Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 15)
-
3611 lượt thi
-
35 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\]. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
(I):Nếu \[f'\left( x \right) > 0\]trên khoảng \[\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\]và \[f'\left( x \right) < 0\]trên khoảng \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\]\[\left( {h > 0} \right)\]thì hàm số đạt cực đại tại điểm \[{x_0}\].
(II):Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm \[{x_0}\]thì tồn tại các khoảng \[\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\], \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\]\[\left( {h > 0} \right)\]sao cho \[f'\left( x \right) > 0\]trên khoảng \[\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\]và \[f'\left( x \right) < 0\]trên khoảng \[\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\].
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có mệnh đề (I) đúng và mệnh đề (II) sai (câu lý thuyết)
Câu 2:
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {p;q} \right\}\) được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số đỉnh là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh, M là tổng số mặt của khối đa diện đều loại \[\left\{ {p;q} \right\}\].
Ta có: 
. Cụ thể:
. Cụ thể: Xét tứ diện đều loại 
.
. Xét khối lập phương đều loại 
.
. Xét khối bát diện đều loại 
.
. Xét khối mười hai mặt đều loại 
.
.
Xét khối hai mươi mặt đều loại 
.
.Vậy ta có sắp xếp: \[\left\{ {3;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,4} \right\}\], \[\left\{ {4;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,5} \right\}\], \[\left\{ {5;\,3} \right\}\].
Câu 3:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) bằng
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
+ Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3\),\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
+ \(f\left( { - 3} \right) = - 16;f\left( 3 \right) = 20;f\left( { - 1} \right) = 4;f\left( 1 \right) = 0\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(f\left( { - 3} \right) = - 16\).
Câu 4:
Cho tứ diện \(OABC\)có \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = 2a\), \(OB = 3a\), \(OC = 8a\). \(M\) là trung điểm đoạn \(OC\). Tính thể tích \(V\) khối tứ diện \(OABM\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OA \bot OB}\\{OA \bot OC}\end{array}} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\)
Thể tích khối tứ diện \(OABM\) là \(V = \frac{1}{3}.OA.{S_{\Delta OBM}} = \frac{1}{3}.OA.\frac{1}{2}.{S_{\Delta OBC}} = \frac{1}{6}.OA.\frac{1}{2}.OB.OC = \frac{1}{{12}}.2a.3a.8a = 4{a^3}\).
Câu 5:
Cho hàm số \(CD\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), có bảng biến thiên dưới đây:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) nên hàm số đồng biến trên \(M\).
Câu 6:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị của hàm số, hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).
Câu 7:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;\,3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây . Gọi \(m,\,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhẩt của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;\,3} \right]\). Giá trị của \(m.M\) bằng bao nhiêu?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Quan sát đồ thị trên \(\left[ { - 2;\,3} \right]\) ta thấy GTLN của hàm số bằng \(M = 4\) tại \(x = - 1\) và đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(m = - 3\) tại \(x = - 2\).
Vậy \(m.M = - 12\).
Câu 8:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 3\)là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\)bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)và đường thẳng \(y = 3\).
Ta có đường thẳng \(y = 3\)song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0;3} \right)\).
Từ đồ thị ta thấy đường thẳng \(y = 3\)cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình \(f\left( x \right) = 3\)có 2 nghiệm thực phân biệt.
Câu 9:
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng \(3S\) và chiều cao bằng \(h\) được tính là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
· Ta có: \(V = \frac{1}{3}.3S.h = Sh\)
Câu 10:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số nhận các đường thẳng x = -2, x = 2 là các đường tiệm cận đứng, y = 0 là tiệm cận ngang
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là \(3\).
Câu 11:
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta thấy hàm số \(y = {x^2} + x\) là hàm số bậc hai do đó không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^4} + {x^2}\) là hàm số trùng phương luôn có điểm cực trị do đó không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\) nên không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^3} + x\) có \(y' = 3{x^2} + 1 > 0\), với \(\forall x \in \mathbb{R}\) do đó hàm số luôn đồng biến trên tập xác định \(\mathbb{R}\).
Câu 12:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(y = f\left( x \right)\).
Câu 13:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào dưới đây
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị và đáp án, hàm số cần tìm có dạng \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) với \(a < 0\). Loại C, D.
Vì đồ thị hàm số có 3 cực trị nên \(ab < 0\). Loại A. Vậy chọn B.
Câu 14:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
Dựa vào BBT hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 2\).
Câu 15:
Thể tích khối lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \[a\] là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Câu 16:
Một hình đa diện có ít nhất bao nhiêu đỉnh?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Một hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh.
Câu 17:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\). Chọn phát biểu đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
+ Ta có \(\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \Rightarrow x = 1\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 18:
Cho hàm số \[y = {x^4} + m{x^2} + 1\] với \[m\]là số thực âm. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Phương pháp trắc nghiệm. Vì hàm số bậc 4 trùng phương hệ số \[a;b\] trái dấu nhau nên có 3 cực trị.
Phương pháp tự luận. Tính \[y' = 4{x^3} + 2mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt { - \frac{m}{2}} \\x = - \sqrt { - \frac{m}{2}} \end{array} \right.\] nên hàm số có 3 cực trị.
Câu 19:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}\)có đồ thị như hình vẽ. Hãy tính tổng \(S = a + b + c\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\)\( \Leftrightarrow - \frac{b}{c} = 1 \Leftrightarrow b + c = 0\)\(\left( 1 \right)\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{c} = 1 \Leftrightarrow a - c = 0\)\(\left( 2 \right)\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - 2;0} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2a + 2}}{{ - 2c + b}} = 0 \Leftrightarrow a = 1\)\(\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\)và \(\left( 3 \right)\)\( \Rightarrow a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 1\).
Vậy \(S = a + b + c = 1\).
Câu 20:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Khi đó, số nghiệm thực của phương trình \(2018f\left( x \right) - 2019 = 0\) là:
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có, \(2018f\left( x \right) - 2019 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{2019}}{{2018}} \in \left( {1;2} \right)\).
Dựa vào đồ thị ta thấy, đường thẳng \(y = \frac{{2019}}{{2018}}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(4\) điểm phân biệt.
Câu 21:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 4}}\]. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị có ba đường tiệm cận.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 4}} = 0\). suy ra đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Để đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận thì phương trình \[{x^2} - 2mx + 4 = 0\] có hai nghiệm phân biệt và khác \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 2m\left( { - 1} \right) + 4 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\2m + 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 2}\\{m < - 2}\end{array}} \right.}\\{m \ne - \frac{5}{2} \cdot }\end{array}} \right.\)
Câu 22:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + 3}}{{2x - b}}\)có bảng biến thiên như sau
Giá trị \(a - 2b\)bằng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Đk: \( - a.b - 6 \ne 0 \Leftrightarrow a.b \ne - 6\)
Từ BBT ta dễ dàng nhận thấy ĐTHS có TCN là: \(y = 2\)
và tiệm cận đứng là: \(x = 1\)
Suy ra \[\frac{a}{2} = 2 \Leftrightarrow a = 4\]và \[\frac{b}{2} = 1 \Leftrightarrow b = 2\](TMĐK)
Vậy \[a - 2b = 4 - 2.2 = 0\].
Câu 23:
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\),\(AB = a\),\(AC = 2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\). Tính thể tích V của khối chóp \(S.ABC\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Diện tích đáy \(B = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.2a = {a^2}\)
Chiều cao: \(h = a\)
\({V_{ABCA'B'C'}} = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{3}\)
Câu 24:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức CauChy)
\(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{3x}}{2} + \frac{{3x}}{2} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{3x}}{2}.\frac{{3x}}{2}.\frac{4}{{{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{9}\) (do \(x > 0\))
Dấu xảy ra khi \(\frac{{3x}}{2} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\).
Vậy \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 3\sqrt[3]{9}\)
Cách 2: (Dùng đạo hàm)
Xét hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y{\rm{'}} = 3 - \frac{8}{{{x^3}}}\)
Cho \(y{\rm{'}} = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{{{x^3}}} = 3 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\)
\( \Rightarrow \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}} \right) = 3\sqrt[3]{9}\).
Câu 25:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số\(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - \left( {2m - 3} \right)x + 4\) đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
TXĐ: D = \(\mathbb{R}\).
Có \(y' = {x^2} + 4x - 2m + 3\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)thì \(y' \ge 0\)\(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 2m + 3 \ge 0\)\(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3\; \ge \;2m\)\(\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\quad \left( * \right)\)
Đặt \(h\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3\)với \(x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)
Ta có \(h'\left( x \right) = 2x + 4\)
\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 2\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có\(\left( * \right)\; \Leftrightarrow \;2m\; \le \;0\; \Leftrightarrow \;m\; \le \;0\) hay \(m \in \left( { - \infty ;0} \right]\)
Câu 26:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{2}\).
Suy ra đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có hai đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\)và \(y = - \frac{1}{2}\).
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\)ta thấy: phương trình \(f\left( x \right) = 0\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < - 1 < {x_2}\).
Khi đó: \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) = 0\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}^ - } f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) > 0\,khi\,x \to {x_1}^ - \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty \)và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}^ - } f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) > 0\,khi\,x \to {x_2}^ - \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty \).
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có hai tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = {x_1}\)và \(x = {x_2}\).
Câu 27:
Cho khối chóp \[S.ABC{\rm{ }}\]có đáy \[ABC{\rm{ }}\]là tam giác vuông cân tại \[A\], \[BC = a\sqrt 2 \]. Hình chiếu vuông góc \[H\] của \[S\] trên mặt phẳng đáy là trung điểm của đoạn thẳng \[BC\] và \[SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính thể tích \[V\] của khối chóp đã cho.
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Ta có \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SH\).
Vì\[ABC{\rm{ }}\]là tam giác vuông cân tại \[A\], cạnh huyền \[BC = a\sqrt 2 \] nên \[AB = AC = a\].
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}\].
Tam giác \[ABC{\rm{ }}\]vuông tại \[A\] có trung tuyến \[AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Tam giác \[SAH\]vuông tại \[H\] có \[SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\].
Vậy \(V = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
Câu 28:
Cho hàm số \[y = \frac{{mx - {m^2} - 2}}{{ - x + 1}}\] (\[m\] là tham số thực) thỏa mãn \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right]} y = \frac{{ - 1}}{3}\]. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có \(y' = \frac{{ - {m^2} + m - 2}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} < 0\)với \(\forall x \in \left[ { - 4; - 2} \right]\)\( \Rightarrow \)hàm số \[y = \frac{{mx - {m^2} - 2}}{{ - x + 1}}\] nghịch biến trên \(\left[ { - 4; - 2} \right]\) \( \Rightarrow \)\[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right]} y = y\left( { - 4} \right)\]\( = \frac{{ - {m^2} - 4m - 2}}{5}\).
Theo đề bài ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right]} y = \frac{{ - 1}}{3}\]\( \Leftrightarrow \frac{{ - {m^2} - 4m - 2}}{5} = - \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow 3{m^2} + 12m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 6 + \sqrt {33} }}{3}\\m = \frac{{ - 6 - \sqrt {33} }}{3}\end{array} \right.\).
Câu 29:
Hàm số \(f\left( x \right)\)có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\), biết \(f\left( 2 \right) = 1\). Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Ta có hàm số \(f\left( x \right)\)có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right)\)đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Lại có \(f\left( 2 \right) = 1\)mà \(3 > 2 \Rightarrow f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right)\) nên \(A\) sai
\(1 < 2 \Rightarrow f\left( 1 \right) < f\left( 2 \right)\) nên \(C\) sai
\(2019 < 2020 \Rightarrow f\left( {2019} \right) < f\left( {2020} \right)\) nên \(D\) sai
Xét \(B\):\(f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) = 4 \Rightarrow f(3) = 4 - f\left( 2 \right) = 4 - 1 = 3 > f\left( 2 \right)\)
Vậy \(B\) có thể xảy ra
Câu 30:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f{\rm{'}}\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right){\left( {x + 4} \right)^3},\forall x \in \mathbb{R}\). Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn C
\(f{\rm{'}}\left( x \right) = 0\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 4} \right)}^3} = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = - 4}\end{array}} \right.}\end{array}\)
Ta có bảng xét dấu của \(f{\rm{'}}\left( x \right)\)
Dựa vào bảng xét dấu của \(f{\rm{'}}\left( x \right)\) suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.
Câu 31:
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài đường chéo 1 mặt \(AC = 2\sqrt 2 a\). Thể tích của khối lập phương là:
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Gọi \(x\) là độ dài cạnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
Ta có \(AC = 2\sqrt 2 a \Leftrightarrow x\sqrt 2 = 2\sqrt 2 a \Leftrightarrow x = 2a\)
Vậy thể tích của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' là \(V = {x^3} = {\left( {2a} \right)^3} = 8{a^3}.\)
Câu 32:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BC\), \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích là \({V_1},{V_2}\) \(\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn B
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kéo dài \(MN\) cắt \(DA\), \(DC\) lần lượt tại \(F\), \(E\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(FK \cap SD = Q\). Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(QE \cap SC = P\).
Suy ra thiết diện là ngũ giác \(MNPQK\) và \(MN{\rm{//}}AC\;{\rm{//\;}}PK\).
Đặt \(h = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {K,\left( {ABCD} \right)} \right) = d\left( {P,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}h\)
Ta có: \(FA = BN = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \frac{{FD}}{{FA}} = 3\).
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAD\), suy ra
\(\frac{{QS}}{{QD}}.\frac{{FD}}{{FA}}.\frac{{KA}}{{KS}} = 1 \Rightarrow \frac{{QS}}{{QD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{QD}}{{SD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow d\left( {Q,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{3}{4}h\)
Mặt khác: \({S_{FAM}} = {S_{NCE}} = {S_{BMN}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{DEF}} = \frac{9}{8}{S_{ABCD}}\)
Suy ra thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S là
\(V = {V_{QDEF}} - {V_{KAMF}} - {V_{PECN}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{3}{4}h.\frac{9}{8}S - \frac{1}{2}h.\frac{1}{8}S - \frac{1}{2}h.\frac{1}{8}S} \right)\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{{23}}{{32}}.h.{S_{ABCD}} = \frac{{23}}{{32}}{V_{ABCD}} = {V_2}\)
\( \Rightarrow {V_1} = \frac{9}{{32}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{{23}}\)
Câu 33:
Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm \(f'\left( x \right)\) như hình dưới.
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\) là
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
\(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 3} \right)f'\left( {{x^3} - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} - 3 = 0}\\{f'\left( {{x^3} - 3x} \right) = 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 1}\\{{x^3} - 3x = m\quad \left( 1 \right),m \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\).
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^3} - 3x \Rightarrow h'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt khác \( - 1\)và \(1\).
Nên phương trình \(g'\left( x \right) = 0\)có \(5\) nghiệm đơn phân biệt \( \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\)có 5 điểm cực trị.
Câu 34:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\). Tìm số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).
Xem đáp án
Lời giải
Chọn D
Xét \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right).f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right)\)
Ta có: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'\left( x \right) = 0\left( 1 \right)}\\{f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Giải (1): Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\)suy ra hàm số \(f\left( x \right)\)có 3 điểm cực trị từ đó suy ra : \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a,a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = 1}\\{x = b,b \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\)
Giải (2): Tương tự như phương trình (1) ta suy ra : \(f'\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) - 1 = a,a \in \left( { - 1;0} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = 1}\\{f\left( x \right) - 1 = b,b \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = a + 1,a + 1 > 0}\\{f\left( x \right) = 2}\\{f\left( x \right) = b + 1,2 < b + 1 < 3}\end{array}} \right.\)
Nhận thấy đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\)cắt :
+) Đường thẳng: \(y = a + 1\)tại \(2\)điểm phân biệt
+) Đường thẳng: \(y = 2\)tại \(2\)điểm phân biệt
+) Đường thẳng: \(y = b + 1\)tại \(2\)điểm phân biệt.
+) Đường thẳng: \(y = b + 1\)tại \(2\)điểm phân biệt.
Mặt khác các nghiệm của phương trình (1) và (2) không trùng nhau nên từ đó kết luận phương trình phương trình \(g'\left( x \right) = 0\)có \(9\)nghiệm phân biệt.
Câu 35:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có đồ thị là đường parabol như hình vẽ. Hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\)đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án
Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\)đi qua 3 điểm \(\left( {2;0} \right)\), \(\left( {1;0} \right)\), \(\left( {0;2} \right)\)nên hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có dạng\(y = f'\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).
Xét hàm số \(y' = {\left[ {f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}} \right]^'} = - 2xf'\left( {1 - {x^2}} \right) + 12x\)
\( = - 2x\left[ {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} - 3\left( {1 - {x^2}} \right) + 2} \right] + 12x = - 2x\left( {{x^4} + {x^2} - 6} \right) = - 2x\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\).
Bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)\)và\(\left( {0;\sqrt 2 } \right) \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\)đồng biến trên khoảng \(\left( {1;\sqrt 2 } \right)\).