Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 1)
-
3610 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).
Câu 2:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Nhìn đồ thị suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) là \(1\).
Câu 3:
Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng \(4\) là:
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Thể tích khối lập phương đã cho là: \(V = {4^3} = 64.\)
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là \(3.\)
Câu 5:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) và \(SA = 6a\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có: \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.6a.{a^2} = 2{a^3}.\]
Câu 6:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1\].
Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1\]\( \Rightarrow \) đường thẳng \(y = - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right).\)
Câu 7:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị ta suy ra:
+ Đồ thị hàm số là hàm nhất biến \( \Rightarrow \) loại B, D .
+ Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm có tung độ lớn hơn \(2\)\( \Rightarrow \) chọn A .
Câu 8:
Khối lăng trụ có chiều cao bằng \(4\), diện tích đáy bằng \(6\). Thể tích khối lăng trụ này bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết, ta có: Diện tích đáy \(B = 4\), chiều cao \(h = 6\).
Suy ra thể tích khối lăng trụ là \(V = B.h = 4.6 = 24\).
Câu 9:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình: \(2f\left( x \right) = 3\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có: phương trình: \(2f\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{3}{2}\).
Số nghiệm của phương trình : \(f\left( x \right) = \frac{3}{2}\) là số giao điểm của đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng: \(y = \frac{3}{2}\)
Câu 10:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)có đồ thị như hình vẽ sau.
Số điểm cực tiểu của của hàm số \(y = f\left( x \right)\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực tiểu
Câu 11:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) nên chọn C
Câu 12:
Khối chóp có chiều cao bằng \(3\), diện tích đáy bằng \(5\). Thể tích khối chóp bằng:
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Câu 13:
Số cạnh của một hình bát diện đều là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Số cạnh của một hình bát diện đều là \(12\).
Câu 14:
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị cho thấy hàm số có 2 điểm cực trị là \(x = 0\), \(x = 2\) và đồ thị đi xuống trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Câu 15:
Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Dựa trên hình dáng đồ thị, ta loại các đáp án B và C . Mặt khác từ đồ thị, ta thấy \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \) nên chọn đáp án A .
Câu 16:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên dưới đây. Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = - 2020\) tại bao nhiêu điểm?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = - 2020\) tại \(2\) điểm.
Câu 17:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \], suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - \infty \], suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.
Câu 18:
Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng ( trong đó có hình tứ diện đều ).
Câu 19:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số \(y = {x^3} + 2x\)
Ta có: \[y' = 3{x^2} + 2 > 0\,\forall x\] nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 20:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\) trên đoạn \(\left[ { - 3\,;\,3} \right]\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có \({f^'}\left( x \right) = 3{x^2} - 3\).
\({f^'}\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 1}\end{array}} \right.\).
\(f\left( { - 3} \right) = - 18;\,f\left( { - 1} \right) = 2;\,f\left( 1 \right) = - 2;\,f\left( 3 \right) = 18\). Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3\,;\,3} \right]\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\) trên đoạn \(\left[ { - 3\,;\,3} \right]\) bằng \( - 18\).
Câu 21:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {11 - 2x} \) trên \(\left[ {1;5} \right]\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
+) Trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) ta có: \[f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {11 - 2x} }} < 0\,\,\forall \,\,x \in \left[ {1;5} \right]\].
+) \(f\left( 1 \right) = \sqrt {11 - 2.1} = 3,\,\,\,\,f\left( 5 \right) = \sqrt {11 - 2.5} = 1\).
Vậy \[\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = 3\]khi \(x = 1\).
Câu 22:
Cho \(S.ABCD\)là hình chóp tứ giác đều, biết \[AB = a,\,\,SA = a\]. Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Gọi \(H\) là giao của \(AC\) và \(BD\).
Vì \(S.ABCD\)là hình chóp tứ giác đều nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\) nên có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Diện tích hình vuông \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = {a^2}\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
Câu 23:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\]
Ta có \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \ne 1\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\) và \(\left( {1;\, + \infty } \right).\)
Câu 24:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Biết \(AB = a,\) \(AD = 2a,\) \(SA = 3a.\) Thể tích hình chóp \(S.ABCD\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Thể tích hình chóp \(S.ABCD\) là: \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.h = \frac{1}{3}.AB.AD.SA = 2{a^3}.\)
Câu 25:
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) là hình nào trong 4 hình dưới đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Chọn A vì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\).
Câu 26:
Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{x + 2}}\) có TXĐ \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\).
Mẫu là đa thức có nghiệm \(x = - 2 \notin D\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Câu 27:
Lăng trụ đứng \[ABCA'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\], \[BC = 2a,{\rm{ }}AB = a\]. Mặt bên \[(BB'C'C)\] là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].
\[AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \].
Thể tích khối lăng trụ là
\[{V_{ABCA'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.BB' = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 .2a = {a^3}\sqrt 3 \].
Câu 28:
Tìm phương trình tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số: \[y = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}}\]
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x(3 - \frac{1}{x})}}{{x(1 - \frac{2}{x})}} = 3 \Rightarrow y = 3\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \pm \infty \Rightarrow x = 2\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 29:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm\(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\).
Bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\)
Do đó hàm số đã cho có một cực trị.
Câu 30:
Hình chóp \(S.ABCD\) đáy hình vuông, \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 3 ,AC = a\sqrt 2 \). Khi đó thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Gọi cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(x\). Khi đó, độ dài đường chéo hình vuông là \(x\sqrt 2 \). Theo giả thiết ta được \(x\sqrt 2 = a\sqrt 2 \Rightarrow x = a\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}{a^2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Câu 31:
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\)có đồ thị như hình vẽ sau. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(a < 0\).
Với \(x = 0 \Rightarrow y = c = - 3 \Rightarrow c < 0\).
Hàm số có ba điểm cực trị nên \(ab < 0\) do \(a < 0\)nên \(b > 0\).
Vậy: \(a < 0\), \(b > 0\), \(c < 0\).
Câu 32:
Số cực trị của hàm số \(f(x) = {x^4} - 4{x^2} + 3\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Hàm số bậc bốn có \(ab < 0\) nên có 2 cực trị.
Câu 33:
Trong tất cả các loại hình đa diện đều sau, loại nào có số mặt nhiều nhất?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
\[\left\{ {3;5} \right\}\]: khối có 20 mặt đều.
\[\left\{ {5;3} \right\}\]: khối 12 mặt đều.
\[\left\{ {4;3} \right\}\]: khối lập phương.
\[\left\{ {3;4} \right\}\]: khối bát diện đều.
Câu 34:
Số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 5x\] và đường thẳng \[y = x\] là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình hoàn độ giao điểm: \[{x^3} - 5x = x \Leftrightarrow {x^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 6 \\x = - \sqrt 6 \end{array} \right.\].
Câu 35:
Hàm số \(y = f(x)\) và có đồ thị như hình sau. Số nghiệm thực của phương trình \(3f(x) - 5 = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) là:
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(3f(x) - 5 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{5}{3}.\)
Ta thấy khi \(x \in \left[ {0;4} \right]\) thì đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt đường thẳng \(y = \frac{5}{3}\) tại 2 điểm phân biệt.
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 2.
Câu 36:
Một vật chuyển động theo quy luật \(S = - \frac{1}{2}{t^3} + 9{t^2},\) với \(t\)(giây) là khoảng thời gian tính từ
lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\)(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng:
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có \(v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\) với \(t \in [0;10].\)
\(\begin{array}{l}v'(t) = - 3t + 18\\v'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 6\end{array}\)
\(\begin{array}{l}v(0) = 0\\v(10) = 30\\v(6) = 54\end{array}\)
Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động là 54 (m/s).
Câu 37:
Xác định \[a,\,b,\,c\]để hàm số \(y = \frac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Theo đồ thị, ta thấy, \(x = 0\)thì \(y = 1\)nên \(1 = \frac{{a.0 - 1}}{{b.0 + c}}\)\( \Rightarrow \frac{{ - 1}}{c} = 1 \Rightarrow c = - 1\).
Tiệm cận đứng: \(x = \frac{{ - c}}{b} = 1 \Rightarrow \frac{1}{b} = 1 \Rightarrow b = 1\).
Tiệm cận đứng: \[y = \frac{a}{b} = 2 \Rightarrow \frac{a}{1} = 2 \Rightarrow a = 2\]
Câu 38:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và có đồ thị như hình vẽ sau:
Số cực trị của hàm số \(y = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có: \(y' = 2f\left( x \right)f'\left( x \right)\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\,\,\left( {a \in \left( { - 2;\, - 1} \right)} \right)\\x = 0\\x = b\,\,\left( {b \in \left( {1;\,2} \right)} \right)\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm đổi dấu 5 lần. Do đó, hàm số đã cho có 5 cực trị
Câu 39:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho hàm số \[y = \frac{{mx + 9}}{{x + m}}\] nghịch biến trên từng khoảng xác định
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\].
Có \[y' = \frac{{{m^2} - 9}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\].
Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì:
\[y' < 0 \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 9}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3\].
Câu 40:
Tập tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để hàm số \[y = {x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1\] đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\] là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
Có \[y' = 3{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\].
Có \[\Delta {'_{y'}} = {\left( {m - 1} \right)^2} - 9 = {m^2} - 2m - 8\].
Để hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\] thì:
\[y' \ge 0\,\forall \,x \in \mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3 \ge 0\,\forall \,x \in \mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\\\Delta {'_{y'}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 4\].
Câu 41:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)và có bảng biến thiên như
hình sau.
Số nghiệm của phương trình: \(f\left( {{x^2}} \right) = 1\)
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) và đường thẳng\(y = 1\)
Ta có \({g^'}\left( x \right) = 2x{f^'}\left( {{x^2}} \right)\)
\({g^'}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x{f^'}\left( {{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{f^'}\left( {{x^2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình \(f\left( {{x^2}} \right) = 1\)có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 42:
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + 2m - 1\) có 3 điểm cực trị?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi \(m\left( { - m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 0\end{array} \right.\).
Câu 43:
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BB'\) và \(CC'\). Tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{ABCMN}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \({V_{ABCMN}} = 2{V_{M.ABC}} = 2.\frac{1}{3}.d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right).
{S_{\Delta ABC}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.d\left( {B';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{\Delta ABC}}\)
\( = \frac{1}{3}.d\left( {B';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow \frac{{{V_{ABCMN}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{1}{3}\).
Câu 44:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}}\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Tập xác định: \(D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 1;0} \right\}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\) nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là \(y = 0\).
Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = - \infty \) nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là \(x = - 1\).
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \frac{1}{4}\) nên đường thẳng \(x = 0\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2.
Câu 45:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\). Biết \(\Delta SAB\) là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Biết \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Gọi \(E\) là trung điểm cạnh \(AB\). Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\Trong{\rm{ }}\left( {SAB} \right):SE \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow SE \bot \left( {ABC} \right)\) tại \(E\).
Mà \(\Delta SAB\) là tam giá đều có cạnh \(AB = a\) \( \Rightarrow SE = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \({V_{S,ABC}} = \frac{1}{3}SE.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
Câu 46:
Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông, mặt bên \[\left( {SAB} \right)\] là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng \(a\sqrt 3 \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Gọi \(E\) là trung điểm \(CD\). Kẻ \(HK \bot SE\) tại \(K\).
Vì \(AH{\rm{//}}CD\) nên \(d(A,(SCD)) = d(H,(SCD)) = HK\).
Gọi độ dài cạnh hình vuông là \(x\).
Ta có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{H{S^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{3{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{x^2}}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 7 \).
\(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 7 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}.7{a^2} = \frac{{7{a^3}\sqrt {21} }}{6}\).
Câu 47:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BC = a\), mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) tạo với đáy một góc \({30^ \circ }\) và tam giác \(A'BC\) có diện tích bằng \({a^2}\sqrt 3 \). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \(BC \bot AB\) và \(BC \bot BB'\) nên \(BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\), suy ra \(BC \bot A'B\) hay tam giác \(A'BC\) là tam giác vuông tại \(B\).
Khi đó ta cũng có \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'BC} \right)} \right) = \widehat {A'BA} = {30^ \circ }\).
Lại có \({S_{\Delta A'BC}} = \frac{1}{2}A'B.BC = {a^2}\sqrt 3 \), suy ra \(A'B = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{a} = 2a\sqrt 3 \).
Tam giác \(A'AB\) có \(\sin {30^ \circ } = \frac{{A'A}}{{A'B}},\cos {30^ \circ } = \frac{{AB}}{{A'B}}\), suy ra \(A'A = a\sqrt 3 ,AB = 3a\).
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.3a.a = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Câu 48:
Cho hàm số \(f(x)\), có bảng biến thiên của hàm số \(f'(x)\) như sau:
Số cực trị của hàm số \(y = f({x^2} + 2x)\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có \(y' = \left( {2x + 2} \right)f'({x^2} + 2x)\)
Khi đó, \(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {2x + 2} \right)f'({x^2} + 2x) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\f'({x^2} + 2x) = 0\end{array} \right.\)
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(f'(x)\), ta có: \(f'({x^2} + 2x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = a\,(a < - 1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + 2x = b\,( - 1 < b < 0)\,(2)\\{x^2} + 2x = c\,\,(0 < c < 1)\,\,\,\,\,(3)\\{x^2} + 2x = d\,\,(d > 1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)
Lập BBT của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2x\), từ đó ta suy ra được:
+) Phương trình (1) vô nghiệm
+) Phương trình (2) có 2 nghiệm âm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) và \({x_1} < - 1 < {x_2}\)
+) Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu \({x_3}\), \({x_4}\) và \({x_3} < {x_1} < - 1 < {x_2} < {x_4}\).
+) Phương trình (4) có 2 nghiệm trái dấu \({x_5}\), \({x_6}\) và \({x_5} < {x_3} < {x_1} < - 1 < {x_2} < {x_4} < {x_6}\).
Ta có bảng xét dấu \(y'\) như sau:
Suy ra hàm số \(y = f({x^2} + 2x)\) có 7 điểm cực trị.
Câu 49:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), có bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {3 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {3 - 2x} \right)\).
Ta có \(g'\left( x \right) = - 2f'\left( {3 - 2x} \right)\). Suy ra \[g'\left( x \right) = - 2f'\left( {3 - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - 2x = - 3\\3 - 2x = - 1\\3 - 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\].
Ta có bảng xét dấu \(g'\left( x \right)\) như sau:
Từ bảng xét dấu của \(g'\left( x \right)\) suy ra hàm số \(y = f\left( {3 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).
Câu 50:
Cho các số thực không âm \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(S = \left( {4{x^2} + 3y} \right)\left( {4{y^2} + 3x} \right) + 25xy\) lần lượt là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Cách 1.
Ta có: \(S = 16{x^2}{y^2} + 12\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 34xy\) \( = \) \(16{x^2}{y^2} + 12{\left( {x + y} \right)^3} - 36xy\left( {x + y} \right) + 34xy\)
\( = \) \(16{\left( {xy} \right)^2} - 2xy + 12\).
Đặt \(xy = t\), suy ra \(S = f\left( t \right) = 16{t^2} - 2t + 12\).
Nhận thấy: \(x,y \ge 0,x + y = 1\)và \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) với \(\forall x,y\) nên \(0 \le t \le \frac{1}{4}\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 16{t^2} - 2t + 12\) với \(t \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\).
Có: \(f'\left( x \right) = 32t - 2\) \( \Rightarrow \) \(f'\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(t = \frac{1}{{16}}\) \( \in \left[ {0;\frac{1}{4}} \right]\).
Ta thấy \(f\left( 0 \right) = 12,f\left( {\frac{1}{{16}}} \right) = \frac{{191}}{{16}},f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{25}}{2}\).
Suy ra giá trị lớn nhất của \(f\left( t \right)\) bằng \(\frac{{25}}{2}\) và giá trị nhỏ nhất của \(f\left( t \right)\) bằng \(\frac{{191}}{{16}}\).
Vậy \(M = \frac{{25}}{2},m = \frac{{191}}{{16}}\).
Cách 2. Giả sử \(x \ge y\), do \(x,y \ge 0\) và \(x + y = 1\) nên \(\frac{1}{2} \le x \le 1\).
Có \(S = \left[ {4{x^2} + 3\left( {1 - x} \right)} \right]\left[ {4{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 3x} \right] + 25x\left( {1 - x} \right)\)\( = \) \(\left( {4{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 5x + 4} \right) + 25x\left( {1 - x} \right)\)
\( = \)\(16{x^4} - 32{x^3} + 18{x^2} - 2x + 12\).
Đặt \(f\left( x \right) = 16{x^4} - 32{x^3} + 18{x^2} - 2x + 12\), \(x \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).
Từ đây ta cũng tìm được \(M = \frac{{25}}{2},m = \frac{{191}}{{16}}\).