30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 30 câu trắc nghiệm: Hàm số lũy thừa có đáp án

Câu 1:

Cho α là một số thực và hàm số $y = \frac{1}{x^{\frac{1 - 2 α}{α}}}$ đồng biến trên (0; +∞). Khẳng định nào sau đây là đúng

A. α < 1

B. $0 < α < \frac{1}{2}$

C. $α < 0 h o ặ c a > \frac{1}{2}$

D. α > 1

Xem đáp án

Ta có $y' = \frac{2 α - 1}{α} . x^{\frac{2 α - 1}{α} - 1}$

Để hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ khi và chỉ khi $y' > 0, \forall x \in (0; + \infty)$ :

$\Leftrightarrow \frac{2 α - 1}{α} > 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} α < 0 \\ α > \frac{1}{2} \end{matrix}$

Chọn đáp án C

Câu 2:

Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $a = \sqrt{3 \sqrt[3]{2}}, b = \sqrt[3]{3 \sqrt[]{2}}, c = \sqrt{2 \sqrt[3]{3}}, d = \sqrt[3]{2 \sqrt{3}}$

A. b,c,d,a

B. a,b,c,d

C. c,d,a,b

D. d,b,c,a

Xem đáp án

Viết lại các số dưới dạng cùng căn bậc 6:

Do 12 < 18 < 24 < 54 nên d < b < c < a các số theo thứ tự tăng dần là d,b,c,a.

Chọn đáp án D.

Câu 3:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} + x + 1}} .$

A. $y = - \frac{2 x + 1}{\sqrt[3]{x^{2} + x + 1}}$

B. $y = - \frac{2 x + 1}{3 . (x^{2} + x + 1) \sqrt[3]{x^{2} + x + 1}}$

C. $y = \frac{2 x + 1}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}}$

D. $y = \frac{2 x + 1}{3 . (x^{2} + x + 1) \sqrt[3]{x^{2} + x + 1}}$

Xem đáp án

Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa $y = {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có

Chọn đáp án B.

Câu 4:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}$

A. $y' = \frac{7}{8 \sqrt[8]{x}}$

B. $y' = \frac{7}{8} x^{\frac{1}{8}}$

C. $y' = \frac{3}{8 \sqrt[8]{x^{5}}}$

D. $y' = \frac{5}{4} \sqrt[4]{x}$

Xem đáp án

Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa

Đáp án A.

Câu 5:

Đồ thị hàm số $y = x^{\frac{1}{4}}$ cắt đường thẳng y=2x tại một điểm nằm bên phải trục tung. Tìm tọa độ điểm này.

A. $(\frac{1}{2}; 1)$

B. $(\frac{1}{\sqrt[4]{8}}; \sqrt[4]{2})$

C. $(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}; \sqrt[3]{2})$

D. $(\frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}; \frac{1}{\sqrt[3]{2}})$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm

Chọn đáp án D.

Câu 6:

Đường thẳng x = α ( α là số thực dương) cắt đồ thị các hàm số $y = f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ và $y = g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ lần lượt tại hai điểm A và B. Biết rằng tung độ điểm A bé hơn tung độ điểm B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0 < α < 1

B. α > 1

C. 1/5 < α < 4

D. 1/4 < α < 5

Xem đáp án

Từ giả thiết suy ra f(α) < g(α)

Chọn đáp án A.

Nhận xét. Ở đây ta sử dụng tính chất:

Nếu a > 1 thì $a^{α} > a^{β}$ <=> α > β ;

Nếu 0 < a < 1 thì $a^{α} > a^{β}$ <=> α < β .

Học sinh có thể không áp dụng tính chất trên mà giải tiếp:

Câu 7:

Cho hàm số $y = x^{\frac{1}{4}} (10 - x),$ x>0

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên (0;2).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (5; +∞) .

C. Hàm số đồng biến trên (2; +∞).

D. Hàm số không có điểm cực trị nào.

Xem đáp án

Ta có

Ta thấy y'(x) < 0 <=> x > 2 nên hàm số nghịch biến trên (2; +∞) , và do đó, hàm số nghịch biến trên (5; +∞) .

Chọn đáp án B.

Câu 8:

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^{\frac{3}{4}} - 2 x^{\frac{1}{4}}$ , x>0.

A. x = 1

B. $x = \frac{2}{3}$

C. $x = \frac{4}{9}$

D. $x = - \frac{2}{3}$

Xem đáp án

$y' = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - \frac{2}{4} x^{- \frac{3}{4}} = \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}} (3 x^{\frac{1}{2}} - 2) = \frac{3 \sqrt{x} - 2}{4 \sqrt[4]{x^{3}}} = 0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow 3 \sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \frac{4}{9}$

y’ đổi dấu khi qua điểm $x = \frac{4}{9}$ nên hàm số có một điểm cực trị là $x = \frac{4}{9}$ .

Chọn đáp án C.

Câu 9:

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^{\frac{4}{5}} (x - 4)^{2},$ x>0.

A. x=4 và x=8/7.

B. x=4.

C. x=2.

D. x=2 và x = 4/9.

Xem đáp án

Ta thấy y’ đổi dấu khi đi qua 2 điểm x=4 và x = 8/7 nên đây là 2 điểm cực trị của các hàm số đã cho.

Chọn đáp án A.

Câu 10:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt[4]{1 - x} + \sqrt[4]{1 + x}$ .

A. $m i n y = 2, m a x y = \sqrt[4]{2}$

B. $m a x y = 2, m i n y = 0$

C. $m a x y = 2 \sqrt{2}, m i n y = 0$

D. $m a x y = 2, m i n y = \sqrt[4]{2}$

Xem đáp án

Tập xác định D = [-1;1].

Chọn đáp án D

Câu 11:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên (0; +∞) ?

A. $y = x^{2 - \sqrt{5}}$

B. $y = {(x + 1)}^{- 2}$

C. $y = \frac{1}{x^{1 - \sqrt{2}}}$

D. $y = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Xem đáp án

Hàm số $y = x^{α}$ đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi α > 0 .

Hàm số

nên hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Chọn C.

Câu 12:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $3^{- \sqrt{2}} < {(\frac{1}{5})}^{\sqrt{2}}$

B. ${(\frac{6}{7})}^{\sqrt{2}} > {(\frac{7}{8})}^{\sqrt{2}}$

C. ${(\frac{1}{4})}^{\sqrt{2}} < {(\sqrt{2})}^{200}$

D. ${(\frac{1}{4})}^{- π} < {(\frac{1}{3})}^{- π}$

Xem đáp án

Viết lại sao cho hai vế của mỗi bất đẳng thức đều là lũy thừa cùng số mũ. Lưu ý, từ tính đơn điệu của hàm số lũy thừa $y = x^{α},$ ta có

• Nếu α > 0 thì $a^{α} < b^{α}$ ⇔ a < b

• Nếu α < 0 thì a < b ⇒ $a^{α} < b^{α}$

${(\frac{1}{4})}^{- π} < {(\frac{1}{3})}^{- π} \Leftrightarrow 4^{π} < 3^{π} (v ô l ý)$

Suy ra, D sai.

Chọn C.

Câu 13:

Số nào sau đây là lớn hơn 1?

A. ${(1, 5)}^{- 0, 2}$

B. ${(0, 4)}^{- 0, 3}$

C. ${(\frac{2}{3})}^{0, 5}$

D. ${(\frac{π}{4})}^{e}$

Xem đáp án

Lưu ý với

Do đó, trong các số đã cho thì ${(0, 4)}^{- 0, 3} > 1$

Chọn B.

Câu 14:

Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: $a = {(\frac{9}{10})}^{2000}, b = {(\frac{10}{11})}^{2000},$ $c = {(\frac{1}{2})}^{2000}, d = π^{2000}$

A. d,c,a,b.

B.d,c,b,a.

C. c,d,b,a.

D.c,a,b,d.

Xem đáp án

Chọn D

Câu 15:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt[5]{x} + 4 \sqrt{x^{5}}$

A. $y' = \frac{1}{5} \sqrt[5]{x^{4}} + 10 \sqrt{x^{3}}$

B. $y' = \frac{1}{2 \sqrt[5]{x}} + \frac{10 x^{4}}{\sqrt{x^{5}}}$

C. $y' = \frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}} + 10 \sqrt{x^{3}}$

D. $y' = \frac{1}{2 \sqrt[5]{x}} + \frac{2}{\sqrt{x^{5}}}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 16:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt[4]{(x^{2} - x + 3)^{3}} .$

A. $y' = \frac{3 (2 x - 1)}{4 \sqrt[4]{x^{2} - x + 3}}$

B. $y' = \frac{3 (2 x - 1)}{2 \sqrt[4]{x^{2} - x + 3}}$

C. $y' = \frac{3}{4 \sqrt[4]{x^{2} - x + 3}}$

D. $y' = \frac{3}{2 \sqrt[4]{x^{2} - x + 3}}$

Xem đáp án

Chọn A

Viết lại:

Câu 17:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{\frac{1}{5}}$ tại điểm có tung độ bằng 2.

A. $y = \frac{1}{80} x + \frac{79}{40}$

B. $y = \frac{1}{80} x + \frac{8}{5}$

C. $y = \frac{1}{80} x$

D. $y = - \frac{1}{80} x + \frac{8}{5}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 18:

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\sqrt[4]{x} = \frac{12}{7 - \sqrt[4]{x}}$ .

A. 7

B. 25

C. 73

D. 337

Xem đáp án

Tổng hai nghiệm : 81 + 256 = 337

Chọn D

Câu 19:

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{\frac{1}{5}}$ (x>0) và parabol $y = \frac{1}{2} x^{2}$

A. $(\sqrt[9]{32}; \sqrt[9]{2})$

B. $(\sqrt[9]{4}; \sqrt[9]{64})$

C. $(2 \sqrt[3]{4}; \sqrt[3]{16})$

D. $(\sqrt[9]{32}; \frac{1}{2} \sqrt[9]{32})$

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm

Câu 20:

Cho 2 hàm số $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ . Biết rằng α > 0, f(α) < g(α). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0 < α < 1/2

B. 0 < α < 1

C. 1/2 < α < 2

D. α > 1

Xem đáp án

Chọn B

Câu 21:

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = \sqrt{x} - \sqrt[4]{x},$ x > 0

A. $(0; \frac{1}{16})$

B. $(0; \frac{1}{4})$

C. $(\frac{1}{16}; + \infty)$

D. $(\frac{1}{4}; + \infty)$

Xem đáp án

y' = 0 <=> $2 \sqrt[4]{x} - 1 > 0$ <=> x > 1/16 => Khoảng đồng biến của hàm số là $(\frac{1}{16}; + \infty)$

Chọn C

Câu 22:

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{- \frac{2}{3}},$ x>0

A. x=1

B. x=2

C. x=1 và x=2

D. x=2 và x=-1

Xem đáp án

y'= 0 <=> $x^{2} + x - 2 = 0$ <=> x = -2 (loại) hoặc x = 1

y' đổi dấu khi đi qua điểm x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị là x = 1

Chọn A

Câu 23:

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \frac{x^{\frac{3}{5}}}{4 - x},$ x>0.

A. x=2

B. $x = \frac{3}{2}$

C. x=6

D. x=4

Xem đáp án

y’ đổi dấu khi đi qua điểm $x = \frac{3}{2}$ nên hàm số có một điểm cực trị là $x = \frac{3}{2}$

Chọn B

Câu 24:

Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{1 - x}$

A. $m a x y = 2 \sqrt[4]{2}, m i n y = 1$

B. $m a x y = 2 \sqrt[4]{2}, m i n y = \sqrt[4]{2}$

C. $m a x y = \sqrt[4]{8}, m i n y = 1$

D. $m a x y = \sqrt[4]{8}, m i n y = \sqrt[4]{2}$

Xem đáp án

Tập xác định D = [0; 1]

Ta có:

y(0) = y(1) = 1; $y (\frac{1}{2}) = \sqrt[4]{8}$ . Từ đó $m a x y = \sqrt[4]{8}, m i n y = 1$ ,

Chọn C

Câu 25:

Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x^{\frac{2}{3}} (20 - x)$ trên đoạn [1; 10]

A. $\underset{[1; 10]}{m a x} y = 8; \underset{[1; 10]}{m i n} = 0$

B. $\underset{[1; 10]}{m a x} y = 48; \underset{[1; 10]}{m i n} = 10^{\frac{5}{3}}$

C. $\underset{[1; 10]}{m a x} y = 15 . 5^{\frac{2}{3}}; \underset{[1; 10]}{m i n} = 19$

D. $\underset{[1; 10]}{m a x} y = 48; \underset{[1; 10]}{m i n} = 19$

Xem đáp án

y' = 0 <=> x = 8

Ta có: y(1) = 19, y(8) = 48, $y (10) = 10^{\frac{5}{3}} \approx 46, 6 > 19$

Từ đó:

Chọn D

Câu 26:

Với $α$ là một số thực dương và hàm số $y = \frac{x^{\sqrt[4]{α}}}{x^{2 α}}$ nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $α > 2 \sqrt[3]{2}$

B. $α > \frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$

C. $0 < α < 2 \sqrt[3]{2}$

D. $0 < α < \frac{1}{2 \sqrt[3]{2}}$

Xem đáp án

Hàm số

nghịch biến trên (0; +∞) nên $\sqrt[4]{α} - 2 α < 0$

Chọn B

Câu 27:

Số nào lớn nhất trong các số được liệt kê trong bốn phương án A,B,C,D dưới đây?

A. $\sqrt{3 \sqrt{5}}$

B. $\sqrt{2 \sqrt{11}}$

C. $\sqrt{4 \sqrt{3}}$

D. $\sqrt{5 \sqrt{2}}$

Xem đáp án

Viết lại các số dưới dạng cùng căn bậc 4:

Từ đó ta thấy $\sqrt{5 \sqrt{2}}$ là lớn nhất

Chọn D

Câu 28:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x}}}$

A. $y' = \frac{5}{12} x^{- \frac{7}{12}}$

B. $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{{(\sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x}}})}^{2}}}$

C. $y' = \frac{13}{27} x^{- \frac{14}{27}}$

D. $y' = \frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}}$

Xem đáp án

Chọn C

Viết lại

Câu 29:

Số nào lớn nhất trong các số được liệt kê trong bốn phương án A,B,C,D dưới đây?

A. $\sqrt{\sqrt[3]{5.6}}$

B. $\sqrt{6 \sqrt[3]{5}}$

C. $\sqrt{5 \sqrt[3]{6}}$

D. $\sqrt[3]{5 \sqrt{6}}$

Xem đáp án

Viết lại các số

Từ đó ta thấy số lớn nhất là

Chọn B

Câu 30:

Cho a và b là hai số dương. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{a} (1 - x)^{b}$ trên [0;1]

A. $y = \frac{a^{a} b^{b}}{{(a + b)}^{a b}}$

B. $y = \frac{a^{b} b^{a}}{{(a + b)}^{a b}}$

C. $y = \frac{a^{a} b^{b}}{{(a + b)}^{a + b}}$

D. $y = \frac{a^{b} b^{a}}{{(a + b)}^{a + b}}$

Xem đáp án

Chọn C