15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P1) (Nhận biết)

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên (a;b). Nếu $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm $x_{0}$ thuộc (a;b) thì:

A. $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số

B. $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số

C. $x_{0}$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số

D. $x_{0}$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Xem đáp án

Đáp án B

Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương qua điểm $x_{0}$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số

Câu 2:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a;b). Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x_{0}$ thì:

A. $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số

B. $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số

C. $x_{0}$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số

D. $x_{0}$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Xem đáp án

Đáp án A

Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x_{0}$ thì $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số

Câu 3:

Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a;b). Nếu $\{\begin{matrix} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) > 0 \end{matrix}$ thì:

A. $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số

B. $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số

C. $x_{0}$

D. $x_{0}$ là điểm nằm bên phải trục tung

Xem đáp án

Đáp án A

Nếu $\{\begin{matrix} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) > 0 \end{matrix}$ thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số

Câu 4:

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng (a;b) và $x_{0} \in (a, b)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $y' (x_{0}) = 0$ và $y'' (x_{0}) \neq 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số

B. $y' (x_{0}) = 0$ và $y'' (x_{0}) > 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số

C. Hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$ thì $y' (x_{0}) = 0$

D. $y' (x_{0}) = 0$ và $y'' (x_{0}) = 0$ thì $x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số

Xem đáp án

Đáp án D

Câu C đúng theo điều kiện cần của cực trị

Câu A, B đúng theo điều kiện đủ của cực trị

Câu D sai theo điều kiện đủ cho cực trị tồn tại

Câu 5:

Nếu $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số thì $f (x_{0})$ là:

A. Giá trị cực tiểu của hàm số

B. Giá trị cực đại của hàm số

C. Điểm cực tiểu của hàm số

D. Điểm cực đại của hàm số

Xem đáp án

Đáp án A

Nếu $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số thì $f (x_{0})$ là giá trị cực tiểu của hàm số

Câu 6:

Nếu $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số thì $f (x_{0})$ là:

A. Giá trị cực tiểu của hàm số

B. Giá trị cực đại của hàm số

C. Điểm cực tiểu của hàm số

D. Điểm cực đại của hàm số

Xem đáp án

Đáp án B

Nếu $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số thì $f (x_{0})$ là giá trị cực đại của hàm số

Câu 7:

Nếu $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số thì $(x_{0}; f (x_{0}))$ là:

A. Giá trị cực đại của hàm số

B. Giá trị cực đại của đồ thị hàm số

C. Điểm cực đại của hàm số

D. Điểm cực đại của đồ thị hàm số

Xem đáp án

Đáp án D

Nếu $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số thì $(x_{0}; f (x_{0}))$ là điểm cực đại của hàm số

Câu 8:

Cho các phát biểu sau:

1. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$ khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua $x_{0}$

2. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ khi và chỉ khi $x_{0}$ là nghiệm của đạo hàm.

3. Nếu $f' (x) = 0$ và $f'' (x) = 0$ thì $x_{0}$ không phải là cực trị của hàm số $y = f (x)$ đã cho

4. Nếu $f' (x) = 0$ và $f'' (x) = 0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$

Các phát biểu đúng là:

A. 1, 3, 4

B. 1

C. 1, 2, 4

D. Tất cả đều đúng

Xem đáp án

Đáp án B

+ Ta có định lí: nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm $x_{0}$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_{0}$ $\Rightarrow$ 1 đúng.

+ Điều kiện cần để $x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số là: $x_{0}$ là nghiệm của phương trình $f' (x) = 0 \Rightarrow 2$ sai

+ Nếu $f' (x_{0}) = 0$ và f (x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm $x_{0}$ thì:

Nếu $f'' (x_{0}) < 0$ thì hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm $x_{0}$
Nếu $f'' (x_{0}) > 0$ thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm $x_{0}$
Nếu $f' (x_{0}) = 0$ và $f'' (x_{0}) = 0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại điểm $x_{0}$

Khi $\{\begin{matrix} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) = 0 \end{matrix}$ thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại $x_{0}$

Ví dụ:

+ TH1: xét hàm $f (x) = x^{4}$ có $f' (x) = 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ; $f'' (x) = 12 x^{2}$ và $f'' (0) = 0$

Trong TH này hàm số có $f'' (0) = 0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 vì đạo hàm $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua x = 0.

+ TH2: xét hàm $f (x) = x^{3}$ có $f' (x) = 3 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ; $f'' (x) = 6 x \Rightarrow f'' (0) = 0$

Trong TH này hàm số có $f'' (0) = 0$ nhưng không đạt cực trị tại x = 0 vì đạo hàm $f' (x) = 3 x^{2}$ không đổi dấu tại x = 0.

$\Rightarrow$ 3 và 4 sai

Câu 9:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ khi và chỉ khi $x_{0}$ là nghiệm của đạo hàm

B. Nếu $f' (x_{0}) = 0$ và $f'' (x_{0}) > 0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$

C. Nếu $f' (x_{0}) = 0$ và $f'' (x_{0}) = 0$ thì $x_{0}$ không phải là cực trị của hàm số $y = f (x)$ đã cho

D. Nếu $f' (x)$ đổi dấu khi x qua điểm $x_{0}$ và f (x) liên tục tại $x_{0}$ thì hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại điểm $x_{0}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phát biểu “Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x_{0}$ khi và chỉ khi $x_{0}$ là nghiệm của đạo hàm” là sai vì tồn tại hàm số có cực trị tại điểm $x_{0}$ không phải là nghiệm của đạo hàm (chẳng hạn hàm $y = |x|$ đạt cực trị tại x = 0 mà không có đạo hàm tại điểm đó)

Phát biểu “Nếu $f' (x_{0}) = 0$ và $f'' (x_{0}) > 0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$ ” là sai vì nếu $f' (x_{0}) = 0$ và $f'' (x_{0}) > 0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_{0}$

Phát biểu “Nếu $f' (x_{0}) = 0$ và $f'' (x_{0}) = 0$ thì $x_{0}$ không phải là cực trị của hàm số $y = f (x)$ đã cho” là sai vì tồn tại hàm số, chẳng hạn $y = x^{4}$ có $f' (0) = 0$ và $f'' (0) = 0$

Và x = 0 là cực trị của hàm số.

Phát biểu “Nếu $f' (x)$ đổi dấu khi x qua điểm $x_{0}$ và f (x) liên tục tại $x_{0}$ thì hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ ” là đúng.

Câu 10:

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ có:

A. Nghiệm kép

B. Vô nghiệm

C. Hai nghiệm phân biệt

D. Cả A và B

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Câu 11:

Nếu hàm số bậc ba có phương trình $y' = 0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số bậc ba đó:

A. Không có cực trị

B. Có 1 cực trị

C. Có 2 cực trị

D. Cả A và B đúng

Xem đáp án

Đáp án A

Nếu hàm số bậc ba có phương trình $y' = 0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số bậc ba đó không có cực trị

Câu 12:

Chọn phát biểu đúng:

A. Hàm số bậc ba nếu có cực đại thì không có cực tiểu

B. Hàm số bậc ba nếu có cực tiểu thì không có cực đại

C. Hàm số bậc ba nếu có cực đại thì có cả cực tiểu

D. Hàm số bậc ba luôn có cả cực đại và cực tiểu

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2 cực trị hoặc không có cực trị nào nên nếu nó có cực đại thì chắc chắn có cực tiểu và ngược lại nên A, B sai.

Không phải lúc nào hàm bậc ba cũng có 2 cực trị, vẫn có trường hợp không có cực trị nên D sai.

Câu 13:

Chọn phát biểu đúng:

A. Hàm số bậc ba luôn không có cực trị

B. Hàm số bậc ba luôn chỉ có một cực trị

C. Hàm số bậc ba nếu có cực đại thì có cả cực tiểu

D. Hàm số bậc ba luôn có cực trị

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2 cực trị hoặc không có cực trị nào nên nếu nó có cực đại thì chắc chắn có cực tiểu và ngược lại nên A, B sai.

Không phải lúc nào hàm bậc ba cũng có 2 cực trị, vẫn có trường hợp không có cực trị và ngược lại nênA, D sai.

Câu 14:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên trên khoảng (0; 2) như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A. Trên (0; 2), hàm số không có cực trị

B. Hàm số đạt cực trị tại x = 1

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Xem đáp án

Đáp án B

A sai vì trên đoạn (0; 2) vẫn có cực trị tại x = 1

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên B đúng.

C sai vì hàm số đạt cực đại tại x = 1 không phải cực tiểu.

D sai vì đạo hàm không đổi dấu qua x = 0

Câu 15:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 3

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0

Xem đáp án

Đáp án B

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x = - 2 nên x = - 2 là điểm cực tiểu của hàm số (C đúng)

- Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua x = 2 nên x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số (A đúng)

- Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x = 0 nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số (D đúng)

- Qua điểm x = 3 thì đạo hàm không đổi dấu nên x = 3 không là điểm cực trị của hàm số (B sai)