102 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài tập nguyên hàm có đáp án (Mới nhất)

Câu 1:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} + x$ là

A. $x^{4} + x^{2} + C .$

B. $3 x^{2} + 1 + C .$

C. $x^{3} + x + C .$

D. $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C .$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 2:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ trên khoảng $(- 2; + \infty)$ là

A. $2 \ln (x + 2) + \frac{1}{x + 2} + C .$

B. $2 \ln (x + 2) - \frac{1}{x + 2} + C .$

C. $2 \ln (x + 2) - \frac{3}{x + 2} + C .$

D. $2 \ln (x + 2) + \frac{3}{x + 2} + C .$

Xem đáp án

Chọn D

Hướng dẫn:

$f (x) = \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Đặt $t = x + 2 \Rightarrow d t = d x$

$\int f (x) d x = \int \frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} d x = \int \frac{2 (t - 2) + 1}{t^{2}} d t = \int \frac{2 t - 3}{t^{2}} d t = \int (\frac{2}{t} - \frac{3}{t^{2}}) d t$

$= 2 \ln |t| + \frac{3}{t} + C = 2 \ln |x + 2| + \frac{3}{x + 2} + C = 2 \ln (x + 2) + \frac{3}{x + 2} + C$ (Do x+2 > 0)

Câu 3:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{\ln {(1 + x^{2})}^{x} + 2017 x}{\ln [{(e . x^{2} + e)}^{x^{2} + 1}]}

?

A. $\ln (x^{2} + 1) + 1008 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1]$

B. $\ln (x^{2} + 1) + 2016 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1]$

C. $\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + 2016 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1]$

D. $\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + 1008 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1]$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Đặt $I = \int \frac{\ln {(1 + x^{2})}^{x} + 2017 x}{\ln [{(e . x^{2} + e)}^{x^{2} + 1}]} d x$

+Ta có : $I = \int \frac{\ln {(1 + x^{2})}^{x} + 2017 x}{\ln [{(e . x^{2} + e)}^{x^{2} + 1}]} d x = \int \frac{x \ln (1 + x^{2}) + 2017 x}{(x^{2} + 1) [\ln (1 + x^{2}) + lne]} d x = \int \frac{x [\ln (1 + x^{2}) + 2017]}{(x^{2} + 1) [\ln (1 + x^{2}) + 1]} d x$

+ Đặt : $t = \ln (1 + x^{2}) + 1 \Rightarrow d t = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int \frac{t + 2016}{2 t} d t = \frac{1}{2} \int (1 + \frac{2016}{t}) d t = \frac{1}{2} t + 1008 \ln t + C \\ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + \frac{1}{2} + 1008 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1] + C = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1) + 1008 \ln [\ln (x^{2} + 1) + 1] + C \end{array}

Vậy đáp án đúng là đáp án D.

Câu 4:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}})$ ?

A. $x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2}$

B. $(\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2}$

C. $x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) + 2 x^{2}$

D. $(\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) + 2 x^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Đặt : $\{\begin{cases} u = \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) \\ d v = x^{3} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{16 x}{x^{4} - 16} \\ v = \frac{x^{4}}{4} - 4 = \frac{x^{4} - 16}{4} \end{cases}$

\Rightarrow \int x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) d x = (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - \int 4 x d x = (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - 2 x^{2} + C

Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Câu 5:

Tìm $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ?

A. $I = \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) + C$

B. $I = x + \ln |\sin x + \cos x| + C$

C. $I = x - \ln |\sin x + \cos x| + C$

D. $I = \frac{1}{2} (x - \ln |\sin x + \cos x|) + C$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Đặt : $T = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x$

\Rightarrow I + T = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x + \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} d x = x + C_{1} (1)

Ta lại có :

\begin{array}{l} I - T = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x - \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \\ \Leftrightarrow I - T = - \int \frac{d (\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = - \ln |\sin x + \cos x| + C_{2} (2) \end{array}

Từ $(1); (2)$ ta có hệ: $\{\begin{cases} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln |\sin x + \cos x| + C_{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} I = \frac{1}{2} (x - \ln |\sin x + \cos x|) + C \\ T = \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) + C \end{cases}$

Vậy đáp án đúng là đáp án D .

Câu 6:

Tìm $I = \int \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x$ ?

A. $I = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x})) + C$

B. $I = x - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x}) + C$

C. $I = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x})) + C$

D. $I = x - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x}) + C$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Đặt : $T = \int \frac{\sin^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x$

$\Rightarrow I + T = \int \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x + \int \frac{\sin^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x = \int \frac{\sin^{4} x + \cos^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x = x + C_{1} (1)$

Mặt khác :

$\begin{array}{l} I - T = \int \frac{\cos^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x - \int \frac{\sin^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x = \int \frac{\cos^{4} x - \sin^{4} x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x \\ \Leftrightarrow I - T = \int \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 - 2 \sin^{2} x . \cos^{2} x} d x = \int \frac{\cos 2 x}{1 - \frac{1}{2} \sin^{2} x} d x \\ \Leftrightarrow I - T = \int \frac{2 \cos 2 x}{2 - \sin^{2} 2 x} d x = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x}) + C_{2} (2) \end{array}$

Từ $(1); (2)$ ta có hệ : $\{\begin{cases} I + T = x + C_{1} \\ I - T = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x}) + C_{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} I = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x})) + C \\ T = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln (\frac{\sqrt{2} + \sin 2 x}{\sqrt{2} - \sin 2 x})) + C \end{cases}$

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Câu 7:

Tìm $Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$ ?

A. $Q = \sqrt{x^{2} - 1} + \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$

B. $Q = \sqrt{x^{2} - 1} - \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$

C. $Q = \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| - \sqrt{x^{2} - 1} + C$

D. Cả đáp án B,C đều đúng.

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Điều kiện : $\frac{x - 1}{x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < - 1 \end{array}$

Trường hợp 1 : Nếu $x \geq 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x = \int \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x = \sqrt{x^{2} - 1} - \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$

Trường hợp 2: Nếu $x < - 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x = \int \frac{1 - x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x = \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| - \sqrt{x^{2} - 1} + C$

Vậy đáp án đúng là đáp án D.

Câu 8:

Tìm $T = \int \frac{x^{n}}{1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}} d x$ ?

A. $T = x . n! + n! \ln (1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}) + C$

B. $T = x . n! - n! \ln (1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}) + C$

C. $T = n! \ln (1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}) + C$

D. $T = n! \ln (1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}) - x^{n} . n! + C$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Đặt $g (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} \Rightarrow g^{'} (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n - 1}}{(n - 1)!}$

Ta có : $g (x) - g^{'} (x) = \frac{x^{n}}{n!} \Rightarrow x^{n} = n! (g (x) - g^{'} (x))$

$\Rightarrow T = \int \frac{n! . [g (x) - g^{'} ()]}{g (x)} d x = n! \int [1 - \frac{g^{'} (x)}{g (x)}] d x = n! . x - n! \ln = n! x - n! \ln (1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}) + C$

Vậy đáp án đúng là đáp án B .

Câu 9:

Tìm $H = \int \frac{x^{2} d x}{{(x \sin x + \cos x)}^{2}}$ ?

A. $H = \frac{x}{\cos x (x \sin x + \cos x)} + \tan x + C$

B. $H = \frac{x}{\cos x (x \sin x + \cos x)} - \tan x + C$

C. $H = \frac{- x}{\cos x (x \sin x + \cos x)} + \tan x + C$

D. $H = \frac{- x}{\cos x (x \sin x + \cos x)} - \tan x + C$

Xem đáp án

Ta có : $T = \int \frac{d x}{\sqrt[n]{{(x^{n} + 1)}^{n + 1}}} = \int \frac{d x}{x^{n + 1} . \sqrt[n]{{(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{n + 1}}} = \int \frac{x^{- n - 1}}{{(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{1 + \frac{1}{n}}} d x = \int x^{- n - 1} {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{- 1 - \frac{1}{n}} d x$

Đặt : $t = \frac{1}{x^{n}} + 1 \Rightarrow d t = - \frac{n}{x^{n + 1}} = - n x^{- n - 1}$

\Rightarrow T = - \frac{1}{n} \int t^{- 1 - \frac{1}{n}} d t = t^{\frac{- 1}{n}} + C = {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{\frac{- 1}{n}} + C

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 10:

Tìm $T = \int \frac{d x}{\sqrt[n]{{(x^{n} + 1)}^{n + 1}}}$ ?

A. $T = {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{- \frac{1}{n}} + C$

B. $T = {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{\frac{1}{n}} + C$

C. $T = {(x^{n} + 1)}^{- \frac{1}{n}} + C$

D. $T = {(x^{n} + 1)}^{\frac{1}{n}} + C$

Xem đáp án

Ta có : $T = \int \frac{d x}{\sqrt[n]{{(x^{n} + 1)}^{n + 1}}} = \int \frac{d x}{x^{n + 1} . \sqrt[n]{{(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{n + 1}}} = \int \frac{x^{- n - 1}}{{(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{1 + \frac{1}{n}}} d x = \int x^{- n - 1} {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{- 1 - \frac{1}{n}} d x$

Đặt : $t = \frac{1}{x^{n}} + 1 \Rightarrow d t = - \frac{n}{x^{n + 1}} = - n x^{- n - 1}$

\Rightarrow T = - \frac{1}{n} \int t^{- 1 - \frac{1}{n}} d t = t^{\frac{- 1}{n}} + C = {(\frac{1}{x^{n}} + 1)}^{\frac{- 1}{n}} + C

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 11:

Tìm $R = \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}} d x$ ?

A. $R = - \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$

B. $R = - \frac{\tan 2 t}{2} - \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$

C. $R = \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$

D. $R = \frac{\tan 2 t}{2} - \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C$ với $t = \frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})$

Xem đáp án

Đặt $x = 2 \cos 2 t$ với $t \in (0; \frac{π}{2})$

Ta có : $\{\begin{cases} d x = - 4 \sin 2 t . d t \\ \sqrt{\frac{2 - x}{2 + x}} = \sqrt{\frac{2 - 2 \sin 2 t}{2 + 2 \cos 2 t}} = \sqrt{\frac{4 \sin^{2} t}{4 \cos^{2} t}} = \frac{\sin t}{\cos t} \end{cases}$

\begin{array}{l} \Rightarrow R = - \int \frac{1}{4 \cos^{2} 2 t} . \frac{\sin t}{\cos t} . 4 \sin 2 t . d t = - \int \frac{2 \sin^{2} t}{\cos^{2} 2 t} d t = - \int \frac{1 - \cos 2 t}{\cos^{2} 2 t} d t \\ \Leftrightarrow R = - \int \frac{1}{\cos^{2} 2 t} d t + \int \frac{1}{\cos 2 t} d t = - \frac{\tan 2 t}{2} + \frac{1}{4} \ln |\frac{1 + \sin 2 t}{1 - \sin 2 t}| + C \end{array}

Vậy đáp án đúng là đáp án A .

Câu 12:

Tìm $F = \int x^{n} e^{x} d x$ ?

A. $F = e^{x} [x^{n} - n x^{n - 1} + n (n - 1) x^{n - 2} + ... + n! {(- 1)}^{n - 1} x + n! {(- 1)}^{n}] + x^{n} + C$

B. $F = e^{x} [x^{n} - n x^{n - 1} + n (n - 1) x^{n - 2} + ... + n! {(- 1)}^{n - 1} x + n! {(- 1)}^{n}] + C$

C. $F = n! e^{x} + C$

D. $F = x^{n} - n x^{n - 1} + n (n - 1) x^{n - 2} + ... + n! {(- 1)}^{n - 1} x + n! {(- 1)}^{n} + e^{x} + C$

Xem đáp án

Lưu ý : ta luôn có điều sau ${[e^{x} f (x)]}^{'} = e^{x} . f (x) + e^{x} . f^{'} (x) + C = e^{x} [f (x) + f^{'} (x)] + C$

Hướng dẫn:

\begin{array}{l} F = \int e^{x} [(x^{n} + n . x^{n - 1}) - n (x^{n - 1} + (n - 1) x^{n - 2}) + n (n - 1) (x^{n - 2} + (n - 2) x^{n - 3}) + ... + n! {(- 1)}^{n - 1} (x + 1) + n! {(- 1)}^{n}] d x \\ \Leftrightarrow F = e^{x} [x^{n} - n x^{n - 1} + n (n - 1) x^{n - 2} + ... + n! {(- 1)}^{n - 1} x + n! {(- 1)}^{n}] \end{array}

Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Câu 13:

Tìm $G = \int \frac{2 x^{2} + (1 + 2 \ln x) . x + \ln^{2} x}{{(x^{2} + x \ln x)}^{2}} d x$ ?

A. $G = \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x + \ln x} + C$

B. $G = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + \ln x} + C$

C. $G = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + \ln x} + C$

D. $G = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + \ln x} + C$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Ta có :

\begin{array}{l} G = \int \frac{2 x^{2} + (1 + 2 \ln x) . x + \ln^{2} x}{{(x^{2} + x \ln x)}^{2}} d x = \int \frac{[x^{2} + 2 x \ln x + \ln^{2} x] + x + x^{2}}{x^{2} {(x + \ln x)}^{2}} d x = \int \frac{{(x + \ln x)}^{2} + x (x + 1)}{x^{2} {(x + \ln x)}^{2}} d x \\ \Leftrightarrow G = \int (\frac{1}{x^{2}} + \frac{x + 1}{x {(x + \ln x)}^{2}}) d x = - \frac{1}{x} + \int \frac{x + 1}{x {(x + \ln x)}^{2}} d x = \frac{- 1}{x} + J (J = \int \frac{x + 1}{x {(x + \ln x)}^{2}} d x) \end{array}

Xét nguyên hàm : $J = \int \frac{x + 1}{x {(x + \ln x)}^{2}} d x$

+ Đặt : $t = x + \ln x \Rightarrow d t = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$

\Rightarrow J = \int \frac{1}{t^{2}} d t = \frac{- 1}{t} + C = \frac{- 1}{x + \ln x} + C

Do đó : $G = \frac{- 1}{x} + J = \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x + \ln x} + C$

Vậy đáp án đúng là đáp án A .

Câu 14:

Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của $K = \int \frac{{(7 x - 1)}^{2017}}{{(2 x + 1)}^{2019}} d x$ ?

A. $\frac{1}{18162} . {(\frac{7 x - 1}{2 x + 1})}^{2018}$

B. $\frac{18162 {(2 x + 1)}^{2018} + {(7 x - 1)}^{2018}}{18162 {(2 x + 1)}^{2018}}$

C. $\frac{- 18162 {(2 x + 1)}^{2018} + {(7 x - 1)}^{2018}}{18162 {(2 x + 1)}^{2018}}$

D. $\frac{18162 {(2 x + 1)}^{2018} - {(7 x - 1)}^{2018}}{18162 {(2 x + 1)}^{2018}}$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Ta có : $K = \int \frac{{(7 x - 1)}^{2017}}{{(2 x + 1)}^{2019}} d x = \int {(\frac{7 x - 1}{2 x + 1})}^{2017} . \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}} d x$

Đặt $t = \frac{7 x - 1}{2 x + 1} \Rightarrow d t = \frac{9}{{(2 x + 1)}^{2}} d x \Leftrightarrow \frac{d t}{9} = \frac{1}{{(98 x + 1)}^{2}} d x$

\Rightarrow K = \frac{1}{9} \int t^{2017} d t = \frac{t^{2018}}{18162} + C = \frac{1}{18162} . {(\frac{7 x - 1}{2 x + 1})}^{2018} + C

Vậy đáp án cần chọn là đáp án D.

Câu 15:

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của $g (x) = \frac{\ln x}{{(x + 1)}^{2}}$ ?

A. $\frac{- \ln 2 x - x \ln 2}{x + 1} + \ln |\frac{x}{x + 1}| + 1999$

B. $\frac{- \ln x}{x + 1} - \ln |\frac{x}{x + 1}| + 1998$

C. $\frac{\ln x}{x + 1} - \ln |\frac{x}{x + 1}| + 2016$

D. $\frac{\ln x}{x + 1} + \ln |\frac{x}{x + 1}| + 2017$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{- 1}{x + 1} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{- \ln x}{x + 1} + \int \frac{1}{x (x + 1)} d x = \frac{- \ln x}{x + 1} + \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{- lnx}{x + 1} + + \int \frac{1}{x} d x - \int \frac{d x}{x + 1} A \\ \Leftrightarrow S = \frac{- \ln x}{x + 1} + (\ln |x| - \ln |x + 1|) + C = \frac{- \ln x}{x + 1} + \ln |\frac{x}{x + 1}| + C \end{array}$ .

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 16:

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của $h (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{1 - n} . \ln x . (x^{n} + \ln^{n} x)}$ ?

A. $\frac{1}{n} \ln |x| - \frac{1}{n} \ln |x^{n} + \ln^{n} x| + 2016$

B. $\frac{1}{n} \ln |x| + \frac{1}{n} \ln |x^{n} + \ln^{n} x| + 2016$

C. $- \frac{1}{n} \ln |x| + \frac{1}{n} \ln |x^{n} + \ln^{n} x| + 2016$

D. $- \frac{1}{n} \ln |x| - \frac{1}{n} \ln |x^{n} + \ln^{n} x| - 2016$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Ta có : $L = \int \frac{1 - \ln x}{x^{1 - n} . \ln x . (x^{n} + \ln^{n} x)} d x = \int \frac{1 - \ln x}{x^{2}} . \frac{1}{x^{- n - 1} . \ln x . (x^{n} + \ln^{n} x)} d x = \int \frac{1 - \ln x}{x^{2}} . \frac{1}{\frac{\ln x}{x} (1 + \frac{\ln^{n} x}{x^{n}})} d x$

Đặt : $t = \frac{\ln x}{x} \Rightarrow d t = \frac{1 - \ln x}{x^{2}} d x$

$\Rightarrow L = \int \frac{d t}{t (t^{n} + 1)} = \int \frac{t^{n - 1} d t}{t^{n} (t^{n} + 1)}$

+ Đặt $u = t^{n} + 1 \Rightarrow d u = n . t^{n - 1} d t$

$\begin{array}{l} \Rightarrow L = \frac{1}{n} \int \frac{d u}{u (u - 1)} = \frac{1}{n} \int (\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}) d u = \frac{1}{n} . [\ln |u - 1| - \ln |u|] + C = \frac{1}{n} . \ln |\frac{u - 1}{u}| + C \\ \Leftrightarrow L = \frac{1}{n} . \ln |\frac{t^{n}}{t^{n} + 1}| + C = \frac{1}{n} . \ln |\frac{\frac{\ln^{n} x}{x^{n}}}{\frac{\ln^{n} x}{x^{n}} + 1}| + C = \frac{1}{n} . \ln |\frac{\ln^{n} x}{\ln^{n} x + x^{n}}| + C \end{array}$

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 17:

Nguyên hàm của $f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 \sqrt{x}$ là:

A. $\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} + \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

B. $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

C. $\frac{1}{4} x^{4} - x^{3} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

D. $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int (x^{3} - x^{2} + 2 \sqrt{x}) d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{3} \sqrt{x^{3}} + C$ .

Đáp án đúng là A.

Câu 18:

Nguyên hàm của $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3$ là:

A. $2 \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 x + C$

B. $2 \sqrt{x} + \frac{4}{3} \sqrt[3]{x^{2}} + 3 x + C$

C. $\frac{1}{2} \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 x + C$

D. $\frac{1}{2} \sqrt{x} + \frac{4}{3} \sqrt[3]{x^{2}} + 3 x + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3) d x = \int (x^{- \frac{1}{2}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} + 3) d x = 2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x + C = 2 \sqrt{x} + 3 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 x + C$ .

Đáp án đúng là A.

Câu 19:

Nguyên hàm $\int \frac{1}{x^{2} - 7 x + 6} d x$ là:

A. $\frac{1}{5} \ln |\frac{x - 1}{x - 6}| + C$

B. $\frac{1}{5} \ln |\frac{x - 6}{x - 1}| + C$

C. $\frac{1}{5} \ln |x^{2} - 7 x + 6| + C$

D. $- \frac{1}{5} \ln |x^{2} - 7 x + 6| + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int \frac{1}{x^{2} - 7 x + 6} d x = \int \frac{1}{(x - 1) (x - 6)} d x = \frac{1}{5} \int (\frac{1}{x - 6} - \frac{1}{x - 1}) d x = \frac{1}{5} (\ln |x - 6| - \ln |x - 1|) + C = \frac{1}{5} \ln |\frac{x - 6}{x - 1}| + C$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 20:

Nguyên hàm $\int \frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$ là:

A. $x^{2} + \ln |\frac{x - 1}{x - 2}| + C$

B. $\frac{1}{2} x^{2} + \ln |\frac{x - 2}{x - 1}| + C$

C. $\frac{1}{2} x^{2} + \ln |\frac{x - 1}{x - 2}| + C$

D. $x^{2} + \ln |\frac{x - 2}{x - 1}| + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int \frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2} d x = \int (2 x + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}) d x = \int (2 x + \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}) d x = x^{2} + \ln |\frac{x - 2}{x - 1}| + C$

Đáp án đúng là D.

Câu 21:

Nguyên hàm $\int \frac{3 x + 3}{- x^{2} - x + 2} d x$ là:

A. $2 \ln |x - 1| - \ln |x + 2| + C$

B. $- 2 \ln |x - 1| + \ln |x + 2| + C$

C. $2 \ln |x - 1| + \ln |x + 2| + C$

D. $- 2 \ln |x - 1| - \ln |x + 2| + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int \frac{3 x + 3}{- x^{2} - x + 2} d x = \int \frac{3 x + 3}{(1 - x) (x + 2)} d x =$ $\int (\frac{2}{1 - x} - \frac{1}{x + 2}) d x = - 2 \ln |x - 1| - \ln |x + 2| + C$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 22:

Nguyên hàm

\int \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}} d x

là:

A. $\sqrt{{(x + 2)}^{3}} + \sqrt{{(x - 1)}^{3}} + C$

B. $- \sqrt{{(x + 2)}^{3}} + \sqrt{{(x - 1)}^{3}} + C$

C. $\sqrt{{(x + 2)}^{3}} - \sqrt{{(x - 1)}^{3}} + C$

D. $- \sqrt{{(x + 2)}^{3}} - \sqrt{{(x - 1)}^{3}} + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 2}} d x = \int (\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}) d x = \sqrt{{(x + 2)}^{3}} - \sqrt{{(x - 1)}^{3}} + C$ .

Đáp án đúng là C.

Câu 23:

Nguyên hàm $\int (\sin 2 x + \cos x) d x$ là:

A. $\frac{1}{2} \cos 2 x + \sin x + C$

B. $- \cos 2 x + \sin x + C$

C. $- \frac{1}{2} \cos 2 x + \sin x + C$

D. $- \cos 2 x - \sin x + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int (\sin 2 x + \cos x) d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + \sin x + C$ .

Đáp án đúng là C.

Câu 24:

Nguyên hàm $\int \frac{e^{2 x + 1} - 2}{\sqrt[3]{e^{x}}} d x$ là:

A. $\frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x + 1} - \frac{2}{3} e^{- \frac{x}{3}} + C$

B. $\frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x + 1} + \frac{2}{3} e^{\frac{x}{3}} + C$

C. $\frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x + 1} - \frac{2}{3} e^{\frac{x}{3}} + C$

D. $\frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x + 1} + \frac{2}{3} e^{- \frac{x}{3}} + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có: $\int \frac{e^{2 x + 1} - 2}{\sqrt[3]{e^{x}}} d x = \int (\frac{e^{2 x + 1}}{e^{\frac{x}{3}}} - \frac{2}{e^{\frac{x}{3}}}) d x =$ $\int (e^{2 x + 1 - \frac{x}{3}} - 2 e^{- \frac{x}{3}}) d x = \int (e^{\frac{5}{3} x + 1} - 2 e^{- \frac{x}{3}}) d x = \frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x + 1} + \frac{2}{3} e^{- \frac{x}{3}} + C$ .

Đáp án đúng là D.

Câu 25:

Nguyên hàm $\int [\sin (2 x + 3) + \cos (3 - 2 x)] d x$ là:

A. $- 2 \cos (2 x + 3) - 2 \sin (3 - 2 x) + C$

B. $- 2 \cos (2 x + 3) + 2 \sin (3 - 2 x) + C$

C. $2 \cos (2 x + 3) - 2 \sin (3 - 2 x) + C$

D. $2 \cos (2 x + 3) + 2 \sin (3 - 2 x) + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int [\sin (2 x + 3) + \cos (3 - 2 x)] d x = - 2 \cos (2 x + 3) - 2 \sin (3 - 2 x) + C$ .

Đáp án đúng là A.

Câu 26:

Nguyên hàm $\int [\sin^{2} (3 x + 1) + \cos x] d x$ là:

A. $\frac{1}{2} x - 3 \sin (6 x + 2) + \sin x + C$

B. $x - 3 \sin (6 x + 2) + \sin x + C$

C. $\frac{1}{2} x - 3 \sin (3 x + 1) + \sin x + C$

D. $\frac{1}{2} x - 3 \sin (6 x + 2) - \sin x + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int [\sin^{2} (3 x + 1) + \cos x] d x = \int [\frac{1 - \cos (6 x + 2)}{2} + \cos x] d x = \int [\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (6 x + 2) + \cos x] d x = \frac{1}{2} x - 3 \sin (6 x + 2) + \sin x + C$

Đáp án đúng là A.

Câu 27:

Gọi $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x + 1} - \frac{1}{x^{2}}$ . Nguyên hàm của $f (x)$ biết $F (3) = 6$ là:

A. $F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{3}$

B. $F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{3}$

C. $F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} - \frac{1}{x} - \frac{1}{3}$

D. $F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int (\sqrt{x + 1} - \frac{1}{x^{2}}) d x = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} + C$ .

Theo đề bài, ta lại có: $F (3) = 6 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \sqrt{{(3 + 1)}^{3}} + \frac{1}{3} + C = 6 \Leftrightarrow C = \frac{1}{3}$ .

$F (x) = \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{3}$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 28:

Gọi $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x^{3} + 2 (m - 1) x + m + 5$ , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của $f (x)$ biết rằng $F (1) = 8$ và $F (0) = 1$ là:

A. $F (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 6 x + 1$

B. $F (x) = x^{4} + 6 x + 1$

C. $F (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$

D. Đáp án A và B.

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$\int [4 x^{3} + 2 (m - 1) x + m + 5] d x = x^{4} + (m - 1) x^{2} + (m + 5) x + C$ .

Lại có:

$\{\begin{cases} F (0) = 1 \\ F (1) = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} C = 1 \\ 1 + m - 1 + m + 5 + C = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} C = 1 \\ m = 1 \end{cases}$

Vậy $F (x) = x^{4} + 6 x + 1$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 29:

Nguyên hàm của $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ là:

A. $\ln |t| + C$ với $t = x^{2} + 1$

B. $- \ln |t| + C$ với $t = x^{2} + 1$

C. $\frac{1}{2} \ln |t| + C$ với $t = x^{2} + 1$

D. $- \frac{1}{2} \ln |t| + C$ với $t = x^{2} + 1$

Xem đáp án

Đặt $t = x^{2} + 1 \Rightarrow d t = 2 x d x$ .

$\Rightarrow \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = ... = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t = \frac{1}{2} \ln |t| + C$ .

Đáp án đúng là C.

Câu 30:

Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của $\int (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x$ ?

A. $3 \cos x . \sin^{2} x - 3 \sin x . \cos^{2} x + C$

B. $\frac{3}{2} \sin 2 x (\sin x - \cos x) + C$

C. $3 \sqrt{2} \sin 2 x \sin (x - \frac{π}{4}) + C$

D. $3 \sqrt{2} \sin x . \cos x . \sin (x - \frac{π}{4}) + C$

Xem đáp án

Ta có:

$\int (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x = 3 \cos x . \sin^{2} x - 3 \sin x . \cos^{2} x + C = \frac{3}{2} \sin 2 x (\sin x - \cos x) + C = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sin 2 x \sin (x - \frac{π}{4}) + C$ .

Đáp án đúng là C.

Câu 31:

Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $\int \frac{\ln 2 x}{x} d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2} t^{2} + C$

B. $t^{2} + C$

C. $2 t^{2} + C$

D. $4 t^{2} + C$

Xem đáp án

Đặt $t = \ln 2 x \Rightarrow d t = 2. \frac{1}{2 x} d x \Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x$ .

$\Rightarrow \int \frac{\ln 2 x}{x} d x = ... = \int t d t = \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

Đáp án đúng là A.

Câu 32:

Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2} t^{2} + C$

B. $\frac{1}{2} t + C$

C. $t^{2} + C$

D. $t + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta đặt : $x = \tan t, t \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) \Rightarrow d x = \frac{1}{\cos^{2} t} d t$ .

$\Rightarrow \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = ... = \int d t = t + C$ .

Đáp án đúng là D.

Câu 33:

Với phương pháp đổi biến số $(x \to t)$ , nguyên hàm $I = \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}} d x$ bằng:

A. $\sin t + C$

B. $- t + C$

C. $- \cos t + C$

D. $t + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta biến đổi: $I = \int \frac{1}{\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}} d x$ .

Đặt $x - 1 = 2 \sin t, t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \Rightarrow d x = 2 \cos t d t$ .

$\Rightarrow I = \int d t = t + C$ .

Đáp án đúng là D.

Câu 34:

Theo phương pháp đổi biến số với $t = \cos x, u = \sin x$ , nguyên hàm của $I = \int (\tan x + \cot x) d x$ là:

A. $- \ln |t| + \ln |u| + C$

B. $\ln |t| - \ln |u| + C$

C. $\ln |t| + \ln |u| + C$

D. $- \ln |t| - \ln |u| + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có: $\int (\tan x + \cot x) d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x + \int \frac{\cos x}{\sin x} d x$ .

Xét $I_{1} = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x$ . Đặt $t = \cos x \Rightarrow d t = - \sin x d x \Rightarrow I_{1} = - \int \frac{1}{t} d t = - \ln |t| + C_{1}$ .

Xét $I_{2} = \int \frac{\cos x}{\sin x} d x$ . Đặt $u = \sin x \Rightarrow d u = \cos x d x \Rightarrow I_{2} = \int \frac{1}{u} d u = \ln |u| + C_{2}$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \ln |t| + \ln |u| + C$

Đáp án đúng là A.

Câu 35:

Theo phương pháp đổi biến số

(x \to t)

, nguyên hàm của

I = \int \frac{2 \sin x + 2 \cos x}{\sqrt[3]{1 - \sin 2 x}} d x

là:

A. $2 \sqrt[3]{t} + C$

B. $6 \sqrt[3]{t} + C$

C. $3 \sqrt[3]{t} + C$

D. $12 \sqrt[3]{t} + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$I = \int \frac{2 \sin x + 2 \cos x}{\sqrt[3]{1 - \sin 2 x}} d x = \int \frac{2 (\sin x + \cos x)}{\sqrt[3]{{(\sin x - \cos x)}^{2}}} d x$ .

Đặt $t = \sin x - \cos x \Rightarrow d t = (\sin x + \cos x) d x$ .

$\Rightarrow I = \int \frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}} d t = 2. \frac{1}{1 + (- \frac{2}{3})} t^{\frac{1}{3}} + C = 6 \sqrt[3]{t} + C$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 36:

Nguyên hàm của $I = \int x \ln x d x$ bằng với:

A. $\frac{x^{2}}{2} \ln x - \int x d x + C$

B. $\frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{1}{2} x d x + C$

C. $x^{2} \ln x - \int \frac{1}{2} x d x + C$

D. $x^{2} \ln x - \int x d x + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta đặt:

$\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{x^{2}}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow I = \int x \ln x d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{1}{2} x d x$

Đáp án đúng là B.

Câu 37:

Nguyên hàm của $I = \int x \sin x d x$ bằng với:

A. $x \cos x + \int \cos x d x + C$

B. $- x \cos x - \int \cos x d x + C$

C. $- x \cos x + \int \cos x d x + C$

D. $x \cos x - \int \cos x d x + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta đặt:

$\{\begin{cases} u = x \\ d v = \sin x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \cos x \end{cases}$ .

$\Rightarrow I = \int x \sin x d x = - x \cos x + \int \cos x d x$ .

Đáp án đúng là C.

Câu 38:

Nguyên hàm của $I = \int x \sin^{2} x d x$ là:

A. $\frac{1}{8} (2 x^{2} - x \sin 2 x - \cos 2 x) + C$

B. $\frac{1}{8} \cos 2 x + \frac{1}{4} (x^{2} + x \sin 2 x) + C$

C. $\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \cos 2 x - x \sin 2 x) + C$

D. Đáp án A và C đúng.

Xem đáp án

Phân tích:

Ta biến đổi: $I = \int x \sin^{2} x d x = \int x (\frac{1 - \cos 2 x}{2}) d x = \frac{1}{2} \int x d x - \frac{1}{2} \int x \cos 2 x d x = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} \underset{I_{1}}{\underset{⏟}{\int x \cos 2 x d x}} + C_{1}$

$I_{1} = \int x \cos 2 x d x$ .

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = \cos 2 x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \frac{1}{2} \sin 2 x \end{cases}$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int x \cos 2 x d x = \frac{1}{2} x \sin 2 x - \frac{1}{2} \int \sin 2 x d x = \frac{1}{2} x \sin 2 x + \frac{1}{4} \cos 2 x + C$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \cos 2 x - x \sin 2 x) + C = \frac{1}{8} (2 x^{2} - 2 x \sin 2 x - \cos 2 x) + C = - \frac{1}{8} \cos 2 x + \frac{1}{4} (x^{2} + x \sin 2 x) + C$ .

Đáp án đúng là C.

Câu 39:

Họ nguyên hàm của

I = \int e^{x} d x

là:

A. $2 e^{x} + C$

B. $e^{x}$

C. $e^{2 x} + C$

D. $e^{x} + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta có:

$I = \int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

Đáp án đúng là D.

Câu 40:

Họ nguyên hàm của $\int e^{x} (1 + x) d x$ là:

A. $I = e^{x} + x e^{x} + C$

B. $I = e^{x} + \frac{1}{2} x e^{x} + C$

C. $I = \frac{1}{2} e^{x} + x e^{x} + C$

D. $I = 2 e^{x} + x e^{x} + C$

Xem đáp án

Ta có:

$I = \int e^{x} (1 + x) d x = \int e^{x} d x + \int e^{x} x d x = e^{x} + C_{1} + \underset{I_{1}}{\underset{⏟}{\int x e^{x} d x}}$ .

Xét $I_{1} = \int e^{x} x d x$ .

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = x \\ v = e^{x} \end{cases}$ .

$\Rightarrow I_{1} = x e^{x} - \int x e^{x} d x \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2} x e^{x} + C_{2}$ .

$\Rightarrow I = e^{x} + \frac{1}{2} x e^{x} + C$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 41:

Nguyên hàm của

I = \int x \sin x \cos^{2} x d x

là:

A. $I_{1} = - x \cos^{3} x + t - \frac{1}{3} t^{3} + C, t = \sin x$

B. $I_{1} = - x \cos^{3} x + t - \frac{2}{3} t^{3} + C, t = \sin x$

C. $I_{1} = x \cos^{3} x + t - \frac{1}{3} t^{3} + C, t = \sin x$

D. $I_{1} = x \cos^{3} x + t - \frac{2}{3} t^{3} + C, t = \sin x$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta đặt:

$\{\begin{cases} u = x \\ d u = \sin x \cos^{2} x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ u = - \cos^{3} x d x \end{cases}$ .

$\Rightarrow I = \int x \sin x \cos^{2} x d x = - x \cos^{3} x + \underset{I_{1}}{\underset{⏟}{\int \cos^{3} x d x}} + C_{1}$ .

Xét $I_{1} = \int \cos^{3} x d x = \int \cos x (1 - \sin^{2} x) d x$ .

Đặt $t = \sin x \Rightarrow d t = \cos x d x$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int (1 - t^{2}) d t = t - \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\Rightarrow I = - x \cos^{3} x + I_{1} = - x \cos^{3} x + t - \frac{1}{3} t^{3} + C$ .

Đáp án đúng là A.

Câu 42:

Họ nguyên hàm của $I = \int \frac{\ln (\cos x)}{\sin^{2} x} d x$ là:

A. $\cot x . \ln (\cos x) + x + C$

B. $- \cot x . \ln (\cos x) - x + C$

C. $\cot x . \ln (\cos x) - x + C$

D. $- \cot x . \ln (\cos x) + x + C$

Xem đáp án

Phân tích:

Ta đặt:

$\{\begin{cases} u = \ln (\cos x) \\ d v = \frac{d x}{\sin^{2} x} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = - \tan x d x \\ v = - \cot x \end{cases}$ .

$\Rightarrow I = - \cot x . \ln (\cos x) - \int d x = - \cot x . \ln (\cos x) - x + C$ .

Đáp án đúng là B.

Câu 43:

$\int (x^{2} + 2 x^{3}) d x$ có dạng $\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 2

B. 1

C. 9

D. 32

Xem đáp án

Phân tích:

Theo đề, ta cần tìm $\int (x^{2} + 2 x^{3}) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int (x^{2} + 2 x^{3}) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{4} + C$ .

Suy ra để $\int (x^{2} + x^{3}) d x$ có dạng $\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{4} x^{4} + C$ thì $a = 1, b = 2.$

Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Câu 44:

$\int (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1 + \sqrt{3}}{5} x^{5}) d x$ có dạng $\frac{a}{12} x^{4} + \frac{b}{6} x^{6} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 1

B. 12

C. $\frac{36}{5} (1 + \sqrt{3})$

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Phân tích:

Theo đề, ta cần tìm $\int (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1 + \sqrt{3}}{5} x^{5}) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1 + \sqrt{3}}{5} x^{5}) d x = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1 + \sqrt{3}}{30} x^{6} + C$ .

Suy ra để $\int (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1 + \sqrt{3}}{5} x^{5}) d x$ có dạng $\frac{a}{12} x^{4} + \frac{b}{6} x^{6} + C$ thì $a = 1 \in ℚ, b = \frac{1 + \sqrt{3}}{5} \notin ℚ .$

Vậy đáp án chính xác là đáp án D.

Câu 45:

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng:

A. 3

B. 2

C. 1

D. không tồn tại

Xem đáp án

Theo đề, ta cần tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x + \int x \ln x d x$ .

Để tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ ta đặt $I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ và $I_{2} = \int x \ln x d x$ và tìm $I_{1}, I_{2}$ .

* $I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ .

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1}, t \geq 1$ ta được $t^{2} = x^{2} + 1, x d x = t d t$ .

Suy ra:

$I_{1} = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int 2 t^{2} d t = \frac{2}{3} t^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + C_{1}$ , trong đó $C_{1}$ là 1 hằng số.

* $I_{2} = \int x \ln x d x$ .

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{1}{2} x^{2} \end{cases}$ , ta được:

$I_{2} = \int x \ln x d x = \int u d v = u v - \int v d u = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \int \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$ .

$\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x = I_{1} + I_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{1}{2} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ .

Suy ra để $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ có dạng $\frac{a}{3} {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \frac{b}{6} x^{2} \ln x - \frac{1}{4} x^{2} + C$ thì $a = 2 \in ℚ, b = 3 \in ℚ .$

Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Câu 46:

$\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ có dạng $\frac{a}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + \frac{b}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị b,a lần lượt bằng:

A. 2;1

B. 1;1

C. $a, b \in \emptyset$

D. 1;2

Xem đáp án

Phân tích:

Theo đề, ta cần tìm $\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x = \int (x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x + \int \sqrt{x + 1} d x$ .

Để tìm $\int (2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x \ln x) d x$ ta đặt $I_{1} = \int (x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ và $I_{2} = \int \sqrt{x + 1} d x$ và tìm $I_{1}, I_{2}$ .

*Tìm $I_{1} = \int (x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ .

$I_{1} = \int (x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + C_{1}$ , trong đó $C_{1}$ là 1 hằng số.

*Tìm $I_{2} = \int \sqrt{x + 1} d x$ .

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt $t = \sqrt{x + 1}, t \geq 0$ ta được $t^{2} = x + 1, 2 t d t = d x$ .

Suy ra $I_{2} = \int \sqrt{x + 1} d x = \int 2 t^{2} d t = \frac{2}{3} t^{3} + C_{2} = \frac{2}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C_{2}$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x = I_{1} + I_{2} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + C_{1} + \frac{2}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C_{2} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + \frac{2}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C .$

Suy ra để $\int (x^{3} + \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) d x$ có dạng $\frac{a}{4} x^{4} - \frac{1}{x} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} x + \frac{b}{3} {(\sqrt{x + 1})}^{3} + C$ thì $a = 1 \in ℚ, b = 2 \in ℚ .$

Vậy đáp án chính xác là đáp án D.

Câu 47:

$\int ((x + 1) e^{x^{2} - 5 x + 4} \cdot e^{7 x - 3} + \cos 2 x) d x$ có dạng $\frac{a}{6} e^{{(x + 1)}^{2}} + \frac{b}{2} s i n 2 x + C$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Giá trị $a, b$ lần lượt bằng:

A. 3;1

B. 1;3

C. 3;2

D. 6;1

Xem đáp án

Phân tích:

Theo đề, ta cần tìm $\int ((x + 1) e^{2 (x + 1)} + \cos 2 x) d x$ . Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

$\int ((x + 1) e^{x^{2} - 5 x + 4} \cdot e^{7 x - 3} + \cos 2 x) d x = \int ((x + 1) e^{(x^{2} - 5 x + 4) + (7 x - 3)} + \cos 2 x) d x = \int (x + 1) e^{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \cos 2 x d x$ .

Để tìm $\int ((x + 1) e^{(x^{2} - 5 x + 4)} \cdot e^{7 x - 3} + \cos 2 x) d x$ ta đặt $I_{1} = \int (x + 1) e^{{(x + 1)}^{2}} d x$ và $I_{2} = \int \cos 2 x d x$ và tìm $I_{1}, I_{2}$ .

*Tìm $I_{1} = \int (x + 1) e^{{(x + 1)}^{2}} d x$ .

Đặt $t = {(x + 1)}^{2}; d t = 2 (x + 1) {(x + 1)}^{'} d x = 2 (x + 1) d x$ .

$I_{1} = \int (x + 1) e^{{(x + 1)}^{2}} d x = \int \frac{1}{2} e^{t} d t = \frac{1}{2} e^{t} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{{(x + 1)}^{2}} + C_{1}$ , trong đó $C_{1}$ à 1 hằng số.

*Tìm $I_{2} = \int \cos 2 x d x$ .

$I_{2} = \int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C_{2}$ .

$\int ((x + 1) e^{x^{2} - 5 x + 4} \cdot e^{7 x - 3} + \cos 2 x) d x = I_{1} + I_{2} = \frac{1}{2} e^{{(x + 1)}^{2}} + C_{1} + \frac{1}{2} \sin 2 x + C_{2} = \frac{1}{2} e^{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{2} s i n 2 x + C .$

Suy ra để $\int ((x + 1) e^{x^{2} - 5 x + 4} \cdot e^{7 x - 3} + \cos 2 x) d x$ có dạng $\frac{a}{6} e^{{(x + 1)}^{2}} + \frac{b}{2} s i n 2 x + C$ thì $a = 3 \in ℚ, b = 1 \in ℚ .$

Vậy đáp án chính xác là đáp án A.

Câu 48:

$\int ((2 a + 1) x^{3} + b x^{2}) d x$ , trong đó $a, b$ là hai số hữu tỉ. Biết rằng $\int ((2 a + 1) x^{3} + b x^{2}) d x = \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + C$ . Giá trị $a, b$ lần lượt bằng:

A. 1,3

B. 3,1

C. $- \frac{1}{8}; 1$

D. $a, b \in \emptyset$

Xem đáp án

Ta cần tìm $\int ((2 a + 1) x^{3} + b x^{2}) d x$ .

Ta có:

$\int ((2 a + 1) x^{3} + b x^{2}) d x = \frac{1}{4} (2 a + 1) x^{4} + \frac{1}{3} b x^{3} + C$ .

Vì ta có giả thiết $\int ((2 a + 1) x^{3} + b x^{2}) d x = \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + C$ nên $\frac{1}{4} (2 a + 1) x^{4} + \frac{1}{3} b x^{3} + C$ có dạng $\frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + C$ .

Để $\frac{1}{4} (2 a + 1) x^{4} + \frac{1}{3} b x^{3} + C$ có dạng $\frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + C$ thì $\{\begin{cases} \frac{1}{4} (2 a + 1) = \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3} b = 1 \end{cases}$ , nghĩa là $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \end{cases}$ .

Vậy đáp án chính xác là đáp án A.

Câu 49:

Tính $\int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

A. $3 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

B. $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{5}{6} e^{6 x} + C$

C. $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} - \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

D. $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x = \int (4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x}) d x = 4 x + \frac{4 e^{3 x}}{3} + \frac{e^{6 x}}{6} + C$ .

Vậy ta chọn D.

Câu 50:

Tính $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - x}}$ thu được kết quả là:

A. $\frac{C}{\sqrt{1 - x}}$

B. $- 2 \sqrt{1 - x} + C$

C. $\frac{2}{\sqrt{1 - x}} + C$

D. $\sqrt{1 - x} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - x}} = - 2 \sqrt{1 - x} + C$ . Vậy ta chọn B.

Câu 51:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ là:

A. $\frac{1}{3} (x^{2} + 2) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

B. $- \frac{1}{3} (x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

C. $\frac{1}{3} (x^{2} + 1) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

D. $- \frac{1}{3} (x^{2} + 2) \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Xem đáp án

Ta có : $I = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Đặt $t = \sqrt{1 - x^{2}} \Rightarrow t^{2} = 1 - x^{2} \Rightarrow - t d t = x d x$

Khi đó: $I = - \int \frac{(1 - t^{2})}{t} t d t = \int (t^{2} - 1) d t = \frac{t^{3}}{3} - t + C$ .

Thay $t = \sqrt{1 - x^{2}}$ ta được $I = \frac{{(\sqrt{1 - x^{2}})}^{3}}{3} - \sqrt{1 - x^{2}} + C = - \frac{1}{3} (x^{2} + 2) \sqrt{1 - x^{2}} + C$ .

Vậy ta chọn D.

Câu 52:

Tính

F (x) = \int \frac{d x}{x \sqrt{2 \ln x + 1}}

A. $F (x) = 2 \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

B. $F (x) = \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

C. $F (x) = \frac{1}{4} \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

D. $F (x) = \frac{1}{2} \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int d (\sqrt{2 \ln x + 1}) = \sqrt{2 \ln x + 1} + C$ .

Vậy ta chọn B.

Câu 53:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ là

A. $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln |x| + C$

B. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln x + C$

C. $\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln |x| + C$

D. $\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \ln x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int (x^{3} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln |x| + C$ .

Vậy ta chọn C.

Câu 54:

Nguyên hàm của hàm số $y = \sqrt{3 x - 1}$ trên $(\frac{1}{3}; + \infty)$ là:

A. $\sqrt{\frac{3}{2} x^{2} - x + C}$

B. $\frac{2}{9} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C$

C. $\sqrt{\frac{3}{2} x^{2} - x} + C$

D. $\frac{1}{9} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \sqrt{3 x - 1} . d x = \frac{1}{3} . \frac{2}{1 + 2} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C = \frac{2}{9} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C$ .

Vậy ta chọn B.

Câu 55:

Tính

F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x

A. $F (x) = \ln |x^{4} - 1| + C$

B. $F (x) = \frac{1}{4} \ln |x^{4} - 1| + C$

C. $F (x) = \frac{1}{2} \ln |x^{4} - 1| + C$

D. $F (x) = \frac{1}{3} \ln |x^{4} - 1| + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x = \frac{1}{4} \int \frac{d (x^{4} - 1)}{x^{4} - 1} = \frac{1}{4} \ln |x^{4} - 1| + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 56:

Một nguyên hàm của hàm số $y = \sin 3 x$

A. $- \frac{1}{3} c os 3 x$

B. $- 3 c os 3 x$

C. $3 c os 3 x$

D. $\frac{1}{3} c os 3 x$

Xem đáp án

Ta có: $\int \sin 3 x d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C$ .

Vậy ta chọn A.

Câu 57:

Cho hàm số $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ . Khi đó:

A. $\int f (x) d x = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{5}{x} + C$

B. $\int f (x) d x = 2 x^{3} - \frac{5}{x} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{5}{x} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{2 x^{3}}{3} + 5 \ln x^{2} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}} d x = \int (\frac{5}{x^{2}} + 2 x^{2}) d x = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{5}{x} + C$ .

Vậy ta chọn A.

Câu 58:

Một nguyên hàm của hàm số: $f (x) = x \sqrt{1 + x^{2}}$ là:

A. $F (x) = \frac{1}{3} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}$

B. $F (x) = \frac{1}{3} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

C. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

D. $F (x) = \frac{1}{2} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

Xem đáp án

Ta có : $I = \int x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Đặt $t = \sqrt{1 + x^{2}} \Rightarrow t^{2} = 1 + x^{2} \Rightarrow t d t = x d x$

Khi đó: $I = \int t . t d t = \frac{t^{3}}{3} + C$ .

Thay $t = \sqrt{1 + x^{2}}$ ta được $I = \frac{{(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}}{3} + C$ .

Vậy ta chọn A.

Câu 59:

Họ các nguyên hàm của hàm số $y = \sin 2 x$ là:

A. $- \cos 2 x + C$

B. $- \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

C. $\cos 2 x + C$

D. $\frac{1}{2} \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$ .

Vậy ta chọn B.

Câu 60:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x)$ thỏa mãn điều kiện: $f (x) = 2 x - 3 \cos x, F (\frac{π}{2}) = 3$

A. $F (x) = x^{2} - 3 \sin x + 6 + \frac{π^{2}}{4}$

B. $F (x) = x^{2} - 3 \sin x - \frac{π^{2}}{4}$

C. $F (x) = x^{2} - 3 \sin x + \frac{π^{2}}{4}$

D. $F (x) = x^{2} - 3 \sin x + 6 - \frac{π^{2}}{4}$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int (2 x - 3 \cos x) d x = x^{2} - 3 \sin x + C$

$F (\frac{π}{2}) = 3 \Leftrightarrow {(\frac{π}{2})}^{2} - 3 \sin \frac{π}{2} + C = 3 \Leftrightarrow C = 6 - \frac{π^{2}}{4}$

Vậy $F (x) = x^{2} - 3 \sin x + 6 - \frac{π^{2}}{4}$

Vậy ta chọn D.

Câu 61:

Một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}$ thỏa mãn $F (\frac{π}{4}) = - 1$ là:

A. $F (x) = - c ot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$

B. $F (x) = c ot x - x^{2} + \frac{π^{2}}{16}$

C. $F (x) = - c ot x + x^{2}$

D. $F (x) = - c ot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int (2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}) d x = x^{2} - \cot x + C$

$F (\frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow {(\frac{π}{4})}^{2} - \cot \frac{π}{4} + C = - 1 \Leftrightarrow C = \frac{π^{2}}{16}$

Vậy $F (x) = - c ot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$

Vậy ta chọn A.

Câu 62:

Cho hàm số $f (x) = \cos 3 x . \cos x$ . Một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ bằng 0 khi $x = 0$ là:

A. $3 \sin 3 x + \sin x$

B. $\frac{\sin 4 x}{8} + \frac{\sin 2 x}{4}$

C. $\frac{\sin 4 x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4}$

D. $\frac{\cos 4 x}{8} + \frac{\cos 2 x}{4}$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int \cos 3 x . \cos . d x = \frac{1}{2} \int (\cos 2 x + c o s 4 x) d x = \frac{1}{8} \sin 4 x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C$

F (0) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \sin 0 + \frac{1}{4} \sin 0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0

Vậy $F (x) = \frac{\cos 4 x}{8} + \frac{\cos 2 x}{4}$

Vậy ta chọn D.

Câu 63:

Họ nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \cot^{2} x$ là :

A. $\cot x - x + C$

B. $- \cot x - x + C$

C. $\cot x + x + C$

D. $\tan x + x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \cot^{2} x d x = \int (\cot^{2} x + 1 - 1) d x = - \cot x - x + C$ .

Vậy ta chọn B.

Câu 64:

Hàm số $F (x) = e^{x} + e^{- x} + x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?

A. $f (x) = e^{- x} + e^{x} + 1$

B. $f (x) = e^{x} - e^{- x} + \frac{1}{2} x^{2}$

C. $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 1$

D. $f (x) = e^{x} + e^{- x} + \frac{1}{2} x^{2}$

Xem đáp án

Ta có: $\int (e^{x} + e^{- x} + 1) d x = e^{x} - e^{- x} + x + C$ .

Vậy ta chọn C.

Câu 65:

Tính

\int 2^{2 x} {.3}^{x} {.7}^{x} d x

A. $\frac{84^{x}}{\ln 84} + C$

B. $\frac{2^{2 x} {.3}^{x} {.7}^{x}}{\ln 4. \ln 3. \ln 7} + C$

C. $84^{x} + C$

D. $84^{x} \ln 84 + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int 2^{2 x} {.3}^{x} {.7}^{x} d x = \int 84^{x} d x = \frac{84^{x}}{\ln 84} + C$ .

Vậy ta chọn A.

Câu 66:

Tính $\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x$

A. $x^{3} - 3 x^{2} + \ln x + C$

B. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln x + C$

C. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + C$

D. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln | x | + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int (x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln |x| + C$ .

Vậy ta chọn D.

Câu 67:

Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{1 - 2 x}, x < \frac{1}{2}$ là :

A. $\frac{3}{4} (2 x - 1) \sqrt{1 - 2 x}$

B. $\frac{1}{3} (2 x - 1) \sqrt{1 - 2 x}$

C. $- \frac{3}{2} (1 - 2 x) \sqrt{1 - 2 x}$

D. $\frac{3}{4} (1 - 2 x) \sqrt{1 - 2 x}$

Xem đáp án

Ta có: $\int \sqrt{1 - 2 x} d x = - \frac{1}{2} . \frac{2}{3} \sqrt{{(1 - 2 x)}^{3}} + C = - \frac{1}{3} \sqrt{{(1 - 2 x)}^{3}} + C$ .

Vậy ta chọn B.

Câu 68:

Tính $\int 2^{x + 1} d x$

A. $\frac{2^{x + 1}}{\ln 2} + C$

B. $2^{x + 1} + C$

C. $\frac{{3.2}^{x + 1}}{\ln 2} + C$

D. $2^{x + 1} . \ln 2 + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int 2^{x + 1} d x = \frac{2^{x + 1}}{\ln 2} + C$

Vậy ta chọn A.

Câu 69:

Hàm số $F (x) = e^{x} + \tan x + C$ là nguyên hàm của hàm số f(x) nào

A. $f (x) = e^{x} - \frac{1}{\sin^{2} x}$

B. $f (x) = e^{x} + \frac{1}{\sin^{2} x}$

C. $f (x) = e^{x} (1 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} x})$

D. $f (x) = e^{x} + \frac{1}{\cos^{2} x}$

Xem đáp án

Ta có: ${(e^{x} + \tan x + C)}^{'} = e^{x} + \frac{1}{\cos^{2} x}$ .

Vậy ta chọn D.

Câu 70:

Nếu $\int f (x) d x = e^{x} + \sin^{2} x + C$ thì $f (x)$ là hàm nào ?

A. $e^{x} + \cos^{2} x$

B. $e^{x} - \sin 2 x$

C. $e^{x} + \cos 2 x$

D. $e^{x} + \sin 2 x$

Xem đáp án

Ta có: ${(e^{x} + \sin^{2} x + C)}^{'} = e^{x} + \sin 2 x$

Vậy ta chọn D.

Câu 71:

Tìm một nguyên hàm F(x) của $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2}}$ biết F(1) = 0

A. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$

B. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{3}{2}$

C. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{2}$

D. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int \frac{x^{3} - 1}{x^{2}} d x = \int (x - \frac{1}{x^{2}}) d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + C$

F (1) = 0 \Leftrightarrow \frac{1^{2}}{2} + \frac{1}{1} + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{- 3}{2}

Vậy $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2}$

Vậy ta chọn D.

Câu 72:

Tìm hàm số F(x) biết rằng F’(x) = 4x³ – 3x² + 2 và F(-1) = 3

A. $F (x) = x^{4} - x^{3} - 2 x - 3$

B. $F (x) = x^{4} - x^{3} +2 x + 3$

C. $F (x) = x^{4} - x^{3} - 2 x + 3$

D. $F (x) = x^{4} + x^{3} + 2 x + 3$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int F^{'} (x) d x = \int (4 x^{3} - 3 x^{2} + 2) d x = x^{4} - x^{3} + 2 x + C$

F (- 1) = 3 \Leftrightarrow {(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} + 2. (- 1) + C = 3 \Leftrightarrow C = 3

Vậy $F (x) = x^{4} - x^{3} +2 x + 3$

Vậy ta chọn B.

Câu 73:

Nếu $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x) = e^{x} (1 - e^{- x})$ và $F (0) = 3$ thì $F (x)$ là ?

A. $e^{x} - x$

B. $e^{x} - x + 2$

C. $e^{x} - x + C$

D. $e^{x} - x + 1$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int e^{x} . (1 - e^{- x}) d x = \int (e^{x} - 1) d x = e^{x} - x + C$

F (0) = 3 \Leftrightarrow e^{0} - 0 + C = 3 \Leftrightarrow C = 2

Vậy $F (x) = e^{x} - x + 2$

Vậy ta chọn B.

Câu 74:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x \sqrt{x^{2} + 1}$ là:

A. $\frac{2}{3} \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$

B. $- 2 \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$

C. $\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$

D. $\frac{- 1}{3} \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int 2 x \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Đặt: $t = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow t^{2} = x^{2} + 1 \Rightarrow 2 t d t = 2 x d x$ .

Khi đó: I $= \int t .2 t . d t = \int 2 t^{2} . d t = \frac{2 t^{3}}{3} + C$

Suy ra: I $= \frac{2}{3} \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}} + C$ .

Vậy ta chọn A.

Câu 75:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x \sqrt{1 - x^{2}}$ là:

A. $\frac{1}{3} \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}} + C$

B. $- \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}} + C$

C.. $2 \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}} + C$

D. $- \frac{2}{3} \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}} + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int 2 x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Đặt: $t = \sqrt{1 - x^{2}} \Rightarrow t^{2} = 1 - x^{2} \Rightarrow - 2 t d t = 2 x d x$ .

Khi đó: I $= \int t . (- 2 t) . d t = \int - 2 t^{2} . d t = - \frac{2 t^{3}}{3} + K$

Suy ra: I $= - \frac{2}{3} \sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}} + C$ .

Vậy ta chọn D.

Câu 76:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x \sqrt[3]{1 - 2 x}$ là:

A. $- \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{3}}}{6} + \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{6}}}{12} + C$

B. $- \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{4}}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{7}}}{14} + C$

C. $\frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{3}}}{6} - \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{6}}}{12} + C$

D. $\frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{4}}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{7}}}{14} + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Đặt: $t = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow t^{2} = x^{2} + 1 \Rightarrow 2 t . d t = 2 x . d x$ .

Khi đó: I $= \int \frac{2 t . d t}{t} = 2 t + C$

Suy ra: I $= 2 \sqrt{x^{2} + 1} + C$ .

Vậy ta chọn C.

Câu 77:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2 x \sqrt[3]{1 - 2 x}

là:

A. $- \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{3}}}{6} + \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{6}}}{12} + C$

B. $- \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{4}}}{8} + \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{7}}}{14} + C$

C. $\frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{3}}}{6} - \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{6}}}{12} + C$

D. $\frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{4}}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{7}}}{14} + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int 2 x \sqrt[3]{1 - 2 x} d x$

Đặt: $t = \sqrt[3]{1 - 2 x} \Rightarrow t^{3} = 1 - 2 x \Rightarrow - \frac{3}{2} t^{2} . d t = d x$ .

Mặt khác: $2 x = 1 - t^{3}$

Khi đó: I $= - \int (1 - t^{3}) t \frac{3}{2} t^{2} . d t = - \frac{3}{2} \int (t^{3} - t^{6}) d t = - \frac{3}{2} (\frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{7}}{7}) + C$

Suy ra: I $= - \frac{3}{2} (\frac{\sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{4}}}{4} - \frac{\sqrt[3]{{(1 - 2 x)}^{7}}}{7}) + C$ .

Vậy ta chọn B.

Câu 78:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 4}$ là:

A. $2 \ln |x^{2} + 4| + C$

B. $\frac{\ln |x^{2} + 4|}{2} + C$

C. $\ln |x^{2} + 4| + C$

D. $4 \ln |x^{2} + 4| + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{2 x}{x^{2} + 4} = \int \frac{d (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \ln |x^{2} + 4| + C$

Vậy ta chọn C.

Câu 79:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 4}$ là:

A. $3 \ln |x^{3} + 4| + C$

B. $- 3 \ln |x^{3} + 4| + C$

C. $\ln |x^{3} + 4| + C$

D. $- \ln |x^{3} + 4| + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{3 x^{2} . d x}{x^{3} + 4} = \int \frac{d (x^{3} + 4)}{x^{3} + 4} = \ln |x^{3} + 4| + C$

Vậy ta chọn C.

Câu 80:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin x}{\cos x - 3}$ là:

A. $- \ln |\cos x - 3| + C$

B. $2 \ln |\cos x - 3| + C$

C. $- \frac{\ln |\cos x - 3|}{2} + C$

D. $2 \ln |\cos x - 3| + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{\sin x}{\cos x - 3} d x = \int \frac{- d (\cos x - 3)}{\cos x - 3} = - \ln |\cos x - 3| + C$

Vậy ta chọn A.

Câu 81:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 3}$ là:

A. $- e^{x} - 3 + C$

B. $3 e^{x} + 9 + C$

C. $- 2 \ln |e^{x} + 3| + C$

D. $\ln |e^{x} + 3| + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{e^{x}}{e^{x} + 3} d x = \int \frac{d (e^{x} + 3)}{e^{x} + 3} = \ln |e^{x} + 3| + C$

Vậy ta chon D,

Câu 82:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ là:

A. $\ln^{2} x + C$

B. $\ln x + C$

C. $\frac{\ln^{2} x}{2} + C$

D. $\frac{\ln x}{2} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{\ln x}{x} d x = \int \ln x . d (lnx) = \frac{\ln^{2} x}{2} + C$

Vậy ta chọn C.

Câu 83:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2 x 2^{x^{2}}

là:

A. $\frac{1}{\ln {2.2}^{x^{2}}} + C$

B. $\frac{1}{\ln 2} {.2}^{x^{2}} + C$

C. $\frac{\ln 2}{2^{x^{2}}} + C$

D. $\ln {2.2}^{x^{2}} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int 2 x {.2}^{x^{2}} d x = \frac{1}{\ln 2} \int 2 x {.2}^{x^{2}} . \ln 2 = \frac{1}{\ln 2} \int d (2^{x^{2}}) = \frac{1}{\ln 2} {.2}^{x^{2}} + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 84:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1} \ln (x^{2} + 1)$ là:

A. $\frac{1}{2} \ln^{2} (x^{2} + 1) + C$

B. $\ln (x^{2} + 1) + C$

C. $\frac{1}{2} \ln^{2} (x^{2} + 1) + C$

D. $\frac{1}{2} \ln^{2} (x^{2} + 1) + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} \ln (x^{2} + 1) d x = \int \ln (x^{2} + 1) d (\ln (x^{2} + 1)) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x^{2} + 1) + C$

Vậy ta chọn D.

Câu 85:

Cho

\int f (x) d x = F (x) + C .

Khi đó với a ¹ 0, ta có

\int f (a x + b) d x

bằng:

A. $\frac{1}{2 a} F (a x + b) + C$

B. $a . F (a x + b) + C$

C. $\frac{1}{a} F (a x + b) + C$

D. $F (a x + b) + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int f (a x + b) d x$

Đặt: $t = a x + b \Rightarrow d t = a d x \Rightarrow \frac{1}{a} d t = d x$ .

Khi đó: $I = \frac{1}{a} \int f (t) d t = \frac{1}{a} F (t) + C$

Suy ra: $I = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$

Vậy ta chọn C.

Câu 86:

Một nguyên hàm của hàm số: $f (x) = x \sqrt{1 + x^{2}}$ là:

A. $F (x) = \frac{1}{3} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3}$

B. $F (x) = \frac{1}{3} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

C. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

D. $F (x) = \frac{1}{2} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{2}$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Đặt: $t = \sqrt{1 + x^{2}} \Rightarrow t^{2} = 1 + x^{2} \Rightarrow t . d t = x . d x$

Khi đó: I $= \int t . t . d t = \int t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} + C$

Suy ra: I $= \frac{1}{3} {(\sqrt{1 + x^{2}})}^{3} + C$

Vậy ta chọn A.

Câu 87:

Tính $\int x {(x + 1)}^{3} d x$ là :

A. $\frac{{(x + 1)}^{5}}{5} + \frac{{(x + 1)}^{4}}{4} + C$

B. $\frac{{(x + 1)}^{5}}{5} - \frac{{(x + 1)}^{4}}{4} + C$

C. $\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{4} + x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + C$

D. $\frac{x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int x {(x + 1)}^{3} d x$

Đặt: $t = x + 1 \Rightarrow d t = d x, x = t - 1$

Khi đó: $I = \int (t - 1) . t^{3} . d t = \int (t^{4} - t^{3}) d t = (\frac{t^{5}}{5} - \frac{t^{4}}{4}) + C$

Suy ra: $I = \frac{{(x + 1)}^{5}}{5} - \frac{{(x + 1)}^{4}}{4} + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 88:

Tính $\int \frac{2 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}} d x$ là:

A. $- \frac{1}{5 {(x^{2} + 9)}^{5}} + C$

B. $- \frac{1}{3 {(x^{2} + 9)}^{3}} + C$

C. $- \frac{4}{{(x^{2} + 9)}^{5}} + C$

D. $- \frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{3}} + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int \frac{2 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}} d x$

Đặt: $t = x^{2} + 9 \Rightarrow d t = 2 x . d x$

Khi đó: I $= \int \frac{d t}{t^{4}} = \int t^{- 4} . d t = - \frac{1}{3 t^{3}} + C$

Suy ra: $I = - \frac{1}{3 (x^{2} + 9)} + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 89:

Hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) = $x . \sqrt{x^{2} + 5}$ ?

A. $F (x) = {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}$

B. $F (x) = \frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}$

C. $F (x) = \frac{1}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}$

D. $F (x) = 3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int x . \sqrt{x^{2} + 5} d x$

Đặt: $t = \sqrt[]{x^{2} + 5} \Rightarrow t^{2} = x^{2} + 5 \Rightarrow t . d t = x . d x$ .

Khi đó: I $= \int t . t . d t = \int t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} + C$

Suy ra: I $= \frac{{(\sqrt{x^{2} + 5})}^{3}}{3} + C = \frac{{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 90:

Tính

\int \cos x . \sin^{2} x . d x

A. $\frac{3 \sin x - \sin 3 x}{12} + C$

B. $\frac{3 \cos x - \cos 3 x}{12} + C$

C. $\frac{\sin^{3} x}{3} + C$

D. $sinx . c o s^{2} x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \cos x . \sin^{2} x . d x = \int \sin^{2} x . d (\sin x) = \frac{\sin^{3} x}{3} + C$

Vậy ta chọn C.

Câu 91:

Tính $\int \frac{d x}{x . \ln x}$

A. $\ln x + C$

B. $\ln | x | + C$

C. $\ln (l n x) + C$

D. $\ln | l n x | + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{d x}{x . \ln x} = \int \frac{d (\ln x)}{\ln x} = \ln |\ln x| + C$

Vậy ta chọn D.

Câu 92:

Một nguyên hàm của $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ là:

A. $\frac{1}{2} \ln |x + 1|$

B. $2 \ln (x^{2} + 1)$

C. $\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)$

D. $\ln (x^{2} + 1)$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{x . d x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2} \int \frac{d (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)$

Vậy ta chọn C.

Câu 93:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin x}$ là:

A. $\ln |\cot \frac{x}{2}| + C$

B. $\ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

C. $- \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

D. $\ln |\sin x| + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{d x}{\sin x} = \int \frac{\sin x . d x}{1 - \cos^{2} x} = \int \frac{- \sin x . d x}{\cos^{2} x - 1} = \int \frac{d (\cos x)}{\cos^{2} x - 1} = \frac{1}{2} \ln |\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}| + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 94:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \tan x$ là:

A. $\ln |\cos x| + C$

B. $- \ln |\cos x| + C$

C. $\frac{\tan^{2} x}{2} + C$

D. $\ln (\cos x) + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \tan x . d x = \int \frac{\sin x . d x}{\cos x} = - \int \frac{d (c o s x)}{\cos x} = - \ln |\cos x| + C$

Vây ta chọn B.

Câu 95:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x e^{x}$ là:

A. $x e^{x} + e^{x} + C$

B. $e^{x} + C$

C. $\frac{x^{2}}{2} e^{x} + C$

D. $x e^{x} - e^{x} + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int x e^{x} d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = x \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases}$

Khi đó: $I = u v - \int v d u = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

Vậy ta chọn D.

Câu 96:

Kết quả của $\int \ln x d x$ là:

A. $x \ln x + x + C$

B. Đáp án khác

C. $x \ln x + C$

D. $x \ln x - x + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int \ln x d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = x \end{cases}$

Khi đó: $I = u v - \int v d u = x \ln x - \int d x = x \ln x - x + C$

Vậy ta chọn D.

Câu 97:

Kết quả của

\int x \ln x d x

là:

A. $x \ln x + x + C$

B. Đáp án khác

C. $x \ln x + C$

D. $x \ln x - x + C$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int x \ln x d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = \frac{x^{2}}{2} \end{cases}$

Khi đó: $I = u v - \int v d u = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 98:

Tìm $\int x \sin 2 x d x$ ta thu được kết quả nào sau đây?

A. $x \sin x + \cos x + C$

B. $\frac{1}{4} x \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

C. $x \sin x + \cos x$

D. $\frac{1}{4} x \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int x \sin 2 x d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = x \\ d v = \sin 2 x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \frac{1}{2} \cos 2 x \end{cases}$

Khi đó: $I = u v - \int v d u = - \frac{1}{2} x \cos 2 x + \frac{1}{2} \int \cos 2 x d x = - \frac{1}{2} x \cos 2 x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 99:

Một nguyên hàm của

f (x) = \frac{x}{\cos^{2} x}

là :

A. $x \tan x - \ln |\cos x|$

B. $x \tan x + \ln (\cos x)$

C. $x \tan x + \ln |\cos x|$

D. $x \tan x - \ln |\sin x|$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int \frac{x}{\cos^{2} x} d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = x \\ d v = \frac{1}{\cos^{2} x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \tan x \end{cases}$

Khi đó: $I = u v - \int v d u = x \tan x - \int \tan x d x = x \tan x + \ln |\cos x| + C$

Vậy ta chọn C.

Câu 100:

Một nguyên hàm của

f (x) = \frac{x}{\sin^{2} x}

là

A. $x \cot x - \ln |sinx|$

B. $- x \cot x + \ln (\sin x)$

C. $- x \tan x + \ln |\cos x|$

D. $x \tan x - \ln |\sin x|$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int \frac{x}{\sin^{2} x} d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = x \\ d v = \frac{1}{\sin^{2} x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \cot x \end{cases}$

Khi đó: $I = u v - \int v d u = - x \cot x + \int \cot x d x = - x \cot x + \ln |\sin x| + C$

Vậy ta chọn B.

Câu 101:

Tìm

I = \int \frac{e^{x} (3 x - 2) + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x

?

A. $I = x + \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$

B. $I = x - \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$

C. $I = \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$

D. $I = \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} - 1) + C$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

$I = \int \frac{e^{x} (3 x - 2) + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x = \int \frac{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + e^{x} (2 x - 1)}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x = \int d x + \int \frac{e^{x} (2 x - 1)}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x$

Đặt : $t = e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1 \Rightarrow d t = (\frac{e^{x}}{2 \sqrt{x - 1}} + e^{x} \sqrt{x - 1}) d x = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 \sqrt{x - 1}} d x$

Vậy $\Rightarrow I = \int d x + \int \frac{e^{x} (2 x - 1)}{\sqrt{x - 1} (e^{x} \sqrt{x - 1} + 1)} d x = x + \int \frac{1}{t} d t = x + \ln |t| + C = x + \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 102:

Tìm $J = \int e^{x} . s i n x d x$ ?

A. $J = \frac{e^{x}}{2} (\cos x - \sin x) + C$

B. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x) + C$

C. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C$

D. $J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x + \cos x + 1) + C$

Xem đáp án

Hướng dẫn:

Đặt : $\{\begin{cases} u_{1} = e^{x} \\ d v_{1} = \sin x . d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u_{1} = e^{x} . d x \\ v_{1} = - \cos x \end{cases}$

$\Rightarrow J = - e^{x} \cos x + \int e^{x} \cos x d x = - e^{x} \cos x + T (T = \int e^{x} . \cos x d x)$

Tính $T = \int e^{x} . \cos x d x$ :

Đặt : $\{\begin{cases} u_{2} = e^{x} \\ d v_{2} = \cos x . d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u_{2} = e^{x} . d x \\ v_{2} = \sin x \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow T = e^{x} \sin x - \int e^{x} \sin x d x = e^{x} \sin x - J \\ \Rightarrow J = - e^{x} \cos x + e^{x} \sin x - J \\ \Leftrightarrow 2 J = e^{x} (\sin x - \cos x) \\ \Leftrightarrow J = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C \end{array}$

Vậy đáp án đúng là đáp án C.