IMG-LOGO

Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 5)

  • 3806 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\)đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Xem đáp án
Lời giải

Chọn B

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 4{x^3} + 4x = 4x({x^2} + 1)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên

Media VietJack

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0\,;\, + \infty )\).


Câu 2:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

Media VietJack

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án
Lời giải

Chọn B

Quan sát bảng đồ thị, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {0;2} \right).\)

Nên chọn đáp án


Câu 3:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\)và có bảng biến thiên như sau:

Media VietJack

Khẳng định nào sau đây là sai về sự biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\)?

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy \(y' < 0\)với mọi \(x > 3\), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {3;6} \right)\), do đó hàm số không thể đồng biến trên khoảng \(\left( {0;6} \right)\).


Câu 4:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 8{x^3} + 1\). Chọn mệnh đề đúng.
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 24{x^2} = 4{x^2}\left( {x - 6} \right)\) ; \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Media VietJack

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nhận điểm \(x = 6\)làm điểm cực tiểu.


Câu 5:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) và có đồ thị hàm số như hình vẽ sau

Media VietJack

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số, điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(N\left( {0; - 1} \right)\).


Câu 6:

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Phát biểu nào đúng?
Media VietJack
Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có giá trị cực đại bằng \(5\) tại \(x = 0\) và có giá trị cực tiểu bằng \(1\) tại \(x = 2.\) Từ các đáp án A, B, C, D ta chọn


Câu 7:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\)trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\)
Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\)xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\).

Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x - 9\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ { - 4;4} \right]\\x = - 3 \in \left[ { - 4;4} \right]\end{array} \right.\).

Khi đó \(y\left( { - 4} \right) = 21\), \(y\left( { - 3} \right) = 28\), \(y\left( 1 \right) = - 4\), \(y\left( 4 \right) = 77\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\)trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\)\( - 4\).


Câu 8:

Cho hàm số\(f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1\,;5} \right]\)và có đồ thị trên đoạn \(\left[ { - 1\,;5} \right]\)như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số\(f(x)\) trên đoạn \(\left[ { - 1\,;5} \right]\)bằng
Media VietJack
Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Nhìn đồ thị của hàm số\(f(x)\) trên đoạn \(\left[ { - 1\,;5} \right]\)ta thấy:

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f(x) = 3\)\(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f(x) = - 2\)nên \(M + m = 1\).

Câu 9:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}\)
Xem đáp án
Lời giải

Chọn A

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{x - 1}} = + \infty \).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\).


Câu 10:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Media VietJack

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } y = 3 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,{{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = + \infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 2\).

Vậy đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận.


Câu 11:

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

Media VietJack

Xem đáp án
Lời giải

Chọn C

Từ hình vẽ cho thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng: \(x = 1\) và đường tiệm cận

ngang: \(y = 1\).


Câu 13:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Hình tứ diện có \(4\)đỉnh và \(4\)mặt.


Câu 14:

Số cạnh của một khối lập phương là:
Xem đáp án
Lời giải

Chọn D

Khối lập phương là đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) có 6 mặt.

Mỗi mặt là hình vuông nên số cạnh là \(4.6 = 24\) cạnh.

Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của 2 mặt nên số cạnh của khối lập phương: \(\frac{{24}}{2} = 12\) cạnh.

Có thể áp dụng công thức: Số cạnh \( = \frac{{p.M}}{2}\) hoặc vẽ hình để đếm.


Câu 15:

Khối lập phương là khối đa diện đều thuộc loại nào?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Dựa vào định nghĩa và định lí về khối đa diện đều, khối lập phương thuộc loại \(\left\{ {4\,;\,3} \right\}\).


Câu 16:

Cho tứ diện \(ABCD\) có các cạnh \(AB,AC,AD\)đôi một vuông góc với nhau; \(AB = 3a;AC = 5a\) và \(AD = 8a\).Tính thể tích \(V\)của tứ diện \(ABCD\)?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có tứ diện \(ABCD\) có các cạnh \(AB,AC,AD\)đôi một vuông góc

Nên \(\mathop V\nolimits_{ABCD} = \frac{1}{6}.AB.AC.AD = \frac{1}{6}.3a.5a.8a = 20{a^3}\).


Câu 17:

Cho hình chóp đều \[S.ABC\] có cạnh đáy bằng \[a\], cạnh bên bằng \[\frac{{a\sqrt {21} }}{6}\]. Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \[S.ABC\].
Xem đáp án
Lời giải

Chọn D

Media VietJack

Gọi \[I\] là trung điểm của cạnh \[BC\], \[H\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] ta có: \[SH \bot \left( {ABC} \right)\]\[SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{2}{3}AI} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}.\]

Vậy \[V = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{1}{2}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\]


Câu 19:

Khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt bằng \[3cm\], \[4cm\], \[7cm\] thì có thể tích bằng
Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật: \[V = a.b.c\](trong đó: \[a,b,c\] là ba kích thước của hình hộp chữ nhật)

Nên: \[V = 3.4.7 = 84c{m^3}\].


Câu 20:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right)\]. Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\].

Từ đó, ta có bảng biến thiên như sau:

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên \(\left( {1\,;\,2} \right)\).


Câu 21:

Tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(f(x) = {x^3} - 2m{x^2} + x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\)là:
Xem đáp án
Lời giải

Chọn A

[phương pháp tự luận]

\[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4mx + 1\].

Hàm số nghịch biến trên \[\left( {1;2} \right)\] khi và chỉ khi \[f'\left( x \right) \le 0,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\]

Khi đó \[3{x^2} - 4mx + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{3{x^2} + 1}}{{4x}}\] \[\left( 1 \right)\].

Đặt \[g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 1}}{{4x}}\]; tập xác định \[D = \left( {1;2} \right)\].

\[g'\left( x \right) = \frac{{12{x^2} - 4}}{{16{x^2}}}\]. \[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} & & \left( l \right)\\x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\,\,\, & \left( l \right)\end{array} \right.\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = 1\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right) = \frac{{13}}{8}\].

Ta có bảng biến thiên hàm số \[y = g\left( x \right)\]:

Media VietJack 

Từ bảng biến thiên, \[\left( 1 \right)\] luôn đúng khi \[m \ge \frac{{13}}{8}\].

[phương pháp trắc nghiệm]

Thay \[m = 2\], lập bảng biến thiên hàm số, ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán, loại đáp án B,

Thay \[m = \frac{{13}}{8}\], lập bảng biến thiên hàm số, ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán, loại đáp án


Câu 22:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có: \(f'\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right..\)

Hàm số đã cho có \(2\) điểm cực trị.


Câu 23:

Cho hàm số \[y = \frac{{\left( {m - 1} \right){x^3}}}{3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 4x - 1\]. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \[{x_1}\], đạt cực đại tại \[{x_2}\] đồng thời \[{x_1} < {x_2}\] khi và chỉ khi:
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Yêu cầu bài toán tương đương tìm \[m\] để hàm số đã cho có hai cực trị.

\[y' = \left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 4\]. Hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, khi đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 6m + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\\m - 1 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\].


Câu 24:

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số y=x4-2mx2+m+1 có giá trị cực tiểu bằng \( - 1\). Tổng các phần tử thuộc \(S\)là:
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

        \(\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^4} - 2m{x^2} + m + 1}\\{y' = 4{x^3} - 4mx}\\{y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = m}\end{array}} \right.}\end{array}\)

TH1: \(m \le 0\): Khi đó: \({y_{ct}} = y\left( 0 \right) = {\rm{m}} + 1 = - 1 \Rightarrow m = - 2\)(thỏa mãn).

TH2: \(m > 0\): Khi đó: \({y_{ct}} = y\left( { \pm \sqrt m } \right) = - {m^2} + m + 1 = - 1 \Rightarrow {m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1\;\left( l \right)}\\{m = 2\;\left( {t/m} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy \(S = 0\).


Câu 25:

Biết rằng hàm số \[f\left( x \right) = - x + 2018 - \frac{1}{x}\] đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) tại \({x_0}\). Tính \(P = {x_0} + 2018\).
Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\)ta có: \[f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{x^2}}}\], \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) tại \({x_0} = 1\) nên \(P = {x_0} + 2018 = 2019\).


Câu 26:

Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{2x + 1}}\) (với \(m\) là tham số) thỏa mãn điều kiện \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} \right]} = 3\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\].

\(y' = \frac{{m + 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\).

Trường hợp 1: \(y' < 0 \Leftrightarrow m < - 2\). Khi đó \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} \right]} = y\left( 1 \right) = \frac{{m - 1}}{3} = 3 \Leftrightarrow m = 10\) (loại).

Trường hợp 2: \(y' > 0 \Leftrightarrow m > - 2\). Khi đó \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} \right]} = y\left( 2 \right) = \frac{{2m - 1}}{5} = 3 \Leftrightarrow m = 8\) (nhận).

Vậy: \(7 < m < 10\).


Câu 27:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{\sqrt {2x - {x^2}} + 1}}{{x - 1}}\]?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2} \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\].

Ta có \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {2x - {x^2}} + 1}}{{x - 1}} = - \infty \]; \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {2x - {x^2}} + 1}}{{x - 1}} = + \infty \].

Suy ra \[x = 1\]là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.


Câu 28:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\left( {{m^2} + 1} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Hàm số có nghĩa khi \(4 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\). TXĐ: \(D = \left( { - 2;2} \right)\)

Hàm số không có tiệm cận ngang.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{\left( {{m^2} + 1} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }} = + \infty \]. Suy ra: đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{\left( {{m^2} + 1} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }} = - \infty \]. Suy ra: đường thẳng \(x = - 2\) là tiệm cận đứng.


Câu 29:

Tìm \(a\), \(b\) để hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + 1}}\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Media VietJack
Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Dễ thấy đồ thị có tiệm cận ngang \(y = - 2 \Rightarrow \) \(a = - 2\).

Đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại điểm \(A\left( {0;1} \right)\) nên \(b = 1\).


Câu 30:

Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] có đồ thị như hình vẽ.

Media VietJack

Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] đi qua \(M\left( {0\,;\,\frac{b}{d}} \right)\), có đường tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c}\), đường tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\).

Quan sát đồ thị thấy:

+ Giao điểm với trục tung nằm phía dưới \(Ox\)nên \(\frac{b}{d} < 0 \Leftrightarrow bd < 0\)\( \Rightarrow \) Loại phương án

+ Đường tiệm cận ngang nằm phía trên \(Ox\)nên \(\frac{a}{c} > 0 \Leftrightarrow ac > 0\)\( \Rightarrow \) Loại phương án

+ Đường tiệm cận đứng nằm bên trái \(Oy\)nên \( - \frac{d}{c} < 0 \Leftrightarrow cd > 0\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}bd < 0\\cd > 0\end{array} \right. \Rightarrow bc < 0\)\( \Rightarrow \) Loại phương án

Kiểm chứng phương án D: \(\left\{ \begin{array}{l}ac > 0\\cd > 0\end{array} \right. \Rightarrow ad > 0\); \(\left\{ \begin{array}{l}ad > 0\\bd < 0\end{array} \right. \Rightarrow ab < 0\).

Lưu ý: Có thể sử dụng giao điểm của đồ thị với trục hoành nằm bên phải \(Oy\)nên \( - \frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow ab < 0\).


Câu 31:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\) và đường thẳng \(y = 2\) có bao nhiêu điểm chung?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta\(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\backslash \left( {\;\backslash Rightarrow\;\backslash } \right)\)\(y' = 3{x^2} - 6x\); \(y' = 0\backslash \left( {\;\backslash Leftrightarrow\;\backslash } \right)\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow y = - 2}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 6}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\):

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng \(y = 2\)đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\)\(1\) điểm chung duy nhất.


Câu 32:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên sau:

Media VietJack

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) - 2 = 0\)

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

\(f\left( x \right) - 2 = 0\;\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\).

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)và đường thẳng \(y = 2\).

Do \(2 \in \left( { - 2;4} \right)\)nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.


Câu 33:

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Với giá trị nào của tham số \(m\)thì phương trình \({x^4} - 2{x^2} - 3 = 2m - 4\) có hai nghiệm phân biệt?
Media VietJack
Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Media VietJack

Phương trình \({x^4} - 2{x^2} - 3 = 2m - 4\) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) và đường thẳng \(y = 2m - 4\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Dựa vào đồ thị hàm số trên, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left[ \begin{array}{l}2m - 4 = - 4\\2m - 4 > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right.\).


Câu 34:

Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Số cạnh đáy của khối lăng trụ là: \(5.2 = 10\).

Số cạnh bên của lăng trụ là: \(5\).

Do đó số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là \(15\).


Câu 35:

Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (tham khảo hình sau). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BB'\). Mặt phẳng \(\left( {AMC'} \right)\) chia khối lăng trụ đã cho thành các khối đa diện nào ?
Media VietJack
Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Media VietJack

Mặt phẳng \(\left( {AMC'} \right)\) chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối chóp tứ giác là khối \(A.MBCC'\)\(C'.AA'B'M\).


Câu 36:

Hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Media VietJack

Gọi hình lăng trụ đứng đã cho là \(ABCD.A'B'C'D'\) với đáy là hình thoi \(ABCD\).

Các mặt phẳng đối xứng của nó bao gồm:

- mặt phẳng trung trực của các cạnh bên

- mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\)

- mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\).

Câu 37:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\)\(SA\) vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa \(AC\)\(SB\) bằng \(a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Media VietJack
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Media VietJack

Dựng điểm \(E\) sao cho \(ACBE\) là hình bình hành.

Khi đó: \(AC//EB \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right)\).

Kẻ \(AI \bot EB\left( {I \in AB} \right)\), kẻ \(AH \bot SI\left( {H \in SI} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SEB} \right)} \right) = AH = a\).

Tam giác \(A\) vuông tại tại \(A\).

Ta có \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}}\).

Xét \(\Delta SAI\), ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 \).

Vậy thể tích của tích khối chóp \(S.ABCD\)\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .4{a^2} = \frac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).


Câu 38:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \[A\]\(D\); \[AB = AD = 2a\], \[BC = a\sqrt 5 \], \[CD = a\], góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\]\[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[60^\circ \]. Gọi \[I\] là trung điểm cạnh \[AD\]. Biết hai mặt phẳng \(\left( {SBI} \right)\)\[\left( {SCI} \right)\] cùng vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]. Tính thể tích khối chóp \[S.ABCD\].
Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Media VietJack

Do \[\left( {SBI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\]\[\left( {SCI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[SI \bot \left( {ABCD} \right)\].

Ta có \[IB = \sqrt {A{B^2} + A{I^2}} = a\sqrt 5 \], \[CI = \sqrt {C{D^2} + D{I^2}} = a\sqrt 2 \], suy ra tam giác \[BCI\] cân tại \[B\].

Gọi \[K\] là trung điểm của \[CI\], \[BK = \sqrt {B{C^2} - C{K^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\], \[{S_{\Delta BCI}} = \frac{1}{2}BK.CI = \frac{{3{a^2}}}{2}\].

Kẻ \[IH \bot BC \Rightarrow BC \bot SH\] nên góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\]\[\left( {ABCD} \right)\] là góc \[\widehat {SHI}\].

\[{S_{\Delta BCI}} = \frac{1}{2}IH.BC \Rightarrow IH = \frac{{2{S_{\Delta BCI}}}}{{BC}} = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}\], \[SI = IH.\tan 60^\circ = \frac{{3a}}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 3 = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}\].

Vậy \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SI.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}\frac{{a + 2a}}{2}.2a = \frac{{3{a^3}\sqrt {15} }}{5}\].


Câu 39:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Media VietJack

Hàm số \(y = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có \(y' = 3f'\left( {x + 3} \right) - 3{x^2} + 12 = 3\left[ {f'\left( {x + 3} \right) + \left( {4 - {x^2}} \right)} \right]\)

Từ bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) ta có \(f'\left( {x + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x + 3 < 1\\5 < x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4 < x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\);

\(f'\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 4\\x = \pm 2\end{array} \right.\).

Suy ra bảng xét dấu \(y'\) như sau

Media VietJack

Vậy hàm số \(y = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)\(\left( { - 4; - 2} \right)\).


Câu 40:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\)như hình vẽ bên. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right) + 3f\left( {2 - 2x} \right) + 1\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Media VietJack
Xem đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2} - 2} \right) - 6f'\left( {2 - 2x} \right) = k\left( x \right) + q\left( x \right)\)

Đặt

\[k\left( x \right) = 2xf'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\\{x^2} - 2 = - 3\\{x^2} - 2 = 0\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \\x = \pm 2\end{array} \right.\]

Đặt

\(q\left( x \right) = - 6f'\left( {2 - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 2x = - 3\\2 - 2x = 0\\2 - 2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\x = 1\\x = 0\end{array} \right.\)

Ta có bảng xét dấu

Media VietJack

Suy ra hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right) + 3f\left( {2 - 2x} \right) + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).


Câu 41:

Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\]để hàm số \(y = \frac{{mx - 2}}{{m - 2x}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Để hàm số \(y = \frac{{mx - 2}}{{ - 2x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{2} \le \frac{1}{2}\\{m^2} - 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\ - 2 < m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m \le 1\].


Câu 42:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m + 7} \right)x + m - 5\] có hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \[\sqrt {74} \].
Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

\[y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m + 7} \right)x + m - 5\]\[ \Rightarrow y' = {x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - m + 7\].

+) Hàm số có hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông thì \[y'\] có 2 nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - m - 7} \right) > 0\\2m - 1 > 0\\{m^2} - m + 7 > 0\end{array} \right.\](*).

+) Khi đó, gọi \[{x_1}\], \[{x_2}\] là 2 điểm cực trị của hàm số thì \[{x_1}\], \[{x_2}\] là hai nghiệm của \[y'\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {2m - 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - m + 7\end{array} \right.\].

Theo giả thiết ta có \[x_1^2 + x_2^2 = 74\]\[ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 74\]\[ \Leftrightarrow 4{\left( {2m - 1} \right)^2} - 2.\left( {{m^2} - m + 7} \right) = 74\]\[ \Leftrightarrow 14{m^2} - 14m - 84 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 2\end{array} \right.\].

Thử vào \[\left( * \right) \Rightarrow m = 3\].


Câu 43:

Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng \(1\) mét. Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng?
Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Media VietJack

Kẻ \(AH \bot CD,BK \bot CD \Rightarrow ABKH\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB = HK = 1\left( m \right).\)

Đặt \(DH = x.\) Khi đó \(AH = \sqrt {1 - {x^2}} \left( {0 < x < 1} \right).\)

Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền – góc nhọn)

  \( \Rightarrow DH = CK = x \Rightarrow CD = DH + HK + CK = 2x + 1.\)

Ta có \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2} = \frac{{\left( {1 + 2x + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} }}{2} = \left( {x + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} .\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} \left( {0 < x < 1} \right),\) ta có

\(f'\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{x^2} - x + 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}\left( n \right)}\\{x = - 1\left( l \right)}\end{array}} \right..\)

Bảng biến thiên:

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f\left( x \right) \le f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}.\)

Vậy diện tích lớn nhất của hình thang \(ABCD\) là \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {{m^2}} \right).\)


Câu 44:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) và có bảng biến thiên như sau

Media VietJack

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{{2020}}{{f\left( x \right) - 3}}\).

Xem đáp án
Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình \(f\left( x \right) - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a \in \left( { - \infty ; - 1} \right)}\\{x = b \in \left( { - 1;1} \right)}\\{x = c \in \left( {1;2} \right)}\\{x = d \in \left( {2; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\).

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{2020}}{{f\left( x \right) - 3}} = - \infty \Rightarrow \) đường thẳng \(x = a\) là đường tiệm cận đứng. \(\mathop {lim}\limits_{x \to {b^ + }} g\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {b^ + }} \frac{{2020}}{{f\left( x \right) - 3}} = + \infty \) \( \Rightarrow \) đường thẳng \(x = b\) là đường tiệm cận đứng.

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {c^ + }} g\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {c^ + }} \frac{{2020}}{{f\left( x \right) - 3}} = + \infty {\rm{\;}} \Rightarrow \)đ ường thẳng \(x = c\) là đường tiệm cận đứng.

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {d^ + }} g\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to {d^ + }} \frac{{2020}}{{f\left( x \right) - 3}} = - \infty \) \( \Rightarrow \) đường thẳng \(x = d\) là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = \frac{{2020}}{{f\left( x \right) - 3}}\) có 4 đường tiệm cận đứng.


Câu 45:

Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m - 1\) cắt đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) tại 3 điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt (\(B\) thuộc đoạn \(AC\)), sao cho tam giác \(AOC\) cân tại \(O\) (với \(O\) là gốc toạ độ).
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và đường cong \(\left( C \right)\): \({x^3} - 3{x^2} + 1 = mx - m - 1\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - 2 - m = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.\).

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = m + 3\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\) khi và chỉ khi \(m > - 3\).

Khi đó \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \({x_1} = 1 - \sqrt {m + 3} \), \({x_2} = 1 + \sqrt {m + 3} \) thỏa \({x_1} < 1 < {x_2}\).

Không mất tính tổng quát, gọi \(A\left( {1 - \sqrt {m + 3} ; - m\sqrt {m + 3} - 1} \right)\), \(B\left( {1; - 1} \right)\), \(C\left( {1 + \sqrt {m + 3} ;m\sqrt {m + 3} - 1} \right)\).

Tam giác \(AOC\) cân tại \(O\) \( \Leftrightarrow OA = OC \Leftrightarrow O{A^2} = O{C^2}\)

      \( \Leftrightarrow {\left( {1 - \sqrt {m + 3} } \right)^2} + {\left( { - m\sqrt {m + 3} - 1} \right)^2} = {\left( {1 + \sqrt {m + 3} } \right)^2} + {\left( {m\sqrt {m + 3} - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 4\sqrt {m + 3} - 4m\sqrt {m + 3} = 0 \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\sqrt {m + 3} = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Với \(m = 1\) thỏa mãn điều kiện tồn tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) và khi đó đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 2\) không đi qua gốc tọa độ \(O\) nên \(A\), \(O\), \(C\) tạo thành tam giác cân. Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

Cách 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và đường cong \(\left( C \right)\): \({x^3} - 3{x^2} + 1 = mx - m - 1\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - 2 - m = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.\).

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = m + 3\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\),\({x_2}\) khác \(1\) khi và chỉ khi \(m > - 3\).

Xét \({x^2} - 2x - 2 - m = 0\,\)\(\left( * \right)\)

Theo Viet:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = - m - 2}\end{array}} \right.\)

Khi đó:\(A\left( {{x_1};m{x_1} - m - 1} \right)\),\(B\left( {{x_2};m{x_2} - m - 1} \right)\).

Cần có:\(O{A^2} = O{B^2}\)

          \( \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( {m{x_1} - m - 1} \right)^2} = x_2^2 + {\left( {m{x_2} - m - 1} \right)^2}\)

   \( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m\left[ {m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m - 2} \right]} \right] = 0\)

          \( \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m\left[ {m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m - 2} \right]} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow 2 + m\left( {2m - 2m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 1\).


Câu 46:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có bảng biến thiên như sau

Media VietJack

Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\)có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {x_1}{\rm{ }}\left( {{x_1} < - 3} \right){\rm{     }}\\f\left( x \right) = {x_2}{\rm{ }}\left( { - 3 < {x_2} < 2} \right)\\f\left( x \right) = {x_3}{\rm{ }}\left( {{x_3} > 2} \right){\rm{       }}\end{array} \right.\).

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên

+ Trường hợp 1: \(f\left( x \right) = {x_1}{\rm{ }}\left( {{x_1} < - 3} \right)\)có 1 nghiệm.

+ Trường hợp 2: \(f\left( x \right) = {x_2}{\rm{ }}\left( { - 3 < {x_2} < 2} \right)\)có nhiều nhất 3 nghiệm.

+ Trường hợp 3: \(f\left( x \right) = {x_3}{\rm{ }}\left( {{x_3} > 2} \right)\)có 1 nghiệm.

Vậy phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\)có nhiều nhất 5 nghiệm.


Câu 47:

Cho hình chóp \(S.ABCD\)đáy là hình bình hành. Gọi \(M,N\)lần lượt là trung điểm của \(SA,SC\). Mặt phẳng \((BMN)\)cắt \(SD\)tại \(P\). Tỉ số \(\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\)bằng:
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Media VietJack

Ta có \(M,N\)là trung điểm của \(SA,SC\)nên \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}\).

Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus cho \(\Delta SOD\)ta có :\[\frac{{PS}}{{PD}} \cdot \frac{{BD}}{{BO}} \cdot \frac{{IO}}{{IS}} = 1 \Rightarrow \frac{{PS}}{{PD}} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \Rightarrow \frac{{PS}}{{PD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{SP}}{{SD}} = \frac{1}{3}\].

Cách 2: Kẻ \(OH//BP\), ta có \(O\)là trung điểm của \(BD\)nên \(H\)là trung điểm của \(PD\).

Ta có \(OH//IP\)\(I\)là trung điểm của \(SO\)nên \(P\)là trung điểm của \(SH\).

Suy ra \(SP = PH = HD\)\[ \Rightarrow \frac{{SP}}{{SD}} = \frac{1}{3}\].

Theo công thức tỉ số thể tích ta có : \(\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{2{V_{S.BMP}}}}{{2{V_{S.BAD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SP}}{{SD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\)

Câu 48:

Cho hình hộp đứng \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), đường thẳng \(D{B_1}\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)\) góc \(30^\circ \). Tính thể tích khối hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Media VietJack

Ta có \(DC \bot \left( {BC{C_1}{B_1}} \right)\) suy ra hình chiếu của \(D{B_1}\) lên \(\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)\) là \(C{B_1}\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {D{B_1},\left( {BC{C_1}{B_1}} \right)} \right)} = \widehat {\left( {D{B_1},C{B_1}} \right)} = \widehat {D{B_1}C} = 30^\circ \)

Xét \(\Delta D{B_1}C\) vuông ở \(C\) có \(\tan \widehat {D{B_1}C} = \frac{{DC}}{{{B_1}C}} \Leftrightarrow \tan 30^\circ = \frac{a}{{{B_1}C}} \Rightarrow {B_1}C = a\sqrt 3 \)

Xét \(\Delta {B_1}BC\) vuông ở \(B\) có \(B{B_1} = \sqrt {{B_1}{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \)

Thể tích khối hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là \(V = B{B_1}.{S_{ABCD}} = a\sqrt 2 .{a^2} = {a^3}\sqrt 2 \).


Câu 49:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) + \frac{{{{\left( {5\sin x - 1} \right)}^2}}}{4} + 3\)có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng \(\left( {0\,;\,2\pi } \right)\)?
Media VietJack
Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Media VietJack

Ta có \(g\left( x \right) = 2f\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) + {\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right)^2} + 3\)

\[g'\left( x \right) = \frac{{5\cos x}}{2}\left[ {2f'\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) + 2.\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{2f'\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) + 2.\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\]

Đặt \[t = \frac{{5\sin x - 1}}{2}\]vì \(x \in \left( {0\,;\,2\pi } \right) \Rightarrow t \in \left[ { - 3;2} \right]\)

Khi đó: \[2f'\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) + 2.\left( {\frac{{5\sin x - 1}}{2}} \right) = 0\]thành \[f'\left( t \right) = - t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \frac{1}{3}\,}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - 3}\end{array}}\end{array}} \right.\]

Với \(t = 1 \Rightarrow \frac{{5\sin x - 1}}{2} = 1 \Leftrightarrow \sin x = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\alpha _1} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)}\\{x = {\alpha _2} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)}\end{array}} \right.\).

Với \(t = \frac{1}{3}\, \Rightarrow \frac{{5\sin x - 1}}{2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin x = \,\frac{1}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\alpha _3} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)}\\{x = {\alpha _4} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)}\end{array}} \right.\).

Với \(t = - 1 \Rightarrow \frac{{5\sin x - 1}}{2} = - 1 \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{5} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\alpha _5} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)}\\{x = {\alpha _6} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)}\end{array}} \right.\).

Với \(t = - 3 \Rightarrow \frac{{5\sin x - 1}}{2} = - 3 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{2} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)\).

\(\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)}\\{x = \frac{{3\pi }}{2} \in \left( {0\,;\,2\pi } \right)}\end{array}} \right.\).

Vì \[x = \frac{{3\pi }}{2}\]là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\)có \[7\]điểm cực trị trên khoảng \(\left( {0\,;\,2\pi } \right)\).


Câu 50:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + m\) (\(m\) là tham số thực). Tìm tổng tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + 2\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 10\).
Xem đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta xét \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + m\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\), \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 6{x^2}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \in \left[ {0;1} \right]}\\{x = \frac{3}{2} \notin \left[ {0;1} \right]}\end{array}} \right.\).

\(f\left( 0 \right) = m;f\left( 1 \right) = m - 1\).

Ta xét các trường hợp sau:

-Nếu \(m \le 0\) thì \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1 - m;\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = - m\).

Khi đó: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + 2\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 10 \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right) + 2\left( { - m} \right) = 10 \Leftrightarrow m = - 3\) (thỏa điều kiện).

-Nếu \(m \ge 1\) thì \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m;\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\).

Khi đó: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + 2\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 10 \Leftrightarrow m + 2\left( {m - 1} \right) = 10 \Leftrightarrow m = 4\) (thỏa điều kiện).

-Nếu \(\frac{1}{2} \le m < 1\) thì \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m;\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\).

Khi đó: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + 2\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 10 \Leftrightarrow m = 10\) (không thỏa điều kiện).

-Nếu \(0 < m < \frac{1}{2}\) thì \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1 - m;\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\).

Khi đó: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + 2\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 10 \Leftrightarrow 1 - m = 10 \Leftrightarrow m = - 9\) (không thỏa điều kiện).

Do đó có hai giá trị \(m = - 3\) và \(m = 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy tổng tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + 2\mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 10\)\(1\).

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương