10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số có đáp án

Câu 1:

Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm $f' (x) = \sqrt{5} x^{2}$ trên R. Chọn kết luận đúng:

A. Hàm số đồng biến trên R.

B. Hàm số không xác định tại x = 0.

C. Hàm số nghịch biến trên R.

D. Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ và nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ .

Ta có: $f' (x) = \sqrt{5} x^{2} \geq 0, \forall x \in R$ và $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ nên hàm số đồng biến trên R.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho hàm số y = f (x) nghịch biến và có đạo hàm trên (-5;5). Khi đó:

A. $f (3) > 0$

B. $f' (0) \leq 0$

C. $f' (0) > 0$

D. $f (0) = 0$

Xem đáp án

Vì y = f(x) nghịch biến trên (-5;5) nên $f' (x) \leq 0, \forall x \in (- 5; 5)$

Vậy $f' (0) \leq 0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 2)$

B. Hàm số nghịch biến trên $(- 2; 0)$

C. $f (x) \geq 0, \forall x \in R$

D. Hàm số đồng biến trên $(0; 3)$

Xem đáp án

A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 2)$ và (0;2)

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $(- 2; 0)$ và $(2; + \infty)$

C đúng vì giá trị thấp nhất của y trên bảng biến thiên là 0.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 2; - 1)$

B. $(- \infty; - 2)$

C. $(0; 2)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 2; 0)$ và $(2; + \infty)$

Mà khoảng $(- 2; - 1)$ nằm trong khoảng (- 2;0) nên hàm số đã cho cũng nghịch biến trên $(- 2; - 1)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục trên $(- \infty; + \infty)$ , có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ do đó cũng đồng biến trên $(- \infty; - 2)$

Trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(- 1; + \infty)$ hàm số không đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{m x + 4}{x + m}$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

A. $- 2 \leq m \leq - 1$

B. $- 2 \leq m \leq 2$

C. $- 2 < m < 2$

D. $- 2 < m \leq - 1$

Xem đáp án

Ta có: $y = \frac{m x + 4}{x + m} \Rightarrow y' = \frac{m^{2} - 4}{{(x + m)}^{2}}; \forall x \neq - m$

Yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{m x - 4}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$ là:

A. $(- 2; 1]$

B. $(- 2; - 1)$

C. $(- 2; 2)$

D. $(- 2; - 1]$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $x \neq m$

Ta có: $y' = \frac{- m^{2} + 4}{{(x - m)}^{2}}$

Để hàm số đồng biến trên $(- 1; + \infty)$ thì

Vậy $m \in (- 2; - 1]$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Với giá trị nào của m thì hàm số $y = \frac{(m + 1) x + 2 m + 2}{x + m}$ nghịch biến trong khoảng $(- 1; + \infty)$ ?

A. $m < 1$

B. $m > 2$

C. $[\begin{matrix} m > 2 \\ m < 1 \end{matrix}$

D. $1 \leq m < 2$

Xem đáp án

TXĐ: $D = R \ \{- m\}$

Ta có: $y' = \frac{m (m + 1) - 2 m - 2}{{(x + m)}^{2}} = \frac{m^{2} - m - 2}{{(x + m)}^{2}}$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$ thì:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 9:

Cho hàm số đa thức f (x) có đạo hàm trên R. Biết $f (0) = 0$ và đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình sau:

Hàm số $g (x) = |4 f (x) + x^{2}|$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(4; + \infty)$

B. $(0; 4)$

C. $(- \infty; - 2)$

D. $(- 2; 0)$

Xem đáp án

Đặt $h (x) = 4 f (x) + x^{2}$ ta có $h' (x) = 4 f (x) + 2 x = 4 [f' (x) + \frac{x}{2}]$

Số nghiệm của phương trình $h' (x) = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f' (x)$ và đường thẳng $y = - \frac{x}{2}$

Vẽ đồ thị hàm số $y = f' (x)$ và đường thẳng $y = - \frac{x}{2}$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

Khi đó ta có BBT hàm số $y = h (x)$

Khi đó ta suy ra được BBT hàm số $g (x) = |h (x)|$ như sau:

Dựa vào BBT và các đáp án ta thấy hàm số g (x) đồng biến trên (0;4)

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và $f (1) = 1$ . Đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số $y = |4 f (\sin x) + \cos 2 x - a|$ nghịch biến trên $(0; \frac{π}{2})$ ?

A. 2

B. 3

C. Vô số

D. 5

Xem đáp án

Ta có: $y = |4 f (\sin x) + \cos 2 x - a|$

$y = |4 f (\sin x) + 1 - 2 \sin^{2} x - a|$

Đặt $t = \sin x$ , với $x \in (0; \frac{π}{2})$ thì $t \in (0; 1)$

Khi đó hàm số trở thành $y = |4 f (t) + 1 - 2 t^{2} - a| = \sqrt{{[4 f (t) + 1 - 2 t^{2} - a]}^{2}}$

Để hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$ thì $y' < 0, \forall t \in (0; 1)$

$y' = \frac{[4 f' (t) - 4 t] . [4 f (t) + 1 - 2 t^{2} - a]}{\sqrt{{[4 f (t) + 1 - 2 t^{2} - a]}^{2}}} < 0 \forall t \in (0; 1)$

$\Leftrightarrow [f' (t) - t] . [4 f (t) + 1 - 2 t^{2} - a] < 0, \forall t \in (0; 1) (*)$

Vẽ đồ thị hàm số y = f ' (t) và y = t trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên (0;1) đường thẳng y = t luôn nằm phải trên đồ thị hàm số y = f ' (t), do đó

$f' (t) - 1 < 0, \forall t \in (0; 1)$

$(*) \Leftrightarrow 4 f (t) + 1 - 2 t^{2} - a > 0 \forall t \in (0; 1)$

$\Leftrightarrow a < 4 f (t) - 2 t^{2} + 1, \forall t \in (0; 1)$

Đặt

Ta có: $g' (t) = 4 f' (t) - 4 t < 0 \forall t \in (0; 1)$

=> hàm số g (t) nghịch biến trên (0;1), do đó

$\Rightarrow a \leq 3$ . Mà a là số nguyên dương $\Rightarrow a \in \{1; 2; 3\}$

Vậy có 3 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: B