Thứ năm, 28/03/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 12 Toán Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Các phép toán trên tập hợp số phức có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Các phép toán trên tập hợp số phức có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Các phép toán trên tập hợp số phức có đáp án

  • 749 lượt thi

  • 34 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hai số phức z1=2+3i, z2=45i. Số phức z=z1+z2
Xem đáp án

Chọn A

z=z1+z2=2+3i+45i=22i.


Câu 2:

Cho hai số phức z1=12i, z2=2+3i. Số phức w=z12z2
Xem đáp án

Chọn C.

Ta có w=z12z2=12i22+3i=38i.

Câu 3:

Cho hai số phức z=12+32i. Số phức là w=1+z+z2
Xem đáp án

Chọn C.

w=1+12+32i+12+32i2=0.


Câu 4:

Tất cả các số phức z thỏa mãn 2z - 3(1 + i) = iz + 7 - 3i là
Xem đáp án

Chọn D

Ta có: 2z31+i=iz+73i2iz=10z=102iz=4+2i.


Câu 5:

Cho hai số phức z=1+i21+2i. Số phức z¯
Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: z=1+i21+2i=2i1+2i=4+2i.

Do đó: z¯=42i.

Câu 6:

Cho số phức z=a+bia,b thỏa mãn z+1+3izi=0. Giá trị của S = a - 3b là
Xem đáp án

Chọn B

Ta có z+1+3izi=0

a+1+b+3a2+b2i=0a+1=0b+3=a2+b2

a=1b3b+32=1+b2a=1b=43S=3.


Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = 14 - 2i. Tổng phần thực và phần ảo của z¯ bằng
Xem đáp án
Chọn A.

Ta có: 1+iz=142iz=142i1+iz=68iz¯=6+8i.

Suy ra, z¯ có phần thực bằng 6 và phần ảo bằng 8.

Do đó tổng phần thực và phần ảo của  bằng 14.


Câu 8:

Cho hai số phức z = 3 + 2i và z' = a + (a2 - 11)i. Tất cả các giá trị thực của a để z + z' là một số thực là
Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: z+z'=3+2i+a+a211i.=3+a+a29i.

z+z' là số thực khi và chỉ khi a29=0a=3a=3.


Câu 9:

Cho số phức z=1+i21+2i. Số phức có phần ảo là
Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: z=1+i21+2i=1+2i+i21+2i=2i1+2i=2i+4i2=2i4

Vậy số phức z có phần ảo là 2.


Câu 10:

Cho số phức z thỏa mãn z(2 - i) + 13i = 1. Mô đun của số phức z là
Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: z2i+13i=1z=113i2i=35i.

Do đó z=32+52=34.


Câu 11:

Cho số phức z1=3+2i, z2=6+5i. Số phức liên hợp của số phức z=6z1+5z2
Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: z=6z1+5z2=63+2i+56+5i=48+37i.

Suy ra z¯=4837i.

Câu 12:

Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy ở hình bên. Khi đó z1+z2 bằng

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy ở hình bên. Khi đó  trị tuyệt đối z1  z2 bằng (ảnh 1)

Từ hình vẽ ta có điểm M(3;2) biểu diễn số phức

z1=3+2i, điểm N(1;-4) biểu diễn số phức z2=14i.

Ta có z1+z2=42i

z1+z2=42+22=25.


Câu 13:

Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực thỏa mãn a + bi + 2i(a - bi) + 4 = i, với i là đơn vị ảo. Môđun của ω=1+z+z2

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có a+bi+2iabi+4=ia+2b=4b+2a=1a=2b=3. Suy ra z=23i.

Do đó ω=1+z+z2=215i. Vậy ω=22+152=229

Câu 14:

Cho số phức z thỏa mãn z¯=1+3i1i. Môđun của số phức w=i.z¯+z
Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: z¯=1+3i1i=1+2i.
z=12iw=i.1+2i+12i=33i.
w=32+32=18=32.

Câu 15:

Cho z1, z2 là các số phức thỏa mãn z1=z2=1z12z2=6. Giá trị của biểu thức P=2z1+z2

Xem đáp án
Chọn A.

Đặt z1=a1+b1i; a1,b1, z2=a2+b2i; a2,b2.

Suy ra a12+b12=a22+b22=1 và z12z2=6a1.a2+b1.b2=14.

Ta có: 2z1+z2=2a1+a2+2b1+b2i

2z1+z2=2a1+a22+2b1+b22=2a12+b12+14.a22+b22+a1a2+b1b2

Suy ra P=2z1+z2=2.

Câu 16:

Điểm biểu diễn của số phức z=123i
Xem đáp án
Chọn B.
z=123i=2+3i23i2+3i=213+313i.
Suy ra điểm biểu diễn của số phức z=123i là: 213;313.

Câu 17:

Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M, N trên mặt phẳng phức (hình bên). Khi đó phần ảo của số phức z1z2
Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M, N trên mặt phẳng phức (hình bên). Khi đó phần ảo của số phức  z1/a2là (ảnh 1)
Xem đáp án
Chọn A.

Dựa vào hình vẽ ta có được z1=3+2i,z2=14iz1z2=3+2i14i=517+1417i.


Câu 18:

Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = 11 - 3i. Điểm M biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng tọa độ là
Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: 1+iz=113iz=113i1+i=47i.

Suy ra điểm biểu diễn cho số phức z là M(4,-7)

Câu 19:

Cho  lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 43i, 1+2ii, 1i. Số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là
Xem đáp án

Chọn C

Ta có

A là điểm biểu diễn của số phức 4 - 3i nên A(4;-3)

B là điểm biểu diễn của số phức (1 + 2i)i nên B(-2;1)

C là điểm biểu diễn của số phức 1i=i nên C(0;-1)

Điều kiện để ABCD là hình bình hành là AD=BC

xDxA=xCxByDyA=yCyBxD=xC+xAxB=6yD=yC+yAyB=5D6;5z=65i.


Câu 22:

Có bao nhiêu số phức z  thỏa mãn zi=z1z2i=z?
Xem đáp án

Chọn A

Đặt z=x+yi,x,y.

Ta có hệ phương trình: x2+y12=x12+y2x2+y22=x2+y2x=y=1.

Do đó z = 1 + i nên có một số phức thỏa mãn.


Câu 23:

Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện z.z¯+z=2 và z=2?
Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: z.z¯+z=2z2+z=2z+4=2.

Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn C1:x2+y2=4 và C2:x+42+y2=4.

I1I2=R1+R2 (I1,I2 là tâm của các đường tròn C1,C2) nên C1C2 tiếp xúc nhau).

Suy ra: Có một số phức thỏa mãn yêu cầu.


Câu 24:

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn zz6i+2i=7iz?
Xem đáp án

Chọn B

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi z cho ta duy nhất một số phức z

Đặt z=a0,a, khi đó ta có

zz6i+2i=7izaz6i+2i=7iza7+iz=6a+ai2ia7+iz=6a+a2ia7+iz=6a+a2ia72+1a2=36a2+a23a414a3+13a2+4a4=0a1a313a2+4=0.

Hàm số fa=a313a2a0 có bảng biến thiên:

Có bao nhiêu số phức thỏa mãn trị tuyệt đối z (z - 6 - i) + 2i = (7 - i)z ? (ảnh 1)

Đường thẳng y = -4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình a313a2+4=0 có hai nghiệm khác 1 (do f10). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.


Câu 25:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn z2m1i=10 và z1+i=z¯2+3i?

Xem đáp án

Chọn B

Giả sử z=x+yix,y và M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

Ta có: z2m1i=10z2m1i2=100

x2m12+y12=100.

Khi đó điểm biểu diễn số phức z  nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m - 1;1)  bán kính R = 10

Lại có z1+i=z¯2+3ix1+y+1i2=x2+3yi2

x12+y+12=x22+3y22x+8y11=0.

Khi đó điểm biểu diễn số phức z  cũng nằm trên đường thẳng Δ:2x+8y11=0

Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Tức là dI,Δ<1022m1+81122+82<10520174<m<5+20174.

Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 26:

Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1=3,z2=4,z1z2=37. Hỏi có bao nhiêu số z mà z=z1z2=a+bi?
Xem đáp án

Chọn B

Đặt z1=x+yi,z2=c+dix,y,c,d.

Ta có:

z1=3x2+y2=9;z2=4c2+d2=16;z1z2=37x2+y2+c2+d22xc2yd=37xc+yd=6.

Lại có: z1z2=x+yic+di=xc+ydc2+d2+ycxdc2+d2i=38+bi.

Suy ra a=38.

Mà z1z2=z1z2=34=a2+b2a2+b2=916b2=916a2=2764b=±338

Vậy có hai số phức z  thỏa mãn.


Câu 27:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z¯=1z3+i=m.  Số phần tử của S là
Xem đáp án

Chọn A

Dễ thấy m > 0

Đặt z=a+bi;a,b ta có hệ phương trình.

a2+b2=1a32+b+12=m2

Phương trình a2+b2=1 là đường tròn tâm O, bán kính R = 1

Phương trình a32+b+12=m2 là đường tròn tâm I3;1, bán kính R = m.

Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài

<=> Hệ phương trình a2+b2=1a32+b+12=m2 có nghiệm duy nhất

<=> Hai đường tròn này tiếp túc với nhau

OI=m±1m±1=2m=1m=3 (thỏa mãn m > 0).

Vậy, có hai số thực thỏa mãn.


Câu 28:

Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn z=1 và zz¯+z¯z=1.
Xem đáp án

Chọn D

Đặt z=a+bi,a,b.  Ta có

z=a2+b2=1a2+b2=1.

zz¯+z¯z=z2+z¯2z.z¯=a+bi2+abi2z2=2a22b2=1.

Ta có hệ: a2+b2=12a22b2=1a2+b2=1a2b2=12 hoặc a2+b2=1a2b2=12

a2=34b2=14 hoặc a2=14b2=34.

Suy ra a;b12;±32;12;±32;32;±12;32;±12.

Vậy có 8 cặp số (a;b) do đó có 8 số phức thỏa mãn.


Câu 29:

Xét các số phức z thỏa mãn z68+z¯.i là số thực. Biết rằng  tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z  là một đường tròn, có tâm I(a;b)  và bán kính R. Giá trị a + b + R bằng
Xem đáp án

Chọn B.

Đặt z=x+yix,y.

z68+z¯.i=x6+yiy+8+xi là số thực nên xx6+yy+8=0x32+y+42=25.

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z  là đường tròn có tâm I(3;-4) bán kính R = 5

Vậy a + b + R = 4


Câu 30:

Cho số phức z  thỏa mãn z3+z+3=10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z  là
Xem đáp án

Chọn C

Gọi z=x+yix,y thì z3+z+3=10x3+yi+x+3+yi=10(*)

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F13;0, F23;0. Dễ thấy F1F2=6=2c

Khi đó: z3+z+3=10MF1+MF2=10=2a.

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z  là elip có hai tiêu điểm F1, F2, độ dài trục lớn là 2a = 10


Câu 31:

Cho số phức z thỏa mãn z=10w=6+8iz¯+12i2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

w=6+8iz¯+12i2w34i=6+8iz¯w34i=62+82z¯w34i=10.10w34i=100

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I(-3;-4)


Câu 32:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn z1+2i=z¯+1+2i là đường thẳng có phương trình

Xem đáp án

Chọn C

Đặt z=x+yix,yz¯=xyi.

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức z

Ta có:z1+2i=z¯+1+2i

x+yi1+2i=zyi+1+2ix1+y+2i=x+1+2yix12+y+22=x+12+2y2x22x+1+y2+4y+4=x2+2x+1+y24y+4x2y=0.

Vậy tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z  thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x - 2y = 0


Câu 33:

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z  thỏa mãn 3z+i=2z¯z+3i. Tập hợp tất cả các điểm M như vậy là

Xem đáp án

Chọn A

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z=x+yi;x;y.

Khi đó

3z+i=2z¯z+3i3x2+y+12=x2+3y+329x2+y+12=x2+3y+32y=2x29

Vậy tập hợp tất cả các điểm M là một đường parabol.


Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 3z3i+15. Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó là
Xem đáp án
Chọn D.

Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z và A(-1;3) là điểm biểu diễn số phức -1 + 3i

Khi đó AM=z3i+1=a+12+b32.

Suy ra 32a+12+b325232AM52. Tập hợp các điểm biểu diễn của z  là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn (A;3) và (A;5), kể cả các điểm nằm trên hai đường tròn này.

S=25π9π=16π.


Bắt đầu thi ngay