39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 10)

Câu 1:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.

\int 0 d x = C

(C là hằng số).

B.

\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C

(C là hằng số ,

x \neq 0

).

C.

\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C

(C là hằng số).

D.

\int d x = x + C

(C là hằng số).

Xem đáp án

Chọn C
Vì khẳng định không đúng khi

α = - 1

.

Câu 2:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = e^{x} + x - 2

là

A.

e^{x} + \frac{x^{2}}{2} - x + C

.

B.

e^{x} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C

.

C.

e^{x} + x^{2} - 2 x + C

.

D.

e^{2 x} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C

.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có

\int f (x) d x = \int {(e}^{x} + x - 2) d x = e^{x} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C

.

Câu 3:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{7})

là

A.

- \frac{1}{2} c o s (2 x + \frac{π}{7}) + C

.

B.

\frac{1}{2} c o s (2 x + \frac{π}{7}) + C

.

C.

- \frac{1}{2} c o s (x - \frac{π}{7}) + C

.

D.

- c o s (2 x + \frac{π}{7}) + C

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

\int f (x) d x = \int \sin (2 x + \frac{π}{7}) d x = - \frac{1}{2} c o s (2 x + \frac{π}{7}) + C

.

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{1}{x + 1}

là

A.

\ln (x + 1) + C

.

B.

\ln |x - 1| + C

.

C.

\ln |x + 1| + C

.

D.

\frac{1}{2} \ln |x + 1| + C

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

\int f (x) d x = \int \frac{1}{x + 1} d x = \ln |x + 1| + C

Câu 5:

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên R. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (y) d y

.

B.

\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

.

C.

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

.

D.

\int_{a}^{b} [f (x) . g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn D
Các đáp án A, B, C là các tính chất của tích phân. Đáp án D không phải là tính chất của tích phân.

Câu 6:

Cho

M = \int_{1}^{2} \frac{x^{2} + 2}{2 x^{2}} d x

. Giá trị của M là

A. 2.

B.

\frac{5}{2}

.

C. 1.

D.

\frac{11}{2}

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

M = \int_{1}^{2} \frac{x^{2} + 2}{2 x^{2}} d x = \int_{1}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{x^{2}}) d x = {(\frac{x}{2} - \frac{1}{x})|}_{1}^{2} = 1

.

Câu 7:

Tích phân

I = \int_{0}^{1} 2 e^{x} d x

có giá trị là

A.

I = 2 e - 2

.

B.

I = 2 e

.

C.

I = 2 e + 2

.

D.

I = e^{2} - 2 e

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

I = \int_{0}^{1} 2 e^{x} d x = {2 e^{x}|}_{0}^{1} = 2 e - 2

.

Câu 8:

Tích phân

\int_{1}^{2} 2 x d x

có giá trị là

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

\int_{1}^{2} 2 x d x = {x^{2}|}_{1}^{2} = 3

Câu 9:

Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

y = f (x), y = g (x)

và hai đường thẳng

x = a, x = b (a < b)

.

A.

S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x

.

B.

S = \int_{a}^{b} (|f (x)| - |g (x)|) d x

.

C.

S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

.

D.

S = π \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 10:

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y = x + 1

;

y = 0

;

x = 0

;

x = 1

quay xung quanh trục Ox là

A.

V = 7 π

.

B.

V = 7

.

C.

V = \frac{7}{3} π

.

D.

V = \frac{7}{3}

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có:

V = π \int_{0}^{1} {(x + 1)}^{2} d x = \frac{7}{3} π

.

Câu 11:

Hai điểm M và M' phân biệt và đối xứng nhau qua mặt phẳng (Oxyz). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hai điểm M và M' có cùng tung độ và cao độ.

B. Hai điểm M và M' có cùng hoành độ và cao độ.

C. Hai điểm M và M' có hoành độ đối nhau.

D. Hai điểm M và M' có cùng hoành độ và tung độ.

Xem đáp án

Chọn D
“Hai điểm và có cùng hoành độ và tung độ” là mệnh đề đúng.

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

\vec{O M} = (1; 5; 2)

,

\vec{O N} = (3; 7; - 4)

. Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

A.

P (2; 6; - 1)

.

B.

P (5; 9; - 10)

.

C.

P (7; 9; - 10)

.

D.

P (5; 9; - 3)

.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có:

\vec{O M} = (1; 5; 2) \Rightarrow M (1; 5; 2), \vec{O N} = (3; 7; - 4) \Rightarrow N (3; 7; - 4)

, .
Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được

\{\begin{cases} x_{P} = 2 x_{N} - x_{M} = 5 \\ y_{P} = 2 y_{N} - y_{M} = 9 \\ z_{P} = 2 z_{N} - z_{M} = - 10 \end{cases} \Rightarrow P (5; 9; - 10)

Câu 13:

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Tam giác có diện tích bằng

A.

\sqrt{6}

.

B.

\frac{\sqrt{6}}{3}

.

C.

\frac{\sqrt{6}}{2}

.

D.

\frac{1}{2}

.

Xem đáp án

Chọn C

\vec{A B} = (- 1; 0; 1), \vec{A C} = (1; 1; 1)

.

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{\sqrt{6}}{2}

.

Câu 14:

Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có tâm I (2;2;-3) và bán kính R=3.

A.

{(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9

.

B.

{(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9

.

C.

{(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9

.

D.

{(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9

Xem đáp án

Chọn A
Mặt cầu tâm

I (2; 2; - 3)

và bán kính R = 3, có phương trình: (S):

{(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9

.

Câu 15:

Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có đường kính AB với

A (1; 3; 1), B (- 2; 0; 1)

.

A.

{(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{9}{2}

.

B.

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{9}{2}

.

C.

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z + 1)}^{2} = \frac{9}{2}

.

D.

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + (z - 1) = \frac{9}{2}

.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có:

\vec{A B} = (- 3; - 3; 0) \Rightarrow A B = 3 \sqrt{2}

.
Gọi I là trung điểm AB

\Rightarrow I (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 1)

.
Mặt cầu tâm

I (- \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 1)

và bán kính

R = \frac{A B}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

, có phương trình:
(S):

{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{9}{2}

.

Câu 16:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng Oxz?

A.

y = 0

.

B.

x = 0

.

C.

z = 0

.

D.

y - 1 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A
Phương trình mặt phẳng Oxzcó phương trình là y = 0.

Câu 17:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua A(1;2;-1) có một vectơ pháp tuyến

\vec{n} (2; 0; 0)

có phương trình là

A.

y + z = 0

.

B.

y + z - 1 = 0

.

C.

x - 1 = 0

.

D.

2 x - 1 = 0

.

Xem đáp án

Chọn C
Phương trình mặt phẳng:

2 (x - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0

.

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(1;2;3), B(-3;-2;-1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

A.

x - y - z = 0

.

B.

x + y + z + 6 = 0

.

C.

x + y + z - 6 = 0

.

D.

x + y + z = 0

.

Xem đáp án

Chọn D
Gọi i là trung điểm của

A B \Rightarrow I (- 1; 0; 1)

.
Phương trình mặt phẳng trung trực AB của đoạn thẳng qua

I (- 1; 0; 1)

nhận

\vec{B A} = (4; 4; 4)

là vectơ pháp tuyến:

4 (x + 1) + 4 y + 4 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z = 0

.

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox có phương trình là

A.

y - 2 z + 2 = 0

.

B.

x + 2 z - 3 = 0

.

C.

2 y - z + 1 = 0

.

D.

x + y - z = 0

.

Xem đáp án

Chọn A
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm.
Do

(P) // O x

nên

(P) : b y + c z + d = 0

.
Do (P) chứa các điểm

A (1; 0; 1)

,

B (- 1; 2; 2)

nên

\{\begin{cases} c + d = 0 \\ 2 b + 2 c + d = 0 \end{cases} \Rightarrow 2 b + c = 0

.
Ta chọn

b = 1 \Rightarrow c = - 2

. Khi đó

d = 2

.
Vậy phương trình

(P) : y - 2 z + 2 = 0

.

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(3;-1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y - 3z - 5 = 0 có phương trình là

A.

d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 3}{2}

.

B.

d : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 3}

.

C.

d : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

.

D.

d : \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{2}

.

Xem đáp án

Chọn C
Đường thẳng d đi qua điểm

A (3; - 1; 2)

nhận vectơ pháp tuyến

\vec{n_{P}} = (1; 1; - 3)

là vectơ chỉ phương nên có phương trình là

\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 3}

.

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;1) và mặt phẳng

(P) : x + y + 2 z - 5 = 0

. Đường thẳng nào sau đây đi qua A và song song với mặt phẳng ?

A.

\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}

.

B.

\frac{x - 3}{4} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}

.

C.

\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}

.

D.

\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}

.

Xem đáp án

Chọn D
Vì d đi qua điểm

A (3; - 2; 1)

nên loại B, C.

d ⊥ (P) \Rightarrow \vec{n_{(P)}} . \vec{u_{d}} = 0

nên loại A vì

\vec{n_{(P)}} = \vec{u_{d}}

.

Câu 22:

Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là

1600 π (c m^{2})

, chiều dài của trống là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?

.

A.

425, 2

(lít).

B.

425162

(lít).

C.

212, 6

(lít).

D.

212581

(lít)

Xem đáp án

Chọn A
Ta có chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

.
Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn.
có bán kính r có diện tích là

1600 π (c m^{2})

, nên.

r^{2} π = 1600 π \Rightarrow r = 40 c m

.
Ta có: Parabol có đỉnh

I (0; 40)

và qua

A (50; 30)

.
Nên có phương trình

y = - \frac{1}{250} x^{2} + 40

.
Thể tích của trống là.

V = π \int_{- 50}^{50} {(- \frac{1}{250} x^{2} + 40)}^{2} d x = π . \frac{406000}{3} c m^{3} \approx 425, 2 d m^{3} = 425, 2

(lít).

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;3), B(1;0;2). Độ dài đoạn thẳng bằng

A.

\sqrt{5}

.

B. 9.

C. 3.

D.

\sqrt{29}

.

Xem đáp án

Chọn C
Áp dụng công thức về khoảng cách giữa hai điểm ta có:

A B = \sqrt{{(1 + 1)}^{2} + {(0 - 2)}^{2} + {(2 - 3)}^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3

.

Câu 24:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M(2;-3;5), N(4;7;-9), E(3;2;1), F(1;-8;12). Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. M, N, F.

B. M, E, F.

C. N, E, F.

D. M, N, E.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

\vec{M N} = (2; 10; - 14)

,

\vec{M F} = (- 1; - 5; 7)

suy ra

\vec{M N} = - 2 \vec{M F}

.
Vậy M, N, F thẳng hàng.

Câu 25:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;0), B(-1;1;3), C(0;-2;5). Để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

A.

D (- 2; 5; 0)

.

B.

D (1; 2; 3)

.

C.

D (1; - 1; 6)

.

D.

D (0; 0; 2)

.

Xem đáp án

Chọn A
Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.
Ta có

\vec{A B} (- 2; - 1; 3), \vec{A C} (- 1; - 4; 5) \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{A C}] = (7; 7; 7)

. Mặt phẳng (ABC) đi qua

A (1; 2; 0)

và có véc tơ pháp tuyến

\vec{n} = (1; 1; 1)

. Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là
:

1 (x - 1) + 1 (y - 2) + 1 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y + x - 3 = 0

Thay tọa độ điểm D từng đáp án ta có đáp án A.

Câu 26:

Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng

(α) : 16 x - 15 y - 12 z + 75 = 0

A.

x + y^{2} + z^{2} = 9

.

B.

x^{2} + y^{2} + z = 9

.

C.

x^{2} + y^{2} + z^{2} = - 9

.

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9

.

Xem đáp án

Chọn D
Do (S) tiếp xúc với

\Leftrightarrow d (O, (α)) = R \Leftrightarrow R = \frac{75}{25} = 3.

Mặt cầu tâm

O (0; 0; 0)

và bán kính R = 3, có phương trình (S):

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9

Câu 27:

Cho A(1;-2;0), B(3;3;2, C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 6.

Xem đáp án

Chọn C
Tính

\vec{A B} = (2; 5; 2), \vec{A C} = (- 2; 4; 2), \vec{A D} = (2; 5; 1) \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{A C}] = (2; - 8; 18)

V = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}| = 3

.

Câu 28:

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh

I (2; 5)

và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

A. 15 km.

B.

\frac{32}{3} k m

.

C. 12 km.

D.

\frac{35}{3} k m

.

Xem đáp án

Chọn B
Parabol có đỉnh

I (2; 5)

và đi qua điểm (0;1) có phương trình

y = - x^{2} + 4 x + 1

.
Quãng đường vật đi được trong 1 giờ đầu là:

S_{1} = \int_{0}^{1} (- x^{2} + 4 x + 1) d x = (- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + x) |\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 0 \end{array} = \frac{8}{3}

Quãng đường vật đi được trong 2 giờ sau là

S_{2} = 2.4 = 8

Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là

S = S_{1} + S_{2} = \frac{8}{3} + 8 = \frac{32}{3}

.

Câu 29:

Xét (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng

x = a (a > 0)

. Giá trị của a sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng

57 π

là

A.

a = 2

.

B.

a = 3

.

C.

a = 5

.

D.

a = 4

.

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay quanh trục hoành là:

V = π \int_{0}^{a} {(2 x + 1)}^{2} d x = 57 π \Leftrightarrow {(\frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + x)|}_{0}^{a} = 57 \Leftrightarrow \frac{4}{3} a^{3} + 2 a^{2} + a - 57 = 0

\Leftrightarrow a = 3

(thỏa mãn a > 0).
Vậy a = 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2 x - y + 2 z + 1 = 0

và hai điểm

A (1; 0; - 2), B (- 1; - 1; 3)

. Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với (P) có phương trình dạng

a x - b y + c z + 5 = 0

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

a + b + c = 21

.

B.

a + b + c = 7

.

C.

a + b + c = - 21

.

D.

a + b + c = - 7

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\vec{A B} (- 2; - 1; 5)

, (P) nhận

\vec{n_{(P)}} = (2; - 1; 2)

làm vectơ pháp tuyến.
Do (Q) qua A, B và vuông góc với (P) nên (Q) nhận làm vectơ pháp tuyến, tức có phương trình là

3 (x - 1) + 14 y + 4 (z + 2) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 14 y + 4 z + 5 = 0

.

\Rightarrow a = 3, b = - 14, c = 4

.
Vậy

a + b + c = - 7

.

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng

(P) : 2 x - 2 y + z + 17 = 0

. Biết mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu

(S) : x^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 25

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 3. Khi đó mặt phẳng (Q) có phương trình là

A.

2 x - 2 y + z - 7 = 0

.

B.

2 x - 2 y + z - 17 = 0

.

C.

2 x - 2 y + z + 17 = 0

.

D.

x - y + 2 z - 7 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Vì

(Q) // (P)

nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:

2 x - 2 y + z + D = 0 (D \neq 17)

.
Mặt cầu (S) có tâm

I (0; 2; - 1)

, bán kính

R = 5

.
Trên hình vẽ, ta có tam giác

Δ I H A

vuông tại

H \Rightarrow I H^{2} + r^{2} = R^{2}

\Leftrightarrow {[d (I, (Q))]}^{2} + r^{2} = R^{2} \Leftrightarrow d (I, (Q)) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} \Rightarrow d (I, (Q)) = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 \Rightarrow \frac{|2.0 - 2.2 - 1 + D|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = 4 \Leftrightarrow |D - 5| = 12 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} D - 5 = 12 \\ D - 5 = - 12 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} D = 17 \\ D = - 7 \end{array}

(loại D = 17).
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:

2 x - 2 y + z - 7 = 0

.

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm

A (- 1; 2; 4)

và song song với mặt phẳng có

(P) : 4 x + y - z + 5 = 0

phương trình là

A.

4 x + y + z - 5 = 0

.

B.

4 x + y + z - 2 = 0

.

C.

4 x + y - z = 0

.

D.

4 x + y - z + 6 = 0

.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (Q).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = (4; 1; - 1)

.
Vì (P) // (Q) nên cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm

A (- 1; 2; 4)

, có vectơ pháp tuyến

\vec{n} = (4; 1; - 1)

nên nó có phương trình là

4 (x + 1) + 1. (y - 2) - 1. (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 4 x + y - z + 6 = 0

.

Câu 33:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0;-1;2), B(2;-3;0), C(-2;1;1), D(0;-1;3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức

\vec{M A} . \vec{M B} = \vec{M C} . \vec{M D} = 1

. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính bằng bao nhiêu?

A.

r = \frac{\sqrt{11}}{2}

.

B.

r = \frac{\sqrt{7}}{2}

.

C.

r = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

D.

r = \frac{\sqrt{5}}{2}

.

Xem đáp án

Chọn A
Gọi

M (x; y; z)

là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có

\vec{A M} = (x; y + 1; z - 2), \vec{B M} = (x - 2; y + 3; z), \vec{C M} = (x + 2; y - 1; z - 1), \vec{D M} = (x; y + 1; z - 3) .

Từ giả thiết:

\vec{M A} . \vec{M B} = \vec{M C} . \vec{M D} = 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{M A} . \vec{M B} = 1 \\ \vec{M C} . \vec{M D} = 1 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x (x - 2) + (y + 1) (y + 3) + z (z - 2) = 1 \\ x (x + 2) + (y + 1) (y - 1) + (z - 1) (z - 3) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 z + 1 = 0 \end{cases}

Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm

I_{1} (1; - 2; 1)

,

R_{1} = 2

và mặt cầu tâm

I_{2} (- 1; 0; 2)

,

R_{2} = 2

.

Ta có:

I_{1} I_{2} = \sqrt{5}

.
Dễ thấy:

r = \sqrt{R_{1}^{2} - {(\frac{I_{1} I_{2}}{2})}^{2}} = \sqrt{4 - \frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

.

Câu 34:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC) là

A.

\frac{9}{7 \sqrt{2}}

.

B.

\frac{9}{7}

.

C.

\frac{9}{\sqrt{2}}

.

D.

\frac{9}{14}

.

Xem đáp án

Chọn A
Tính

\vec{A B} (2; 5; 2), \vec{A C} (- 2; 4; 2), \vec{A D} (2; 5; 1)

V = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}| = 3

V = \frac{1}{3} B . h

, với

B = S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = 7 \sqrt{2}

,

h = d (D, (A B C))

\Rightarrow h = \frac{3 V}{B} = \frac{3.3}{7 \sqrt{2}} = \frac{9}{7 \sqrt{2}}

.

Câu 35:

Cho hình chóp S. ABCD biết A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD,

S H ⊥ (A B C D)

. Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng

\frac{27}{2}

(đvtt) thì có hai điểm

S_{1}, S_{2}

thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm i của

S_{1} S_{2}

.

A.

I (0; - 1; - 3)

.

B.

I (1; 0; 3)

.

C.

I (0; 1; 3)

.

D.

I (- 1; 0; - 3) .

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

\vec{A B} = (- 1; - 1; 2), \vec{A C} = (1; - 2; 1) \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

\vec{D C} = (- 2; - 2; 4), \vec{A B} = (- 1; - 1; 2) \Rightarrow \vec{D C} = 2. \vec{A B}

là hình thang và
Vì

S_{A B C D} = 3 S_{A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}

Lại có h là trung điểm của

C D \Rightarrow H (0; 1; 5)

Gọi

S (a; b; c) \Rightarrow \vec{S H} = (- a; 1 - b; 5 - c) \Rightarrow \vec{S H} = k [\vec{A B}, \vec{A C}] = k (3; 3; 3) = (3 k; 3 k; 3 k)

Suy ra

3 \sqrt{3} = \sqrt{9 k^{2} + 9 k^{2} + 9 k^{2}} \Rightarrow k = \pm 1

+) Với

k = 1 \Rightarrow \vec{S H} = (3; 3; 3) \Rightarrow S (- 3; - 2; 2)

+) Với

k = - 1 \Rightarrow \vec{S H} = (- 3; - 3; - 3) \Rightarrow S (3; 4; 8)

Suy ra

I (0; 1; 3)

Câu 36:

Viết phương trình mặt cầu (S) biết: (S) qua bốn điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3), D(1;0;4).

A.

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 26

.

B.

{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 26

.

C.

{(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 26

.

D.

{(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + 4 z^{2} = 26

.

Xem đáp án

Chọn C
Gọi

I (x; y; z)

là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết:

\{\begin{cases} I A = I B \\ I A = I C \\ I A = I D \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} I A^{2} = I B^{2} \\ I A^{2} = I C^{2} \\ I A^{2} = I D^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - y + z = - 1 \\ x + 7 z = - 2 \\ y - 4 z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}

.
Do đó:

I (- 2; 1; 0)

và

R = I A = \sqrt{26}

. Vậy (S):

{(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 26

.

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2). Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm A, B, C là một đường thẳng d. Phương trình tham số của đường thẳng là

A.

\{\begin{cases} x = - 8 - 3 t \\ y = t \\ z = 15 + 7 t \end{cases}

.

B.

\{\begin{cases} x = - 8 + 3 t \\ y = t \\ z = 15 - 7 t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = - 8 + 3 t \\ y = - t \\ z = - 15 - 7 t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = - 8 + 3 t \\ y = t \\ z = 15 + 7 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

\vec{A B} = (- 2; 1; - 1)

;

\vec{B C} = (3; - 5; 2)

.
Ta thấy

\vec{A B}

và

\vec{B C}

không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
M cách đều hai điểm A, B nên điểm M nằm trên mặt trung trực của AB.
M cách đều hai điểm B, C nên điểm M nằm trên mặt trung trực của BC.
Do đó tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A, B, C là giao tuyến của hai mặt trung trực của AB và BC.
Gọi (P), (Q) lần lượt là các mặt phẳng trung trực của AB và BC.

K (0; \frac{3}{2}; \frac{1}{2})

là trung điểm AB;

N (\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; 1)

là trung điểm BC.
(P) đi qua K và nhận

\vec{A B} = (- 2; 1; - 1)

làm

(P) : - 2 x + (y - \frac{3}{2}) - (z - \frac{1}{2}) = 0

véctơ pháp tuyến nên hay

(P) : 2 x - y + z + 1 = 0

.
(Q) đi qua N và nhận

\vec{B C} = (3; - 5; 2)

làm

(Q) : 3 (x - \frac{1}{2}) - 5 (y + \frac{1}{2}) + 2 (z - 1) = 0

véctơ pháp tuyến nên hay

(Q) : 3 x - 5 y + 2 z - 6 = 0

.
Ta có

d : \{\begin{cases} 2 x - y + z + 1 = 0 \\ 3 x - 5 y + 2 z - 6 = 0 \end{cases}

Nên d có véctơ chỉ phương

\vec{u} = [\vec{A B}, \vec{B C}] = (- 3; 1; 7)

.
Cho y = 0 ta sẽ tìm được

x = - 8

,

z = 15

nên

(- 8; 0; 15) \in d

.
Vậy đường thẳng d có phương trình

\{\begin{cases} x = - 8 - 3 t \\ y = t \\ z = 15 + 7 t \end{cases}

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C,

\hat{A B C} = 60 °

,

A B = 3 \sqrt{2},

đường thẳng AB có phương trình

\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 8}{- 4}

, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng

(α) : x + z - 1 = 0

. Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi (a;b;c) là tọa độ điểm C, giá trị của

a + b + c

bằng

A. 3.

B. 2.

C. -4.

D. 7.

Xem đáp án

Chọn B
Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng

(α)

. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

\{\begin{cases} \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 8}{- 4} \\ x + z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \end{cases}

. Vậy điểm

A (1; 2; 0)

.
Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ

B (3 + t; 4 + t; - 8 - 4 t)

.
Theo giả thiết thì

t + 3 > 0 \Leftrightarrow t > - 3

.
Do

A B = 3 \sqrt{2}

, ta có

{(t + 2)}^{2} + {(t + 2)}^{2} + 16 {(t + 2)}^{2} = 18 \Rightarrow t = - 1

nên

B (2; 3; - 4)

.
Theo giả thiết thì

A C = A B \sin 60 ° = \frac{3 \sqrt{6}}{2}

;

B C = A B . \cos 60 ° = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

.
Vậy ta có hệ

\{\begin{cases} a + c = 1 \\ {(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + c^{2} = \frac{27}{2} \\ {(a - 2)}^{2} + {(b - 3)}^{2} + {(c + 4)}^{2} = \frac{9}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + c = 1 \\ 2 a + 2 b - 8 c = 9 \\ {(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + c^{2} = \frac{27}{2} \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{7}{2} \\ b = 3 \\ c = - \frac{5}{2} \end{cases}

. Vậy

C (\frac{7}{2}; 3; - \frac{5}{2})

nên

a + b + c = 2

.

Câu 39:

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn

[0; \frac{π}{2}]

, thỏa mãn

f (0) = \sqrt{3}

và

f (x) . f^{'} (x) = \cos x . \sqrt{1 + f^{2} (x)}

,

\forall x \in [0; \frac{π}{2}]

. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn

[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]

.

A.

m = \frac{\sqrt{21}}{2}

,

M = 2 \sqrt{2}

.

B.

m = \frac{5}{2}

,

M = 3

.

C.

m = \frac{\sqrt{5}}{2}

,

M = \sqrt{3}

.

D.

m = \sqrt{3}

,

M = 2 \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn A
Từ giả thiết

f (x) . f^{'} (x) = \cos x . \sqrt{1 + f^{2} (x)}

\Rightarrow \int \frac{f (x) . f^{'} (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} d x = \sin x + C

Đặt

t = \sqrt{1 + f^{2} (x)} \Rightarrow t^{2} = 1 + f^{2} (x) \Rightarrow t d t = f (x) f^{'} (x) d x

.
Thay vào ta được

\int d t = \sin x + C \Rightarrow t = \sin x + C \Rightarrow \sqrt{1 + f^{2} (x)} = \sin x + C

.
Do

f (0) = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2

.
Vậy

\sqrt{1 + f^{2} (x)} = \sin x + 2 \Rightarrow f^{2} (x) = \sin^{2} x + 4 \sin x + 3

\Rightarrow f (x) = \sqrt{\sin^{2} x + 4 \sin x + 3}

, vì hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn

[0; \frac{π}{2}]

.
Ta có

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \sin x \leq 1

, xét hàm số

g (t) = t^{2} + 4 t + 3

có hoành độ đỉnh

t = - 2

loại.
Suy ra

\underset{[\frac{1}{2}; 1]}{m a x} g (t) = g (1) = 8

,

\min_{[\frac{1}{2}; 1]} g (t) = g (\frac{1}{2}) = \frac{21}{4}

.
Suy ra

\underset{[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]}{m a x} f (x) = f (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{2}

,

\min_{[\frac{π}{6}; \frac{π}{2}]} f (x) = g (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{21}}{2}

.