39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 6)

Câu 1:

A.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{100}}{200} + C .

B.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{101}}{101} + C .

C.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{101}}{202} + C .

D.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{101}}{102} + C .

Xem đáp án

Chọn C

Áp dụng công thức

\int_{}^{} {(a x + b)}^{n} d x = \frac{{(a x + b)}^{n + 1}}{a (n + 1)} + C

, với

n \neq - 1

và

a \neq 0

.
Ta có

F (x) = \int_{}^{} {(2 x + 1)}^{100} d x = \frac{{(2 x + 1)}^{101}}{202} + C

.

Câu 2:

Hàm số f(x) nào dưới đây thoả mãn

\int f (x) d x = \ln |x + 3| + C

?

A.

f (x) = (x + 3) \ln (x + 3) - x

.

B.

f (x) = \frac{1}{x + 3}

.

C.

f (x) = \frac{1}{x + 2}

.

D.

f (x) = \ln (\ln (x + 3))

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

\int f (x) d x = \ln |x + 3| + C \Rightarrow f (x) = {(\ln |x + 3| + C)}^{'} = \frac{{(x + 3)}^{'}}{x + 3} = \frac{1}{x + 3}

.

Câu 3:

Cho hàm số

f (x) = 2^{x} + x + 1

. Tìm

\int f (x) d x

.

A.

\int f (x) d x = \frac{1}{x + 1} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C

.

B.

\int f (x) d x = 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C

.

C.

\int f (x) d x = \frac{1}{\ln 2} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C

.

D.

\int f (x) d x = 2^{x} + x^{2} + x + C

.

Xem đáp án

Chọn C

Có

\int f (x) d x = \int (2^{x} + x + 1) d x = \frac{1}{\ln 2} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C

Câu 4:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sin 3 x

A.

- 3 cos 3 x + C

.

B.

3cos 3 x + C

.

C.

\frac{1}{3} cos 3 x + C

.

D.

- \frac{1}{3} cos 3 x + C

.

Xem đáp án

Chọn D

$\int \sin 3 x dx = - \frac{\cos 3 x}{3} + C$

Câu 5:

Cho các số thực a; b; cthỏa mãn

\int (2 x - 3 e^{x}) d x = a x^{2} + b . e^{x} + c

. Khi đó bằng 3a+b?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

\int (2 x - 3 e^{x}) d x = x^{2} - 3. e^{x} + c

nên

\{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 3 \end{cases}

. Do đó

3 a + b = 0

.

Câu 6:

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}

thỏa mãn

F (3) = 0

.Tính

F (4)

?

A.

F (4) = 1 + \ln 8

.

B.

F (4) = 1 + \ln 4

.

C.

F (4) = 1 + \ln 6

.

D.

F (4) = 1 + \ln 2

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

\int \frac{x + 1}{x - 2} d x = \int (1 + \frac{3}{x - 2} d x) = x + 3 \ln | x - 2 | + C

. Mà

F (3) = 0

nên

3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3

Vậy

F (x) = x + 3 \ln | x - 2 | - 3

. Do đó

F (4) = 4 + 3 \ln 2 = 4 + \ln 8

.

Câu 7:

Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

.

B.

\int 3 f (x) d x = 3 \int f (x) d x

.

C.

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C

.

D.

\int [f (x) . g (x)] d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x

.

Xem đáp án

Ta có

\int [f (x) . g (x)] d x \neq \int f (x) d x . \int g (x) d x

.

Câu 8:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
(I)

\int {(x + 1)}^{2} d x = \frac{1}{3} {(x + 1)}^{3} + C

(II)

\int 3 f (x) d x = 3 + \int f (x) d x

(III)

\int \ln x d x = \frac{1}{x} + C

(IV)

\int \sin x d x = c o s x + C

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn A

Xét (I):

\int {(x + 1)}^{2} d x = \int {(x + 1)}^{2} d (x + 1) = \frac{1}{3} {(x + 1)}^{3} + C

nên (I) đúng.
Xét (II):

\int 3 f (x) d x = 3 \int f (x) d x

nên (II) sai.
Xét (III):

\int \ln x d x = x \ln x - x + C

nên (III) sai.
Xét (IV):

\int \sin x d x = - c o s x + C

nên (IV) sai.

Câu 9:

Tìm hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2 x + e^{x}

biết

F (0) = 2021

.

A.

F (x) = x^{2} + e^{x} + 2020

.

B.

F (x) = x^{2} + e^{x} - 2020

.

C.

F (x) = x^{2} + e^{x} - 2022

.

D.

F (x) = x^{2} + e^{x} + 2022

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

\int (2 x + e^{x}) d x = x^{2} + e^{x} + C .

F (0) = 2021 \Rightarrow 1 + C = 2021 \Rightarrow C = 2020.

Câu 10:

Họ các nguyên hàm của hàm số

f (x) = 4 \sin^{2} x

là

A.

F (x) = 2 x + \sin 2 x + C

.

B.

F (x) = 2 x - \sin 2 x + C

.

C.

F (x) = 2 x + 2 \sin 2 x + C

.

D.

F (x) = 2 x - 2 \sin 2 x + C

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

4 \sin^{2} x = 2 - 2 \cos 2 x

.
Do đó

\int 4 \sin^{2} x d x = \int (2 - 2 \cos 2 x) d x = 2 x - \sin 2 x + C .

Câu 11:

Họ các nguyên hàm của hàm số

f (x) = {(2 x + 1)}^{2021}

là

A.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{2022}}{2022} + C

.

B.

F (x) = 2 {(2 x + 1)}^{2022} + C

.

C.

F (x) = \frac{{(2 x + 1)}^{2022}}{4044} + C

.

D.

F (x) = {(2 x + 1)}^{2020} + C

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

\int {(2 x + 1)}^{2021} d x

Đặt

2 x + 1 = t \Rightarrow d t = 2 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d t .

Khi đó

\int {(2 x + 1)}^{2021} d x = \int \frac{1}{2} t^{2021} d t = \frac{t^{2022}}{4044} + C = \frac{{(2 x + 1)}^{2022}}{4044} + C .

Câu 12:

Tìm các họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{\sin x}{1 + 3 \cos x}

.

A.

\int f (x) d x = \ln |1 + 3 \cos x| + C

.

B.

\int f (x) d x = \frac{\ln |1 + 3 \cos x|}{3} + C

.

C.

\int f (x) d x = 3 \ln |1 + 3 \cos x| + C

.

D.

\int f (x) d x = - \frac{\ln |1 + 3 \cos x|}{3} + C

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\int \frac{\sin x}{1 + 3 \cos x} d x = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + 3 \cos x} d (1 + 3 \cos x) = - \frac{1}{3} l n |1 + 3 \cos x| + C .

Câu 13:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên

[a; b]

và

F (x)

là nguyên hàm của f(x). Khẳng định nào sau đây là đúng.

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (a) - F (b)

.

B.

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (a) + F (b)

.

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = - F (a) - F (b)

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

.

Câu 14:

Cho hàm f(x) số liên tục trên

[a; b]

và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tìm khẳng định sai.

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (a) - F (b)

.

B.

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x

.

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

.

Câu 15:

Cho các số thực

a, b (a < b)

. Nếu hàm số

y = F (x)

là một nguyên hàm của hàm số

y = f (x)

thì

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (a) - F (b)

.

B.

\int_{a}^{b} F (x) d x = f (a) - f (b)

.

C.

\int_{a}^{b} F (x) d x = f (a) - f (b)

.

D.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có:

\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Câu 16:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R,

f (- 1) = - 2

và

f (3) = 2

. Tính

I = \int_{- 1}^{3} f^{'} (x) d x

.

A.

I = - 4

.

B.

I = 0

.

C.

I = 3

.

D.

I = 4

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

I = \int_{- 1}^{3} f^{'} (x) d x = f (x) |\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix} = f (3) - f (- 1) = 2 - (- 2) = 4

.
Vậy

I = 4

.

Câu 17:

Cho f(x) liên tục trên R có

f (3) = 5; f (1) = - 1

. Giá trị của tích phân

I = \int_{1}^{3} (f^{'} (x) + 2) d x

bằng:

A. 6.

B. 2.

C. -10.

D. 10.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

I = \int_{1}^{3} (f^{'} (x) + 2) d x = \int_{1}^{3} f^{'} (x) d x + 2 \int_{1}^{3} d x = f (3) - f (1) + 4 = 5 + 1 + 4 = 10

Câu 18:

Cho

\int_{1}^{2} f (x) d x = 2

, tích phân

I = \int_{1}^{2} [2 f (x) - 4] d x

bằng:

A. 0.

B. 8.

C. -2.

D. 10.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

I = \int_{1}^{2} [2 f (x) - 4] d x = 2 \int_{1}^{2} f (x) d x - {4 x|}_{1}^{2} = 2.2 - 4 (2 - 1) = 0

.

Câu 19:

Nếu cho

\int_{1}^{5} f (x) d x = 4, \int_{5}^{7} f (x) d x = - 2

thì

\int_{1}^{7} f (x) d x

bằng:

A. 8.

B. 6.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn C

$\int_{1}^{7} f (x) d x = \int_{1}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{7} f (x) d x = 4 - 2 = 2$

Câu 20:

Cho

\int_{2}^{4} f (x) d x = 3

. Giá trị của

\int_{2}^{4} [5 f (x) - 3] d x

A. 12.

B. 10.

C. 8.

D. 9.

Xem đáp án

Chọn D
$\int_{2}^{4} [5 f (x) - 3] d x = 5 \int_{2}^{4} f (x) d x - 3 \int_{2}^{4} d x = 5 \int_{2}^{4} f (x) d x - 3 x |\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array} = 5.3 - 3.2 = 9$

Câu 21:

Cho f(x) liên tục trên R. Biết và

\int_{0}^{7} f (x) d x = - 5

thì

\int_{7}^{10} f (x) d x

bằng bao nhiêu?

A. 2.

B. -12.

C. -2.

D. 12.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\int_{7}^{10} f (x) d x = \int_{7}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{10} f (x) d x = - \int_{0}^{7} f (x) d x + \int_{0}^{10} f (x) d x = - (- 5) + 7 = 12.$

Câu 22:

Cho

\int_{0}^{2} f (x) d x = 3

và

\int_{0}^{2} g (x) d x = - 1

. Giá trị

\int_{0}^{2} [f (x) - 5 g (x) + x] d x

bằng:

A. 12.

B. 0.

C. 8.

D. 10.

Xem đáp án

Chọn D

$\int_{0}^{2} [f (x) - 5 g (x) + x] d x = \int_{0}^{2} f (x) d x - 5 \int_{0}^{2} g (x) d x + \int_{0}^{2} x d x = 3 - 5. (- 1) + \frac{1}{2} (2^{2} - 0) = 10$

Câu 23:

Tích phân

\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2} + 3} d x

bằng:

A.

\frac{1}{2} \log \frac{7}{3}

.

B.

\ln \frac{7}{3}

.

C.

\frac{1}{2} \ln \frac{3}{7}

.

D.

\frac{1}{2} \ln \frac{7}{3}

.

Xem đáp án

Chọn D

Đặt

u = x^{2} + 3 \Rightarrow d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u

.
Đổi cận

x = 0 \Rightarrow u = 3

;

x = 2 \Rightarrow u = 7

, ta có:

I = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} \ln |u| |_{3}^{7} = \frac{1}{2} \ln 7 - \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{2} \ln \frac{7}{3}

.

Câu 24:

Giá trị của tích phân

\int_{0}^{π} x cos x d x

là:

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. -2.

Xem đáp án

Chọn D

Đặt

\{\begin{cases} u = x \\ d v = cos x d x \end{cases} \{\begin{cases} u = x \\ d v = cos x d x \end{cases}

.
Suy ra

\int_{0}^{π} x cos x d x = (x sin x) |_{0}^{π} - \int_{0}^{π} sin x d x

.

Câu 25:

Cho

\int_{0}^{2} f (x) d x = 3

. Khi đó

\int_{0}^{4} \frac{f (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x

bằng

A. 6.

B. 3.

C.

\frac{3}{2}

.

D.

\sqrt{3}

.

Xem đáp án

Chọn A

$\int_{0}^{4} \frac{f (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x = 2 \int_{0}^{4} f (\sqrt{x}) d (\sqrt{x}) = 2 \int_{0}^{2} f (t) d t = 2.3 = 6$

Câu 26:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm

A (1; - 2; 3)

,

B (- 1; 5; 6)

. Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là

A.

G (0; - 1; 3)

.

B.

G (0; 1; 3)

.

C.

G (0; 1; - 3)

.

D.

G (0; - 1; - 3)

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

\{\begin{cases} x_{G} = \frac{0 + 1 - 1}{3} = 0 \\ y_{G} = \frac{0 - 2 + 5}{3} = 1 \\ z_{G} = \frac{0 + 3 + 6}{3} = 3 \end{cases}

Vậy

G (0; 1; 3)

.

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho các vectơ

\vec{a} = (1; 1; - 2)

,

\vec{b} = (- 3; 0; 1)

và

\vec{c} = (2; 3; - 1)

. Tọa độ của vectơ

\vec{u} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}

là

A.

\vec{u} = (6; 4; - 4)

.

B.

\vec{u} = (2; 4; - 4)

.

C.

\vec{u} = (6; - 2; - 4)

.

D.

\vec{u} = (6; 4; - 2)

.

Xem đáp án

Chọn A

$\vec{u} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (6; 4; - 4)$

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; 2; - 2)

,

B (4; - 1; - 5)

. Điểm M thuộc đoạn AB sao cho

M B = 2 M A

, tọa độ điểm M là

A.

M (- 2; 5; 1)

.

B.

M (- 2; 1; - 3)

.

C.

M (- 2; - 5; 1)

.

D.

M (2; 1; - 3)

.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi

M (x; y; z)

.
Vì điểm M thuộc đoạn AB sao cho

M B = 2 M A \Leftrightarrow \vec{A B} = 3 \vec{A M}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 = 3 (x - 1) \\ - 3 = 3 (y - 2) \\ - 3 = 3 (z + 2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = - 3 \end{cases}

Vậy

M (2; 1; - 3)

.

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y - 7 = 0

. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) là

A.

I (- 4; 0; 1)

và

R = \sqrt{17}

.

B.

I (- 4; 1; 0)

và

R = 2 \sqrt{6}

.

C.

I (4; 0; - 1)

và

R = \sqrt{17}

.

D.

I (4; - 1; 0)

và

R = 2 \sqrt{6}

.

Xem đáp án

Chọn D

Gọi

M (x; y; z)

.
Vì điểm M thuộc đoạn AB sao cho

M B = 2 M A \Leftrightarrow \vec{A B} = 3 \vec{A M}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 = 3 (x - 1) \\ - 3 = 3 (y - 2) \\ - 3 = 3 (z + 2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = - 3 \end{cases}

Vậy

M (2; 1; - 3)

.

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y - 7 = 0

. Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) là

A.

I (- 4; 0; 1)

và

R = \sqrt{17}

.

B.

I (- 4; 1; 0)

và

R = 2 \sqrt{6}

.

C.

I (4; 0; - 1)

và

R = \sqrt{17}

.

D.

I (4; - 1; 0)

và

R = 2 \sqrt{6}

.

Xem đáp án

Chọn D

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y - 7 = 0$

Câu 31:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm

I (2; - 3; 7)

và đi qua điểm

M (- 4; 0; 1)

có phương trình là:

A.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 7 z + 19 = 0

.

B.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 6 y + 14 z - 19 = 0

.

C.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 14 z - 19 = 0

.

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 6 y + 14 z + 19 = 0

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

\vec{I M} = (- 6; 3; - 6)

Bán kính mặt cầu

R = |\vec{I M}| = \sqrt{{(- 6)}^{2} + 3^{2} + {(- 6)}^{2}} = 9

Vậy phương trình mặt cầu là

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 14 z - 19 = 0

.

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

A (7; 0; 0)

,

B (0; - 1; 0)

,

C (0; 0; 2)

là

A.

\frac{x}{7} - \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 0

.

B.

\frac{x}{7} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1

.

C.

\frac{x}{7} - \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1

.

D.

\frac{x}{7} + \frac{y}{1} - \frac{z}{2} = 1

.

Xem đáp án

Chọn C

Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được:

\frac{x}{7} + \frac{y}{(- 1)} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{7} - \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1

Câu 33:

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z + 4 = 0$ là ?

A.

\vec{n} = (0; - 2; - 3)

.

B.

\vec{n} = (0; - 2; 3)

.

C.

\vec{n} = (2; 3; 4)

.

D.

\vec{n} = (1; 2; 3)

.

Xem đáp án

Chọn D

Mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z + 4 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2; 3)$ .

Câu 34:

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ , $C (0; 0; 3)$ có phương trình là

A.

6 x + 3 y + 2 x - 6 = 0

.

B.

6 x + 3 y + 2 x + 6 = 0

.

C.

x + 2 y + 3 x - 1 = 0

.

D.

\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm

A (1; 0; 0)

,

B (0; 2; 0)

,

C (0; 0; 3)

có phương trình là

\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0

.

Câu 35:

Phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua hai điểm $A (2; - 1; 0), B (1; 2; - 3)$ và vuông góc mặt phẳng $(β) : x + y - 2 z - 3 = 0$ ?

A.

y + z + 1 = 0

.

B.

3 x + 5 y + 4 z - 1 = 0

.

C.

y + z - 1 = 0

.

D.

3 x + 5 y + 4 z + 1 = 0

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

\vec{A B} = (- 1; 3; - 3)

; Mặt phẳng

(β)

có một VTPT là

\vec{n_{β}} = (1; 1; - 2)

.
Khi đó, mp

(α)

qua điểm

A (2; - 1; 0)

và có một VTPT là

\vec{n_{α}} = [\vec{n_{β}}, \vec{A B}] = (3; 5; 4)

.
Vậy mp

(α)

có pt là

3 (x - 2) + 5 (y + 1) + 4 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 5 y + 4 z - 1 = 0

.

Câu 36:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = \sqrt{(2 x - 1) e^{4 x}}

, trục Ox và đường thẳng x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox.

Xem đáp án

Ta có:

\sqrt{(2 x - 1) e^{4 x}} = 0 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

.
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox là:

V = π \int_{\frac{1}{2}}^{1} {(\sqrt{(2 x - 1) e^{4 x}})}^{2} d x = π \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2 x - 1) e^{4 x} d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = 2 x - 1 \\ d v = e^{4 x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 d x \\ v = \frac{1}{4} e^{4 x} \end{cases}

.

\Rightarrow V = \frac{1}{4} π (2 x - 1) e^{4 x} |\begin{array}{l} 1 \\ \frac{1}{2} \end{array} - \int_{\frac{1}{2}}^{1} 2 π . \frac{1}{4} e^{4 x} d x = [\frac{π}{4} (2 x - 1) e^{4 x} - \frac{π}{8} e^{4 x}] |\begin{array}{l} 1 \\ \frac{1}{2} \end{array}

.

= \frac{π}{4} e^{4} - \frac{π}{8} e^{4} + \frac{π}{8} e^{2} = \frac{π}{8} (e^{4} + e^{2})

.

Câu 37:

Tính tích phân

I = \int_{\ln 3}^{\ln 15} \frac{1}{e^{- x} (\sqrt{e^{x} + 1} + e^{x} - 1)} d x

Xem đáp án

Ta có:

I = \int_{\ln 3}^{\ln 15} \frac{1}{e^{- x} (\sqrt{e^{x} + 1} + e^{x} - 1)} d x = \int_{\ln 3}^{\ln 15} \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1} + e^{x} - 1} d x

Đặt

u = \sqrt{e^{x} + 1} \Leftrightarrow u^{2} = e^{x} + 1 \Rightarrow 2 u d u = e^{x} d x

Đổi cận:

x = \ln 3 \Rightarrow u = 2; x = \ln 15 \Rightarrow u = 4

\Rightarrow I = \int_{2}^{4} \frac{2 u}{u + u^{2} - 2} d u = \int_{2}^{4} [\frac{2}{3 (u - 1)} + \frac{4}{3 (u + 2)}] d u = (\frac{2}{3} \ln |u - 1| + \frac{4}{3} \ln |u + 2|) |\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array} = \frac{2}{3} \ln 3 + \frac{4}{3} \ln 6 - \frac{4}{3} \ln 4 = \frac{2}{3} \ln 3 + \frac{4}{3} \ln 2 + \frac{4}{3} \ln 3 - \frac{8}{3} \ln 2 = 2 \ln 3 - \frac{4}{3} \ln 2

.

Câu 38:

Tính tích phân:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 \cos 2 x + 3 \sin 2 x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x

.

Xem đáp án

Ta có:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 \cos 2 x + 3 \sin 2 x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x

.

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 (\cos x + 2 \sin x) (2 \cos x - \sin x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x

Đặt

t = \cos x + 2 \sin x \Rightarrow d t = (- \sin x + 2 \cos x) d x

.
Với

x = 0

thì

t = 1

.
Với

x = \frac{π}{2}

thì

t = 2

.
Suy ra

I = \int_{1}^{2} 2 t \ln t d t = \int_{1}^{2} \ln t d (t^{2}) = {(t^{2} . \ln t)|}_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t d t = 4 \ln 2 - {\frac{t^{2}}{2}|}_{1}^{2} = 4 \ln 2 - \frac{3}{2}

.

Câu 39:

Trong không gian Oxyz cho

m p (Q) : 2 x + y - 2 z + 1 = 0

và mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 z - 23 = 0

. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.

Xem đáp án

Ta có tâm và bán kính mặt cầu (S) là:

I (1; 0; 1); R = 5

.
Vì (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính

r = 4

nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là

d (I; (P)) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 3

.
Vì

(P) / / (Q)

nên (P) có dạng

2 x + y - 2 z + m = 0 (m \neq 1)

.
Ta có:

d (I; (P)) = \frac{|m|}{3} = 3 \Rightarrow m = \pm 9

.
Vậy phương trình (P) là

2 x + y - 2 z + 9 = 0

hoặc

2 x + y - 2 z - 9 = 0

.