Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có đồ thị là đường parabol như hình vẽ. Hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\)đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải

Chọn A

Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\)đi qua 3 điểm \(\left( {2;0} \right)\), \(\left( {1;0} \right)\), \(\left( {0;2} \right)\)nên hàm số \(y = f'\left( x \right)\)có dạng\(y = f'\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).

Xét hàm số \(y' = {\left[ {f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}} \right]^'} = - 2xf'\left( {1 - {x^2}} \right) + 12x\)

\( = - 2x\left[ {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} - 3\left( {1 - {x^2}} \right) + 2} \right] + 12x = - 2x\left( {{x^4} + {x^2} - 6} \right) = - 2x\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)\)và\(\left( {0;\sqrt 2 } \right) \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( {1 - {x^2}} \right) + 6{x^2}\)đồng biến trên khoảng \(\left( {1;\sqrt 2 } \right)\).