Tính tích phân I=∫ln3ln151e−xex+1+ex−1dx

Ta có:I=∫ln3ln151e−xex+1+ex−1dx=∫ln3ln15exex+1+ex−1dxĐặt u=ex+1⇔u2=ex+1⇒2udu=exdxĐổi cận: x=ln3⇒u=2;x=ln15⇒u=4⇒I=∫242uu+u2−2du=∫2423u−1+43u+2du=23lnu−1+43lnu+242=23ln3+43ln6−43ln4=23ln3+43ln2+43ln3−83ln2=2ln3−43ln2.

Câu hỏi:

26/06/2024 57

Tính tích phân $I = \int_{\ln 3}^{\ln 15} \frac{1}{e^{- x} (\sqrt{e^{x} + 1} + e^{x} - 1)} d x$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:
$I = \int_{\ln 3}^{\ln 15} \frac{1}{e^{- x} (\sqrt{e^{x} + 1} + e^{x} - 1)} d x = \int_{\ln 3}^{\ln 15} \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} + 1} + e^{x} - 1} d x$
Đặt $u = \sqrt{e^{x} + 1} \Leftrightarrow u^{2} = e^{x} + 1 \Rightarrow 2 u d u = e^{x} d x$
Đổi cận: $x = \ln 3 \Rightarrow u = 2; x = \ln 15 \Rightarrow u = 4$
$\Rightarrow I = \int_{2}^{4} \frac{2 u}{u + u^{2} - 2} d u = \int_{2}^{4} [\frac{2}{3 (u - 1)} + \frac{4}{3 (u + 2)}] d u = (\frac{2}{3} \ln |u - 1| + \frac{4}{3} \ln |u + 2|) |\begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array} = \frac{2}{3} \ln 3 + \frac{4}{3} \ln 6 - \frac{4}{3} \ln 4 = \frac{2}{3} \ln 3 + \frac{4}{3} \ln 2 + \frac{4}{3} \ln 3 - \frac{8}{3} \ln 2 = 2 \ln 3 - \frac{4}{3} \ln 2$
.

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x = 2$ , tích phân $I = \int_{1}^{2} [2 f (x) - 4] d x$ bằng:

Xem đáp án » 26/06/2023 601

Câu 2:

Tìm các họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\sin x}{1 + 3 \cos x}$ .

Xem đáp án » 26/06/2023 145

Câu 3:

Hàm số f(x) nào dưới đây thoả mãn $\int f (x) d x = \ln |x + 3| + C$ ?

Xem đáp án » 26/06/2023 85

Câu 4:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(2 x + 1)}^{2021}$ là

Xem đáp án » 26/06/2023 84

Câu 5:

Phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua hai điểm $A (2; - 1; 0), B (1; 2; - 3)$ và vuông góc mặt phẳng $(β) : x + y - 2 z - 3 = 0$ ?

Xem đáp án » 27/06/2023 80

Câu 6:

Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 \cos 2 x + 3 \sin 2 x) ln (\cos x + 2 \sin x) d x$ .

Xem đáp án » 27/06/2023 77

Câu 7:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{(2 x - 1) e^{4 x}}$ , trục Ox và đường thẳng x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox.

Xem đáp án » 27/06/2023 75

Câu 8:

Tìm

Xem đáp án » 26/06/2023 69

Câu 9:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm $A (1; - 2; 3)$ , $B (- 1; 5; 6)$ . Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là

Xem đáp án » 27/06/2023 69

Câu 10:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm $I (2; - 3; 7)$ và đi qua điểm $M (- 4; 0; 1)$ có phương trình là:

Xem đáp án » 27/06/2023 67

Câu 11:

là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ thỏa mãn $F (3) = 0$ .Tính $F (4)$ ?

Xem đáp án » 26/06/2023 67

Câu 12:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 3 x$

Xem đáp án » 26/06/2023 65

Câu 13:

Cho f(x) liên tục trên R có $f (3) = 5; f (1) = - 1$ . Giá trị của tích phân $I = \int_{1}^{3} (f^{'} (x) + 2) d x$ bằng:

Xem đáp án » 26/06/2023 64

Câu 14:

Cho $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{2} g (x) d x = - 1$ . Giá trị $\int_{0}^{2} [f (x) - 5 g (x) + x] d x$ bằng:

Xem đáp án » 27/06/2023 64

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho các vectơ $\vec{a} = (1; 1; - 2)$ , $\vec{b} = (- 3; 0; 1)$ và $\vec{c} = (2; 3; - 1)$ . Tọa độ của vectơ $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ là

Xem đáp án » 27/06/2023 63

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 37608 lượt thi Thi thử
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 37105 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 33712 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 23156 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 21653 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 19693 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 19379 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 17973 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 14489 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 13168 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »