94} .

C.

\frac{43 + 3 \sqrt{249}}{94} .

D.

\frac{69 - \sqrt{249}}{94} .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 44:

Cho

b > 0.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \sqrt{{(a - b)}^{2} + {(10^{a} - \log b)}^{2}}

bằng

A. $\sqrt{2} \log (\ln 10) .$

B.

\sqrt{2} (\frac{1}{\ln 10} - \log (\frac{1}{\ln 10})) .

C.

\sqrt{2} (\frac{1}{\ln 10} + \log (\frac{1}{\ln 10})) .

D.

\sqrt{2} (\frac{1}{\ln 10} - \ln (\frac{1}{\ln 10})) .

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 45:

Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện $0 < b < a < 1.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \log_{a} \frac{4 (3 b - 1)}{9} + 8 \log_{\frac{b}{a}}^{2} a - 1$ bằng

A. 6.

B.

3 \sqrt[3]{2} .

C. 8.

D. 7.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 46:

Cho x, y là số thực dương thỏa mãn $\ln x + \ln y \geq \ln (x^{2} + y) .$ Giá trị nhỏ nhất P = x + y bằng

A. $P_{\min} = 2 \sqrt{2} + 3.$

B.

P_{\min} = 6.

C.

P_{\min} = 2 + 3 \sqrt{2} .

D.

P_{\min} = \sqrt{17} + \sqrt{3} .

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 47:

Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{3} < b < a < 1.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \log_{a} (\frac{3 b - 1}{4}) + 12 \log_{\frac{b}{a}}^{2} a - 3$ bằng

A. $\min P = 13.$

B.

\min P = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} .

C.

\min P = 9.

D.

\min P = \sqrt[3]{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 48:

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} y \leq \log_{\frac{1}{3}} (x + y^{2}) .$ Giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = 2 x + 3 y$ bằng

A. $P_{\min} = 7 - 2 \sqrt{10} .$

B.

P_{\min} = \sqrt{3} + \sqrt{2} .

C.

P_{\min} = 7 + 3 \sqrt{2} .

D.

P_{\min} = 7 + 2 \sqrt{10} .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 49:

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $b > 1$ và $\sqrt{a} \leq b < a .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = l o g_{\frac{a}{b}} a + 2 \log_{\sqrt{b}} (\frac{a}{b})$ bằng

A. 6.

B. 7.

C. 5.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 50:

Cho 2 số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} (a + 1) + \log_{2} (b + 1) \geq 6.$ Giá trị nhỏ nhất của S = a + b bằng

A. $\min S = 12.$

B.

\min S = 14.

C.

\min S = 8 .

D.

\min S = 16.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 51:

Gọi a là giá trị nhỏ nhất của $f (n) = \frac{(\log_{3} 2) (\log_{3} 3) (\log_{3} 4) ... (\log_{3} n)}{9^{n}},$ với $n \in ℕ, n \geq 2.$ Có bao nhiêu số n để f(n) = a

A. 2.

B. vô số.

C. 1.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 52:

Cho $P = 9 \log_{\frac{1}{3}}^{3} \sqrt[3]{a} + \log_{\frac{1}{3}}^{2} a - \log_{\frac{1}{3}} a^{3} + 1$ với $a \in [\frac{1}{27}; 3]$ và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. Giá trị của biểu thức $S = 4 M - 3 m$ bằng

A. 42.

B. 38.

C.

\frac{109}{9} .

D.

\frac{83}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 53:

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn $b^{2} = 3 a b + 4 a^{2}$ và $a \in [4; 2^{32}] .$ Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \log_{\frac{b}{8}} 4 a + \frac{3}{4} \log_{2} \frac{b}{4} .$ Tính tổng $T = M + m .$

A. $T = \frac{1897}{62} .$

B.

T = \frac{3701}{124} .

C.

T = \frac{2957}{124} .

D.

T = \frac{7}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 54:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: $2 l o g_{2} a - \log_{2} b \leq \log_{2} (a + 6 b) .$ Giá trị lớn nhất $P_{M a x}$ của biểu thức $P = \frac{a b - b^{2}}{a^{2} - 2 a b + 2 b^{2}}$ bằng

A. $P_{M a x} = \frac{2}{3} .$

B.

P_{M a x} = 0 .

C.

P_{M a x} = \frac{1}{2} .

D.

P_{M a x} = \frac{2}{5} .

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 55:

Cho a, b, c là các số trực thuộc đoạn [1;2] thỏa mãn $\log_{2}^{3} a + \log_{2}^{3} b + \log_{2}^{3} c \leq 1.$ Khi biểu thức $P = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 (\log_{2} a^{a} + \log_{2} b^{b} + \log_{2} c^{c})$ đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a + b + c là

A. 3.

B.

{3.2}^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}} .

C. 4.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 56:

Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức: $P = \frac{4}{\log_{\sqrt{b c}} a} + \frac{1}{\log_{a c} \sqrt{b}} + \frac{8}{3 \log_{a b} \sqrt[3]{c}}$ là

A. $P_{\min} = 20.$

B.

P_{\min} = 10 .

C.

P_{\min} = 18 .

D.

P_{\min} = 12.

Xem đáp án

Đáp án A