Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right).} \]

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right).} \]

Đáp án đúng là: B

Ta có mệnh đề a và c là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: B

Với hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[a,b,c \in \mathbb{R}\] thỏa mãn \[a < b < c\] thì

\[\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx.} } } \]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[I = \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}dx} = \left. {\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^3}}}{6}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{{27}}{6} - \frac{1}{6} = \frac{{13}}{3}.\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \]

Suy ra \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 5 - \left( { - 1} \right) = 6\].

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x + 1}}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\left( {{e^4} - e} \right)\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} = 1.\]

Đáp án đúng là:

Với \[x \in \left[ {0;2} \right]\] thì \[\left| {x - 2} \right| = - \left( {x - 2} \right) = 2 - x\]

Ta có: \[I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 2} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)dx} \]\[ = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \]

\[ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx + \int\limits_1^2 {1dx} } \]

\[ = \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. x \right|_1^2 = - 1\].

Đáp án đúng là: B

Xét các mệnh đề, ta có:

a) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx + } } \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} \]

\[ = - 4 + \left( { - 3} \right) = - 7\].

b) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx - } } \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} \]

\[ = - 4 - \left( { - 3} \right) = - 1\].

c) \[\int\limits_{ - 3}^0 { - 3f\left( x \right)dx = } - 3\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx = - 3.\left( { - 4} \right) = 12.} \]

d) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx + } } 3\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} \]

\[ = - 4 + \left( { - 3} \right).3 = - 13.\]

Vậy có mệnh đề a và c là mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 10\\\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = 6\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + } 3\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 10\\2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 6\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = 4} \\\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} = 2\end{array} \right.\]

Do đó, \[I = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = 6} } \].

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 2x\]

Do đó, \[\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {\left( {1 + 2x} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^3 = 10\].

Đáp án đúng là:

Quãng đường vật đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

\[s\left( t \right) = \int\limits_4^{10} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = \left. {\left( {{t^3} + \frac{5}{2}t} \right)} \right|_4^{10} = 966\] m.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {{t^2} + 3t} \right)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{3}{2}{t^2} + C\].

Mà có \[v\left( 0 \right) = 10\] m/s nên ta có C = 10.

Suy ra \[v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{3}{2}{t^2} + 10\].

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là \[s\left( t \right) = \int\limits_0^6 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^6 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{3}{2}{t^2} + 10} \right)dt} = 276\] m.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( { - 2\cos x + 3\sin x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\]

\[ = 3 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{18}} = \frac{{8 - 3\sqrt 3 }}{2} - \frac{{5{\pi ^2}}}{{72}}\].

Do đó, \[a = 8,b = - 3,c = 72.\]

Vậy \[P = a + 2b + 3c = 8 + 2.\left( { - 3} \right) + 3.72 = 218.\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[I = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} } \right]\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} } \right]\]

\[ = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x} \right)} \right|_1^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_2^3} \right] = \frac{{23}}{6}.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[a\left( t \right) = {t^2} + 4t\] suy ra \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {{t^2} + 4t} \right)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C.\]

Mà \[{v_0} = 15\]m/s nên C = 15.

Do đó, \[v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\].

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

\[s\left( t \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right)} dt = 69,75\] m.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \mathbb{R}\] \[ \Rightarrow \frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - \left( {2x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}\].

\[ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = - \left( {2x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy \[\frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \int {\left( {2x + 1} \right)dx} = - {x^2} - x + C\]

Suy ra \[f\left( x \right) = \frac{1}{{ - {x^2} - x + C}}\].

Mà \[f\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow C = - 1.\]

Vậy \[f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\].

Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 1} \right)f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left[ { - \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} = \frac{1}{2}.\]