39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 7)

Câu 1:

A.

\int k f (x) d x = k \int f (x) d x

với k là hằng số khác 0.

B.

\int f (x) . g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x

.

C.

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

.

D.

\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn B

Mệnh đề

\int f (x) . g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x

là mệnh đề sai.

Câu 2:

Hàm số F(x) nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2021 x^{2020}

?

A.

F (x) = x^{2021}

.

B.

F (x) = x^{2020}

.

C.

F (x) = 2020 x^{2021}

.

D.

F (x) = 2020 x^{2021}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

{(x^{2021})}^{'} = 2021. x^{2020} = f (x) \Rightarrow F (x) = x^{2021}

.

Câu 3:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sin 8 x

.

A.

\int \sin 8 x . d x = 8 \cos 8 x + C

.

B.

\int \sin 8 x . d x = - \frac{1}{8} \cos 8 x + C

.

C.

\int \sin 8 x . d x = \frac{1}{8} \cos 8 x + C

.

D.

\int \sin 8 x . d x = \cos 8 x + C

.

Xem đáp án

Chọn B

Theo công thức nguyên hàm mở rộng:

\int \sin (a x + b) . d x = \frac{- 1}{a} \cos (a x + b) + C

, ta có:

\int \sin 8 x . d x = \frac{- \cos 8 x}{8} + C

.

Câu 4:

Tính

\int (x^{3} - 3 x + \frac{1}{x}) d x

kết quả là

A.

\frac{x^{4}}{4} - \frac{2}{3} x^{2} + \ln |x| + C

.

B.

\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3} x^{2} + \ln |x|

.

C.

\frac{x^{4}}{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln |x| + C

.

D.

\frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3} x^{2} + \ln |x|

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có :

\int (x^{3} - 3 x + \frac{1}{x}) d x

=

\frac{x^{4}}{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln |x| + C

.

Câu 5:

Biết

\int \frac{1}{16 x^{2} - 24 x + 9} d x = - \frac{1}{a (4 x - 3)} + C

, với a là số nguyên khác 0. Tìm a.

A. 12.

B. 8.

C. 6.

D. 4.

Xem đáp án

Ta có:

\int \frac{1}{16 x^{2} - 24 x + 9} d x = \int \frac{1}{{(4 x - 3)}^{2}} d x = - \frac{1}{4 (4 x - 3)} + C

.
Vậy a = 4.

Chọn D

Câu 6:

Một nguyên hàm F(x) của hàm số

f (x) = \cos 5 x . \cos 3 x

là

A.

F (x) = \frac{1}{2} (\frac{\sin 8 x}{8} + \frac{\sin 2 x}{2})

.

B.

F (x) = \sin 8 x

.

C.

F (x) = \cos 8 x

.

D.

F (x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \sin 6 x + \frac{1}{4} \sin 4 x)

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

\int \cos 5 x . \cos 3 x . d x

=

\int \frac{1}{2} (\cos 8 x + \cos 2 x) d x

=

\frac{1}{2} (\frac{\sin 8 x}{8} + \frac{\sin 2 x}{2}) + C

.
Vậy

F (x) = \frac{1}{2} (\frac{\sin 8 x}{8} + \frac{\sin 2 x}{2}) .

Câu 7:

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số thực bất kì thuộc Khẳng định nào sau đây sai?

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (t) d t

.

B.

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) d x \neq \int_{a}^{b} f (t) dt

.

D.

\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x

.

Xem đáp án

Chọn C

Do tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b, c không phụ thuộc vào biến số x hay t nên

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t .

Câu 8:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y = 2 x^{3}

, trục hoành và hai đường thẳng

x = - 1; x = 1

là

A.

S = - \frac{1}{2}

.

B.

S = 0

.

C.

S = \frac{1}{2}

.

D.

S = 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

2 x^{3} \leq 0

trên đoạn

[- 1; 0]

và

2 x^{3} \geq 0

trên đoạn

[0; 1]

.
Áp dụng công thức

S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x

ta có:
.

Câu 9:

Biết

F (x) = x^{3}

là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Giá trị của

\int_{1}^{2} [1 + f (x)] d x

bằng

A.

\frac{18}{3}

.

B. 12.

C.

\frac{10}{3}

.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\int_{1}^{2} [1 + f (x)] d x = (x + x^{3}) |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} = 10 - 2 = 8

Câu 10:

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = 3^{x}

,

y = 0

,

x = 0

,

x = 1

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

S = π \int_{0}^{1} 3^{x} d x

.

B.

S = \int_{0}^{1} 3^{3 x} d x

.

C.

S = π \int_{0}^{1} 3^{3 x} d x

.

D.

S = \int_{0}^{1} 3^{x} d x

.

Xem đáp án

Chọn D

$S = \int_{0}^{1} |3^{x}| d x = \int_{0}^{1} 3^{x} d x$

(do

3^{x} > 0, \forall x \in [0; 1]

).

Câu 11:

Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB) trong hình vẽ bên.

A. $\frac{67 π}{3}$ .

B.

\frac{67}{3}

.

C.

\frac{14 π}{3}

.

D.

\frac{14}{3}

.

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào đồ thị, diện tích hình phẳng cần tìm là

S = \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{1}^{3} (x^{2} - 6 x + 9) d x = 2 (x^{2}) \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}| + \frac{{(x - 3)}^{3}}{3} \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}| = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}

.
Vậy

S = \frac{14}{3}

.

Câu 12:

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng

x = 2

và

x = 3

, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (

2 \leq x \leq 3

) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và

\sqrt{x^{2} - 3}

.

A.

V = (\frac{6 \sqrt{6} - 1}{3}) π

.

B.

V = (\frac{6 \sqrt{6} - 1}{2}) π

.

C.

V = \frac{6 \sqrt{6} - 1}{2}

.

D.

V = \frac{6 \sqrt{6} - 1}{3}

.

Xem đáp án

Chọn D

Diện tích thiết diện là:

S (x) = x . \sqrt{x^{2} - 3}

.
Thể tích vật thể là:

V = \int_{2}^{3} x . \sqrt{x^{2} - 3} d x

.
Đặt

t = \sqrt{x^{2} - 3} \Rightarrow t^{2} = x^{2} - 3 \Rightarrow t d t = x d x

và

x = 2 \Rightarrow t = 1; x = 3 \Rightarrow t = \sqrt{6}

.

\Rightarrow V = \int_{1}^{\sqrt{6}} t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} |\begin{array}{l} \sqrt{6} \\ 1 \end{array} = \frac{6 \sqrt{6} - 1}{3}

.

Câu 13:

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = e^{3 x}, y = 0, x = 1

và x = 2. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng

A.

\int_{1}^{2} e^{3 x} d x

.

B.

π \int_{1}^{2} e^{3 x} d x

.

C.

\int_{1}^{2} e^{6 x} d x

.

D.

π \int_{1}^{2} e^{6 x} d x

.

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là

V = π \int_{1}^{2} {(e^{3 x})}^{2} d x = π \int_{1}^{2} e^{6 x} d x .

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (3; 1; - 2)

và

B (2; 4; 1)

. Vectơ

\vec{A B}

có tọa độ là

A.

(- 1; 3; - 3)

.

B.

(1; - 3; - 3)

.

C.

(1; - 3; 3)

.

D.

(- 1; 3; 3)

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\vec{A B} = (- 1; 3; 3)

.

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho

M (1; - \frac{1}{2}; - 3)

,

N (0; - \frac{1}{2}; 1)

. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A.

\sqrt{13}

.

B.

\frac{\sqrt{17}}{4}

.

C. 4.

D.

\sqrt{17}

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\vec{M N} = (- 1; 0; 4) \Rightarrow M N = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = \sqrt{17}

.

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho

A (1; - 2; 3)

,

B (2; - 4; 1)

,

C (2, 0, 2)

, khi đó

\vec{A B} . \vec{A C}

bằng

A. -1.

B. -5.

C. 7.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

\vec{A B} = (1; - 2; - 2)

,

\vec{A C} = (1; 2; - 1) \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 1.1 + (- 2) .2 + (- 2) . (- 1) = - 1

.

Câu 17:

Trong không gian , cho 3 điểm , ; . Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

A.

\vec{n} (12; 4; 8)

.

B.

\vec{n} (8; 12; 4)

.

C.

\vec{n} (3; 1; 2)

.

D.

\vec{n} (3; 2; 1)

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\vec{M N} = (- 1; - 1; 5)

;

\vec{M P} = (0; - 4; 8) \Rightarrow [\vec{M N}, \vec{M P}] = (12; 8; 4) \Rightarrow \vec{n} = (3; 2; 1)

.

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho

A (2; - 2; - 3)

,

B (0; 2; 1)

. Phương trình mặt trung trực của đoạn thẳng là

A.

- x + 2 y + 2 z + 6 = 0

.

B.

- x + 2 y + 2 z + 3 = 0

.

C.

- 2 x + 4 y + 4 z - 6 = 0

.

D.

2 x - 4 y - 4 z + 3 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B

Gọi M là trung điểm

A B \Rightarrow M (1; 0; - 1)

;

\vec{A B} = (- 2; 4; 4)

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó (P) đi qua M và nhận

\vec{A B} = (- 2; 4; 4)

làm VTPT

\Rightarrow (P) : - 2 (x - 1) + 4 (y - 0) + 4 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow - 2 x + 4 y + 4 z + 6 = 0 - x + 2 y + 2 z + 3 = 0

.

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

d : \{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = - 7 t \\ z = 2 \end{cases}

,

t \in ℝ

. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

A.

\vec{u} (2; - 7; 0)

.

B.

\vec{u} (- 1; 0; 2)

.

C.

\vec{u} (- 1; - 7; 2)

.

D.

\vec{u} (1; - 7; 2)

.

Xem đáp án

Chọn A

Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

\vec{u} (2; - 7; 0)

.

Câu 20:

Trong không gian , cho , . Phương trình đường thẳng là

A.

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + 4 t \\ z = - 2 + 3 t \end{cases}

,

t \in ℝ

.

B.

\{\begin{cases} x = 1 t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = 1 - 2 t \end{cases}

,

t \in ℝ

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 2 + 5 t \end{cases}

,

t \in ℝ

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 - 2 t \\ z = - 2 + 7 t \end{cases}

,

t \in ℝ

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\vec{A B} = (0; - 2; 7)

Đường thẳng AB đi qua

A (1; 3; - 2)

và nhận

\vec{A B} = (0; - 2; 7)

làm vecto chỉ phương có phương trình là:

\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 - 2 t \\ z = - 2 + 7 t \end{cases}

,

t \in ℝ

Câu 21:

Xét tích phân

I = \int_{\frac{- π}{4}}^{0} \frac{\sin 2 x}{cos x - 1} d x

. Thực hiện phép biến đổi

t = cos x

, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây?

A.

\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{2 t}{1 - t} d t

.

B.

\int_{\frac{- π}{4}}^{0} \frac{2 t}{t - 1} d t

.

C.

\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{2 t}{t - 1} d t

.

D.

- \int_{\frac{- π}{4}}^{0} \frac{2 t}{t - 1} d t

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

t = cos x \Rightarrow d t = - \sin x d x

.
Khi

x = \frac{- π}{4}

thì

t = \frac{\sqrt{2}}{2}

; khi x = 0 thì t = 1.
Vậy

I = \int_{\frac{- π}{4}}^{0} \frac{\sin 2 x}{cos x - 1} d x = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{2 \sin x cos x}{cos x - 1} d x = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{2 t}{t - 1} (- d t) = \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{2 t}{1 - t} d t

.

Câu 22:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = x e^{x}

thoả mãn

F (0) = 3

. Tính

F (1)

.

A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng quy tắc nguyên hàm từng phần:

F (x) = \int x e^{x} d x = \int x {de}^{x} = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C

.
Do

F (0) = 3

nên

C = 4

. Suy ra

F (x) = x e^{x} - e^{x} + 4

. Tính được

F (1) = 4

.

Câu 23:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}

trên R là

A.

\frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + C

.

B.

\frac{1}{4 {(x^{2} + 1)}^{4}} + C

.

C.

- \frac{4}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + C

.

D.

- \frac{1}{4 {(x^{2} + 1)}^{4}} + C

Xem đáp án

Ta có:

\int f (x) d x = \int \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}} d x = \int \frac{d (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}} = - \frac{1}{4 {(x^{2} + 1)}^{4}} + C

.

Chọn D

Câu 24:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = (x + 3) e^{x}

thoả mãn

F (0) = 9

. Tìm

F (x)

.

A.

F (x) = e^{x} (x - 4) + 13

.

B.

F (x) = e^{x} (x + 4) + 5

.

C.

F (x) = e^{x} (x - 2) + 11

.

D.

F (x) = e^{x} (x + 2) + 7

.

Xem đáp án

Chọn D

Áp dụng nguyên tắc nguyên hàm từng phần:

F (x) = \int (x + 3) e^{x} d x = e^{x} (x + 3) - \int e^{x} d x = e^{x} (x + 3) - e^{x} + C = e^{x} (x + 2) + C

.
Do

F (0) = 9

nên C = 7. Suy ra

F (x) = e^{x} (x + 2) + 7

.

Câu 25:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = \log_{2} x

trên khoảng

(0; + \infty)

thoả mãn

F (1) = 0

. Tính F(2).

A.

2 - \frac{2}{\ln 2}

.

B.

2 - \frac{3}{\ln 2}

.

C.

2 - \frac{1}{\ln 2}

.

D.

2 + \frac{2}{\ln 2}

.

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng nguyên tắc nguyên hàm từng phần:

F (x) = \int \log_{2} x d x = x \log_{2} x - \int x d \log_{2} x = x \log_{2} x - \frac{1}{\ln 2} \int d x = x \log_{2} x - \frac{x}{\ln 2} + C

.
Do

F (1) = 0

nên

C = \frac{1}{\ln 2}

. Suy ra

F (x) = x \log_{2} x - \frac{x}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2}

. Tính được

F (2) = 2 - \frac{1}{\ln 2}

.

Câu 26:

Biết

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (24 x + 12 \cos x) d x = a + b \sqrt{3} + c π^{2}

với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của

S = a + b + c

.

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn B
$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} (24 x + 12 \cos x) d x = 12 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 x d x + 12 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cos x d x = 12 (x^{2}) |\begin{array}{l} \frac{π}{3} \\ \frac{π}{6} \end{array} + 12 (\sin x) |\begin{array}{l} \frac{π}{3} \\ \frac{π}{6} \end{array} = - 6 + 6 \sqrt{3} + π^{2}$

Do đó, ta có

a = - 6, b = 6, c = 1

, suy ra S = 1.

Câu 27:

Biết

I = \int_{1}^{3} \frac{x - 1}{x} d x = a - \ln b

. Tính a+b.

A. -1.

B. 5.

C. 6.

D. -5.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

I = \int_{1}^{3} \frac{x - 1}{x} d x = \int_{1}^{3} (1 - \frac{1}{x}) d x = {(x - \ln |x|)|}_{1}^{3} = 2 - \ln 3

Suy ra

a = 2; b = 3 \Rightarrow a + b = 5

.

Câu 28:

Tích phân

I = \int_{- 1}^{3} |2 x - 1| d x

bằng tích phân nào sau đây?

A.

I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1) d x + \int_{\frac{1}{2}}^{3} (1 - 2 x) d x

.

B.

I = \int_{- 1}^{3} (2 x - 1) d x

.

C.

I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} (1 - 2 x) d x + \int_{\frac{1}{2}}^{3} (2 x - 1) d x

.

D.

I = \int_{- 1}^{3} (1 - 2 x) d x

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

|2 x - 1| = \{\begin{cases} 2 x - 1 k h i x \geq \frac{1}{2} \\ 1 - 2 x k h i x < \frac{1}{2} \end{cases}

.
Do đó

I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} (1 - 2 x) d x + \int_{\frac{1}{2}}^{3} (2 x - 1) d x

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác biết

A (1; - 2; - 1), B (0; 1; 4), C (2; 0; 3)

. Tính diện tích tam giác ABC.

A.

\frac{\sqrt{110}}{2}

.

B.

\sqrt{110}

.

C.

\frac{\sqrt{55}}{2}

.

D.

\sqrt{55}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

\vec{A B} = (- 1; 3; 5), \vec{B C} = (2; - 1; - 1) \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{B C}] = (2; 9; - 5)

\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 81 + 25} = \frac{\sqrt{110}}{2}

.

Câu 30:

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 m x + 4 y - 6 z - 3 m + 17 = 0

là phương trình của mặt cầu.

A.

m \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)

.

B.

m \in (- 4; 1)

.

C.

m \in (- 1; 4)

.

D.

m \in (- \infty; - 1) \cup (4; + \infty)

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

a = m; b = - 2; c = 3; d = - 3 m + 17

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu

\Leftrightarrow m^{2} + 4 + 9 + 3 m - 17 > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 m - 4 > 0 \Leftrightarrow m \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)

Câu 31:

Tìm phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(0;1;-2) và mặt cầu này đi qua điểm

E (2; 1; - 4)

.

A.

x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4

.

B.

x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 8

.

C.

x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4

.

D.

x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 8

.

Xem đáp án

Chọn D

Từ giả thiết suy ra mặt cầu (S) có tâm

I (0; 1; - 2)

và bán kính

R = I E = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8}

\Rightarrow

phương trình mặt cầu (S):

x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 8

.

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y + z - 1 = 0$ và $(Q) : x + 3 y + z - 5 = 0$ . Mặt phẳng đi qua $A (- 1; 1; 2)$ đồng thời vuông góc với cả (P) và (Q) có phương trình là

A.

x - y - 4 z + 10 = 0

.

B.

x + y + 4 z - 8 = 0

.

C.

x - y + 4 z - 6 = 0

.

D.

x + y - 4 z + 8 = 0

.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi mặt phẳng cần tìm là

(α)

.
Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (Q) lần lượt là:

\vec{n_{1}} = (2; 2; 1), \vec{n_{2}} = (1; 3; 1)

.
Mặt phẳng

(α)

đồng thời vuông góc với cả và , suy ra

(α)

có một VTPT là

\vec{n} = [\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}] = (- 1; - 1; 4)

Mặt phẳng

(α)

đi qua điểm

A (- 1; 1; 2)

suy ra phương trình tổng quát của mp

(α)

là:

- 1 (x + 1) - 1. (y - 1) + 4 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y + 4 z - 8 = 0 \Leftrightarrow x + y - 4 z + 8 = 0

.

Câu 33:

Trong không gian với hệ trục Oxyz mặt phẳng đi qua điểm

A (1; 3; - 2)

và vuông góc với đường thẳng

(d) : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{3}

có phương trình là

A.

2 x + y + 3 z + 7 = 0

.

B.

2 x + y - 3 z + 7 = 0

.

C.

2 x - y + 3 z + 7 = 0

.

D.

2 x - y + 3 z - 7 = 0

.

Xem đáp án

Chọn C

Gọi

(α)

là mặt phẳng cần tìm. Vì

(α) ⊥ (d) \Rightarrow {\vec{n}}_{(α)} = {\vec{u}}_{(d)} = (2; - 1; 3)

Ta có:

(α)

đi qua

A (1; 3; - 2)

và có véctơ pháp tuyến là

{\vec{n}}_{(α)} = (2; - 1; 3)

.
Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng

(α)

là:

2 (x - 1) - 1 (y - 3) + 3 (z + 2) = 0

hay

2 x - y + 3 z + 7 = 0

.

Câu 34:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y - z + 2 = 0

và đường thẳng

d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 3}{- 2}

. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua

Δ

,

A (0; - 1; 4)

vuông góc d với và nằm trong (P) là:

A.

Δ : \{\begin{cases} x = 5 t \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + 5 t \end{cases}

.

B.

Δ : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 - 2 t \end{cases}

.

C.

Δ : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \end{cases}

.

D.

Δ : \{\begin{cases} x = - t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 4 + t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta thấy:

A \in (P)

. Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến

\vec{n} = (1; - 2; - 1)

, đường thẳng d có véctơ chỉ phương

\vec{u_{d}} = (2; 1; - 2)

Vì đường thẳng

Δ

đi qua

A (0; - 1; 4)

, vuông góc với d và nằm trong (P) nên đường thẳng

Δ

có véctơ chỉ phương là

\vec{u} = [\vec{n}, {\vec{u}}_{d}] = (5; 0; 5)

hay

\vec{u_{Δ}} = (1; 0; 1)

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng

Δ : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \end{cases}

.

Câu 35:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = - 1 - t \end{cases}

và mặt phẳng

(P) : 2 x + y - 2 z = 0

. Đường thẳng

Δ

nằm trong

(P)

, cắt d và vuông góc với d có phương trình là

A.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 \\ z = - t \end{cases}

.

B.

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 \\ z = - t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = - t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 \\ z = t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn D

Đường thẳng d đi qua

M (2; - 1; - 1)

và có
mặt phẳng (P) có VTCP:

\vec{u_{d}} = (1; 1; - 1) .

Nhận thấy

\{\begin{cases} M \notin (P) \\ \vec{n_{(P)}} . \vec{u_{d}} \neq 0 \end{cases} \Rightarrow d

cắt (P). Ta có

d \cap (P) = {A} \Rightarrow A (1; - 2; 0)

.
Phương trình đường

∆ \{\begin{cases} q u a A (1; - 2; 0) \\ \vec{u_{d}} = [\vec{n_{(P)}}, \vec{u_{d}}] = (1; 0; 1) \end{cases}

.
Phương trình đường

∆

là:

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 \\ z = t \end{cases}

.

Câu 36:

Biết rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sqrt{x} \ln x

và thỏa mãn

F (1) = \frac{5}{9}

. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A.

F (x) = \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 \ln \sqrt{x} - 1) + C

.

B.

F (x) = \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} (\ln \sqrt{x} - 1) + C

.

C.

F (x) = \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} (\ln \sqrt{x} - 1) + 1

.

D.

F (x) = \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 \ln \sqrt{x} - 1) + 1

.

Xem đáp án

Chọn D

I = \int f (x) d x = \int \sqrt{x} \ln x . d x

.
Đặt:

\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = \sqrt{x} d x \end{cases}

ta có

\{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{2}{3} x \sqrt{x} \end{cases}

.

I = \frac{2}{3} x \sqrt{x} \ln x - \frac{2}{3} \int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} \ln x - \frac{4}{9} x \sqrt{x} + C = \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 \ln \sqrt{x} - 1) + C

vì

F (1) = \frac{5}{9}

nên

\Rightarrow C = 1

.
Vậy

F (x) = \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 \ln \sqrt{x} - 1) + 1

.

Câu 37:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}}

trên khoảng

(0; + \infty)

thỏa mãn

F (1) = \frac{1}{2}

. Giá trị của biểu thức

S = F (1) + F (2) + F (3) + \dots + F (2021)

viết dưới dạng hỗn số bằng

A.

2021 \frac{1}{2022}

.

B.

2020 \frac{1}{2021}

.

C.

2019 \frac{1}{2021}

.

D.

2020 \frac{1}{2022}

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

f (x) = \frac{2 x + 1}{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2}} = \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}

.
Đặt

t = x (x + 1) = x^{2} + x \Rightarrow d t = (2 x + 1) d x

.
Khi đó

F (x) = \int f (x) d x = \int \frac{1}{t^{2}} d t = - \frac{1}{t} + C = - \frac{1}{x (x + 1)} + C

.
Mặt khác,

F (1) = \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1

.
Vậy

F (x) = - \frac{1}{x (x + 1)} + 1

.
Suy ra

\begin{matrix} S = F (1) + F (2) + F (3) + \dots + F (2021) = - (\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{2021.2022}) + 2021 \\ = - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2021} - \frac{1}{2022}) + 2021 = - (1 - \frac{1}{2022}) + 2021 \\ = 2020 + \frac{1}{2022} = 2020 \frac{1}{2022} . \end{matrix}

Câu 38:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

f (x) = a x + \frac{b}{x^{2}} (a, b \in ℝ; x \neq 0)

; biết

F (2) = 2

,

F (1) = 3

,

F (\frac{1}{2}) = \frac{19}{8}

.

A.

F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x} + \frac{9}{2}

.

B.

F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{9}{2}

.

C.

F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{2}

.

D.

F (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x} + \frac{9}{2}

.

Xem đáp án

Chọn D

Xét trên khoảng

(0; + \infty)

. Ta có:

F (x) = \int (a x + \frac{b}{x^{2}}) d x = \frac{a x^{2}}{2} - \frac{b}{x} + C

F (2) = 2 a - \frac{b}{2} + C = 2

;

F (1) = \frac{a}{2} - b + C = 3

;

F (\frac{1}{2}) = \frac{a}{8} - 2 b + C = \frac{19}{8}

Suy ra:

a = - 1, b = 1, C = \frac{9}{2}

Vậy:

F (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x} + \frac{9}{2}

Câu 39:

Cho tích phân

I = \int_{0}^{4} \frac{d x}{(x + 2) \sqrt{2 x + 1}}

. Đặt ta

t = \sqrt{2 x + 1}

có

I = \int_{1}^{3} \frac{a}{b t^{2} + c} d x

, với

a, b, c \in ℕ

và a, c nguyên tố cùng nhau. Tính

T = 2 a - b + 3 c

A. 12.

B.8.

C. 10.

D. 14.

Xem đáp án

Chọn A

Đặt

t = \sqrt{2 x + 1} \Rightarrow t^{2} = 2 x + 1 \Rightarrow 2 t d t = 2 d x \Rightarrow d x = t d t

Đổi cận:

x = 0 \Rightarrow t = 1

x = 4 \Rightarrow t = 3

Suy ra:

I = \int_{1}^{3} \frac{t d t}{(\frac{t^{2} - 1}{2} + 2) t} = \int_{1}^{3} \frac{2}{t^{2} + 3} d t

Vậy:

a = 2, b = 1, c = 3

hay

T = 2 a - b + 3 c = 12