39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 1)

Câu 1:

F (x) = \int x^{3} d x

.

A.

F (x) = \frac{x^{4}}{4}

.

B.

F (x) = \frac{x^{4}}{4} + C

.

C.

F (x) = x^{3} + C

.

D.

3 x^{2} + C

.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có:

\int x^{3} d x = \frac{x^{4}}{4} + C

.

Câu 2:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Cho hàm số f(x) xác định trên K và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó

F^{'} (x) = f (x)

,

\forall x \in K

.

B.

\int f' (x) d x = f (x) + C

.

C.

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x

với là hằng số khác 0.

D. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì

F (x) = G (x) .

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Các nguyên hàm có thể có hằng số khác nhau.

Câu 3:

Khẳng định nào say đây đúng?

A.

\int \cos x d x = \sin x

.

B.

\int \cos x d x = \sin x + C

.

C.

\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C

.

D.

\int x^{2} d x = 2 x + C

.

Xem đáp án

Theo bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

\int \cos x d x = \sin x + C

.

Chọn đáp án C

Câu 4:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{2} - x

thỏa mãn

F (0) = 2

, giá trị của F(2) bằng

A.

\frac{8}{3}

.

B.

\frac{- 8}{3}

.

C. 2.

D. -5.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

$F (x) = \int f (x) d x = \int (x^{2} - x) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + C F (0) = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 \Rightarrow F (2) = \frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{2}}{2} + 2 = \frac{8}{3}$

Câu 5:

Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định và liên tục trên R. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định sai?
(I)

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

.
(II)

\int [f (x) . g (x)] d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x

.
(III)

\int k . f (x) d x = k \int f (x) d x

với mọi số thực k.
(IV)

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C

.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Xem đáp án

Khẳng định (II) và (III) là sai, vì

k \neq 0

.

Chọn đáp án B

Câu 6:

Cho hàm số

f^{'} (x) = 1 - 2 \sin x

và

f (0) = 1

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

f (x) = x - 2 \cos x + 2

.

B.

f (x) = x - 2 \cos x - 1

.

C.

f (x) = x + 2 \cos x + 2

.

D.

f (x) = x + 2 \cos x - 1

.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Ta có

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C

. Từ đó suy ra .

f (x) = \int (1 - 2 \sin x) d x = \int d x - 2 \int \sin x d x = x + 2 \cos x + C f (0) = 1 \Leftrightarrow 0 + 2.1 + C = 1 \Rightarrow C = - 1

.
Vậy hàm

f (x) = x + 2 \cos x - 1

.

Câu 7:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = {(2 x + 1)}^{10}

là

A.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{9}}{18} + C

.

B.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{11}}{11} + C

.

C.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{11}}{22} + C

.

D.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{9}}{9} + C

.

Xem đáp án

Ta có:

\int {(2 x + 1)}^{10} d x = \frac{1}{2} \int {(2 x + 1)}^{10} d (2 x + 1) = \frac{1}{2} . \frac{{(2 x + 1)}^{11}}{11} + C = \frac{{(2 x + 1)}^{11}}{22} + C

.
Vậy

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{11}}{22} + C

.

Chọn C

Câu 8:

Cho

\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3

;

\int_{1}^{2} g (x) d x = 5

.

Khi đó giá trị của biểu thức

\int_{1}^{2} [3 g (x) - 2 f (x)] d x

là

A. 21.

B. -14.

C. 10.

D. -24.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

\int_{1}^{2} [3 g (x) - 2 f (x)] d x = \int_{1}^{2} 3 g (x) d x - \int_{1}^{2} 2 f (x) d x = 3 \int_{1}^{2} g (x) d x - 2 \int_{1}^{2} f (x) d x = 3.5 - 2. (- 3) = 21

Câu 9:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên

[a; b]

và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (a) - F (b)

.

B.

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = - F (b) - F (a)

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) d x = {f (x)|}_{a}^{b} = f (b) - f (a)

.

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 10:

Tích phân

I = \int_{0}^{2} 2 x d x

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

I = \int_{0}^{2} 2 x d x = 2 |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}

.

B.

I = \int_{0}^{2} 2 x d x = 4 x^{2} |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}

.

C.

I = \int_{0}^{2} 2 x d x = x^{2} |\begin{array}{l} 0 \\ 2 \end{array}

.

D.

I = \int_{0}^{2} 2 x d x = x^{2} |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}

.

Xem đáp án

Áp dụng định nghĩa tích phân:

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Ta có:

I = \int_{0}^{2} 2 x d x = x^{2} |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array}

.

Chọn đáp án D

Câu 11:

Cho hai hàm số g(x), f(x) liên tục trên đoạn

[a; b]

và số thực k. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A.

\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

.

B.

\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x

.

C.

\int_{a}^{b} [f (x) . g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x

.

D.

\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Câu 12:

Cho hàm số liên tục trên đoạn $[0; 2]$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

A.

\int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x

.

B.

\int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x

.

C.

\int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{2}^{1} f (x) d x

.

D.

\int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{1}^{0} f (x) d x

.

Xem đáp án

Áp dụng tính chất

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x, (a < c < b)

.
Ta có:

\int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x

.

Chọn đáp án A

Câu 13:

Cho f(x); g(x) là hai hàm số liên tục trên R và các số thực a, b, c. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

.

B.

\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t

.

D.

\int_{a}^{b} [f (x) . g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x

.

Xem đáp án

Theo tính chất tích phân ta chọn D.

Câu 14:

Cho

\int_{0}^{3} f (x) d x = 2

và

\int_{0}^{3} g (x) d x = 5.

Khi đó tích phân

\int_{0}^{3} [2 f (x) - g (x)] d x

bằng.

A. -1.

B. -3.

C. 4.

D. -5.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

\int_{0}^{3} [2 f (x) - g (x)] d x = 2 \int_{0}^{3} f (x) d x - \int_{0}^{3} g (x) d x = 2.2 - 5 = - 1

.

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

M (1; 1; - 2)

và

N (2; 2; 1)

. Tọa độ vectơ

\vec{M N}

là

A.

(3; 3; - 1)

.

B.

(- 1; 1; - 3)

.

C.

(3; 1; 1)

.

D.

(1; 1; 3)

.

Xem đáp án

Ta có:

\vec{M N} (2 - 1; 2 - 1; 1 + 2) \Leftrightarrow \vec{M N} (1; 1; 3)

.

Chọn D

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

\vec{O M} = 2 \vec{i} + 3 \vec{k}

. Tọa độ điểm M là

A.

(2; 3; 0)

.

B.

(2; 0; 3)

.

C.

(0; 2; 3)

.

D.

(2; 3)

.

Xem đáp án

Ta có:

\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} \Rightarrow M (x; y; z)

.
Vậy

\vec{O M} = 2 \vec{i} + 3 \vec{k} \Rightarrow M (2; 0; 3)

.

Chọn B

Câu 17:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu.

A.

I (1; 2; 3)

,

R = 5

.

B.

I (1; - 2; 3)

,

R = - 5

.

C.

I (1; 2; - 3)

,

R = - 5

.

D.

I (1; 2; 3)

,

R = - 5

.

Xem đáp án

Mặt cầu có tâm I (1;2;3), bán kính R = 5.

Chọn A

Câu 18:

Cho mặt phẳng $(P) : 3 x - 2 z + 2 = 0$ . Vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của (P)?

A.

\vec{n} = (3; - 2; 0)

.

B.

\vec{n} = (3; 0; 2)

.

C.

\vec{n} = (3; 0; - 2)

.

D.

\vec{n} = (3; 2; 0)

.

Xem đáp án

Vecto pháp tuyến

\vec{n} = (3; 0; - 2)

Chọn C

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P). Biết

\vec{u} = (1; - 2; 0)

,

\vec{v} = (0; 2; - 1)

là cặp vectơ chỉ phương của (P).

A.

\vec{n} = (1; - 2; 0)

.

B.

\vec{n} = (2; 1; 2)

.

C.

\vec{n} = (0; 1; 2)

.

D.

\vec{n} = (2; - 1; 2)

.

Xem đáp án

Ta có (P) có một vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = (2; 1; 2)

.

Chọn B

Câu 20:

Tìm m để điểm M(m; 1; 6) thuộc mặt phẳng

(P) : x - 2 y + z - 5 = 0.

A. m = 1.

B. m = -1.

C. m = 3.

D. m = 2.

Xem đáp án

Điểm

M (m; 1; 5) \in (P) \Leftrightarrow m - 2.1 + 6 - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 1

.

Chọn đáp án A

Câu 21:

Nguyên hàm F(x) của hàm số

f (x) = {(e^{x} - 1)}^{3}

thỏa mãn

F (0) = - \frac{1}{6}

là

A.

F (x) = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} - x

.

B.

F (x) = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} - x - 2

.

C.

F (x) = 3 e^{3 x} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x}

.

D.

F (x) = 3 e^{3 x} - 6 e^{2 x} + 3 e^{x} - 2

.

Xem đáp án

Chọn B

$F (x) = \int {(e^{x} - 1)}^{3} d x = \int [{(e^{x})}^{3} - 3 {(e^{x})}^{2} + 3 e^{x} - 1] d x = \int (e^{3 x} - 3 e^{2 x} + 3 e^{x} - 1) d x$

$= \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} - x + C$

Mà $F (0) = - \frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{1}{3} . e^{3.0} - \frac{3}{2} . e^{2.0} + 3. e^{1.0} - 0 + C = - \frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 3 + C = - \frac{1}{6} \Leftrightarrow C = - 2$ .
Nên $F (x) = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{3}{2} e^{2 x} + 3 e^{x} - x - 2$ .

Câu 22:

Cho

\int 4 x . {(5 x - 2)}^{6} d x = A {(5 x - 2)}^{8} + B {(5 x - 2)}^{7} + C

với

A, B \in ℚ

và

C \in ℝ

. Giá trị của biểu thức là

50 A + 175 B

A. 9.

B. 10.

C. 11.

D. 12.

Xem đáp án

Đặt

\{\begin{cases} f (x) = 4 x . {(5 x - 2)}^{6} \\ F (x) = A {(5 x - 2)}^{8} + B {(5 x - 2)}^{7} + C \end{cases}

.
Theo đề bài ta có:

F^{'} (x) = f (x) \Rightarrow {[A {(5 x - 2)}^{8} + B {(5 x - 2)}^{7} + C]}^{'} = 4 x . {(5 x - 2)}^{6} \Leftrightarrow 8.5. A . {(5 x - 2)}^{7} + 7.5. B . {(5 x - 2)}^{6} = 4 x . {(5 x - 2)}^{6} \Leftrightarrow [40 A (5 x - 2) + 35 B] . {(5 x - 2)}^{6} = 4 x {(5 x - 2)}^{6} \Leftrightarrow (200 A x - 80 A + 35 B) . {(5 x - 2)}^{6} = 4 x {(5 x - 2)}^{6}

Đồng nhất hệ số ta được:

\{\begin{cases} 200 A = 4 \\ - 80 A + 35 B = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A = \frac{1}{50} \\ B = \frac{8}{175} \end{cases}

.

Chọn A

Câu 23:

Biết hàm số

y = f (x)

có

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 4 x - 2 m - 1

,

f (1) = 2

và đồ thị của hàm số

y = f (x)

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3. Hàm số f(x) là

A.

2 x^{3} + 2 x^{2} + x - 3

.

B.

2 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 3

.

C.

2 x^{3} - 2 x^{2} + x - 3

.

D.

12 x + 4

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int (6 x^{2} + 4 x - 2 m - 1) d x = 2 x^{3} + 2 x^{2} - (2 m + 1) x + C

.
Theo đề bài, ta có:

\{\begin{cases} f (1) = 2 \\ f (0) = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {2.1}^{3} + {2.1}^{2} - 2 m - 1 + C = 2 \\ C = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 1 \\ C = - 3 \end{cases}

.
Vậy

f (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} + x - 3

.

Câu 24:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = x (x + \frac{1}{x})

là

A.

\frac{x^{2}}{2} (\frac{x^{2}}{2} + \ln x) + C

.

B.

\frac{x^{3}}{3} + x + C

.

C.

\frac{x^{2}}{6} (\frac{x^{3} + x}{\ln x}) + C

.

D.

x + C

.

Xem đáp án

Chọn B
$I = \int_{}^{} x (x + \frac{1}{x}) d x = \int_{}^{} (x^{2} + 1) d x = \frac{x^{3}}{3} + x + C$

Câu 25:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{3 \ln^{2} x}{x}

là

A.

\ln^{3} x + \ln x + C

.

B.

\ln^{3} x + C

.

C.

\ln^{3} x + x + C

.

D.

\ln (\ln x) + C

.

Xem đáp án

Xét

I = \int f (x) d x = 3 \int \frac{\ln^{2} x}{x} d x

.
Đặt

t = \ln x \Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x

.
Khi đó

I = \int 3 t^{2} d t = t^{3} + C = \ln^{3} x + C

.

Chọn B

Câu 26:

Tích phân

\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2} + x} d x

bằng

A.

\ln \frac{2}{3}

.

B. ln 6.

C.

\ln \frac{4}{3}

.

D. ln 3.

Xem đáp án

Chọn C

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2} + x} d x = \int_{1}^{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x = {(\ln |x| - \ln |x + 1|)|}_{1}^{2} = {\ln |\frac{x}{x + 1}||}_{1}^{2} = \ln \frac{4}{3}$

Câu 27:

Cho

\int_{- 1}^{3} f (x) d x = 2

,

\int_{- 1}^{5} f (t) d t = - 4

. Tính

\int_{3}^{5} f (y) d y

.

A.

I = - 3

.

B.

I = - 5

.

C.

I = - 2

.

D.

I = - 6

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\int_{3}^{5} f (y) d y = \int_{3}^{- 1} f (y) d y + \int_{- 1}^{5} f (y) d y = - \int_{- 1}^{3} f (y) d y + \int_{- 1}^{5} f (y) d y = - \int_{- 1}^{3} f (x) dx + \int_{- 1}^{5} f (t) dt = - 6

.

Câu 28:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và

\int_{0}^{3} (f (x) + 3 x^{2}) d x = 17

. Tính

\int_{0}^{3} f (x) d x

.

A. -5

B. -7.

C. -9.

D. -10.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\int_{0}^{3} (f (x) + 3 x^{2}) d x = 17 \Leftrightarrow \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x = 17 \Leftrightarrow \int_{0}^{3} f (x) d x + 27 = 17 \Leftrightarrow \int_{0}^{3} f (x) d x = - 10

Câu 29:

Cho

\int_{0}^{3} \frac{x}{4 + 2 \sqrt{x + 1}} d x = \frac{a}{3} + b \ln 2 + c \ln 3

với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng

A. 1.

B. 2.

C. 7.

D. 9.

Xem đáp án

Đặt

t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow x = t^{2} - 1 \Rightarrow d x = 2 t d t

.
Đổi cận:

x = 0 \Rightarrow t = 2

;

x = 3 \Rightarrow t = 4

.
Khi đó:

\int_{1}^{2} \frac{t^{2} - 1}{4 + 2 t} .2 t d t = \int_{1}^{2} \frac{t^{3} - t}{t + 2} d t = \int_{1}^{2} (t^{2} - 2 t + 3 - \frac{6}{t + 2}) d t = {(\frac{t^{3}}{3} - t^{2} + 3 t - 6 \ln |t + 2|)|}_{1}^{2} = \frac{7}{3} - 12 \ln 2 + 6 \ln 3

Suy ra

\{\begin{cases} a = 7 \\ b = - 12 \\ c = 6 \end{cases} \Rightarrow a + b + c = 1

.

Chọn A

Câu 30:

Cho

\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{n} x . \cos x d x = \frac{1}{160}

(với

n \in ℕ *

). Tìm

A. 3.

B. 6.

C. 5.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\frac{1}{160} = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{n} x . \cos x d x = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{n} x d (\sin x) = {\frac{\sin^{n + 1} x}{n + 1}|}_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{1}{n + 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 1} \Rightarrow n = 4

Câu 31:

Cho

\int_{0}^{1} (x - 3) e^{x} d x = a + b e

. Tính a - b

A. 1.

B. -7.

C. -1.

D. 7.

Xem đáp án

Chọn D

Đặt

u = x - 3 \Rightarrow du = d x; d v = e^{x} d x \Rightarrow v = e^{x}

Ta có:

\int_{0}^{1} (x - 3) e^{x} d x = {(x - 3) e^{x}|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = - 2 e + 3 - {e^{x}|}_{0}^{1} = 4 - 3 e \Rightarrow a = 4; b = - 3 \Rightarrow a - b = 7

.

Câu 32:

Cho

A (0; 2; - 2), B (- 3; 1; - 1), C (4; 3; 0), D (1; 2; m) .

Tìm m để 4 điểm A, B, C đồng phẳng.

A.

m = - 5

.

B.

m = 5

.

C.

m = - 1

.

D.

m = 1

.

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Ta có:

\vec{A B} = (- 3; - 1; 1), \vec{A C} = (4; 1; 2), \vec{A D} = (1; 0; m + 2)

.

\begin{array}{l} [\vec{A B}, \vec{A C}] = (|\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}|, |\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 3 & - 1 \\ 4 & 1 \end{matrix}|) = (- 3; 10; 1) \\ [\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D} = m - 1 \end{array}

A, B, C, D đồng phẳng

[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D} = 0 \Leftrightarrow m = 1

Câu 33:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 m x + 2 (m - 3) y + 2 z + 3 m^{2} + 3 = 0

là phương trình mặt cầu:

A.

- 1 < m < 7

.

B.

- 7 < m < 1

C.

[\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 7 \end{array}

.

D.

[\begin{array}{l} m < - 7 \\ m > 1 \end{array}

.

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 m x + 2 (m - 3) y + 2 z + 3 m^{2} + 3 = 0

có dạng

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0

với

a = m, b = - (m - 3), c = - 1, d = 3 m^{2} + 3

.
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

.

\Leftrightarrow m^{2} + {(m - 3)}^{2} + 1 - 3 m^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow - m^{2} - 6 m + 7 > 0

Câu 34:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):

2 x + y - 2 z + m - 1 = 0

và mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0

. Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu thì tổng các giá trị của tham số là:

A. -8.

B. 9.

C. 8.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm

I (2; - 1; 3)

và bán kính

R = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2} - 5} = 3

.
Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) thì

d (I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|2.2 + (- 1) - 2.3 + m - 1|}{3} = 5

\Leftrightarrow |m - 4| = 15 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m - 4 = 15 \\ m - 4 = - 15 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 19 \\ m = - 11 \end{array}

.
Vậy tổng các giá trị của m là:

19 + (- 11) = 8

.

Câu 35:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

A (- 1; 2; 3)

và chứa trục Oz là

a x + b y = 0

. Tính tỉ số

T = \frac{a}{b}

.

A. 2

B. $\frac{1}{2}$

C. -2

D. 3

Xem đáp án

Ta có

\vec{O A} = (- 1; 2; 3)

và

\vec{k} = (0; 0; 1)

là hai vecto có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là

\vec{n} = [\vec{O ​ A}, \vec{k}] = (2; 1; 0)

.
Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm

O (0; 0; 0)

và có vecto pháp tuyến

\vec{n} = (2; 1; 0)

nên có phương trình là:

2 x + y = 0

. Vậy T=2.

Chọn A

Câu 36:

Tính

S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x

Xem đáp án

Ta có

S = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{3} + x^{2} . e^{x} + 6 x + 3. e^{x} + \sqrt{3}}{x^{2} + 3} d x = \int_{0}^{1} \frac{2 x (x^{2} + 3) + e^{x} (x^{2} + 3) + \sqrt{3}}{(x^{2} + 3)} d x

= \int_{0}^{1} (e^{x} + 2 x) d x + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = {(e^{x} + x^{2})|}_{0}^{1} + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = e + \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3}

.
Xét .

I = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3}

Đặt

x = \sqrt{3} \tan t \Rightarrow d x = \sqrt{3} \frac{d t}{\cos^{2} t}

.
Đổi cận ta có

x = 0 \Rightarrow t = 0; x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{6}

.
Vậy

I = \sqrt{3} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{2} + 3} = \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{d t}{(\tan^{2} t + 1) \cos^{2} t} = \int_{0}^{\frac{π}{6}} d t = {t|}_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{π}{6}

.
Vậy

S = e + \frac{π}{6}

.

Câu 37:

Cho tam giác ABC có

\hat{A B C} = 45 °; \hat{A C B} = 30 °

và

A C = 2 a

. Tính thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC?

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Xét tam giác ACH vuông tại H, có AC = 2a,

\hat{A C B} = 30 °

nên

A H = \frac{1}{2} . A C = \frac{1}{2} .2 a = a

và

H C = \frac{\sqrt{3}}{2} . A C = a \sqrt{3}

.
Tam giác ABH vuông tại H, có AH = a,

\hat{A B C} = 45 °

nên

B H = A H = a

.
Quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC thu được khối tròn xoay có hình dạng là hai khối nón đỉnh B và đỉnh C, chung đáy là đường tròn (H; HA).
Xét khối nón

(N_{1})

có đỉnh là B, đáy là đường tròn

(H; H A)

có

V_{N_{1}} = \frac{1}{3} π . B H . A H^{2} = \frac{1}{3} π a^{3}

Xét khối nón

(N_{2})

có đỉnh là C, đáy là đường tròn (H; HA) có

V_{N_{2}} = \frac{1}{3} π . C H . A H^{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} π a^{3}

Vậy thể tích khối tròn xoay nhận được bằng:

V = V_{N_{1}} + V_{N_{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3} π a^{3}

.

Câu 38:

Cho hàm số f(x) xác định trên

ℝ \ \{- 1; 1\}

và thỏa mãn:

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}

. Biết rằng

f (- 3) + f (3) = 0

và

f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2

. Tính

T = f (- 2) + f (0) + f (4)

.

Xem đáp án

Ta có:

f (x) = \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} . \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{1}{2} . \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C

Với

x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)

:

f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C_{1}

.
Mà

f (- 3) + f (3) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} . \ln |\frac{- 3 - 1}{- 3 + 1}| + C_{1} + \frac{1}{2} \ln |\frac{3 - 1}{3 + 1}| + C_{1} = 0

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln 2 + C_{1} + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + C_{1} = 0 \Leftrightarrow C_{1} = 0

.
Do đó với

x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) : f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| \Rightarrow f (- 2) = \frac{1}{2} \ln 3; f (4) = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{5}

.
Với

x \in (- 1; 1)

:

f (x) = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C_{2}

.
Mà

f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} . \ln |\frac{- \frac{1}{2} - 1}{- \frac{1}{2} + 1}| + C_{2} + \frac{1}{2} . \ln |\frac{\frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2} + 1}| + C_{2} = 2

\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln 3 + C_{2} + \frac{1}{2} \ln 3 + C_{2} = 2 \Leftrightarrow C_{2} = 1

.
Do đó với

x \in (- 1; 1) : f (x) = \frac{1}{2} . \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + 1 \Rightarrow f (0) = 1

.
Vậy

T = f (- 2) + f (0) + f (4) = 1 + \frac{1}{2} \ln \frac{9}{5}

.

Câu 39:

Tính tích phân sau

I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{4 \sin^{2} x + 1}{\cos x + \sqrt{3} . \sin x} d x

Xem đáp án

Giả sử: $4 \sin^{2} x + 1 = (A \sin x + B \cos x) (\cos x + \sqrt{3} \sin x) + C (\sin^{2} x + \cos^{2} x)$
$\Leftrightarrow 4 \sin^{2} x + 1 = (A \sqrt{3} + C) \sin^{2} x + (A + B \sqrt{3}) \sin x \cos x + (B + C) \cos^{2} x$
Đồng nhất hai vế ta có: $\{\begin{cases} A \sqrt{3} + C = 4 \\ A + B \sqrt{3} = 0 \\ B + C = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} A = \sqrt{3} \\ B = - 1 \\ C = 2 \end{cases}$ .
$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{(\sqrt{3} \sin x - \cos x) (\cos x + \sqrt{3} \sin x) + 2}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} d x \\ = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (\sqrt{3} \sin x - \cos x) d x + 2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} = {(- \sqrt{3} \cos x - \sin x)|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} + J = 2 - \sqrt{3} + J \\ J = 2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\cos x + \sqrt{3} \sin x} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\sin (x + \frac{π}{6})} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} \\ = \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12}) \cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{d [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})]}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})} = {\ln |\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})||}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} = \frac{1}{2} \ln 3 \\ \Rightarrow I = 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2} \ln 3. \end{array}$