178 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 5: Tiếp tuyến có đáp án

Câu 1:

y = x^{3} + x + 1

tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây?

A. $y = x + 1$

B. $y = - 2 x + 1.$

C. $y = - x + 1.$

D. $y = 2 x + 1.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong $(C) : y = f (x)$ và $(C^{'}) : y = g (x)$ là hệ phương trình $\{\begin{cases} f (x) = g (x) \\ f^{'} (x) = g^{'} (x) \end{cases}$ có nghiệm.

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in ℝ$ nên các phương án B, C bị loại.

Xét phương án A. $y = x + 1$ . Ta có hệ $\{\begin{cases} x^{3} + x + 1 = x + 1 \\ 3 x^{2} + 1 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = 0$ .

Vậy đường thẳng $y = x + 1$ tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho.

Chọn A.

Câu 2:

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $y = - 2 x + m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ là

A. $\{7; - 1\}$

B. $\{- 1\}$

C. $\{6\}$

D. $\{6; - 1\}$

Xem đáp án

Đường thẳng $y = - 2 x + m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

\{\begin{cases} \frac{x + 1}{x - 1} = - 2 x + m \\ \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x + 1}{x - 1} = - 2 x + m \\ {(x - 1)}^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x + 1}{x - 1} = - 2 x + m \\ x^{2} - 2 x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 0 \\ m = - 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 2 \\ m = 7 \end{cases} \end{array}

Vậy $m \in \{- 1; 7\}$ thì đường thẳng d tiếp xúc với (C).

Chọn A.

Câu 3:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị ( $C_{m}$ ) của hàm số $y = x^{3} - 4 m x^{2} + 7 m x - 3 m$ tiếp xúc với parabol $(P) : y = x^{2} - x + 1$ . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. $\frac{11}{4}$

B. $\frac{331}{4}$

C. $\frac{9}{4}$

D. -4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Để ( $C_{m}$ ) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm:

$\{\begin{cases} x^{3} - 4 m x^{2} + 7 m x - 3 m = x^{2} - x + 1 \\ 3 x^{2} - 8 m x + 7 m = 2 x - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{3} - (4 m + 1) x^{2} + (7 m + 1) x - 3 m - 1 = 0 (1) \\ 3 x^{2} - 2 (4 m + 1) x + 7 m + 1 = 0 (2) \end{cases}$

Giải (1), ta có (1) $\Leftrightarrow (x - 1) (x^{2} - 4 m x + 3 m + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} - 4 m x + 3 m + 1 = 0 \end{array}$

+ Với $x = 1$ thay vào (2) được $m = 2$

+ Xét hệ $\{\begin{cases} x^{2} - 4 m x + 3 m + 1 = 0 (3) \\ 3 x^{2} - 2 (4 m + 1) x + 7 m + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow (2 m - 1) x = m + 1 (4)$ .

• Nếu $m = \frac{1}{2}$ thì (4) vô nghiệm.

• Nếu $m \neq \frac{1}{2}$ thì (4) $\Leftrightarrow x = \frac{m + 1}{2 m - 1}$ .

Thay $x = \frac{m + 1}{2 m - 1}$ vào (3) ta được ${(\frac{m + 1}{2 m - 1})}^{2} - 4 m (\frac{m + 1}{2 m - 1}) + 3 m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4 m^{3} - 11 m^{2} + 5 m + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - \frac{1}{4} \\ m = 1 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $S = \{2; - \frac{1}{4}; 1\}$ nên tổng các phần tử trong S bằng $\frac{11}{4}$ .

Chọn A.

Câu 4:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} (m + 2) x^{2} + 2 m x + 1$ tiếp xúc với đường thẳng $y = 1$ . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 10

B. $\frac{20}{3} .$

C. $\frac{8}{3} .$

D. $\frac{32}{3} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} (m + 2) x^{2} + 2 m x + 1 = 1 (1) \\ x^{2} - (m + 2) x + 2 m = 0 (2) \end{cases}$

Giải phương trình (2) ta được $[\begin{array}{l} x = m \\ x = 2 \end{array}$ .

+ Với $x = m$ , thay vào (1) ta được $- \frac{m^{3}}{6} + m^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 6 \end{array}$ .

+ Với $x = 2$ , thay vào (1), ta được $m = \frac{2}{3}$ .

Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng $y = 1$ là $S = \{0; 6; \frac{2}{3}\}$ nên tổng các phần tử trong S bằng $\frac{20}{3}$ .

Chọn B.

Câu 5:

Biết đồ thị của hàm số $(C) : y = x^{3} + a x^{2} + b x + c (a, b, c \in ℝ)$ , tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng $x = 1$ tại điểm có tung độ bằng 3. Tổng a + 2b + 3c bằng

A. 4

B. 2

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Vì (C) tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên $x = 0$ là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{cases} x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0 \\ 3 x^{2} + 2 a x + b = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b = 0 \\ c = 0 \end{cases}$

Mặt khác (C) đi qua điểm $A (1; 3)$ nên $a + b + c + 1 = 3 \Rightarrow a = 2$ .

Vậy $a + 2 b + 3 c = 2.$

Chọn B.

Câu 6:

Cho parabol

(P_{m}) : y = m x^{2} - 2 (m - 3) x + m - 2 (m \neq 0)

luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

A. $A (1; - 8)$

B. $B (0; - 2)$

C. $C (0; 2)$

D. $D (1; 8)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y = m x^{2} - 2 (m - 3) x + m - 2 = m (x^{2} - 2 x + 1) + 6 x - 2$

$\Leftrightarrow y = m {(x - 1)}^{2} + 6 x - 2$ .

Xét đường thẳng $d : y = 6 x - 2$ thì hệ phương trình

$\{\begin{cases} m {(x - 1)}^{2} + 6 x - 2 = 6 x - 2 \\ 2 m (x - 1) + 6 = 6 \end{cases}$ luôn có nghiệm $x = 1$ với mọi $m \neq 0$ .

Vậy $(P_{m})$ luôn tiếp xúc với đường thẳng $d : y = 6 x - 2$ .

Đường thẳng d đi qua điểm $B (0; - 2)$ .

Chọn B.

Câu 7:

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

y = - x^{3} + x + 2

tại điểm

M (- 2; 8)

bằng

A. -11

B. 6

C. 11

D. -12

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = - 3 x^{2} + 1 \Rightarrow y^{'} (- 2) = - 11$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M (- 2; 8)$ và $y = - 11 (x + 2) + 8$ .

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là $k = - 11$ .

Chọn A.

Câu 8:

Tiếp tuyến của đường cong $(C) : y = x \sqrt{x + 1}$ tại điểm $M (3; 6)$ có hệ số góc bằng

A. $- \frac{1}{4}$

B. $\frac{11}{4}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $- \frac{11}{4}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \sqrt{x + 1} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} = \frac{3 x + 2}{2 \sqrt{x + 1}}$ .

Hệ số góc cần tìm là $y^{'} (3) = \frac{3.3 + 2}{2 \sqrt{3 + 1}} = \frac{11}{4} .$

Chọn B.

Câu 9:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = x^{3} - 2 x + 3

tại điểm

M (1; 2)

là

A. $y = 2 - x$

B. $y = x + 1$

C. $y = 3 x - 1$

D. $y = 2 x + 2$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 2 \Rightarrow y^{'} (1) = 1$

Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm $M (1; 2)$ là $y = (x - 1) + 2 = x + 1$ .

Chọn B.

Câu 10:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C) : y = x^{3}$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. $y = 3 x - 3.$

B. $y = 3 x + 2.$

C. $y = 3 x - 2.$

D. $y = 3 x .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} \Rightarrow y^{'} (1) = 3.$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 1 là $y = 3 (x - 1) + 1 \Leftrightarrow y = 3 x - 2$ .

Chọn C.

Câu 11:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{4} + x^{2} + 1$ tại điểm có tung độ bằng 1 là

A. $y = 4.$

B. $y = 2.$

C. $y = 1.$

D. $y = 3.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm

Ta có $y_{0} = 1 \Leftrightarrow x_{0}^{4} + x_{0}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 0 \Rightarrow M (0; 1)$ .

Lại có $y^{'} = 4 x^{3} + 2 x \Rightarrow y^{'} (0) = 0$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 1$ .

Chọn C.

Câu 12:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x - 3}$ tại giao điểm của đồ thị với trục hoành là

A. $y = 2 x - 4.$

B. $y = 3 x + 1.$

C. $y = - 2 x + 4.$

D. $y = 2 x .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm của phương trình $\frac{2 x - 4}{x - 3} = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow$ đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0).

Ta có $y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 3)}^{2}} \Rightarrow y^{'} (2) = - 2 y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 3)}^{2}} \Rightarrow y^{'} (2) = - 2$ .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - 2 (x - 2)$ hay $y = - 2 x + 4$ .

Chọn C.

Câu 13:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x - 2$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là

A. $y = 3 x - 2$

B. $y = 2 x + 1$

C. $y = - 2 x + 1$

D. $y = - 3 x - 2$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $(C) \cap O y = A (0; - 2); y^{'} (0) = 3.$

Phương trình tiếp tuyến tại $A (0; - 2)$ là $y = 3 x - 2$ .

Chọn A.

Câu 14:

Gọi đường thẳng $y = a x + b$ là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ . Giá trị a-b bằng

A. 2

B. -1

C. 1

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = \frac{1}{2} \Rightarrow$ Tọa độ tiếp điểm của đường thẳng $y = a x + b$ và đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ là $M (1; \frac{1}{2})$ .

Vì $y^{'} = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$ nên $y^{'} (1) = \frac{3}{4}$ .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là $y = \frac{3}{4} (x - 1) + \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{4} \\ b = - \frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow a - b = 1$

Chọn C.

Câu 15:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \tan (\frac{π}{4} - 3 x)$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = \frac{π}{6}$ là

A. $y = - x - \frac{π}{6} + 6.$

B. $y = - x - \frac{π}{6} + 6.$

C. $y = - x - \frac{π}{6} - 6.$

D. $y = - 6 x + π - 1.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \frac{- 3}{\cos^{2} (\frac{π}{4} - 3 x)} \Rightarrow y^{'} (\frac{π}{6}) = - 6; x_{0} = \frac{π}{6} \Rightarrow y_{0} = - 1$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - 6 x + π - 1$

Chọn D.

Câu 16:

Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số $(C) : y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Diện tích tam giác OAB bằng

A. $\frac{125}{6} (®vdt)$

B. $\frac{117}{6} (®vdt)$

C. $\frac{121}{6} (®vdt)$

D. $\frac{119}{6} (®vdt)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $M (2; 5) \in (C); y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}; y^{'} (2) = - 3$ .

Phương trình tiếp tuyến tại là $d : y = - 3 x + 11$ .

Khi đó d cắt Ox, Oy tại $A (\frac{11}{3}; 0)$ và $B (0; 11) \Rightarrow O A = \frac{11}{3}; O B = 11.$

Vậy $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} . \frac{11}{3} .11 = \frac{121}{6} (®vdt)$

Chọn C.

Câu 17:

Cho hàm số $y = \frac{x + b}{a x - 2} (a b \neq - 2, a \neq 0)$ . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A (1; - 2)$ song song với đường thẳng $d : 3 x + y - 4 = 0$ . Khi đó giá trị của $a - 3 b$ bằng

A. 5

B. 4

C. -1

D. -2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = \frac{- 2 - a b}{{(a x - 2)}^{2}} \Rightarrow y^{'} (1) = \frac{- 2 - a b}{{(a - 2)}^{2}}$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $d : 3 x + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = - 3 x + 4$ nên $y^{'} (1) = - 3 \Leftrightarrow \frac{- 2 - a b}{{(a - 2)}^{2}} = - 3$ .

Mặt khác $A (1; - 2)$ thuộc đồ thị hàm số nên $- 2 = \frac{1 + b}{a - 2} \Leftrightarrow b = - 2 a + 3.$

Khi đó ta có hệ $\{\begin{cases} \frac{- 2 - a b}{{(a - 2)}^{2}} = - 3 \\ b = - 2 a + 3 \end{cases} \Rightarrow 5 a^{2} - 15 a + 10 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 2 \\ a = 1 \end{array}$

+ Với $a = 2 \Rightarrow b = - 1 \Rightarrow a b = - 2$ (loại)

+ Với $a = 1 \Rightarrow b = 1$ ( thỏa mãn điều kiện).

Khi đó ta có hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ .

$y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}} \Rightarrow y^{'} (1) = - 3$ nên phương trình tiếp tuyến là $y = - 3 x + 1$ song song với đường thẳng $y = - 3 x + 4$ .

Vậy $a - 3 b = - 2$ .

Chọn D.

Câu 18:

Trong tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ thì đường thẳng d có hệ số góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. $y = 6 x + 2.$

B. $y = 2 x + 2.$

C. $y = 1.$

D. $y = 3 x + 1.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = - 3 x^{2} - 6 x + 3$

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại $M (x_{0}; y_{0})$ là

$k = - 3 x_{0}^{2} - 6 x_{0} + 3 = - 3 {(x_{0} + 1)}^{2} + 6 \leq 6$

$\Rightarrow k_{\max} = 6 \Leftrightarrow x_{0} = - 1$ hay $M (- 1; - 4)$ .

Phương trình đường thẳng d là $y = 6 (x + 1) - 4 \Leftrightarrow y = 6 x + 2$ .

Chọn A.

Câu 19:

Cho hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} + (m - 1) x + 2 m$ có đồ thị $(C_{m})$ . Giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị $(C_{m})$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ song song với đường thẳng $y = 3 x + 10$ là

A. $m = 2.$

B. $m = 4.$

C. $m = 0.$

D. $k h ô n g t ồ n t ạ i m$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 4 x + m - 1 \Rightarrow y^{'} (1) = m - 2$ .

Tiếp tuyến của $(C_{m})$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ có phương trình là

$y = (m - 2) (x - 1) + 3 m - 2 \Leftrightarrow y = (m - 2) x + 2 m$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 3 x + 10$ nên $\{\begin{cases} m - 2 = 3 \\ 2 m \neq 10 \end{cases}$ (vô lí)

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Câu 20:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 2$ tại điểm M có hoành độ $x_{0}$ , biết rằng ${f^{'}}^{'} (x_{0}) = - 6$ là

A. $y = 9 x + 6.$

B. $y = 9 x - 6.$

C. $y = 6 x + 9.$

D. $y = 6 x - 9.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 9, {f^{'}}^{'} (x) = - 6 x + 6$

${f^{'}}^{'} (x_{0}) = - 6 \Leftrightarrow - 6 x_{0} + 6 = - 6 \Leftrightarrow x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = 24$ và $y^{'} (2) = 9$

Phương trình tiếp tuyến tại $M (2; 24)$ là $y = 9 (x - 2) + 24 \Leftrightarrow y = 9 x + 6$ .

Chọn A.

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + m x^{2} + x + 1$ . Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có hoành độ $x = 1$ . Tất cả các giá trị thực của tham số m để thỏa mãn $k . f (- 1) < 0$ là

A. $m \leq - 2$

B. $- 2 < m < 1$

C. $m \geq 1$

D. $m > 2$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 m x + 1 \Rightarrow k = f^{'} (1) = 4 + 2 m$ .

Do đó $k . f (- 1) = (4 + 2 m) (m - 1)$

Để $k . f (- 1) < 0$ thì $(4 + 2 m) (m - 1) < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1$ .

Chọn B.

Câu 22:

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 m x^{2} + (m + 1) x + 1$ , với m là tham số thực, có đồ thị (C). Biết rằng khi $m = m_{0}$ thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_{0} = - 1$ đi qua $A (1; 3)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $- 2 < m_{0} < - 1$

B. $- 1 < m_{0} < 0$

C. $0 < m_{0} < 1$

D. $1 < m_{0} < 2$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua $A (1; 3)$ khi $m = m_{0}$

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 m x + m + 1$ .

Với $x_{0} = - 1$ thì $y_{0} = 2 m - 1 \Rightarrow B (- 1; 2 m - 1)$ và $y^{'} (- 1) = - 5 m + 4$ .

Tiếp tuyến tại B của (C) có phương trình là $y = (- 5 m + 4) (x + 1) + 2 m - 1$ .

Do tiếp tuyến đi qua $A (1; 3)$ nên $2 (- 5 m + 4) + 2 m - 1 = 3 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Vậy $m_{0} = \frac{1}{2} \in (0; 1)$ .

Chọn C.

Câu 23:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2}}{2 - x}$ có đồ thị (C). Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

A. $y = - 8.$

B. $y = - 64.$

C. $y = - 12.$

D. $y = - 9.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Giả sử $M (a; \frac{a^{2}}{2 - a})$ là một điểm thuộc (C).

Do $d (M; O x) = 2 d (M; O y)$ nên $|\frac{a^{2}}{2 - a}| = 2 |a| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{a^{2}}{2 - a} = 2 a \\ \frac{a^{2}}{2 - a} = - 2 a \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ a = \frac{4}{3} \\ a = 4 \end{array}$

Theo giả thiết thì M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên nên $a = 4 \Rightarrow M (4; - 8)$ .

Khi đó $y^{'} = \frac{4 x - x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \Rightarrow y^{'} (4) = 0$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - 8$ .

Chọn A.

Câu 24:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x + 2}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $d : y = - 2 x + m - 1$ ( m là tham số thực). Gọi $k_{1}, k_{2}$ là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tích $k_{1}, k_{2}$ bằng

A. 4

B. $\frac{1}{4}$

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 2\}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d)

$\frac{x + 1}{x + 2} = - 2 x + m - 1$ ( với $x \neq - 2$ )

$\Rightarrow 2 x^{2} + (6 - m) x + 3 - 2 m = 0 (1)$

Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(6 - m)}^{2} - 8 (3 - 2 m) > 0 \\ 8 - 2 (6 - m) + 3 - 2 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 4 m + 12 > 0 \\ - 1 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \forall m \in ℝ$

Vậy (C) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ , với $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của phương trình (1).

Theo định lý Vi-ét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{m - 6}{2} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{3 - 2 m}{2} \end{cases}$

Ta có $k_{1} . k_{2} = \frac{1}{{(x_{1} + 2)}^{2}} . \frac{1}{{(x_{2} + 2)}^{2}} = \frac{1}{{[x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) + 4]}^{2}}$

$= \frac{1}{{[\frac{3 - 2 m}{2} + 2. \frac{m - 6}{2} + 4]}^{2}} = 4$

Chọn A.

Câu 25:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m$ có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của tham số thực m để tiếp tuyến $∆$ của đồ thị (C) tại A cắt đường tròn $(γ) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là

A. $m = - \frac{13}{16} .$

B. $m = \frac{13}{16} .$

C. $m = - \frac{16}{13} .$

D. $m = \frac{16}{13} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đường tròn $(γ) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ có tâm $I (0; 1), R = 2$ .

Ta có $A (1; 1 - m); y^{'} = 4 x^{3} - 4 m x \Rightarrow y^{'} (1) = 4 - 4 m$ .

Suy ra phương trình tiếp tuyến $Δ : y = (4 - 4 m) (x - 1) + 1 - m$ .

Dễ thấy $∆$ luôn đi qua điểm cố định $F (\frac{3}{4}; 0)$ và điểm F nằm trong đường tròn $(γ)$ .

Giả sử $∆$ cắt $(γ)$ tại M, N, Khi đó $M N = 2 \sqrt{R^{2} - d^{2} (I; Δ)} = 2 \sqrt{4 - d^{2} (I; Δ)}$ .

Do đó MN nhỏ nhất $d (I; Δ)$ lớn nhất $\Leftrightarrow d (I; Δ) = I F \Rightarrow Δ ⊥ I F$ .

Khi đó đường thẳng $∆$ có 1 vectơ chỉ phương $\vec{u} ⊥ \vec{I F} = (\frac{3}{4}; - 1); \vec{u} = (1; 4 - 4 m)$ nên $\vec{u} . \vec{I F} = 0 \Leftrightarrow 1. \frac{3}{4} - (4 - 4 m) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{13}{16}$ .

Chọn B.

Câu 26:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hai hàm số

(C_{1}) : y = m x^{3} + (1 - 2 m) x^{2} + 2 m x

và

(C_{2}) : y = 3 m x^{3} + 3 (1 - 2 m) x + 4 m - 2

tiếp xúc với nhau. Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. $\frac{11}{6}$

B. 3

C. 1

D. $\frac{7}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 27:

Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $y = 2 x + m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ . Tích giá trị các phần tử của S bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 4

C. -8

D. -4

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 28:

Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số $y = x^{4} - (m + 1) x^{2} + 4 m (C_{m})$ tiếp xúc với đường thẳng $d : y = 3$ tại hai điểm phân biệt. Tổng các phần tử của tập S bằng

A. 14

B. 17

C. 15

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 29:

Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - m x^{2} + 1$ tiếp xúc với đường thẳng $d : y = 5$ là

A. $m = 2.$

B. $m = 3$

C. $m = - 1 .$

D. $m = - 3 .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 30:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 m x + 1 - m$ . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành?

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 31:

Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ tiếp xúc với parabol $y = x^{2} + m$ là

A. $m = - 2.$

B. $m = 0.$

C. $m = - 1.$

D. $m = 3.$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 32:

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 2 (m + 1) x^{2} - 5 m x + 2 m$ tiếp xúc với trục hoành?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 33:

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $x + y = 2 m$ là tiếp tuyến của đường cong $y = - x^{3} + 2 x + 4$ bằng

A. 2

B. -4

C. -2

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 34:

Cho hàm số $y = \frac{x^{4}}{4} - 2 x^{2} + 4$ có đồ thị là (C). Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol $(P) : y = x^{2} + m$ bằng

A. 6

B. 126

C. 34

D. -1

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 35:

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - (m + 3) x^{2} + (3 m + 2) x - 2 m$ tiếp xúc với trục hoành bằng

A. 1

B. 3

C. -3

D. -1

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 36:

Trong ba đường thẳng $d_{1} : y = 7 x - 9, d_{2} : y = 5 x + 29, d_{3} : y = - 5 x - 5$ có bao nhiêu đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C) : y = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 4$ ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 37:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 2$ tại điểm có hoành độ bằng -3 có phương trình là

A. $y = 9 x + 25$

B. $y = 30 x - 25$

C. $y = 9 x - 25$

D. $y = 30 x + 25$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 38:

Đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 1}$ cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là

A. $y = - 5 x - 1$

B. $y = - 4 x - 1$

C. $y = 4 x - 1$

D. $y = 5 x - 1$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 39:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=0 là

A. $y = 3 x + 2$

B. $y = - 3 x - 2$

C. $y = 3 x - 3$

D. $y = 3 x - 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 40:

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \sin x + 1$ tại điểm có hoành độ $\frac{π}{3}$ bằng

A. $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $- \frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 41:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ tại giao điểm với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. -1

B. 1

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 42:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{11}{2}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ $x_{0} = - 2$ là

A. $y = - \frac{1}{2} (x - 2) + 7$

B. $y = - \frac{1}{2} (x + 2) + 6$

C. $y = - \frac{1}{2} (x + 2) - 6$

D. $y = \frac{1}{2} (x + 2) + 7$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 43:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x + 4 (C)$ . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M (- 2; 2)$ có hệ số góc bằng

A. 45

B. 0

C. 24

D. 9

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 44:

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x$ có đồ thị hàm số (C). Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có tung độ bằng 4 là

A. 9

B. 6

C. 0

D. -2

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 45:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 2}{2 x - 3}$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ có hệ số góc bằng

A. -5

B. -13

C. 13

D. -1

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 46:

Cho đồ thị $(H) : y = \frac{2 x - 4}{x - 3}$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại giao điểm của (H) và Ox là

A. $y = - 2 x + 4.$

B. $y = - 2 x - 4.$

C. $y = 2 x - 4.$

D. $y = 2 x .$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 47:

Cho hàm số $y = - x^{2} + 5$ , có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ $y_{0} = - 1$ với hoành độ $x_{0} < 0$ là

A. $y = 2 \sqrt{6} (x - \sqrt{6}) - 1$

B. $y = 2 \sqrt{6} (x + \sqrt{6}) - 1$

C,. $y = - 2 \sqrt{6} (x + 6) - 1$

D. $y = 2 \sqrt{6} (x - 6) + 1$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 48:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

A. $x + 3 y + 1 = 0$

B. $x - 3 y + 1 = 0$

C. $x - 3 y - 1 = 0$

D. $x + 3 y - 1 = 0$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 49:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C) : y = x^{4} - x^{2} + 1$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. $y = 2 x - 1.$

B. $y = 2 x + 1.$

C. $y = 1.$

D. $y = 2 x + 3.$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 50:

Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{2 x}}$ tại điểm $A (\frac{1}{2}; 1)$ là

A. $2 x - 2 y = 1.$

B. $2 x + 2 y = - 3.$

C. $2 x - 2 y = - 1.$

D. $2 x + 2 y = 3.$

Xem đáp án

chọn đáp án D

Câu 51:

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{3} - 4 x + 1$ tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là

A. $y = - 8 x + 17.$

B. $y = 8 x - 16.$

C. $y = 8 x + 15.$

D. $y = 8 x - 15.$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 52:

Phương trình các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 1$ tại điểm có tung độ bằng 5 là

A. $y = 2 x + 3; y = - x + 7; y = 2 x - 2.$

B. $y = 2 x + 1; y = - x + 2; y = 2 x - 2.$

C. $y = 2 x + 3; y = - x + 7; y = 2 x - 1.$

D. $y = 2 x + 1; y = - x + 2; y = 2 x - 1.$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 53:

Cho hàm số $y = x^{2} + 5 x + 4$ có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của đồ thị với trục Ox là

A. $y = 3 x + 3$ và $y = - 3 x - 12.$

B. $y = 3 x - 3$ và $y = - 3 x + 12.$

C. $y = - 3 x + 3$ và $y = 3 x - 12.$

D. $y = 2 x + 3$ và $y = - 2 x - 12.$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 54:

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} + 1$ tại điểm có hoành độ -1 bằng

A. 4

B. 3

C. -3

D. 11

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 55:

Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số $(C) : y = \sqrt{x^{2} + x + 1}$ . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là

A. $y = \frac{1}{2} x + 1.$

B. $y = - \frac{1}{2} x + 1.$

C. $y = - x + 1.$

D. $y = x + 1.$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 56:

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = \tan x$ tại điểm có hoành độ $x = \frac{π}{4}$ bằng

A. 2

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

D. 1

Xem đáp án

chọn đáp án A

Câu 57:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ tại điểm có hoành độ x=-1 là

A. $y = 2 x + 1.$

B. $y = - x + 1.$

C. $y = x - 1.$

D. $y = - x + 2.$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 58:

Cho hàm số $y = x^{3} - x^{2} + x + 1$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là $M (- 1; - 2)$ . Tọa độ điểm N là

A. $(2; 7) .$

B. $(1; 2) .$

C. $(0; 1) .$

D. $(- 1; 0) .$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 59:

Gọi d là tiếp tuyến của hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ tại điểm có hoành độ bằng –3. Khi đó d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

A. $\frac{169}{6} (đ v d t) .$

B. $\frac{121}{6}$ (đvdt).

C. $\frac{25}{6}$ (đvdt).

D. $\frac{49}{6}$ (đvdt).

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 60:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình ${y^{'}}^{'} = 0$ là

A. $y = x + \frac{11}{3} .$

B. $y = - x - \frac{1}{3} .$

C. $y = x + \frac{1}{3} .$

D. $y = - x + \frac{11}{3} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 61:

Gọi $(C_{m})$ là đồ thị của hàm số $y = 2 x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + m x + m + 1$ và d là tiếp tuyến của $(C_{m})$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ . Giá trị của tham số m để d đi qua điểm $A (0; 8)$ là

A. $m = 3.$

B. $m = . 1$

C. $m = 2 .$

D. $m = 0 .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 62:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 là

A.

y = 9 x - 15

hay

y = 9 x + 1

B.

y = 9 x - 15

hay

y = 9 x + 17

C.

y = 9 x - 1

hay

y = 9 x + 17

.

D.

y = 9 x - 1

hay

y = 9 x + 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 3$ . Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm.

Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 nên $y^{'} (x_{0}) = 9 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 3 = 9 \Leftrightarrow x_{0} = \pm 2$ .

+ Với $x_{0} = 2$ thì $y_{0} = 3$ . Phương trình tiếp tuyến là $y^{'} (x_{0}) = 9 \Leftrightarrow 3 x_{0}^{2} - 3 = 9 \Leftrightarrow x_{0} = \pm 2$ .

+ Với $x_{0} = - 2$ thì $y_{0} = - 1$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = 9 (x + 2) - 1 = 9 x + 17$ .

Chọn B.

Câu 63:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ song song với đường thẳng $Δ : y = x + 1$ ?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $Δ : y = x + 1$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k = 1.$

Xét phương trình $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$

+ Với $x = 0$ thì $y = 1$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = x + 1$ ( loại vì trùng với $∆$ ).

+ Với $x = - 2$ thì $y = 3$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = x + 5$ .

Vậy có một tiếp tuyến song song với $Δ : y = x + 1.$

Chọn D.

Câu 64:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = x^{4} + x$ . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng $d : x + 5 y = 0$ có phương trình là

A. $y = x + 4.$

B. $y = 5 x - 3.$

C. $y = 3 x - 5.$

D. $y = 2 x - 3.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} + 1$ . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = - \frac{1}{5} x$ nên $k . (\frac{- 1}{5}) = - 1 \Leftrightarrow k = 5$ .

Xét phương trình $4 x^{3} + 1 = 5 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2.$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 5 (x - 1) + 2 = 5 x - 3.$

Chọn B.

Câu 65:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ song song với trục Ox là

A. $y = 3, y = - 1.$

B. $y = 3, y = - 2.$

C. $x = 3, x = - 1.$

D. $y = 2, y = - 1.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình $y = y_{0}$ với $y_{0}$ là giá trị cực trị của hàm số đã cho.

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 3; y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là $A (1; - 1), B (- 1; 3)$ .

Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là $y = - 1; y = 3.$

Chọn A.

Câu 66:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 1$ song song với đường thẳng $d : 12 x + y = 0$ có dạng $y = a x + b$ . Giá trị $2 a + b$ bằng

A. 0

B. -23

C. –23 hoặc –24.

D. -24

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 6 x^{2} - 6 x - 12$ . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $d : 12 x + y = 0 \Leftrightarrow y = - 12 x$ nên có hệ số góc $k = - 12$ .

Xét phương trình $6 x^{2} - 6 x - 12 = - 12 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

+ Với $x = 0$ thì $y = 1$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = - 12 x + 1$ .

+ Với $x = 1$ thì $y = - 12$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = - 12 (x - 1) - 12 = - 12 x$ (loại vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d)).

Vậy tiếp tuyến cần tìm là $y = - 12 x + 1 \Rightarrow a = - 12; b = 1 \Rightarrow 2 a + b = - 23$ .

Chọn B.

Câu 67:

Trên đồ thị

(C) : y = \frac{x - 1}{x - 2}

có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng

d : x + y = 1

?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 0

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \frac{- 1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $d : x + y = 1 \Leftrightarrow y = - x + 1$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k = - 1$ .

Xét phương trình $- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

+ Với $x = 1$ thì $y = 0$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = - x + 1$ (loại vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d)).

+ Với $x = 3$ thì $y = 2$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = - (x - 3) + 2 = - x + 5$ .

Vậy có một điểm $M (3; 2)$ thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 68:

Cho hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B thoả mãn

O A = 4 O B

là

A. $[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x - \frac{13}{4} \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x - \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x - \frac{13}{4} \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4} \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} y = - \frac{1}{4} x - \frac{5}{4} \\ y = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4} \end{array}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà $O A = 4 O B$ .

Khi đó $Δ O A B$ vuông tại O và ta có $|k| = \tan \hat{O A B} = \frac{O B}{O A} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow k = \pm \frac{1}{4}$

Ta có: $y^{'} = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Xét phương trình $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{1}{4}$ (vô nghiệm).

Xét phương trình $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 1 \end{array}$

+ Với x=3 thì $y = \frac{5}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y = - \frac{1}{4} (x - 3) + \frac{5}{2} = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4}$ .

+ Với x=-1 thì $y = \frac{3}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là

$y = - \frac{1}{4} (x + 1) + \frac{3}{2} = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Chọn C.

Câu 69:

Đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 2}$ chắn hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

A. $y = x + 2$

B. $y = x - 2$

C. $y = - x + 2$

D. $y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến lần lượt với Ox, Oy.

Vì vuông cân tại O nên $O A = O B$ .

Do đó $|k| = \tan \hat{O A B} = \frac{O B}{O A} = 1 \Leftrightarrow k = \pm 1$ .

Ta có $y^{'} = \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

Xét phương trình $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$ (vô nghiệm).

Xét phương trình $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 3 \end{array}$ .

+ Với $x = - 1$ thì $y = 1$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = (x + 1) + 1 = x + 2$ .

+ Với $x = - 3$ thì $y = 3$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = (x + 3) + 3 = x + 6$ .

Chọn A.

Câu 70:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} m x^{3} + (m - 1) x^{2} + (4 - 3 m) x + 1$ có đồ thị là $(C_{m})$ . Tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $d : x + 2 y - 3 = 0$ là

A. m < 12 hoặc

m > \frac{2}{3} .

B. m < 0 hoặc m > 1

C. m < 0 hoặc

m > \frac{1}{3}

.

D. m < 0 hoặc

m > \frac{2}{3}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $d : x + 2 y - 3 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ nên hệ số góc của d là $- \frac{1}{2}$ .

Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k thì $k . (- \frac{1}{2}) = - 1 \Leftrightarrow k = 2.$

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm của tiếp tuyến với $(C_{m})$ thì $x_{0}$ là nghiệm của phương trình $y^{'} = k \Leftrightarrow m x^{2} + 2 (m - 1) x + 4 - 3 m = 2$ .

$\Leftrightarrow m x^{2} + 2 (m - 1) x + 2 - 3 m = 0 (*)$

Theo bài toán thì ta phải tìm m để (*) có duy nhất một nghiệm âm.

+ Trường hợp 1: Nếu $m = 0$ thì (*) $\Leftrightarrow - 2 x = - 2 \Leftrightarrow x = 1$ (loại).

+ Trường hợp 2: Nếu $m \neq 0$ . Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm là x=1 và $x = \frac{2 - 3 m}{m}$ .

Do đó để (*) có một nghiệm âm thì $\frac{2 - 3 m}{m} < 0 \Leftrightarrow m < 0$ hoặc $m > \frac{2}{3}$ .

Chọn D.

Câu 71:

Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + 2$ tại điểm $A (- 1; 1)$ vuông góc với đường thẳng $d : x - 2 y + 3 = 0$ . Giá trị $a^{2} - b^{2}$ bằng

A. 12

B. -3

C. -5

D. 10

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $d : x - 2 y + 3 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ nên $k_{d} = \frac{1}{2}$

Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên phải có hệ số góc bằng –2.

Ta có $y^{'} = 4 a x^{3} + 2 b x = 2 x (2 a x^{2} + b)$

Vì điểm $A (- 1; 1)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị nên $x = - 1$ là nghiệm của phương trình $2 x (2 a x^{2} + b) = - 2 \Rightarrow - 2 (2 a + b) = - 2 \Leftrightarrow 2 a + b = 1$ .

Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số nên $a + b + 2 = 1 \Leftrightarrow a + b = - 1$ .

Vậy ta có hệ $\{\begin{cases} 2 a + b = 1 \\ a + b = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 3 \end{cases} \Rightarrow a^{2} - b^{2} = - 5.$

Chọn C.

Câu 72:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ có đồ thị là (C). Số tiếp tuyến của (C) tạo với đường thẳng $d : y = - x + 1$ một góc $α$ thỏa mãn $\cos α = \frac{5}{\sqrt{41}}$ là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm.

Ta có $\cos α = \frac{5}{\sqrt{41}} (0 ° < α < 90 °) \Rightarrow \tan α = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} α} - 1} = \frac{4}{5}$ .

Vì d có hệ số góc bằng –1 nên $\tan α = |\frac{k + 1}{1 - k}| = \frac{4}{5} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = - 9 \\ k = - \frac{1}{9} \end{array}$

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x - 9$ .

+ Trường hợp 1: $k = - 9 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến $y = - 9 x + 1$ và $y = - 9 x - 3$ .

+ Trường hợp 2: $k = - \frac{1}{9} \Leftrightarrow 27 x^{2} - 54 x - 80 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9 \pm \sqrt{321}}{9}$

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là $y = - \frac{1}{9} (x - \frac{9 \pm \sqrt{321}}{9}) + y (x_{0})$

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm.

Chọn D.

Câu 73:

Cho hàm số $y = \frac{1}{8} x^{4} - \frac{7}{4} x^{2}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt $M (x_{1}; y_{1}); N (x_{2}; y_{2})$ ( M, N khác A ) thỏa mãn $y_{1} - y_{2} = 3 (x_{1} - x_{2})$

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Do tiếp tuyến đi qua hai điểm $M (x_{1}; y_{1}); N (x_{2}; y_{2})$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = 3$ .

Ta có $y^{'} = \frac{1}{2} x^{3} - \frac{7}{2} x$ .

Xét phương trình $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{7}{2} x = 3 \Leftrightarrow x = 3; x = - 1; x = - 2.$

Mặt khác để tiếp tuyến của hàm số trùng phương cắt được đồ thị tại hai điểm phân biệt thì tiếp điểm A chỉ có thể chạy trong phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ nhất sang điểm cực tiểu thứ hai (trừ hai điểm uốn).

Khi đó phương trình $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 7 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{7} \end{array}$

Do đó hai điểm cực tiểu là $x = - \sqrt{7}$ và $x = \sqrt{7}$ nên hoành độ của tiếp điểm $x_{0} \in (- \sqrt{7}; \sqrt{7})$

Vậy chỉ có $x_{0} = - 1; x_{0} = - 2$ thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 74:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến đó vuông góc với IM, I là tâm đối xứng của (C) là

A. $y = - x + 3, y = - x + 5.$

B. $y = - x + 1, y = - x + 3.$

C. $y = - x + 1, y = - x + 5.$

D. $y = - x + 1, y = - x + 4.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Giả sử $M (x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm,

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị.

Theo lý thuyết trên thì M là trung điểm của AB. Do $Δ I A B$ vuông tại I mà $I M ⊥ A B$ nên $Δ I A B$ vuông cân tại I $\Leftrightarrow I A = I B$ khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là $k = \pm 1$ .

Mà $k = y^{'} (x_{0}) = \frac{- 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} < 0$ nên $k = - 1$ .

Vậy ta có phương trình $\frac{- 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 2 \end{array}$

+ Với $x_{0} = 0$ thì $y_{0} = 1$ . Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = - x + 1.$

+ Với $x_{0} = 2$ thì $y_{0} = 3$ . Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = - x + 5.$

Chọn C.

Câu 75:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau?

A. Không tồn tại cặp điểm đó.

B. Vô số số cặp điểm

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Giả sử $A (a; \frac{a + 1}{a - 1}), B (b, \frac{b + 1}{b - 1})$ với $a \neq b; a, b \neq 1$ .

Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên $y^{'} (a) = y^{'} (b) \Leftrightarrow \frac{- 2}{{(a - 1)}^{2}} = \frac{- 2}{{(b - 1)}^{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = b \\ a + b = 2 \end{array}$

Do $a \neq b$ nên chỉ có $a + b = 2$ . Vậy có vô số cặp điểm A, B thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 76:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{4 x - 3}{2 x + 1}$ cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng

A. 6

B. 7

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị. Khi đó tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B và I là giao điểm của hai tiệm cận.

Theo lý thuyết đã nêu thì $S_{Δ I A B} = \frac{2 |4 + 6|}{4} = 5.$ .

Chọn C.

Câu 77:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm $M (a; b) \in (C), a > 0$ tạo với hai tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\sqrt{2}$ . Giá trị của $a + 2 b$ bằng

A. 2

B. 4

C. 8

D. 5

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Do $Δ I A B$ vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ I A B$ là $R = \frac{1}{2} A B = \sqrt{2} \Leftrightarrow A B = 2 \sqrt{2}$ .

Theo lý thuyết, ta có $I A . I B = 4, A B = \sqrt{I A^{2} + I B^{2}} \geq \sqrt{2 I A . I B} = 2 \sqrt{2}$ .

Dấu " = " xảy ra khi $I A = I B$ . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến $k = \pm 1$ .

Mặt khác $k = y^{'} (a) = - \frac{1}{{(a - 1)}^{2}} < 0 \Rightarrow k = - 1$ .

Ta có $- \frac{1}{{(a - 1)}^{2}} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ a = 2 \end{array}$ . Do $a > 0 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = 3.$ Vậy $a + 2 b = 8.$

Chọn C.

Câu 78:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = \frac{2 x + m}{x - 2}$ , m là tham số khác –4 và d là một tiếp tuyến của (C). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để d tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có diện tích bằng 2, tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. -11

B. 8

C. 3

D. -8

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận và I là giao điểm của hai tiệm cận.

Theo lý thuyết, ta có $I A . I B = 4 |m + 4| \Rightarrow S_{Δ I A B} = 2 |m + 4|$

Vậy ta có $2 |m + 4| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 3 \\ m = - 5 \end{array}$

$\Rightarrow S = \{- 5; - 3\}$ nên tổng các phần tử của S bằng –8.

Chọn D.

Câu 79:

Gọi $∆$ là tiếp tuyến tại điểm $M (x_{0}; y_{0}), x_{0} < 0$ thuộc đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ sao cho khoảng cách từ $I (- 1; 1)$ đến A đạt giá trị lớn nhất. Giá trị $x_{0} . y_{0}$ bằng

A. -1

B. 0

C. -2

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của A với hai đường tiệm cận.

Theo lý thuyết $d (I; Δ)$ lớn nhất khi $I A = I B \Rightarrow k = \pm 1$ .

Mặt khác $k = y^{'} (x_{0}) = - \frac{1}{{(x_{0} + 1)}^{2}} < 0 \Rightarrow k = - 1$ .

Vậy $- \frac{1}{{(x_{0} + 1)}^{2}} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = - 2 \end{array}$

Do $x_{0} < 0 \Rightarrow x_{0} = - 2 \Rightarrow y_{0} = 0 \Rightarrow x_{0} . y_{0} = 0$ .

Chọn B.

Câu 80:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất là

A.

Δ : y = - x - 1

và $Δ : y = - x + 17$

B. $Δ : y = - x - 1$ và $Δ : y = - x + 7$

C.

Δ : y = - x - 21

và $Δ : y = - x + 7$

D.

Δ : y = - x - 3

và

Δ : y = - x + 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm $M (x_{0}; y_{0}) \in (C)$ với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Khi đó $Δ I A B$ vuông tại I.

Theo lý thuyết, chu vi $Δ I A B$ là $I A + I B + A B \geq 2 \sqrt{I A . I B} + \sqrt{2 I A . I B} = 8 + 4 \sqrt{2}$ vì $I A . I B = \frac{4 |a d - b c|}{c^{2}} = 16$

Do đó chu vi nhỏ nhất bằng $8 + 4 \sqrt{2}$ khi $I A = I B \Rightarrow k = \pm 1$ .

Mặt khác $k = y^{'} (x_{0}) = - \frac{4}{{(x_{0} - 1)}^{2}} < 0 \Rightarrow k = - 1$ .

Vậy ta có $- \frac{4}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \end{array}$

Với $x_{0} = 3$ thì $y_{0} = 4$ . Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = - (x - 3) + 4 = - x + 7$

Với $x_{0} = - 1$ thì $y_{0} = 0$ . Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = - (x + 1) = - x - 1$

Chọn B.

Câu 81:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ có đồ thị (C). Một tiếp tuyến bất kỳ với (C) cắt đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của (C) lần lượt tại A và B, biết $I (1; 2)$ . Giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB bằng

A. $7 - 3 \sqrt{2}$

B. $8 - 4 \sqrt{2}$

C. $4 - 2 \sqrt{2}$

D. $8 - 3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm $M (x_{0}; y_{0}) \in (C)$ với hai tiệm cận và I là giao điểm của hai đường tiệm cận và $Δ I A B$ vuông tại I.

Theo lý thuyết, ta có $I A . I B = \frac{4 |a d - b c|}{c^{2}} = 16 \Rightarrow S_{Δ I A B} = 8$ .

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp $Δ I A B$ lớn nhất xảy ra khi

$I A = I B = 4 \Rightarrow A B = 4 \sqrt{2} \Rightarrow p = \frac{I A + I B + A B}{2} = 4 + 2 \sqrt{2}$

$\Rightarrow r_{\max} = \frac{8}{4 + 2 \sqrt{2}} = 4 - 2 \sqrt{2}$

Chọn C.

Câu 82:

Cho hàm số $y = \frac{2 x}{x + 2}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{18}$ là

A. $y = \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}; y = \frac{4}{9} x + \frac{2}{9} .$

B. $y = \frac{9}{4} x + \frac{31}{2}; y = \frac{4}{9} x + \frac{2}{9} .$

C. $y = \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}; y = \frac{4}{9} x + \frac{4}{9} .$

D. $y = \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}; y = \frac{4}{9} x + \frac{1}{9} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi $M (a; \frac{2 a}{a + 2}) (a \neq - 2)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến. Khi đó phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là

$y = y^{'} (a) (x - a) + \frac{2 a}{a + 2} \Leftrightarrow y = \frac{4}{{(a + 2)}^{2}} (x - a) + \frac{2 a}{a + 2}$ .

Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của d với hai trục Ox, Oy.

Tọa độ các điểm A, B là $A (- \frac{a^{2}}{2}; 0), B (0; \frac{2 a^{2}}{{(a + 2)}^{2}})$ .

Vậy $S_{O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{a^{4}}{2 {(a + 2)}^{2}} = \frac{1}{18} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 a^{2} = a + 2 \\ 3 a^{2} = - a - 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - \frac{2}{3} \end{array}$

Với $a = 1 \Rightarrow d_{1} : y = \frac{4}{9} (x - 1) + \frac{2}{3} = \frac{4}{9} x + \frac{2}{9}$ .

Với $a = - \frac{2}{3} \Rightarrow d_{2} : y = \frac{9}{4} (x + \frac{2}{3}) - 1 = \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}$

Chọn A.

Câu 83:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{2 x - 2}$ có đồ thị (C). Gọi $M (x_{0}; y_{0}), x_{0} > 0$ là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho $S_{Δ O I B} = 8 S_{Δ O I A}$ ( I là giao hai đường tiệm cận). Giá trị biểu thức $S = x_{0} - 4 y_{0}$ bằng

Cho hàm số y=2x-1/2x-2 có đồ thị (C). Gọi M(x0,y0),x0>0 là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng (ảnh 1)

A. $\frac{13}{4}$

B. -2

C. 2

D. $\frac{7}{4}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Do góc $\hat{O I A} = \hat{O I B}$ nên $\frac{S_{Δ O I A}}{S_{Δ O I B}} = \frac{I A}{I B} = \frac{1}{8}$ .

Mà $|k| = \tan \hat{I B A} = \frac{I A}{I B}$ nên $|k| = \frac{1}{8} \Leftrightarrow k = \pm \frac{1}{8}$ .

Mặt khác $k = y^{'} (x_{0}) = \frac{- 2}{4 {(x_{0} - 1)}^{2}} < 0 \Rightarrow k = - \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{- 1}{2 {(x_{0} - 1)}^{2}} = - \frac{1}{8} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \end{array}$ .

Do $x_{0} > 0$ nên $x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = \frac{5}{4} \Rightarrow S = x_{0} - 4 y_{0} = - 2$

Chọn B.

Câu 84:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc $\hat{A B I}$ bằng $\frac{4}{\sqrt{17}}$ với $I (2; 2)$ là

A. $y = - \frac{1}{4} x - \frac{3}{2}; y = - \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$

B. $y = - \frac{1}{4} x - \frac{3}{2}; y = - \frac{1}{4} x + \frac{7}{2}$

C. $y = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}; y = - \frac{1}{4} x - \frac{7}{2}$

D. $y = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}; y = - \frac{1}{4} x + \frac{7}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Ta có $|k| = \tan \hat{A B I} = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} \hat{A B I}} - 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow k = \pm \frac{1}{4}$

Giả sử $M (x_{0}; y_{0}) \in (C)$ thì $k = y^{'} (x_{0}) = \frac{- 1}{{(x_{0} - 2)}^{2}} < 0 \Rightarrow k = - \frac{1}{4} .$

Xét phương trình $\frac{- 1}{{(x_{0} - 2)}^{2}} = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 4 \end{array}$

+ Với $x_{0} = 0$ thì $y_{0} = \frac{3}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = - \frac{1}{4} x + \frac{3}{2}$ .

+ Với $x_{0} = 4$ thì $y_{0} = \frac{5}{2}$ . Phương trình tiếp tuyến là $y = - \frac{1}{4} (x - 4) + \frac{5}{2} = - \frac{1}{4} x + \frac{7}{2}$

Chọn D.

Câu 85:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng $Δ : 3 x - 4 y + 1 = 0$ là

A. $y = \frac{3}{4} x - 9; y = \frac{3}{4} x + 7$

B. $y = \frac{3}{4} x - \frac{3}{4}; y = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$

C. $y = \frac{3}{4} x - \frac{3}{4}; y = \frac{3}{4} x + 1$

D. $y = \frac{3}{4} x - 3; y = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 86:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ song song với đường thẳng $Δ : y = x + 1$ ?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 87:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = x^{4} + x$ . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng $d : x + 5 y = 0$ có phương trình là

A. $y = x + 4$

B. $y = 5 x - 3$

C. $y = 3 x - 5$

D. $y = 2 x - 3$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 88:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ song song với đường thẳng $3 x - y + 2 = 0$ là

A. $y = 3 x + 14$

B. $y = 3 x + 14, y = 3 x + 2.$

C. $y = 3 x + 5, y = 3 x - 8.$

D. $y = 3 x - 8.$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 89:

Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số $f (x) = x^{3} + 1$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng $d : y = 3 x - 1$ ?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 90:

Cho hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 2$ có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc $k = - 9$ là

A. $y = - 9 (x + 3)$

B. $y - 16 = - 9 (x + 3)$

C. $y + 16 = - 9 (x + 3)$

D. $y - 16 = - 9 (x - 3)$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 91:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng

d : y = - \frac{1}{45} x + 2019

là

A. $y = - 45 x + 83$

B. $y = 45 x + 173$

C. $y = 45 x - 83$

D. $y = 45 x - 173$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 92:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 1$ song song với đường thẳng $Δ : y = x + 2017$ là

A. $y = x - 2018$

B. $y = x + 2018$

C. $y = x + 4.$

D. $y = x - 4; y = x + 28$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 93:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x + 2$ song song với đường thẳng $y = - 2 x + 5$ là

A.

y = - 2 x + \frac{10}{3}

và $y = - 2 x + 2$

B. $y = - 2 x + 3$ và $y = - 2 x - 1$

C.

y = - 2 x + 4

và

y = - 2 x - 2

D.

y = - 2 x - \frac{4}{3}

và

y = - 2 x - 2

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 94:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ vuông góc với trục Oy là

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 95:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = \frac{x^{2}}{2 - x}$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng $y = \frac{4}{3} x + 1$ là

A. $x = - \frac{3}{4} x - \frac{9}{2}, y = - \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} .$

B. $x = - \frac{3}{4} x, y = - \frac{3}{4} x - 1.$

C. $x = \frac{3}{4} x - \frac{9}{2}, y = \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} .$

D. $x = - \frac{3}{4} x - \frac{7}{2}, y = - \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 96:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x}{x - 1}$ có hệ số góc bằng –2 là

A. $y = - 2 x + 2, y = - 2 x + 4.$

B. $y = - 2 x + 9, y = - 2 x .$

C. $y = - 2 x + 8, y = - 2 x .$

D. $y = - 2 x + 1, y = - 2 x .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 97:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 3$ có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng $y = 18 x - 51$ có phương trình là

A. $y = 18 x + 3$

B. $[\begin{array}{l} y = 18 x - 13 \\ y = 18 x + 51 \end{array}$

C. $y = 18 x - 51$

D. $[\begin{array}{l} y = 18 x + 13 \\ y = 18 x - 51 \end{array}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 98:

Cho hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ có đồ thị $(C_{m})$ . Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng $y = 3 x + 1$ là

A. $m = - 2.$

B. $m = 3.$

C. $m = 2.$

D. $m = 1.$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 99:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} m x^{3} + (m - 1) x^{2} + (4 - 3 m) x + 1$ có đồ thị là $(C_{m})$ . Tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị $(C_{m})$ tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $d : x + 2 y - 3 = 0$ là

A, $(0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{5}{3})$

B. $(0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{8}{3})$

C. $(0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$

D. $(0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 100:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} m x^{3} + (m - 1) x^{2} + (3 m - 4) x + 1$ có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $x - y + 2019 = 0$ là

A. $- \frac{1}{2} < m < 1.$

B. $m \leq 1$

C. $- \frac{1}{2} \leq m$

D. $- \frac{1}{2} \leq m \leq 1$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 101:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B. Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB bằng

A. $2 \sqrt{2}$

B. $\sqrt{2}$

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 102:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $(d) : y = x + m$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt có hệ số góc là $k_{1}, k_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + 2 (k_{1} + k_{2}) = 2019 k_{1}^{2019} k_{2}^{2019}$ . Tổng các giá trị tất cả các phần tử của S bằng

A. 3

B. 0

C. 6

D,. 2018

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 103:

Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ tại M . Đường thẳng (d) cắt các đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm hai tiệm cận là

A. $M (1; 1); M (4; \frac{5}{3})$

B. $M (1; 1); M (3; 3)$

C. $M (1; 1); M (- 1; \frac{5}{3})$

D. $M (4; \frac{5}{3}); M (3; 3)$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 104:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến $∆$ của (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến $∆$ bằng

A. $\sqrt{6}$

B. $2 \sqrt{6}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 105:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{2 x - 3}$ . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. 1

C. $\sqrt{2}$

D. $\sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 106:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{2 (x + 1)}$ có đồ thị (C). Gọi điểm $M (x_{0}; y_{0})$ với $x_{0} > - 1$ là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng $d : 4 x + y = 0$ . Giá trị của $x_{0} + 2 y_{0}$ bằng

A. $- \frac{5}{2} .$

B. $\frac{7}{2} .$

C. $\frac{5}{2} .$

D. $- \frac{7}{2} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 107:

Cho hàm số

y = \frac{2 m x + 3}{x - m}

. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến tại một điểm bất kì của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho

Δ I A B

có diện tích

S = 22

là

A. $m = \pm 5$

B. $m = \pm 6$

C. $m = \pm 2$

D. $m = \pm 4$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 108:

Cho hàm số $y = \frac{2 x}{x + 1}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm $M \in (C)$ sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng $\frac{1}{4}$ , với O là gốc tọa độ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 109:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ . Tất cả các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (C) sao cho các tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm lập thành một hình thang là

A. $M (2; 5), N (0; - 1) .$

B. $M (3; \frac{7}{2}), N (- 1; \frac{1}{2}) .$

C. $M (2; 5), N (- 1; \frac{1}{2}) .$

D.Với mọi M, N.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 110:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ đi qua điểm $N (0; 1)$ là

A. $y = - \frac{33}{4} x + 2$

B. $y = - \frac{33}{4} x + 11$

C. $y = - \frac{33}{4} x + 12$

D. $y = - \frac{33}{4} x + 1$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k.

Vì tiếp tuyến đi qua $N (0; 1)$ nên phương trình tiếp tuyến có dạng $y = k x + 1$ .

k là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{cases} x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1 = k x + 1 \\ k = 3 x^{2} + 6 x - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k = - 6 \\ k = - \frac{33}{4} \end{cases}$ .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - 6 x + 1$ hoặc $y = - \frac{33}{4} x + 1$ .

Chọn D.

Câu 111:

Cho đồ thị hàm số $(C) : y = \frac{- x + 1}{x - 2}$ . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $A (2; - 1)$ ?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}, \forall x \neq 2$ .

Gọi tọa độ tiếp điểm là $M (x_{0}; \frac{- x_{0} + 1}{x_{0} - 2})$ với $x_{0} \neq 2$ . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là $y = \frac{1}{{(x_{0} - 2)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{- x_{0} + 1}{x_{0} - 2}$ .

Do tiếp tuyến đi qua điểm $A (2; - 1)$ nên ta có phương trình

$\frac{(2 - x_{0})}{{(x_{0} - 2)}^{2}} + \frac{- x_{0} + 1}{x_{0} - 2} = - 1 \Leftrightarrow \frac{- x_{0}}{x_{0} - 2} = - 1$ ( vô nghiệm).

Vậy không có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.

Câu 112:

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{2} - \frac{3}{2}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm $A (0; \frac{3}{2})$ ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm $A (0; \frac{3}{2})$ và có hệ số góc k có dạng $y = k x + \frac{3}{2}$ .

Để $∆$ tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{2} + \frac{3}{2} = k x + \frac{3}{2} (1) \\ 2 x^{3} - 6 x = k (2) \end{cases}$ có nghiệm x.

Thế (2) vào (1), ta có $\frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{2} + \frac{3}{2} = (2 x^{3} - 6 x) x + \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array}$ .

+ Với $x = 0 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow Δ_{1} : y = \frac{3}{2} .$

+ Với $x = \sqrt{2} \Rightarrow k = - 2 \sqrt{2} \Rightarrow Δ_{2} : y = - 2 \sqrt{2} x + \frac{3}{2} .$

+ Với $x = - \sqrt{2} \Rightarrow k = 2 \sqrt{2} \Rightarrow Δ_{3} : y = 2 \sqrt{2} x + \frac{3}{2} .$

Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 113:

Cho hàm số

y = \frac{- x + 2}{x - 1}

có đồ thị (C) và điển

A (a; 1)

. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. $\frac{3}{2} .$

B. $\frac{5}{2} .$

C. $\frac{1}{2} .$

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}, x \neq 1; A (a; 1) .$

Đường thẳng d qua $A (a; 1)$ có hệ số góc k có phương trình là $y = k (x - a) + 1$ .

Để có duy nhất một đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất $\{\begin{cases} k (x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1} (1) \\ k = \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} (2) \end{cases}$

Thế (2) vào (1) ta có $\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} (x - a) + 1 = \frac{- x + 2}{x - 1}$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 6 x + a + 3 = 0 (x \neq 1) (3)$

Để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất khác 1.

+ Trường hợp 1: (3) có nghiệm kép khác 1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = 9 - 2 a - 6 = 0 \\ 2 - 6 + a + 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$

+ Trường hợp 2: (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = 3 - 2 a > 0 \\ a - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = 1$

Vậy $S = \{\frac{3}{2}; 1\}$ nên tổng các phần tử bằng $\frac{5}{2}$

Chọn B.

Câu 114:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2} + 2$ có đồ thị (C) và điểm $M (m; 2)$ . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C). Tổng các phần tử của S bằng

A. $\frac{20}{3} .$

B. $\frac{13}{2} .$

C. 4

D. $\frac{16}{3} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua $M (m; 2)$ và có hệ số góc k.

Khi đó phương trình của d là $y = k (x - m) + 2$ .

Để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua M thì hệ phương trình

$\{\begin{cases} k = - 3 x^{2} + 12 x \\ - x^{3} + 6 x^{2} + 2 = k (x - m) + 2 \end{cases}$ phải có hai nghiệm phân biệt.

Từ hệ trên, ta có $- x^{3} + 6 x^{2} + 2 = (- 3 x^{2} + 12 x) (x - m) + 2$

$\Leftrightarrow x [2 x^{2} - 3 (m + 2) x + 12 m] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 x^{2} - 3 (m + 2) x + 12 m = 0 (*) \end{array}$

Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau

+ Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = 9 {(m + 2)}^{2} - 96 m = 0 \\ 12 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 6 \\ m = \frac{2}{3} \end{array}$ .

+ Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = 9 {(m + 2)}^{2} - 96 m > 0 \\ 12 m = 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = 0$

Vậy $S = \{6; \frac{2}{3}; 0\}$ nên tổng các phần tử bằng $\frac{20}{3}$

Chọn A.

Câu 115:

Cho hàm số

\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}

có đồ thị (C) và điểm

A (1; a)

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua A ?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}$ xác định trên R, $y^{'} = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}$ .

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng $∆$ đi qua $A (1; a)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ : y = k (x - 1) + a$ .

Đường thẳng $∆$ tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta được $\sqrt{x^{2} - 2 x + 3} = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}} (x - 1) + a$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 = {(x - 1)}^{2} + a \sqrt{x^{2} - 2 x + 3} \Leftrightarrow a \sqrt{x^{2} - 2 x + 3} = 2$ .

$\Leftrightarrow a = \frac{2}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}} (3)$

Qua A có đúng hai tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $f (x) = \frac{2}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}$ .

Ta có $f^{'} (x) = \frac{- 2 (x - 1)}{(x^{2} - 2 x - 3) \sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt thì $a \in (0; \sqrt{2}] .$ Mà a nguyên nên $a = 1$ .

Chọn C.

Câu 116:

Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ thỏa mãn tiếp tuyến tạị điểm đó của đồ thị có hệ số góc bằng 2019?

A. vô số

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án án B

Câu 117:

Cho hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2}

có đồ thị là (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 118:

Cho hàm số

y = - \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x - 2

, gọi đồ thị của hàm số là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm

A (2; - 2)

là

A. $y = - \frac{3}{4} x - \frac{7}{2}$

B. $y = - \frac{3}{4} x - \frac{5}{2}$

C. $y = - \frac{3}{4} x - \frac{1}{2}$

D. $y = - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 119:

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $M (- 1; 3)$ là

A. $y = 3 x - 1; y = - 3 x .$

B. $y = 13; y = - 3 x .$

C. $y = 3; y = - 3 x + 1.$

D. $y = 3; y = - 3 x .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 120:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 2}$ đi qua giao điểm hai đường tiệm cận?

A. vô số

B. 2

C. 1

D. Không có

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 121:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{4} - x + 1$ có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) đi

qua điểm $M (2; - 1)$ là

A.

y = - x + 1

và

y = x - 3

B. $y = - x - 1$ và $y = - 2 x + 3$

C.

y = - x - 1

và $y = - x + 3$

D.

y = x + 1

và

y = - x - 3

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 122:

Cho hàm số $y = x^{3} + x^{2} + 3 x + 1$ có đồ thị là (C). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m để từ điểm $M (0; m)$ kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp $[1; 3]$ điểm thuộc đoạn ?

A. vô số

B. 0

C. 60

D. 61

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 123:

Trên đường thẳng x=3, tọa độ điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới đồ thị (C) của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ đúng ba tiếp tuyến phân biệt là

A. $(3; - 5)$

B. $(3; - 6)$

C. $(3; 2)$

D. $(3; 1)$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 124:

Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 2 m x + 2 m^{2} - 1}{x - 1}$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến của $(C_{m})$ tại hai điểm này vuông góc với nhau là

A. $m = 0.$

B. $m = \frac{2}{3} .$

C. $m = - 1.$

D. $m = \frac{2}{3}, m = - 1.$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 125:

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 2}{2 x - 1}$ và $M (0; m)$ là một điểm thuộc trục Oy. Tất cả các giá trị thực của tham số m để luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương là

A. $m \geq 2$

B. $m < 2$

C. $m \leq 2$

D. $m > 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 126:

Cho hàm số $y = \frac{2 x}{x + 1}$ có đồ thị (C) và điểm $A (0; a)$ . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM , AN đến (C) với M, N là các tiếp điểm và $M N = 4$ . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 4

B. 3

C. 6

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 127:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn $2 f (2 x) + f (1 - 2 x) = 12 x^{2}, \forall x \in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. $y = 2 x + 2.$

B. $y = 4 x - 6.$

C. $y = 2 x - 6.$

D. $y = 4 x - 2.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta cần tính $f (1), f^{'} (1)$ .

Từ giả thiết $2 f (2 x) + f (1 - 2 x) = 12 x^{2}, \forall x \in ℝ$ . (*)

Chọn $x = 0$ và $x = \frac{1}{2}$ , ta được $\{\begin{cases} 2 f (0) + f (1) = 0 \\ 2 f (1) + f (0) = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (0) = - 1 \\ f (1) = 2 \end{cases}$ .

Lấy đạo hàm hai vế (*) ta được $4. f^{'} (2 x) - 2. f^{'} (1 - 2 x) = 24 x, \forall x \in ℝ$

Chọn x=0 và $x = \frac{1}{2}$ , ta được $\{\begin{cases} 4 f^{'} (0) - 2 f^{'} (1) = 0 \\ 4 f^{'} (1) - 2 f^{'} (0) = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f^{'} (0) = 2 \\ f^{'} (1) = 4 \end{cases}$ .

Vậy $f (1) = 2; f^{'} (1) = 4$ nên phương trình tiếp tuyến là $y = 4 (x - 1) + 2 = 4 x - 2$ .

Chọn D.

Câu 128:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định có đạo hàm và nhận giá trị dương trên R. Biết tiếp tuyến của hai đồ thị hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x) = \frac{f (x)}{f (x^{2})}$ cùng tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ có hệ số góc lần lượt là 12 và –3. Giá trị của $f (1)$ bằng

A. 3

B. 4

C. 6

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $g^{'} (x) = {(\frac{f (x)}{f (x^{2})})}^{'} = \frac{f (x^{2}) . f^{'} (x) - f (x) .2 x . f^{'} (x^{2})}{f^{2} (x^{2})}$

Từ giả thiết ta có $f^{'} (1) = 12$ và $g^{'} (1) = - 3, f (x) > 0, \forall x \in ℝ$

Chọn B.

Câu 129:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R. Gọi $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x) = x^{2} . f (4 x - 3)$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ . Biết hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ vuông góc nhau và $Δ_{1}$ không song song với Ox, Oy . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\sqrt{3} < |f (1)| < 2.$

B. $|f (1)| < 2.$

C. $|f (1)| \geq 2.$

D. $2 \leq |f (1)| < 2 \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $g^{'} (x) = {(x^{2} . f (4 x - 3))}^{'} = 2 x . f (4 x - 3) + 4 x^{2} . f^{'} (4 x - 3)$ .

Ta có hệ số góc của các tiếp tuyến $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt là $f^{'} (1)$ và $g^{'} (1) = 2 f (1) + 4 f^{'} (1)$ .

Theo giả thiết thì $f^{'} (1) . g^{'} (1) = - 1$ và $f^{'} (1) \neq 0$

$\Leftrightarrow f^{'} (1) . (2 f (1) + 4 f^{'} (1)) = - 1$ .

$\Leftrightarrow 2 f (1) = - \frac{1}{f^{'} (1)} - 4 f^{'} (1) \Rightarrow 2 |f (1)| = \frac{1}{|f^{'} (1)|} + 4 |f^{'} (1)| \geq 4 \Leftrightarrow |f (1)| \geq 2$ .

Chọn C.

Câu 130:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ trên R thỏa mãn $f (x^{3} + 3 x + 1) = 2 x - 1$ với mọi $x \in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = - 3$ là

A. $y = \frac{1}{3} x$

B. $y = \frac{1}{3} x - 2$

C. $y = \frac{1}{3} x - 3$

D. $y = \frac{1}{3} x + 2.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $x = - 3$ , ta cần tính $f (- 3)$ và $f^{'} (- 3)$ .

Với $x = - 1$ suy ra $f (- 3) = - 3$ .

Do $f (x^{3} + 3 x + 1) = 2 x - 1 \Rightarrow (3 x^{2} + 3) f^{'} (x^{3} + 3 x + 1) = 2$ .

Với $x = - 1 \Rightarrow 6 f^{'} (- 3) = 2 \Rightarrow f^{'} (- 3) = \frac{1}{3}$ .

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

$y = f^{'} (- 3) (x + 3) + f (- 3) \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} (x + 3) - 3 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} x - 2$ .

Chọn B.

Câu 131:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R. Gọi $(C_{1}), (C_{2})$ và $(C_{3})$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $f (x), g (x) = f (x^{2})$ và $h (x) = f (x^{3})$ . Biết $f (1) = 1$ và tổng hệ số góc của hai tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = 1$ của $(C_{1}), (C_{2})$ bằng –3. Phương trình tiếp tuyến của $(C_{3})$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ là

A. $y = - x + 2.$

B. $y = - 3 x - 2.$

C. $y = - x - 1.$

D. $y = - 3 x + 4.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta cần tính $h (1), h^{'} (1)$ .

Ta có $g^{'} (x) = 2 x f^{'} (x^{2}), h^{'} (x) = 3 x^{2} f^{'} (x^{3})$ .

Theo giả thiết, ta có $f^{'} (1) + g^{'} (1) = - 3 \Leftrightarrow f^{'} (1) + 2 f^{'} (1) = - 3 \Leftrightarrow f^{'} (1) = - 1$ .

Do đó $h^{'} (1) = 3 f^{'} (1) = - 3$ và $h (1) = f (1) = 1$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - 3 (x - 1) + 1 = - 3 x + 4$ .

Chọn D.

Câu 132:

Cho hai hàm số $f (x), g (x)$ đều có đạo hàm trên R và thỏa mãn $f^{3} (2 - x) - 2 f^{2} (2 + 3 x) + x^{2} g (x) + 36 x = 0$ , với mọi $x \in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ x=2 là

A. $y = - x .$

B. $y = 2 x - 3.$

C. $y = - 2 x + 3.$

D. $y = x .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $f^{3} (2 - x) - 2 f^{2} (2 + 3 x) + x^{2} g (x) + 36 x = 0, \forall x \in ℝ (1)$

Thay $x = 0$ vào (1) ta có $f^{3} (2) - 2 f^{2} (2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (2) = 0 \\ f (2) = 2 \end{array}$

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được

$- 3 f^{2} (2 - x) . f^{'} (2 - x) - 12 f (2 + 3 x) . f^{'} (2 + 3 x) + 2 x . g (x) + x^{2} . g^{'} (x) + 36 = 0. (2)$

Thay x=0 vào (2) ta có $- 3 f^{2} (2) . f^{'} (2) - 12 f (2) . f^{'} (2) + 36 = 0. (3)$

+ Với $f (2) = 0$ thay vào (3) thì 36=0 (vô lý).

+ Với $f (2) = 2$ thay vào (3) thì $f^{'} (2) = 1$ nên phương trình tiếp tuyến là y=x.

Chọn D.

Câu 133:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn ${[f (x)]}^{3} + 6 f (x) = - 3 x + 10$ với mọi $x \in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ là

A. $y = - x + 2.$

B. $y = x .$

C. $y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} .$

D. $y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta cần tính $f (1), f^{'} (1)$ .

Thay x=1 vào đẳng thức ${[f (x)]}^{3} + 6 f (x) = - 3 x + 10$ , ta có

${[f (1)]}^{3} + 6 f (1) = - 3 + 10 \Leftrightarrow {[f (1)]}^{3} + 6 f (1) - 7 = 0 \Leftrightarrow f (1) = 1.$

Theo bài ra ta có ${[f (x)]}^{3} + 6 f (x) = - 3 x + 10$ đúng với mọi x nên đạo hàm hai vế ta được $3. {[f (x)]}^{2} . f^{'} (x) + 6 f^{'} (x) = - 3, \forall x \in ℝ$ .

Thay x=1 vào ta có $3 {[f (1)]}^{2} . f^{'} (1) + 6 f^{'} (1) = - 3$ .

Vì $f (1) = 1$ nên $f^{'} (1) = - \frac{1}{3}$ .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$ .

Chọn D.

Câu 134:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn $2 f (2 x) + f (1 - 2 x) = 4 x^{3} - x^{2}, \forall x \in ℝ$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 và bằng 0 lần lượt có dạng $y = a x + b$ và $y = a_{1} x + b_{1}$ . Giá trị biểu thức $\frac{2 a - 5 b}{3 b_{1} + 2 a_{1}}$ bằng

A. $\frac{5}{46} .$

B. $\frac{46}{3} .$

C. $\frac{3}{46} .$

D. $\frac{46}{5} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 135:

Biết đồ thị các hàm số $y = f (x), y = g (x)$ và $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = 0$ và có cùng hệ số góc khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $f (0) < \frac{1}{4} .$

B. $f (0) \leq \frac{1}{4} .$

C. $f (0) > \frac{1}{4} .$

D. $f (0) \geq \frac{1}{4} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 136:

Cho các hàm số $y = f (x), y = g (x)$ và $y = f (x) . g (x)$ . Biết tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm $x = 0$ có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $f (0) - g (0) = 1.$

B. $f (0) - g (0) = - 1.$

C. $f (0) + g (0) = 1.$

D. $f (0) + g (0) = - 1.$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 137:

Hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 của đồ thị các hàm số $y = f (x); y = g (x)$ và $y = \frac{f (x) + 3}{g (x) + 3}$ bằng nhau và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $f (1) \leq - \frac{11}{4} .$

B. $f (1) < - \frac{11}{4} .$

C. $f (1) \geq \frac{11}{4} .$

D. $f (1) > \frac{11}{4} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 138:

Cho hai hàm số

y = f (x)

và

y = g (x)

có đạo hàm trên R và

g (0) \neq - 1

. Biết tiếp tuyến tại điểm

x_{0} = 0

của ba đồ thị hàm số

y = f (x), y = g (x), y = \frac{f (x) + 1}{g (x) + 1}

có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $f (0) \leq - \frac{3}{4}, f (0) \neq - 1.$

B. $f (0) \geq - \frac{3}{4}, f (0) \neq 1.$

C. $f (0) \leq \frac{3}{4}, f (0) \neq - 1.$

D. $f (0) \geq \frac{3}{4}, f (0) \neq 1.$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 139:

Cho hàm số $y = f (x), y = f [f (x)], y = f (x^{4} + 2)$ có đồ thị lần lượt là $(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})$ . Biết tiếp tuyến của $(C_{1}), (C_{2})$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ có phương trình lần lượt là $y = 2 x + 1, y = 6 x + 1$ . Phương trình tiếp tuyến của $(C_{3})$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 1$ là

A. $y = 12 x - 5.$

B. $y = 6 x - 3.$

C. $y = 24 x - 21.$

D. $y = 12 x - 9.$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 140:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R. Gọi $(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y = f (x), y = f (f (x)), y = f (x^{2} + 1)$ . Các tiếp tuyến của $(C_{1}), (C_{2})$ tại điểm $x_{0} = 2$ có phương trình lần lượt là $y = 2 x + 1, y = 4 x + 3$ . Hỏi tiếp tuyến của $(C_{3})$ tại điểm $x_{0} = 2$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $Q (2; - 11) .$

B. $M (- 2; 11) .$

C. $N (- 2; - 21) .$

D. $P (2; - 21) .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 141:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R. Gọi $(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y = f (x), y = f (f (x)), y = f (x^{2} + 1)$ . Các tiếp tuyến của $(C_{1}), (C_{2})$ tại điểm $x_{0} = 2$ có phương trình lần lượt là $y = 2 x + 1, y = 4 x + 3$ . Hỏi tiếp tuyến của $(C_{3})$ tại điểm $x_{0} = 2$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $Q (2; - 11) .$

B. $M (- 2; 11) .$

C. $N (- 2; - 21) .$

D. $P (2; - 21) .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 142:

Cho các hàm số

y = f (x), y = f (x^{2}), y = \frac{f (x)}{f (x^{2})}

có đồ thị lần lượt là

(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})

. Hệ số góc các tiếp tuyến của

(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})

tại điểm có hoành độ

x_{0} = 1

lần lượt là

k_{1}, k_{2}, k_{3}

thỏa mãn

k_{1} + 2 k_{2} = 3 k_{3} \neq 0

. Giá trị

f (1)

bằng

A. $- \frac{1}{5} .$

B. $- \frac{2}{5} .$

C. $- \frac{3}{5} .$

D. $- \frac{4}{5} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 143:

Cho các hàm số

y = f (x); y = f (f (x)); y = f (x^{2} + 4)

có đồ thị lần lượt là

(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})

. Đường thẳng

x = 1

cắt

(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})

lần lượt tại M, N, P. Biết phương trình tiếp tuyến của

(C_{1})

tại M và của

(C_{2})

tại N lần lượt là

y = 3 x + 2

và

y = 12 x - 5

và phương trình tiếp tuyến của

(C_{3})

tại P có dạng

y = a x + b

. Giá trị

a + b

bằng

A. 6

B. 9

C. 8

D. 7

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 144:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn ${[f (2 x + 1)]}^{2} + {[f (1 - x)]}^{3} = x .$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. $y = - \frac{1}{7} x + \frac{6}{7} .$

B. $y = \frac{1}{7} x - \frac{6}{7} .$

C. $y = - \frac{1}{7} x + \frac{8}{7} .$

D. $y = \frac{1}{7} x - \frac{5}{7} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 145:

Gọi $k_{1}; k_{2}; k_{3}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị các hàm số $y = f (x); y = g (x); y = \frac{f (x)}{g (x)}$ tại $x = 2$ và thỏa mãn $k_{1} = k_{2} = 2 k_{3} \neq 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f (2) < \frac{1}{2} .$

B. $f (2) \leq \frac{1}{2} .$

C. $f (2) \geq \frac{1}{2} .$

D. $f (2) > \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 146:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại $x = 1$ . Gọi $d_{1}, d_{2}$ lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và $y = g (x) = x f (2 x - 1)$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ . Biết rằng hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ vuông góc với nhau, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $|f (1)| \leq \sqrt{2} .$

B. $|f (1)| \geq 2 \sqrt{2} .$

C. $2 \leq |f (1)| < 2 \sqrt{2} .$

D. $\sqrt{2} < |f (1)| < 2.$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 147:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị (H). Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$

là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Tổng $x_{1} + x_{2}$ bằng

A. 0

B. -1

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = {(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{'} = \frac{- 3}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau, nên ta có $\frac{- 3}{{(2 x_{1} - 1)}^{2}} = \frac{- 3}{{(2 x_{2} - 1)}^{2}} \Leftrightarrow {(2 x_{1} - 1)}^{2} = {(2 x_{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x_{1} - 1 = 2 x_{2} - 1 \\ 2 x_{1} - 1 = - 2 x_{2} + 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = x_{2} \\ x_{1} + x_{2} = 1 \end{array}$

Vì $A \neq B$ nên $x_{1} + x_{2} = 1$ .

Chọn D.

Câu 148:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị (H). Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng

A. $3 \sqrt{2}$

B,. $\sqrt{3} .$

C. $\sqrt{6} .$

D. $2 \sqrt{6} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \frac{- 3}{{(2 x - 1)}^{2}}$ . Do tiếp tuyến của (H) tại A, B song song với nhau nên

$y^{'} (x_{1}) = y^{'} (x_{2}) \Leftrightarrow \frac{- 3}{{(2 x_{1} - 1)}^{2}} = \frac{- 3}{{(2 x_{2} - 1)}^{2}} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = x_{2} \\ x_{1} + x_{2} = 1 \end{array}$

Vì $x_{1} \neq x_{2}$ nên $x_{1} + x_{2} = 1$ .

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử $x_{1} = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}, a > 0$ thì $A (\frac{1}{2} a + \frac{1}{2}; \frac{a + 3}{2 a}), B (- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}; \frac{a - 3}{2 a})$ .

Gọi $I (\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Ta thấy $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 = 2 x_{I} \\ y_{1} + y_{2} = 1 = 2 y_{I} \end{cases}$ nên I là trung điểm của AB.

Ta có $\vec{I A} = (\frac{a}{2}; \frac{3}{2 a}) \Rightarrow I A = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9}{4 a^{2}}} \geq \sqrt{2 \sqrt{\frac{a^{2}}{4} . \frac{9}{4 a^{2}}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Vì I là trung điểm của AB nên $A B = 2 I A \geq 2 \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{6}$ .

Vậy $A B_{\min} = \sqrt{6}$ khi $\frac{a^{2}}{4} = \frac{9}{4 a^{2}} \Rightarrow a^{2} = 3 \Rightarrow a = \sqrt{3}$

Chọn C.

Câu 149:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ có đồ thị (H). Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm phân biệt thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại A , B có cùng hệ số góc k . Biết diện tích tam giác OAB bằng $\frac{1}{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $k < - 9.$

B. $- 9 \leq k < - 6.$

C. $- 6 \leq k < - 3.$

D. $- 3 \leq k < 0.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = - \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Tiếp tuyến tại A, B của (H) có cùng hệ số góc k nên $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $- \frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}} = k \Rightarrow k < 0$ .

Suy ra $4 k x^{2} - 4 k x + k + 3 = 0 (*)$ nên $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{k + 3}{4 k} \end{cases}$

Khi đó do vai trò của A, B như nhau nên ta có thể giả sử $x_{1} = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}, a > 0$ thì $A (\frac{1}{2} a + \frac{1}{2}; \frac{a + 3}{2 a}), B (- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}; \frac{a - 3}{2 a})$ .

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC nếu có $\vec{A B} = (a; b), \vec{A C} = (c; d)$ thì $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} |a d - b c|$ .

Ta có $\vec{O A} = (\frac{1}{2} a + \frac{1}{2}; \frac{a + 3}{2 a}), \vec{O B} = (- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2}; \frac{a - 3}{2 a})$

$\Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} |(\frac{a + 1}{2}) \frac{a - 3}{2 a} - (\frac{- a + 1}{2}) . \frac{a + 3}{2 a}| = \frac{1}{4} |\frac{a^{2} - 3}{a}| = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow |\frac{a^{2} - 3}{a}| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a^{2} - 2 a - 3 = 0 \\ a^{2} + 2 a - 3 = 0 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} a = 3 \\ a = 1 \end{array}$

( vì a > 0).

+ Với $a = 3 \Rightarrow x_{1} = 2; x_{2} = - 1 \Rightarrow k = - \frac{1}{3} .$

+ Với $a = 1 \Rightarrow x_{1} = 1; x_{2} = 0 \Rightarrow k = - 3.$

Vậy giá trị của k là $k = - 3; k = - \frac{1}{3}$ .

Chọn D.

Câu 150:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ có đồ thị (C). Gọi $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B})$ với $x_{A} > x_{B}$ là các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và $A B = 6 \sqrt{37}$ . Giá trị $2 x_{A} - 3 x_{B}$ bằng

A. 15

B. 90

C. -15

D. -90

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 3$ .

Do tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau nên $y^{'} (x_{A}) = y^{'} (x_{B})$

$\Leftrightarrow 3 x_{A}^{2} - 3 = 3 x_{B}^{2} - 3 \Leftrightarrow x_{A} + x_{B} = 0$ (do $x_{A} > x_{B}$ ).

Giả sử $A (a, a^{3} - 3 a + 1), B (- a, - a^{3} + 3 a + 1)$ với a > 0 thuộc (C).

Khi đó $A B^{2} = 4 a^{2} + {(2 a^{3} - 6 a)}^{2} = 4 a^{6} - 24 a^{4} + 40 a^{2} = 6 \sqrt{37}$

$\Leftrightarrow 4 a^{6} - 24 a^{4} + 40 a^{2} - 1332 = 0 \Leftrightarrow a^{2} = 9 \Rightarrow a = 3$ (vì a > 0)

$\Rightarrow x_{A} = 3; x_{B} = - 3$ nên $2 x_{A} - 3 x_{B} = 15.$

Chọn A.

Câu 151:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc (C) và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. Đường thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N diện tích tam giác OMN bằng $\frac{1}{4}$ . Độ dài đoạn MN bằng

A. $\sqrt{10}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{2} .$

C. $\frac{3 \sqrt{5}}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{10}}{2} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}$ Gọi $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ .

Khi đó $y^{'} (x_{1}) = y^{'} (x_{2}) \Leftrightarrow {(x_{1} - 1)}^{2} = {(x_{2} - 1)}^{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 2$ .

Do đó tâm đối xứng $I (1; 1)$ của (C) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k.

Phương trình đường thẳng AB là $y = k (x - 1) + 1$ .

Điều kiện để đường thẳng $d : y = k (x - 1) + 1$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là phương trình $\frac{x + 2}{x - 1} = k (x - 1) + 1 (*)$ có hai nghiệm phân biệt $x \neq 1$

Ta có $(*) \Leftrightarrow k x^{2} - 2 k x + k - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $(*) \Leftrightarrow k x^{2} - 2 k x + k - 3 = 0$ khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} k \neq 0 \\ k^{2} - k (k - 3) > 0 \Leftrightarrow k > 0 \\ k - 2 k + k - 3 \neq 0 \end{cases}$

Vì M, N là giao điểm của AB với Ox, Oy nên $M (\frac{k - 1}{k}; 0), N (0; 1 - k)$ .

Suy ra $S_{Δ O M N} = \frac{{(k - 1)}^{2}}{2 |k|} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2 {(k - 1)}^{2} = |k| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} k = 2 \\ k = \frac{1}{2} \end{array}$

Ta có $M N^{2} = {(k - 1)}^{2} + \frac{{(k - 1)}^{2}}{k^{2}} = {(k - 1)}^{2} (1 + \frac{1}{k^{2}})$

+ Với $k = 2 \Rightarrow M N = \frac{\sqrt{5}}{2} .$

+ Với $k = \frac{1}{2} \Rightarrow M N = \frac{\sqrt{5}}{2} .$

Vậy trong cả hai trường hợp thì $M N = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Chọn B.

Câu 152:

Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ và có hoành độ a. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 6 x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \end{array}$ .

$y^{''} = 12 x^{2} - 6; y^{''} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm thỏa mãn $\{\begin{cases} - \frac{\sqrt{6}}{2} < a < \frac{\sqrt{6}}{2} \\ a \neq \pm \frac{\sqrt{2}}{2}; a \in ℤ \end{cases} \Rightarrow a \in \{- 1; 0; 1\}$ .

Vậy có ba giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 153:

Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ và có hoành độ a . Có bao nhiêu số nguyên a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A và diện tích tam giác OBC bằng $2 \sqrt{3}$ ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 6 x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \end{array}$ .

$y^{''} = 12 x^{2} - 6; y^{''} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tọa độ các điểm có hoành độ a nguyên để tiếp tuyến tại điểm đó cắt trục hoành tại hai điểm nữa thì $\{\begin{cases} - \frac{\sqrt{6}}{2} < a < \frac{\sqrt{6}}{2} \\ a \neq \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow a \in \{- 1; 0; 1\}$

+ Với $a = - 1 \Rightarrow A (- 1; 0)$ . Khi đó phương trình tiếp tuyến là $y = 2 (x + 1)$ .

Xét phương trình $x^{4} - 3 x^{2} + 2 = 2 (x + 1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$ nên $B (0; 2), C (2; 6) \Rightarrow S_{Δ O B C} = 2$ (loại).

+ Với $a = 0 \Rightarrow A (0; 2)$ . Khi đó phương trình tiếp tuyến là y=2 nên $B (- \sqrt{3}; 2), C (\sqrt{3}; 2) \Rightarrow S_{Δ O B C} = 2 \sqrt{3}$ (thỏa mãn).

+ Với $a = 1 \Rightarrow A (1; 0)$ . Khi đó phương trình tiếp tuyến là $y = - 2 (x - 1)$ nên $B (0; 2), C (- 2; 6) \Rightarrow S_{Δ O B C} = 2$ (loại).

Vậy $a = 0$ .

Chọn A.

Câu 154:

Cho hàm số

y = \frac{x - 1}{x + 2}

có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

x = m - 2

cắt tiệm cận đứng tại

A (x_{1}; y_{1})

, cắt tiệm cận ngang tại

B (x_{2}; y_{2})

thỏa mãn

x_{2} + y_{1} = - 5

. Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 4

B. -2

C. -4

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là $x = - 2$ và $y = 1$ .

Ta có $y^{'} = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}, y^{'} (m - 2) = \frac{3}{m^{2}}$ .

Gọi $M (m - 2; \frac{m - 3}{m}) \in (C), m \neq 0$ , tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là $y = \frac{3}{m^{2}} (x - m + 2) + \frac{m - 3}{m}$ .

Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là $A (- 2; \frac{m - 6}{m})$ và tiệm cận ngang là $B (2 m - 2; 1)$ .

Theo giả thiết ta có $\frac{m - 6}{m} + 2 m - 2 = - 5 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 4 m - 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 3 \end{array}$ .

Vậy $m_{1} + m_{2} = - 2$ .

Chọn B.

Câu 155:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm nằm trên hai nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt tại các cặp M, N và P, Q. Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng

Cho hàm số y= x+1/ x-1 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm nằm trên hai nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt các đường tiệm cận ngang (ảnh 1)

A. 16

B. 32

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Theo tính chất của tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất thì $I M . I N = I P . I Q = 8$ .

Ta có $S_{M N P Q} = \frac{1}{2} M P . N Q = \frac{1}{2} (I M + I P) (I N + I Q) = \frac{1}{2} (I M . I N + I P . I Q + I M . I Q + I N . I P)$

$= \frac{1}{2} (8 + 8 + I M . I Q + I N . I P) = 8 + \frac{1}{2} (\frac{64}{I N . I P} + I N . I P) \geq 8 + \frac{1}{2} .2 \sqrt{64} = 16$ .

Vậy $S_{\min} = 16$ khi $\frac{64}{I N . I P} = I N . I P \Rightarrow I N . I P = 8$ hay $I N = I Q = I M = I P = 2 \sqrt{2}$ tức là MNPQ là hình vuông.

Chọn A.

Câu 156:

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 7$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng $d : y = m x$ ?

A. 27

B. 28

C. 26

D. 25

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Giả sử $M (a; b)$ là tiếp điểm. Ta có $y^{'} = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ .

Tiếp tuyến của (C) tại M song song hoặc trùng với đường thẳng $d : y = m x$ nên a là nghiệm của phương trình $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x = m (*)$ .

Để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với đường thẳng d thì phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm.

Xét $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ có $y^{'} = 6 x^{2} - 6 x - 12; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$ .

Bảng biến thiên

Cho hàm số y= 1/2x^4-x^3-6x^2+7 có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để có ít nhất hai tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm thì $- 20 \leq m \leq 7$ .

Mà $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 20, - 19, ..., 6, 7\}$

Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 157:

Cho đường cong $(C) : y = \frac{x + 1}{x - 1}$ và điểm $I (1; 1)$ . Hai điểm A và B thuộc cùng một nhánh của đồ thị sao cho $I A = I B$ . Gọi $k_{1}$ và $k_{2}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại A và B. Khi tiếp tuyến tại A và B của (C) tạo với nhau một góc $15 °$ , giá trị biểu thức $|k_{1} + k_{2}|$ bằng

A. $2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2} .$

B. $4 (2 - \sqrt{3}) .$

C. $2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} .$

D. $4 (2 + \sqrt{3}) .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Do $I A = I B$ nên $k_{1} . k_{2} = 1$ .

Ta có $\tan 15 ° = |\frac{k_{1} - k_{2}}{1 + k_{1} . k_{2}}|$

$\Leftrightarrow |k_{1} - k_{2}| = 2 (2 - \sqrt{3})$ .

$\Leftrightarrow {(k_{1} - k_{2})}^{2} = 28 - 16 \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow {(k_{1} + k_{2})}^{2} = 32 - 16 \sqrt{3} \Rightarrow |k_{1} + k_{2}| = 4 \sqrt{2 - \sqrt{3}} = 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}$

Câu 158:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ có đồ thị (C). Trên (C) có hai điểm phân biệt A và B sao cho tiếp tuyến tại A, B có cùng hệ số góc k và O, A, B thẳng hàng. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $- 3 < k < 0.$

B. $0 < k < 3.$

C. $8 < k < 12.$

D. $4 < k < 8.$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 159:

Cho hàm số $y = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3$ có đồ thị (C). Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho $O A = 2020. O B$ . Có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 160:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2}$ có đồ thị (C). Trên đồ thị (C) có ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B, C có cùng hệ số góc k. Tập hợp tất cả các giá trị thực của k là

A. $(\frac{- 8 \sqrt{3}}{2}; \frac{8 \sqrt{3}}{2}) .$

B. $(\frac{- 1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}) .$

C. $(\frac{- 8}{3}; \frac{8}{3}) .$

D. $(\frac{- 8 \sqrt{3}}{9}; \frac{8 \sqrt{3}}{9}) .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 161:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2}$ có đồ thị (C). Trên (C) có ba điểm A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B, C có cùng hệ số góc k. Biết rằng ba điểm A, B, C cùng thuộc một parabol và đỉnh I của parabol có hoành độ là $\frac{1}{6}$ . Tung độ của I bằng

A. $\frac{- 4}{3} .$

B. $\frac{1}{6} .$

C. $\frac{1}{36} .$

D. $\frac{- 1}{6} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 162:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau, đường thẳng AB có hệ số góc dương và tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân. Giá trị bằng

A. -3

B. -1

C. -2

D. 2

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 163:

Cho hàm số

y = \frac{x - 1}{x + 1}

có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A , B song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất từ điểm

M (2; 3)

đến đường thẳng AB bằng

A. $\sqrt{13} .$

B. $\frac{3}{2} .$

C. $3 \sqrt{2} .$

D. $\sqrt{11} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 164:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ có đồ thị (C). Hai điểm A, B phân biệt trên (C) có hoành độ lần lượt là $a, b (a > b)$ . Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và $A B = 2$ . Giá trị $2 a + 3 b$ bằng

A. 4

B. 6

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 165:

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị hàm số $y = - \frac{2}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + (3 m - 2) x - \frac{5}{3}$ tồn tại hai điểm $M_{1} (x_{1}; y_{1}), M_{2} (x_{2}; y_{2})$ có tọa độ thỏa mãn $x_{1} . x_{2} > 0$ sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó cùng vuông góc với đường thẳng $x - 2 y + 1 = 0$ . Số nguyên âm lớn nhất thuộc tập S là

A. -1

B.-3

C. -2

D. -4

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 166:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{- x + 2}$ có đồ thị (C). Hai điểm phân biệt A, B của (C) trong đó hoành độ của A âm sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau và diện tích tam giác OAB bằng 1. Độ dài đoạn thẳng OA bằng

A.1

B. $\frac{1}{2} .$

C. $\frac{\sqrt{89}}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{89}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 167:

Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) của hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. Khoảng cách giữa A và B lớn nhất bằng

A. $\frac{3}{2} .$

B. $\frac{3 \sqrt{3}}{2} .$

C. $\frac{\sqrt{35}}{2} .$

D. $\sqrt{6} .$

Xem đáp án

chọn đáp án B

Câu 168:

Cho hàm số $y = x^{3} - 2018 x$ có đồ thị (C). Xét điểm $A_{1}$ có hoành độ $x_{1} = 1$ thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại $A_{1}$ cắt (C) tại điểm thứ hai $A_{2} \neq A_{1}$ có tọa độ $(x_{2}; y_{2})$ . Tiếp tuyến của (C) tại $A_{2}$ cắt (C) tại điểm thứ hai $A_{3} \neq A_{2}$ có tọa độ $(x_{3}; y_{3})$ . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của (C) tại $A_{n - 1}$ cắt (C) tại điểm thứ hai $A_{n} \neq A_{n - 1}$ có tọa độ $(x_{n}; y_{n})$ . Giá trị $x_{2019}$ bằng

A. $- 2^{2019} .$

B. $2^{2018} .$

C. $2^{2020} .$

D. $- 2^{2017} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 169:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đường cong $(C) : y = \frac{2 x + 4}{x - 1}$ mà tiếp điểm có tọa độ nguyên?

A. 6

B. 8

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 170:

Có một tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số $y = x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2}$ tại đúng hai điểm phân biệt M và N với $x_{M} < x_{N}$ . Giá trị biểu thức $x_{N} - x_{M}$ bằng

A. $\frac{3}{2} .$

B. $\frac{\sqrt{11}}{2} .$

C. $2 \sqrt{2} .$

D. 6

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 171:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 (x + 1)}{x - 2}$ mà tiếp điểm cách đều các trục tọa độ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 172:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ thị hàm số cách đều hai điểm $A (1; - 3), B (2; - 6)$ ?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Câu 173:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x$ cách đều hai điểm $A (1; 2), B (- 3; - 6)$ ?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Câu 174:

Cho đường thẳng $y = m$ cắt đường cong $(C) : y = x^{4} - 3 x^{2} - 2$ tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB vuông tại O với m là số thực dương. Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt nhau tại điểm nào dưới đây?

A. $M (0; 40) .$

B. $N (0; - 42) .$

C. $P (0; - 38) .$

D. $Q (0; - 40) .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 175:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ có đồ thị (C). Xét điểm A thuộc (C). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại điểm thứ hai B ( $B \neq A$ ) thỏa mãn $a . b = - \frac{1}{2}$ , trong đó a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. $\frac{5}{4} .$

B. $- \frac{3}{4} .$

C. $- \frac{5}{4} .$

D. $\frac{3}{4} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 176:

Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số $(C) : y = \frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{2} + \frac{5}{2}$ sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B; C khác A thỏa mãn $A C = 3 A B$ (với B nằm giữa A ;C). Độ dài đoạn thẳng OA bằng

A. $\sqrt{2} .$

B. $\frac{3}{2} .$

C. $\frac{\sqrt{14}}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{17}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 177:

Cho đồ thị hàm số $(C) : y = \frac{x - 1}{2 x}$ và $d_{1}, d_{2}$ là hai tiếp tuyến của (C) song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa $d_{1}, d_{2}$ là

A. 3

B. $2 \sqrt{3} .$

C. 2

D. $2 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 178:

Cho hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. Các tiếp tuyến này lần lượt cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của (C) tại M, N (tham khảo hình vẽ). Tứ giác MNBA có chu vi nhỏ nhất bằng

Cho hàm số y= 3x+1/ x+1 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. (ảnh 1)

A. 16

B. 12

C. 20

D. 24

Xem đáp án

Chọn đáp án D