39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 14)

Câu 1:

A.

\int \sin x d x = \cos x + C

.

B.

\int e^{x} d x = e^{x} + C

.

C.

\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + C

.

D.

\int d x = x + C

.

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có

\int \sin x d x = \cos x + C

.

Câu 2:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

f (x) = \frac{2}{x}

.

A.

F (x) = - \frac{2}{x^{2}} + C

.

B.

F (x) = 2 \ln x + C

.

C.

F (x) = 2 \ln |x| + C

.

D.

F (x) = - 2 \ln x + C

.

Xem đáp án

Chọn C.
Ta có

F (x) = \int \frac{2}{x} d x = 2 \ln |x| + C

.

Câu 3:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = x + \sin x

.Tìm F(x) biết F(0).

A.

F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2}

.

B.

F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 2

.

C.

F (x) = \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 20

.

D.

F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 20

Xem đáp án

Chọn D.
Ta có

F (x) = \int (x + \sin x) d x = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + C

.
Mà:

F (0) = - \cos 0 + \frac{0^{2}}{2} + C = 19 \Rightarrow C = 20

\Rightarrow F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 20

Câu 4:

\int \frac{1}{x^{2} + 6 x + 9} d x

bằng

A.

- \frac{1}{x + 3} + C

.

B.

- \frac{1}{x - 3} + C

.

C.

\frac{1}{x - 3} + C

.

D.

\frac{1}{3 - x} + C

Xem đáp án

Chọn A.

\int \frac{1}{x^{2} + 6 x + 9} d x = \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x = \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x

Câu 5:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=cosxcos3x

A.

F (x) = \frac{\sin 4 x}{8} + \frac{\sin 2 x}{4} + C

.

B.

F (x) = 2 \sin 4 x + \sin 2 x + C

.

C.

F (x) = \sin x + \frac{\sin 3 x}{3} + C

.

D.

F (x) = - \frac{\sin 4 x}{8} - \frac{\sin 2 x}{4} + C

.

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có

F (x) = \int \cos x cos 3 x d x = \int \frac{1}{2} (\cos 4 x + cos2 x) d x = \frac{\sin 4 x}{8} + \frac{\sin 2 x}{4} + C

Câu 6:

Cho hàm số

f (x) = \frac{1}{2 x - 3}

. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Phương án nào sau đây sai?

A.

F (x) = \frac{\ln |2 x - 3|}{2} + 10

.

B.

F (x) = \frac{\ln |4 x - 6|}{4} + 10

.

C.

F (x) = \frac{\ln {(2 x - 3)}^{2}}{4} + 5

.

D.

F (x) = \frac{\ln |x - \frac{3}{2}|}{2} + 1

Xem đáp án

Chọn B.
Ta có

F (x) = \int \frac{1}{2 x - 3} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 3} d (2 x - 3) = \frac{1}{2} \ln |2 x - 3| + C

.
Nên

F (x) = \frac{\ln |4 x - 6|}{4} + 10 = \frac{\ln |2 x - 3|}{4} + 10 + \frac{\ln 2}{4}

sai.

Câu 7:

Cho

F (x) = \frac{1}{2 x^{2}}

là một nguyên hàm của hàm số

\frac{f (x)}{x}

. Tìm nguyên hàm của hàm số .

A.

\int_{}^{} f' (x) \ln x d x = - (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}}) + C

.

B.

\int_{}^{} f' (x) \ln x d x = \frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C

.

C.

\int_{}^{} f' (x) \ln x d x = - (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) + C

.

D.

\int_{}^{} f' (x) \ln x d x = \frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + C

.

Xem đáp án

Chọn A.

\frac{f (x)}{x} = {(\frac{1}{2 x^{2}})}^{'} = - \frac{4 x}{4 x^{4}} = - \frac{1}{x^{3}} \Leftrightarrow f (x) = - \frac{1}{x^{2}}

.
Ta có

\int f' (x) \ln x d x

Đặt

\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = f (x) \end{cases}

\int f' (x) \ln x d x = - \frac{1}{x^{2}} \ln x - \int \frac{f (x)}{x} d x = - \frac{\ln x}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C

.

Câu 8:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn

[a; b]

. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của trên đoạn

[a; b]

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

.

B.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (a) - F (b)

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) + C

.

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (a) - F (b) + C

.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 9:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn

[a; b]

. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x

.

B.

\int_{a}^{b} k . d x = k (b - a), \forall k \in ℝ, k \neq 0

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x, c \in [a; b]

.

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{b}^{a} f (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 10:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{b} 3^{x} d x,

với b là một số thực dương.

A.

I = 3^{b} - 1

.

B.

I = \frac{3^{b} - 1}{\ln 3}

.

C.

I = \frac{1 - 3^{b}}{\ln 3}

.

D.

I = 1 - 3^{b}

.

Xem đáp án

Chọn B.
Ta có

I = \int_{0}^{b} 3^{x} d x = {\frac{3^{x}}{\ln 3}|}_{0}^{b} = \frac{3^{b}}{\ln 3} - \frac{3^{0}}{\ln 3} = \frac{3^{b} - 1}{\ln 3}

.

Câu 11:

Cho

a < b < c, \int_{a}^{b} f (x) d x = 5, \int_{c}^{b} f (x) d x = 2.

Tính

\int_{a}^{c} f (x) d x

A.

\int_{a}^{c} f (x) d x = - 3

.

B.

\int_{a}^{c} f (x) d x = 3

.

C.

\int_{a}^{c} f (x) d x = 7

.

D.

\int_{a}^{c} f (x) d x = 0

Xem đáp án

Chọn B.
Với

a < b < c

, ta có

\int_{c}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{c} f (x) d x

nên

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{c}^{b} f (x) d x = 5 - 2 = 3

.

Câu 12:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{a} {(2 x + 3)}^{2} d x

, với a là một số thực dương.

A.

I = \frac{{(2 a + 3)}^{3} - 27}{3}

.

B.

I = \frac{27 - {(2 a + 3)}^{3}}{3}

.

C.

I = \frac{{(2 a + 3)}^{3} - 1}{6}

.

D.

I = \frac{{(2 a + 3)}^{3} - 27}{6}

.

Xem đáp án

Chọn D.

I = \int_{0}^{a} {(2 x + 3)}^{2} d x = \frac{1}{6} {{(2 x + 3)}^{3}|}_{0}^{a} = \frac{{(2 a + 3)}^{3} - 27}{6}

Câu 13:

Tính tích phân

I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x

.

A.

I = \frac{7 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}

.

B.

I = \frac{7 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}

.

C.

I = \frac{7 π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}

.

D.

I = \frac{7 π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}

.

Xem đáp án

Chọn B.
Đặt

\{\begin{cases} u = x \\ d v = \cos x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \sin x \end{cases}

\Rightarrow I = {(x \sin x)|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = {(x \sin x)|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + {(\cos x)|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = \frac{7 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}

.

Câu 14:

Cho

I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x = a

. Tính giá trị biểu thức

P = 2 a - 1

.

A.

P = 1 - \ln 2

.

B.

P = 2 - 2 \ln 2

.

C.

P = 1 - 2 \ln 2

.

D.

P = 2 - \ln 2

Xem đáp án

Chọn C.
Tacó:

I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{x + 1}) d x = {(x - \ln |x + 1|)|}_{0}^{1} = 1 - \ln 2 \Rightarrow a = 1 - \ln 2 \Rightarrow P = 2 a - 1 = 1 - 2 \ln 2

.

Câu 15:

Cho tích phân

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x (\sin x + 2 m) d x = 1 + π^{2}

. Tính giá trị của tham số m.

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 6

Xem đáp án

Chọn C.
Tính

A = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x

. Đặt

\{\begin{cases} u = x \\ d v = \sin x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = - \cos x \end{cases}

.
Suy ra

A = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x = (- x \cos x) |\begin{matrix} ^{\frac{π}{2}} \\ _{0} \end{matrix} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x = \sin x |\begin{matrix} ^{\frac{π}{2}} \\ _{0} \end{matrix} = 1

.
Do đó

I = A + 2 m \int_{0}^{\frac{π}{2}} x d x = 1 + m x^{2} |\begin{matrix} ^{\frac{π}{2}} \\ _{0} \end{matrix} = 1 + \frac{m π^{2}}{4}

.
Theo bài ra ta có

1 + \frac{m π^{2}}{4} = 1 + π^{2} \Leftrightarrow \frac{m π^{2}}{4} = π^{2} \Leftrightarrow m = 4

.

Câu 16:

Tính tích phân

I = \int_{1}^{e} \frac{1 + (x + 1) \ln x}{x + 1} d x

.

A.

I = 1 + \ln \frac{e + 1}{2}

.

B.

I = \ln \frac{e + 1}{2}

.

C.

I = \ln (e + 1) - 1

.

D.

I = 1 + \ln (2 e + 2) .

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có

I = \int_{1}^{e} \frac{1 + (x + 1) \ln x}{x + 1} d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{1}^{e} \ln x d x = (1) + (2)

{(1) = \ln |x + 1||}_{1}^{e} = \ln \frac{e + 1}{2}

(2) = {x \ln x|}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x = e - (e - 1) = 1

Vậy

I = 1 + \ln \frac{e + 1}{2}

.

Câu 17:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn

[a; b]

. Diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng

x = a, x = b (a < b)

được tính theo công thức nào dưới đây?

A.

S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x

.

B.

S = |\int_{a}^{b} f (x) d x|

.

C.

S = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

.

D.

S = \int_{a}^{b} f (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 18:

Thể tích của khối tròn xoay do hình (H) giới hạn bởi các đường

y = \sqrt{x} + 3

;

y = 0; x = 0

và

x = 1

quay quanh trục hoành là:

A.

V = π \int_{0}^{1} {(\sqrt{x} + 3)}^{2} d x

.

B.

V = π \int_{0}^{1} (\sqrt{x} + 3) d x

.

C.

V = \int_{0}^{1} {(\sqrt{x} + 3)}^{2} d x

.

D.

V = \int_{0}^{1} |\sqrt{x} + 3| d x

.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 19:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y = x^{3} - 6 x

và

y = x^{2}

được tính theo công thức nào dưới đây?

A.

S = |\int_{- 2}^{0} (x^{3} - 6 x - x^{2}) d x| - |\int_{0}^{3} (x^{3} - 6 x - x^{2}) d x|

.

B.

S = \int_{- 2}^{3} (x^{3} - 6 x - x^{2}) d x

.

C.

S = \int_{- 2}^{3} |x^{2} - x^{3} + 6 x| d x

.

D.

S = \int_{- 2}^{0} (x^{3} - 6 x - x^{2}) d x

.

Xem đáp án

Chọn C.
Xét phương trình

x^{3} - 6 x = x^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \\ x = 3 \end{array}

. Do đó

S = \int_{- 2}^{3} |x^{2} - x^{3} + 6 x| d x

.

Câu 20:

Cho đồ thị hàm số f(x). Diện tích hình phẳng (phần bị gạch trong hình vẽ bên) là:

A.

S = \int_{- 3}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{4} (- f (x)) d x

.

B.

S = \int_{- 3}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x

.

C.

S = \int_{0}^{- 3} f (x) d x + \int_{0}^{4} f (x) d x

.

D.

S = \int_{- 3}^{4} f (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 21:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx, trục hoành và các đường thẳng

x = 1; x = e

. Tính thể tích V khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục

A.

V = \frac{(5 e^{3} - 2) π}{27}

.

B.

V = \frac{5 e^{3} - 2}{27}

.

C.

V = \frac{(5 e^{3} + 2) π}{27}

.

D.

V = \frac{(5 e^{3} - 2) π^{2}}{27}

.

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có $V = π \int_{1}^{e} {(x \ln x)}^{2} . d x = π \int_{1}^{e} x^{2} \ln^{2} x . d x$ .
Đặt $\{\begin{cases} u = \ln^{2} x \\ d v = x^{2} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2. \frac{1}{x} . \ln x . d x \\ v = \frac{x^{3}}{3} \end{cases}$
Khi đó $V = π [\frac{x^{3}}{3} . \ln^{2} x |_{\begin{array}{l} 1 \end{array}}^{\begin{array}{l} e \end{array}} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \frac{2}{x} . \ln x . d x] = π [\frac{e^{3}}{3} - \frac{2}{3} \int_{1}^{e} x^{2} .ln x . d x]$
Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x^{2} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} . d x \\ v = \frac{x^{3}}{3} \end{cases}$
$\int_{1}^{e} x^{2} .ln x . d x = \frac{x^{3}}{3} . \ln x |_{\begin{array}{l} 1 \end{array}}^{\begin{array}{l} e \end{array}} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} . \frac{1}{x} . d x = \frac{e^{3}}{3} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} .d x = \frac{e^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} |_{\begin{array}{l} 1 \end{array}}^{\begin{array}{l} e \end{array}} = \frac{e^{3}}{3} - \frac{e^{3}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{{2e}^{3} + 1}{9}$ .

Vậy $V = π [\frac{e^{3}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{3} + 1}{9})] = \frac{π (5 e^{3} - 2)}{27}$ .

Câu 22:

Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = \sqrt{\frac{\sin x}{{cos}^{3} x} + 1}

, trục hoành và các đường thẳng

x = \frac{π}{4}, x = \frac{π}{3} .

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox

A.

V = 1 + \frac{π^{2}}{12}

.

B.

V = \frac{π (\sqrt{3} + π)}{12}

.

C.

V = π (1 + \frac{π}{12})

.

D.

V = \frac{π (π + \sqrt{3})}{4} .

Xem đáp án

Chọn C.
Ta có

V = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} {(\sqrt{\frac{\sin x}{{cos}^{3} x} + 1})}^{2} . d x = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (\frac{\sin x}{{cos}^{3} x} + 1) . d x = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan x}{\cos^{2} x} . d x + π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1. d x

= π (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan x . d (\tan x) + x |_{\begin{array}{l} \frac{π}{4} \end{array}}^{\begin{array}{l} \frac{π}{3} \end{array}}) = π (\frac{\tan^{2} x}{2} |_{\begin{array}{l} \frac{π}{4} \end{array}}^{\begin{array}{l} \frac{π}{3} \end{array}} + x |_{\begin{array}{l} \frac{π}{4} \end{array}}^{\begin{array}{l} \frac{π}{3} \end{array}}) = π (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} + \frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = π (1 + \frac{π}{12})

.

Câu 23:

Một chiếc thùng đựng rượu vang như hình vẽ ở bên được ghép bởi các thanh gỗ uốn cong có dạng là một parabol và được buộc chắc bằng các đai thép hình tròn. Biết đáy của thùng rượu là một đường tròn có bán kính đáy bằng 30 cm, chiều cao của thùng rượu là 1 m, chiếc đai thép hình tròn đặt chính giữa thùng rượu có bán kính 40 cm. Hỏi thùng rượu chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu.

A.

\approx 215, 16

lít.

B.

\approx 320, 15

lít.

C.

\approx 425, 16

lít.

D.

\approx 540, 16

lít.

Xem đáp án

Chọn C.

Cắt thùng rượu bởi một mặt phẳng qua trục của thùng ta được thiết diện như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta gọi phương trình parabol chứa một thanh gỗ uốn cong là

(P) : y = a . x^{2} + b . x + c

Theo hình vẽ ta thấy (P) đi qua các điểm

(0; \frac{2}{5})

,

(\frac{1}{2}; \frac{3}{10})

và có đỉnh là

(0; \frac{2}{5})

nên

(P) : y = - \frac{2}{5} x^{2} + \frac{2}{5}

.
Ta có thể tích thùng rượu là

V = π \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {(- \frac{2}{5} x^{2} + \frac{2}{5})}^{2} d x = \frac{4}{25} π \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 1)}^{2} d x = \frac{4}{25} π \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^{4} - 2 x^{2} + 1) d x

= \frac{4}{25} π (\frac{x^{5}}{5} - \frac{2 x^{3}}{3} + x) |_{\begin{array}{l} - \frac{1}{2} \end{array}}^{\begin{array}{l} \frac{1}{2} \end{array}} = \frac{203 π}{1500} \approx 0, 42516

lít.

Câu 24:

Trong không gian với hệ tọa độ

(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})

, cho hai vectơ

\vec{a} = (1; 2; 3)

và

\vec{b} = 2 \vec{i} - 4 \vec{k}

. Tính tọa độ vectơ

\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}

A.

\vec{u} = (- 1; 2; 7)

.

B.

\vec{u} = (- 1; 6; 3)

.

C.

\vec{u} = (- 1; 2; - 1)

.

D.

\vec{u} = (- 1; - 2; 3)

.

Xem đáp án

Chọn A

\vec{u} = \vec{a} - \vec{b} = (1 \vec{i} + 2 \vec{j} + 3 \vec{k}) - (2 \vec{i} - 4 \vec{k}) = - 1 \vec{i} + 2 \vec{j} + \vec{7 k} \Rightarrow \vec{u} = (- 1; 2; 7)

.

Câu 25:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(2;0;0), N(0;-3;0), P(0;0;4). Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:

A.

(3; 4; 2)

.

B.

(2; 3; 4)

.

C.

(- 2; - 3; 4)

.

D.

(- 2; - 3; - 4)

Xem đáp án

Chọn B.
Gọi điểm

Q (x; y; x) \Rightarrow \vec{Q P} = (- x; - y; 4 - z)

ta có MNPQ là hình bình hành

\Leftrightarrow \vec{M N} = \vec{Q P}

Mặt khác

\vec{M N} = (- 2; - 3; 0) \Rightarrow \vec{M N} = \vec{Q P} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - x = - 2 \\ - y = - 3 \\ z - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 4 \end{cases} \Rightarrow Q (2; 3; 4)

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;1;-2) và N(4;-5;1). Tìm độ dài đoạn thẳng .

A. 49.

B. 7.

C.

\sqrt{7}

.

D.

\sqrt{41}

.

Xem đáp án

Chọn B.
Ta có:

\vec{M N} = (2; - 6; 3)

nên

M N = \sqrt{2^{2} + {(- 6)}^{2} + 3^{2}} = 7

.

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;5), B(5;-5;7) và M(x;y;1). Với giá trị nào của x và y thì 3 điểmA, B, M thẳng hàng?

A.

x = 4 v à y = 7

.

B.

x = 4 v à y = - 7

.

C.

x = - 4 v à y = 7

.

D.

x = - 4 v à y = - 7

.

Xem đáp án

Chọn C.

\vec{A B} = k \vec{A M} \Rightarrow x = - 4; y = 7

.

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz thể tích khối tứ diện ABCD được cho bởi công thức nào sau đây?

A.

V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{D A}, \vec{D B}] . \vec{D C}|

.

B.

V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{B C}|

.

C.

V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{B A}, \vec{B C}] . \vec{A C}|

.

D.

V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{C A}, \vec{C B}] . \vec{A B}|

.

Xem đáp án

Chọn D.
Thể tích tứ diện bằng

\frac{1}{6}

độ lớn tích hỗn tạp ba véctơ xuất phát từ một đỉnh.

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ

\vec{a} = (3; - 2; m)

,

\vec{b} = (2; m; - 1)

. Tìm giá trị của m để hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

vuông góc với nhau.

A.

m = 2

.

B.

m = 1

.

C.

m = - 1

.

D.

m = - 2

.

Xem đáp án

Chọn A.
Hai vectơ

\vec{b}

và

\vec{a}

vuông góc với nhau khi và chỉ khi .

Câu 30:

Cho

\vec{a} = (- 2; 0; 1), \vec{b} = (1; 3; - 2)

. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng:

A.

[\vec{a}, \vec{b}] = (- 1; - 1; 2)

.

B.

[\vec{a}, \vec{b}] = (3; 3; - 6)

.

C.

[\vec{a}, \vec{b}] = (1; 1; - 2)

.

D.

[\vec{a}, \vec{b}] = (- 3; - 3; - 6)

.

Xem đáp án

Chọn D.
Với các vectơ

\vec{a} = (- 2; 0; 1), \vec{b} = (1; 3; - 2)

.

[\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 3 & - 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix}|) = (- 3; - 3; - 6)

.
Vậy

[\vec{a}, \vec{b}] = (- 3; - 3; - 6)

.
Sử dụng MTCT: bấm Mode 8

Câu 31:

Cho bốn điểm O(0;0;0), A(0;1;-2), B(1;2;1), C(4;3;M). Tìm để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng.

A. m = -14.

B. m = -7.

C. m = 14.

D. m = 7.

Xem đáp án

Chọn C.
Để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng

\Leftrightarrow [\vec{O A}, \vec{O B}] . \vec{O C} = 0

.
Ta có.

\begin{array}{l} \vec{O A} = (0; 1; - 2) \\ \vec{O B} = (1; 2; 1) \end{array}

suy ra

[\vec{O A}, \vec{O B}] = (5; - 2 - 1)

.
Mà

\vec{O C} = (4; 3; m)

. Khi đó

[\vec{O A}, \vec{O B}] . \vec{O C} = 0 \Leftrightarrow 20 - 6 - m = 0 \Leftrightarrow m = 14

.

Câu 32:

Cho mặt cầu có phương trình

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y = 0

. Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu là:

A. Tâm

I (1; - 2; 0)

, bán kính

R = \sqrt{5}

.

B. Tâm

I (1; - 2; 0)

, bán kính

R = 5

.

C. Tâm

I (- 1; 2; 0)

, bán kính

R = \sqrt{5}

.

D. Tâm

I (- 1; 2; 0)

, bán kính

R = 5

.

Xem đáp án

Chọn A.
Phương pháp: PT mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0

có tâm I(a;b;c) và bán kính

R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

Theo đề bài ta có:

I (1; - 2; 0)

, bán kính

R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2} - 0} = \sqrt{5}

.

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;2;-3). Viết phương trình mặt cầu có tâm là và bán kính R = 2.

A.

{(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4

.

B.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4

.

C.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0

.

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z + 5 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B.
Mặt cầu có phương trình.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4

.

Câu 34:

Trong không gian Oxyz cho phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (m + 2) x + 4 m y - 2 m z + 5 m^{2} + 9 = 0

. Tìm m để phương trình đó là phương trình mặt cầu.

A.

- 5 < m < 1

.

B.

m < - 5

hoặc

m > 1

.

C.

m \leq - 5

hoặc

m \geq 1

.

D. m > 1.

Xem đáp án

Chọn B.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 (m + 2) x + 4 m y - 2 m z + 5 m^{2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {[x - (m + 2)]}^{2} + {(y + 2 m)}^{2} + {(z - m)}^{2} = m^{2} + 4 m - 5

Để phương trình đó là phương trình mặt cầu thì

m^{2} + 4 m - 5 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 5 \end{array}

.

Câu 35:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2 x + 2 y + z - m^{2} - 3 m = 0

và mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).

A.

m = - 2; m = 5

.

B.

m = 2; m = - 5

.

C.

m = 4; m = - 7

.

D.

m = - 4; m = 7

.

Xem đáp án

Chọn B.

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9

có tâm và bán kính lần lượt là

I (1; - 1; 1), R = 3

.
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi

d (I; (P)) = R

.

\Leftrightarrow \frac{|2.1 + 2. (- 1) + 1 - m^{2} - 3 m|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{1}}} = 3 \Leftrightarrow |- m^{2} - 3 m + 1| = 9 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m^{2} + 3 m - 1 = 9 \\ m^{2} + 3 m - 1 = - 9 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \end{matrix}

.

Câu 36:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.

Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A.

\vec{n} = (6; 3; 2)

.

B.

\vec{n} = (2; 3; 6)

.

C.

\vec{n} = (1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3})

.

D.

\vec{n} = (3; 2; 1)

Xem đáp án

Chọn B.
Mặt phẳng (P) có một VTPT là

\vec{n_{1}} = (\frac{1}{3}; \frac{1}{2}; 1) = \frac{1}{6} (2; 3; 6) = \frac{1}{6} \vec{n} \Rightarrow \vec{n}

cũng là một VTPT của (P).

Câu 37:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

(α) : 2 x - 3 y - z - 1 = 0

. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng

(α)

.

A.

Q (1; 2; - 5)

.

B.

N (4; 2; 1)

.

C.

M (- 2; 1; - 8)

.

D.

P (3; 1; 3)

.

Xem đáp án

Chọn D.
Thay lần lượt toạ độ của các điểm P, Q, M, N. Chỉ có toạ độ điểm P không thoả nên

P \in (α)

.

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;0) và đường thẳng

d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

. Tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d.

A.

x + 2 y - z + 4 = 0

.

B.

2 x + y - z - 4 = 0

.

C.

2 x + y + z - 4 = 0

.

D.

2 x - y - z + 4 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B.
Vtcp của d là

\vec{u} (2; 1; - 1)

. Mặt phẳng (P) đi qua A nhận

\vec{u}

làm vtpt

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;4), B(-2;2;-6), C(6;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

A.

- 5 x - 60 y - 16 z - 16 = 0

.

B.

5 x - 60 y - 16 z - 6 = 0

.

C.

5 x + 60 y + 16 z - 14 = 0

.

D.

5 x + 60 y + 16 z + 14 = 0

.

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

\vec{A B} = (- 4; 3; - 10); \vec{A C} = (4; 1; - 5)

.
Do đó

[\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 5; - 60; - 16)

.
Vậy phương trình (ABC) là:

- 5 (x - 6) - 60 (y - 0) - 16 (z + 1) = 0

hay

5 x + 60 y + 16 z - 14 = 0