6 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phép chia số phức có đáp án

Câu 1:

Cho ba số phức $z_{1} = 4 - 3 i, z_{2} = (1 + 2 i) i$ và $z_{3} = \frac{1 - i}{1 + i}$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy lần lượt là A, B, C. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn là điểm D thỏa ABCD là hình bình hành?

A. $6 - 5 i$ .

B. $2 - 5 i$ .

C. $4 - 2 i$ .

D. $- 6 - 4 i$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} - 2 z + 5| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = |w|$ với $w = z - 2 + 2 i$ .

A. $P_{m i n} = \frac{3}{2}$ .

B. $P_{m i n} = 2$ .

C. $P_{m i n} = 1$ .

D. $P_{m i n} = \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $|z^{2} - 2 z + 5| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)|$

$\Leftrightarrow |{(z - 1)}^{2} + 4| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow |{(z - 1)}^{2} - {(2 i)}^{2}| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow |(z - 1 + 2 i) (z - 1 - 2 i)| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z - 1 + 2 i & = & 0 (1) \\ |(z - 1 - 2 i)| & = & |(z + 3 i - 1)| (2) \end{array}$

Từ (1) $\Rightarrow z = 1 - 2 i \Rightarrow w = - 1 \Rightarrow P = |w| = 1$ .

Xét (2). Gọi $z = x + y i (x, y \in R)$

Ta có:

$|(z - 1 - 2 i)| = |(z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} \Leftrightarrow y = \frac{- 1}{2}$

Khi đó $w = x - \frac{1}{2} i - 2 + 2 i = (x - 2) + \frac{3}{2} i \Rightarrow P = |w| = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} \geq \frac{3}{2} > 1$

Vậy $P_{m i n} = 1$ .

Câu 3:

Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$ , biết rằng z thỏa mãn điều kiện $|\frac{4 + 2 i}{1 - i} z - 1| = 1$ .

A. $\sqrt{2}$ .

B. 0.

C. -1.

D. $\sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B.

Có: $\frac{4 + 2 i}{1 - i} = 1 + 3 i$ . Đặt $z = x + y i$ thì:

$\frac{4 + 2 i}{1 - i} z - 1 = (1 + 3 i) (x + y i) - 1 = (x - 3 y - 1) + (3 x + y) i$

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành:

${(x - 3 y - 1)}^{2} + {(3 x + y)}^{2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 3 y)}^{2} - 2 (x - 3 y) + 1 + {(3 x + y)}^{2} = 1 \Leftrightarrow 10 x^{2} + 10 y^{2} - 2 x + 6 y = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - \frac{1}{5} x) + (y^{2} + \frac{3}{5} y) = 0 \Leftrightarrow {(x - \frac{1}{10})}^{2} + {(y + \frac{3}{10})}^{2} = \frac{1}{10} (*)$

Điểm biểu diễn $M (x; y)$ của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm $M (x; y)$ thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất.

Vì đường tròn này qua O nên min OM = 0 khi $M \equiv O$ hay M (0; 0), do đó $z = 0$ hay $m i n |z| = 0$ .

Câu 4:

Xét các số phức z, w thỏa mãn $|w - i| = 2, z + 2 = i w$ . Gọi $z_{1}, z_{2}$ lần lượt là các số phức mà tại đó $|z|$ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Mô đun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng:

A. $3 \sqrt{2}$ .

B. 3.

C. 6.

D. $6 \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Theo bài ra ta có:

$z + 2 = i w \Rightarrow w = \frac{z + 2}{i} |w - i| = 2 \Rightarrow |\frac{z + 2}{i} - i| = 2 \Leftrightarrow |z + 2 + 1| = 2 \Leftrightarrow |z + 3| = 2$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $I (- 3; 0)$ bán kính R = 2.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, dựa vào hình vẽ (bên dưới) ta có:

$\{\begin{array}{l} {|z|}_{m i n} \Leftrightarrow O M_{m i n} \Leftrightarrow M (- 1; 0) \Rightarrow z_{1} = - 1 \\ {|z|}_{m i n} \Leftrightarrow O M_{m a x} \Leftrightarrow M (- 5; 0) \Rightarrow z_{2} = - 5 \end{array} \Rightarrow |z_{1} + z_{2}| = 6$

Câu 5:

Tìm giá trị lớn nhất của $|z|$ , biết rằng z thỏa mãn điều kiện $|\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1| = 1$ .

A. $\sqrt{2}$ .

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Có: $\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} = - i$ . Đặt $z = x + y i$ thì:

$\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1 = - i (x + y i) + 1 = (y + 1) - x i$

Điều kiện đã cho trong bài được viết thành ${(y + 1)}^{2} + x^{2} = 1$

Điểm biểu diễn $M (x; y)$ của z chạy trên đường tròn (*) có tâm I (0; - 1), bán kính bằng 1.

Cần tìm điểm $M (x; y)$ thuộc đường tròn này để OM lớn nhất

Vì O nằm trên đường tròn nên OM lớn nhất khi OM là đường kính của (*) $\Leftrightarrow$ I là trung điểm của OM.

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x = 2 x_{I} \\ y = 2 y_{I} \end{array} \Leftrightarrow M (0; - 2)$

Suy ra $z = - 2 i \Leftrightarrow |z| = 2$

Vậy $m a x |z| = 2$ .

Câu 6:

Xét các số phức z, w thỏa mãn $|z| = 2, |i w - 2 + 5 i| = 1$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z^{2} - w z - 4|$ bằng:

A. 4.

B. $2 (\sqrt{29} - 3)$ .

C. 8.

D. $2 (\sqrt{29} - 5)$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Theo bài ra ta có:

$|z| = 2 \Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I_{1} (0; 0)$ , bán kính $R_{1} = 2$ .

Lại có: $|i| |w - \frac{2 - 5 i}{i}| = 1 \Leftrightarrow |w - (- 5 - 2 i)| = 1$

$\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $I_{2} (- 5; - 2)$ bán kính $R_{2} = 1$ .

Đặt $T = |z^{2} - w z - 4| = |z^{2} - w z - z \bar{z}| = |z| |z - w - \bar{z}| = 2 |z - w - \bar{z}|$ .

Đặt $z = a + b i (a, b \in R) \Rightarrow \bar{z} = a - b i \Rightarrow z - \bar{z} = 2 b i$

$\Rightarrow T = 2 |2 b i - w|$ .

Gọi M(0;2b) là điểm biểu diễn số phức 2bi, N là điểm biểu diễn số phức w.

$\Rightarrow T = 2 M N_{m i n} \Leftrightarrow M N_{m i n}$

Do $|z| = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 4 \Leftrightarrow - 2 \leq b \leq 2 \Leftrightarrow - 4 \leq 2 b \leq 4$

$\Rightarrow$ tập hợp các điểm M là đoạn AB với A(0; -4), B(0;4)

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M N_{m i n} = 4 \Leftrightarrow$ N(-4; -2), M(0; 2)

Vậy $T_{m i n} = 2.4 = 8$ .