39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 13)

Câu 1:

f (x) = x^{3} + 3 x + 2

là hàm số nào trong các hàm số sau?

A.

F (x) = 3 x^{2} + 3 x + C

.

B.

F (x) = \frac{x^{4}}{3} + 3 x^{2} + 2 x + C

.

C.

F (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + C

.

D.

F (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C

.

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

f (x) = x^{3} + 3 x + 2 \Rightarrow F (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C

.

Câu 2:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x

A.

\int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C

.

B.

\int \sin 2 x d x = \frac{1}{2} \cos 2 x + C

.

C.

\int \sin 2 x d x = \cos 2 x + C

.

D.

\int \sin 2 x d x = - \cos 2 x + C

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

\int \sin 2 x d x = \frac{1}{2} \int \sin 2 x d (2 x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C

.

Câu 3:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = e^{x} (3 + e^{- x})

là

A.

F (x) = 3 e^{x} - x + C

.

B.

F (x) = 3 e^{x} + e^{x} \ln e^{x} + C

.

C.

F (x) = 3 e^{x} - \frac{1}{e^{x}} + C

.

D.

F (x) = 3 e^{x} + x + C

.

Xem đáp án

Chọn D
Ta có:

F (x) = \int e^{x} (3 + e^{- x}) d x = \int (3 e^{x} + 1) d x = 3 e^{x} + x + C

Câu 4:

Nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}

là

A.

\int f (x) d x = \sqrt{2 x - 1} + C

.

B.

\int f (x) d x = 2 \sqrt{2 x - 1} + C

.

C.

\int f (x) d x = \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2} + C

.

D.

\int f (x) d x = - 2 \sqrt{2 x - 1} + C

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có:

\int \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d (2 x - 1)}{\sqrt{2 x - 1}} = \sqrt{2 x - 1} + C

Câu 5:

Tính

F (x) = \int x \sin 2 x d x

. Chọn kết quả đúng

A.

F (x) = - \frac{1}{4} (2 x \cos 2 x - \sin 2 x) + C

.

B.

F (x) = \frac{1}{4} (2 x \cos 2 x - \sin 2 x) + C

.

C.

F (x) = - \frac{1}{4} (2 x \cos 2 x + \sin 2 x) + C

.

D.

F (x) = \frac{1}{4} (2 x \cos 2 x + \sin 2 x) + C

.

Xem đáp án

Chọn A
Đặt:

\{\begin{cases} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = \sin 2 x d x \Rightarrow v = - \frac{1}{2} \cos 2 x \end{cases}

Khi đó:

F (x) = \int x \sin 2 x d x = - \frac{1}{4} (2 x \cos 2 x - \sin 2 x) + C

.

Câu 6:

Kết quả tính

\int 2 x \sqrt{5 - 4 x^{2}} d x

bằng

A.

- \frac{3}{8} \sqrt{(5 - 4 x^{2})} + C

.

B.

- \frac{1}{6} \sqrt{{(5 - 4 x^{2})}^{3}} + C

.

C.

\frac{1}{6} \sqrt{{(5 - 4 x^{2})}^{3}} + C

.

D.

- \frac{1}{12} \sqrt{{(5 - 4 x^{2})}^{3}} + C

.

Xem đáp án

Chọn B
Đặt

t = \sqrt{5 - 4 x^{2}} \Rightarrow t d t = - 4 x d x

Ta có

\int 2 x \sqrt{5 - 4 x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int t^{2} d t = - \frac{1}{6} t^{3} + C = - \frac{1}{6} \sqrt{{(5 - 4 x^{2})}^{3}} + C

Câu 7:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sin^{3} x . \sin 3 x

.

A.

\int f (x) d x = \frac{3}{8} (\frac{\sin 2 x}{2} - \frac{\sin 4 x}{4}) - \frac{1}{8} (x - \frac{\sin 6 x}{6}) + C

.

B.

\int f (x) d x = \frac{3}{8} (\frac{\sin 2 x}{2} - \frac{\sin 4 x}{4}) + \frac{1}{8} (x - \frac{\sin 6 x}{6}) + C

.

C.

\int f (x) d x = \frac{1}{8} (\frac{\sin 2 x}{2} - \frac{\sin 4 x}{4}) - \frac{3}{8} (x - \frac{\sin 6 x}{6}) + C

.

D.

\int f (x) d x = \frac{3}{8} (\frac{\sin 2 x}{2} + \frac{\sin 4 x}{4}) - \frac{1}{8} (x + \frac{\sin 6 x}{6}) + C

.

Xem đáp án

Chọn A

\int \sin^{3} x . \sin 3 x d x = \int \frac{3 \sin x - \sin 3 x}{4} . \sin 3 x d x = \frac{3}{8} \int 2 \sin x . \sin 3 x d x - \frac{1}{8} \int 2 \sin^{2} 3 x d x = \frac{3}{8} \int (\cos 2 x - \cos 4 x) d x - \frac{1}{8} \int (1 - \cos 6 x) d x

= \frac{3}{8} (\frac{\sin 2 x}{2} - \frac{\sin 4 x}{4}) - \frac{1}{8} (x - \frac{\sin 6 x}{6}) + C

.

Câu 8:

Cho hàm số f liên tục trên R và số thực dương a. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?

A.

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

.

B.

\int_{a}^{a} f (x) d x = 1

.

C.

\int_{a}^{a} f (x) d x = - 1

.

D.

\int_{a}^{a} f (x) d x = f (a)

.

Xem đáp án

Chọn A

Câu 9:

Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn

[a; b]

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu

m \leq f (x) \leq M \forall x \in [a; b]

thì

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (a - b)

.

B. Nếu

f (x) \geq m \forall x \in [a; b]

thì

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq m (b - a)

.

C. Nếu

f (x) \leq M \forall x \in [a; b]

thì

\int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)

.

D. Nếu

f (x) \geq m \forall x \in [a; b]

thì

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq m (a - b)

.

Xem đáp án

Chọn D
Mệnh đề “Nếu

f (x) \geq m \forall x \in [a; b]

thì

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq m (a - b)

” sai, mệnh đề đúng phải là
“Nếu

f (x) \geq m \forall x \in [a; b]

thì

\int_{a}^{b} f (x) d x \geq m (b - a)

”.

Câu 10:

Cho hàm số f liên tục trên đoạn

[0; 6]

. Nếu

\int_{1}^{5} f (x) d x = 2

và

\int_{1}^{3} f (x) d x = 7

thì

\int_{3}^{5} f (x) d x

có giá trị bằng

A. 5.

B. -5.

C. 9.

D. -9.

Xem đáp án

Chọn B

\int_{3}^{5} f (x) d x = \int_{3}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x = - \int_{1}^{3} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x = - 7 + 2 = - 5

Câu 11:

Tích phân

I = \int_{- 2}^{0} x e^{- x} d x

có giá trị bằng

A.

- e^{2} + 1

.

B.

3 e^{2} - 1

.

C.

- e^{2} - 1

.

D.

- 2 e^{2} + 1

.

Xem đáp án

Chọn C
Sử dụng tích phân từng phần, ta được

I = \int_{- 2}^{0} x e^{- x} d x = - \int_{- 2}^{0} x d (e^{- x}) = - [{(x e^{- x})|}_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} e^{- x} d x] = - {(x e^{- x})|}_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} e^{- x} d x = - {(x e^{- x})|}_{- 2}^{0} - {(e^{- x})|}_{- 2}^{0} = - e^{2} - 1.

Câu 12:

Tích phân

I = \int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x

có giá trị là

A.

\frac{4}{3} \sqrt{6} - \frac{10}{9} \sqrt{3}

.

B.

\frac{4}{3} \sqrt{7} - \frac{10}{9} \sqrt{5}

.

C.

\frac{4}{3} \sqrt{6} - \frac{10}{9} \sqrt{5}

.

D.

\frac{2}{3} \sqrt{6} - \frac{10}{9} \sqrt{5}

Xem đáp án

Chọn C
Ta có

t = x^{3} + 5 \Rightarrow d t = 3 x^{2} d x

. Khi

x = 0

thì t = 5; khi x = 1 thì t = 6.
Vậy

I = \int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x = \int_{5}^{6} \sqrt{t} \frac{d t}{3} = \frac{1}{3} \int_{5}^{6} {(t)}^{\frac{1}{2}} d t = \frac{1}{3} \frac{{(t)}^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} |\begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array} = \frac{2}{9} t \sqrt{t} |\begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array} = \frac{4}{3} \sqrt{6} - \frac{10}{9} \sqrt{5}

.

Câu 13:

Giá trị của tích phân

I = \int_{0}^{1} x^{5} {(1 - x^{3})}^{6} d x

là

A.

\frac{1}{167}

.

B.

\frac{1}{168}

.

C.

\frac{1}{166}

.

D.

\frac{1}{165}

.

Xem đáp án

Chọn B
Đặt

t = 1 - x^{3} \Rightarrow d t = - 3 x^{2} d x \Rightarrow d x = \frac{- d t}{3 x^{2}}

, ta có

I = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} t^{6} (1 - t) d t = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (t^{6} - t^{7}) d t = \frac{1}{3} (\frac{t^{7}}{7} - \frac{t^{8}}{8}) = \frac{1}{168}

.

Câu 14:

Giá trị của tích phân

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} x \cos 2 x d x

là

A.

\frac{π}{6}

.

B.

\frac{π}{8}

.

C.

\frac{π}{4}

.

D.

\frac{π}{2}

.

Xem đáp án

Chọn B

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} x \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos 2 x) \cos 2 x d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + 2 \cos 2 x + \cos 4 x) d x = \frac{1}{4} (x + \sin 2 x + \frac{1}{4} \sin 4 x) |_{0}^{π / 2} = \frac{π}{8}

.

Câu 15:

Biết

I = \int_{1}^{a} \frac{x^{3} - 2 \ln x}{x^{2}} d x = \frac{1}{2} + \ln 2

. Giá trị của là

A. 2.

B.

\ln 2

.

C.

π

.

D. 3.

Xem đáp án

Chọn A

I = \int_{1}^{a} \frac{x^{3} - 2 \ln x}{x^{2}} d x = \frac{1}{2} + \ln 2 = \int_{1}^{a} x d x - 2 \int_{1}^{a} \frac{\ln x}{x^{2}} d x = \frac{1}{2} + \ln 2 = (\frac{a^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{a} \ln a + \frac{1}{a} - 1) = \frac{1}{2} + \ln 2 \Rightarrow a = 2

.

Câu 16:

Tất cả các giá trị của tham số thỏa mãn

\int_{0}^{m} (2 x + 5) d x = 6

là

A.

m = 1, m = - 6

.

B.

m = - 1, m = - 6

.

C.

m = - 1, m = 6

.

D.

m = 1, m = 6

.

Xem đáp án

Chọn A

$\int_{0}^{m} (2 x + 5) d x = 6 \Rightarrow {(x^{2} + 5 x)|}_{0}^{m} = 6 \Rightarrow m^{2} + 5 m - 6 = 0 \Rightarrow m = 1, m = - 6.$

Câu 17:

Giá trị của tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\frac{{(1 + \sin x)}^{1 + \cos x}}{1 + \cos x}) d x

là

A.

2 \ln 3 - 1

.

B.

- 2 \ln 2 - 1

.

C.

2 \ln 2 - 1

.

D.

- 2 \ln 3 - 1

.

Xem đáp án

Chọn C

\int_{0}^{\frac{π}{2}} [\ln {(1 + \sin x)}^{1 + \cos x} - \ln (1 + \cos x)] d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos x) l n (1 + \sin x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} l n (1 + \cos x) d x

Đặt

x = \frac{π}{2} - t \Rightarrow d x = - d t

. Đổi cận

x = 0 \Rightarrow t = \frac{π}{2}; x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 0

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} l n (1 + \cos x) d x = - \int_{\frac{π}{2}}^{0} l n (1 + \cos (\frac{π}{2} - t)) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} l n (1 + \sin t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (1 + \sin x) d x \Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos x) l n (1 + \sin x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (1 + \sin x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x l n (1 + \sin x) d x = 2 \ln 2 - 1

Câu 18:

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = e^{x}

, y = 0, x = 0, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

S = π \int_{0}^{2} e^{2 x} d x

.

B.

S = \int_{0}^{2} e^{x} d x

.

C.

S = π \int_{0}^{2} e^{x} d x

.

D.

S = \int_{0}^{2} e^{2 x} d x

.

Xem đáp án

Chọn B.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = e^{x}

, y = 0, x = 0, x = 2 được tính theo công thức

S = \int_{0}^{2} |e^{x}| d x = \int_{0}^{2} e^{x} d x

.

Câu 19:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y = x^{2} + 3

, y = 0, x = 0, x = 2. Gọi là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3) d x

.

B.

V = \int_{0}^{2} {(x^{2} + 3)}^{2} d x

.

C.

V = π \int_{0}^{2} {(x^{2} + 3)}^{2} d x

.

D.

V = \int_{0}^{2} (x^{2} + 3) d x

.

Xem đáp án

Chọn C.
Ta có thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là

V = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{0}^{2} {(x^{2} + 3)}^{2} d x

.

Câu 20:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{3} - x

và đồ thị hàm số

y = x - x^{2}

.

A.

\frac{37}{12}

.

B.

I = \frac{9}{4}

.

C.

\frac{81}{12}

.

D. 13.

Xem đáp án

Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm:

x^{3} - x = x - x^{2} \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array}

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x^{3} - x

và đồ thị hàm số

y = x - x^{2}

là:

S = \int_{- 2}^{1} |x^{3} - x - (x - x^{2})| d x = \int_{- 2}^{0} (x^{3} + x^{2} - 2 x) d x - \int_{0}^{1} (x^{3} + x^{2} - 2 x) d x = {(\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2})|}_{- 2}^{0} - {(\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2})|}_{0}^{1} = - (\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1) = \frac{37}{12}

Câu 21:

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = 2 (x - 1) e^{x}

, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục :

A.

V = 4 - 2 e

.

B.

V = (4 - 2 e) π

.

C.

V = e^{2} - 5

.

D.

V = (e^{2} - 5) π

.

Xem đáp án

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm

2 (x - 1) e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:

V = π \int_{0}^{1} {[2 (x - 1) e^{x}]}^{2} d x = 4 π \int_{0}^{1} {(x - 1)}^{2} e^{2 x} d x

. Đặt

\{\begin{cases} u = {(x - 1)}^{2} \\ d v = e^{2 x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 (x - 1) \\ v = \frac{e^{2 x}}{2} \end{cases}

\Rightarrow V = {4 π {(x - 1)}^{2} \frac{e^{2 x}}{2}|}_{0}^{1} - 4 π \int_{0}^{1} 2 (x - 1) \frac{e^{2 x}}{2} d x = 4 π {{(x - 1)}^{2} \frac{e^{2 x}}{2}|}_{0}^{1} - 4 π \int_{0}^{1} (x - 1) e^{2 x} d x

Gọi

V_{1} = \int_{0}^{1} (x - 1) e^{2 x} d x

. Đặt

\{\begin{cases} u = x - 1 \Rightarrow d u = d x \\ d v = e^{2 x} d x \Rightarrow v = \frac{e^{2 x}}{2} \end{cases}

\Rightarrow V_{1} = {4 π (x - 1) \frac{e^{2 x}}{2}|}_{0}^{1} - 4 π \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x = 2 π - {π e^{2 x}|}_{0}^{1} = 2 π - π e^{2} + π = 3 π - π e^{2} V = {4 π {(x - 1)}^{2} \frac{e^{2 x}}{2}|}_{0}^{1} - V_{1} = - 2 π - (3 π - π e^{2}) = π (e^{2} - 5)

Câu 22:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

y = \sqrt{2 + \cos x}

, trục hoành và các đường thẳng

x = 0

,

x = \frac{π}{2}

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A.

V = π - 1

.

B.

V = (π - 1) π

.

C.

V = (π + 1) π

.

D.

V = π + 1

.

Xem đáp án

Chọn C.
Ta có phương trình

\sqrt{2 + \cos x} = 0

vô nghiệm nên:

V = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sqrt{2 + \cos x})}^{2} d x = π \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 + \cos x) d x = π {(2 x + \sin x)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = π (π + 1)

.

Câu 23:

Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với

v (t) = - 5 t + 10 (m/s)

, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 0,2m.

B. 2m.

C. 10m.

D. 20m.

Xem đáp án

Chọn C.
Quãng đường vật di chuyển

s (t) = \int v (t) d t = \int (- 5 t + 10) d t = \frac{- 5 t^{2}}{2} + 10 t + C

Tại thời điểm t = 0 thì

s (t) = 0

, do đó và

s (t) = \frac{- 5 t^{2}}{2} + 10 t = \frac{- 5}{2} {(t - 2)}^{2} + 10 \leq 10

Xe dừng hẳn khi được quãng đường 10 (m) kể từ lúc đạp phanh.

Câu 24:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;1), B(1;2;2). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A.

A B = 2

.

B.

A B = \sqrt{34}

.

C.

A B = 3

.

D.

A B = \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn D
Có

\vec{A B} = (- 1; 0; 1) \Rightarrow A B = \sqrt{2}

.

Câu 25:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho véctơ

\vec{u} = (1; 2; 2)

. Tìm toạ độ điểm A thoả mãn

\vec{O A} = \vec{u}

A. $A (1; 2; 2)$ .

B.

A (- 1; - 2; - 2)

.

C.

A (2; 2; 1)

.

D.

A (- 2; - 2; - 1)

.

Xem đáp án

Chọn A
Gọi

A (a; b; c) \Rightarrow \vec{O A} = (a; b; c), \vec{O A} = \vec{u} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 2 \end{cases}

.

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ

\vec{a}

và

\vec{b}

tạo với nhau góc

120^{o}

và

|\vec{a}| = 3

,

|\vec{b}| = 5

. Tính độ dài của véctơ

\vec{a} + \vec{b}

.

A.

\sqrt{19}

.

B. 49.

C. 19.

D. 7.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

{(|\vec{a} + \vec{b}|)}^{2} = {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2} = 3^{2} + 2.3.5. \cos 120^{o} + 5^{2} = 19

.
Nên

|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19}

.

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;-1). Biết điểm

M (a; 0; b)

cách đều 3 đỉnh của

Δ A B C

S = 2 a + 3 b

.Tính

A.

S = \frac{5}{6}

.

B.

S = \frac{31}{6}

.

C.

S = \frac{- 7}{6}

.

D.

S = \frac{- 11}{6}

.

Xem đáp án

Chọn D
Điểm

M (a; 0; b)

cách đều 3 đỉnh của

Δ A B C

nên

\begin{array}{l} \Rightarrow M A = M B = M C \Rightarrow M A^{2} = M B^{2} = M C^{2} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} {(1 - a)}^{2} + 1 + {(1 - b)}^{2} = {(- 1 - a)}^{2} + 1 + {(- b)}^{2} \\ {(1 - a)}^{2} + 1 + {(1 - b)}^{2} = {(3 - a)}^{2} + 1 + {(- 1 - b)}^{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 4 a + 2 b = 1 \\ a - b = 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{5}{6} \\ b = \frac{- 7}{6} \end{cases} \end{array} \Rightarrow S = 2 a + 3 b = 2. \frac{5}{6} + 3. (\frac{- 7}{6}) = - \frac{11}{6}

Câu 28:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;-1), B(1;-2;3), C(0;1;2). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A.

\frac{7 \sqrt{11}}{10}

.

B.

\frac{7 \sqrt{11}}{5}

.

C.

\frac{11 \sqrt{7}}{10}

.

D.

\frac{11 \sqrt{7}}{5}

.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $A B = \sqrt{21}, B C = \sqrt{11}, C A = \sqrt{14}$ .
Diện tích tam giác ABC là $S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = 5 \sqrt{\frac{3}{2}}$ .
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R = \frac{A B . B C . C A}{4. S_{A B C}} = \frac{\sqrt{21} . \sqrt{11} . \sqrt{14}}{4.5. \sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{7 \sqrt{11}}{10}$

Câu 29:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;3), B(-1;3;2), C(-1;2;3). Tính khoảng cách h từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC).

A.

h = \sqrt{3}

.

B.

h = 3

.

C.

h = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

D.

h = \frac{3}{2}

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $h = \frac{3 V_{O . A B C}}{S_{A B C}} = \frac{|[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A O}|}{|[\vec{A B}, \vec{A C}]|} = \frac{| - 9 |}{3} = 3$

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;1;5), B(3;2;-1) và điểm C(m;m-1;2m+1). Tìm m để diện tích tam giác ABC bằng

4 \sqrt{2}

.

A.

[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 3 \end{array}

.

B.

[\begin{array}{l} m = - 3 \\ m = - 1 \end{array}

.

C.

[\begin{array}{l} m = - 3 \\ m = 1 \end{array}

.

D.

[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 3 \end{array}

.

Xem đáp án

Chọn A

\vec{A B} = (1; 1; - 6); \vec{A C} = (m - 2; m - 2; 2 m - 4) = (m - 2) (1; 1; 2) \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] = (m - 2) . (8; - 8; 0) = 8 (m - 2) (1; - 1; 0) S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{1}{2} .8. |m - 2| . \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} . |m - 2| = 4 \sqrt{2} \Leftrightarrow |m - 2| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = 1 \end{array}

Câu 31:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) điểm D thuộc Oy và thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5. Tìm tọa độ của đỉnh D.

A.

[\begin{array}{l} (0; - 7; 0) \\ (0; - 8; 0) \end{array}

.

B.

[\begin{array}{l} (0; - 7; 0) \\ (0; 8; 0) \end{array}

.

C.

[\begin{array}{l} (0; - 8; 0) \\ (0; 7; 0) \end{array}

.

D.

[\begin{array}{l} (0; 7; 0) \\ (0; 8; 0) \end{array}

.

Xem đáp án

Chọn B
Gọi

D (0; y; 0) \in O y

Ta có:

\vec{A B} = (1; - 1; - 2), \vec{A C} = (0; - 2; 4), \vec{A D} = (- 2; y - 1; 1)

\Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] = (0; - 4; - 2) \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D} = - 4 y + 2 V_{A B C D} = 5 \Leftrightarrow \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] . \vec{A D}| = 5 \Leftrightarrow |- 4 y + 2| = 30 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 4 y + 2 = 30 \\ - 4 y + 2 = - 30 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = - 7 \\ y = 8 \end{array}

Vậy

D (0; - 7; 0)

hoặc

D (0; 8; 0)

.

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;2;4), B(3;5;7) và điểm C thuộc trục Ox. Tìm tọa độ điểm C sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

A.

C (- 2; 0; 0)

.

B.

C (3; 0; 0)

.

C.

C (- 1; 0; 0)

.

D.

C (- 4; 0; 0)

Xem đáp án

Chọn C
Gọi

C (c; 0; 0) \in O x

, ta có

[\vec{A B}; \vec{A C}] = (- 6; 3 c + 5; - 3 c - 1)

. Do đó

S_{A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}; \vec{A C}]| = \frac{\sqrt{9 {(c + 1)}^{2} + 22}}{2} \geq \sqrt{11}

S_{\min} = \sqrt{11} \Leftrightarrow c = - 1 \Rightarrow C (- 1; 0; 0)

.

Câu 33:

Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ?

A.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 z = 0.

B.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 y = 0.

C.

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

D.

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x = 0.

Xem đáp án

Chọn C
Mặt cầu tâm

O (0; 0; 0)

và bán kính R=3 có phương trình:

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

Câu 34:

Nếu mặt cầu đi qua bốn điểm M(2;2;2), N(4;0;2), P(4;2;0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có toạ độ là:

A.

(- 1; - 1; 0) .

B.

(3; 1; 1) .

C.

(1; 1; 1) .

D.

(1; 2; 1) .

Xem đáp án

Chọn D
Gọi phương trình mặt cầu (S) :

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0

,

(a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0)

.
Do

M (2; 2; 2) \in (S) \Leftrightarrow - 4 a - 4 b - 4 c + d = - 12

(1)

N (4; 0; 2) \in (S) \Leftrightarrow - 8 a - 4 c + d = - 20

(2)

P (4; 2; 0) \in (S) \Leftrightarrow - 8 a - 4 b + d = - 20

(3)

Q (4; 2; 2) \in (S) \Leftrightarrow - 8 a - 4 b - 4 c + d = - 24

(4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có

a = 1, b = 2, c = 1, d = - 8

, suy ra mặt cầu (S) có tâm I(1;2;1).

Câu 35:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1;3;3), C(2;-4;2). Một vectơ pháp tuyến

\vec{n}

của mặt phẳng (ABC) là:

A.

\vec{n} = (9; 4; - 1)

.

B.

\vec{n} = (9; 4; 1)

.

C.

\vec{n} = (4; 9; - 1)

.

D.

\vec{n} = (- 1; 9; 4)

.

Xem đáp án

Chọn A
Ta có

\vec{A B} = (- 2; 5; 2)

,

\vec{A C} = (1; - 2; 1)

\Rightarrow \vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] = (9; 4; - 1)

.

Câu 36:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

A.

2 x - 3 y + 6 z = 0

.

B.

4 y + 2 z - 3 = 0

.

C.

3 x + 2 y + 1 = 0

.

D.

2 y + z - 3 = 0

.

Xem đáp án

Chọn A

\vec{A B} = (0; 4; 2)

,

\vec{A C} = (- 3; 4; 3)

(ABC) qua

A (3; - 2; - 2)

và có vectơ pháp tuyến

[\vec{A B}, \vec{A C}] = (4; - 6; 12) = 2 (2; - 3; 6) \Rightarrow (A B C) : 2 x - 3 y + 6 z = 0

.

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(-1;3;2), B(2;0;5), C(0;-2;1). Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.

A.

\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{- 1} .

B.

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 4} = \frac{z + 2}{1} .

C.

\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 2}{1} .

D.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 4}{- 1} = \frac{z + 1}{3} .

Xem đáp án

Chọn C
M là trung điểm

(P) : x + 2 y - 3 z + 4 = 0

AM đi qua điểm A(-1;3;2) và có vectơ chỉ phương

\vec{A M} = (2; - 4; 1)

Vậy phương trình chính tắc của AM là

\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 2}{1}

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z - 1 = 0 và đường thẳng

Δ ​ : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 3}{3}

. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm

B (2; - 1; 5)

song song với (P) và vuông góc với

Δ

là

A.

\frac{x - 2}{- 5} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 5}{4} .

B.

\frac{x + 2}{- 5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 5}{4} .

C.

\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 5}{- 4} .

D.

\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 4}{5} .

Xem đáp án

Chọn A

Δ

có vectơ chỉ phương

\vec{a_{Δ}} = (2; - 1; 3)

(P) có vectơ pháp tuyến

\vec{n_{P}} = (2; 1; 2)

Gọi

\vec{a_{d}}

là vectơ chỉ phương d

\{\begin{cases} d / / (P) \\ d ⊥ Δ \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{a_{d}} ⊥ \vec{n_{P}} \\ \vec{a_{d}} ⊥ \vec{a_{Δ}} \end{cases} \Rightarrow \vec{a_{d}} = [\vec{a_{Δ}}; \vec{n_{P}}] = (- 5; 2; 4)

Vậy phương trình chính tắc của d là

\frac{x - 2}{- 5} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 5}{4}

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

d_{1} : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{2}

và

d_{2} : \{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = - 2 + t \\ z = - 1 - t \end{cases}

. Phương trình đường thẳng nằm trong

(α) : x + 2 y - 3 z - 2 = 0

và cắt hai đường thẳng

d_{1}, d_{2}

là:

A.

\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{1} .

B.

\frac{x + 3}{- 5} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} .

C.

\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1} .

D.

\frac{x + 8}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{- 4} .

Xem đáp án

Chọn C
Gọi d là đường thẳng cần tìm
• Gọi

A = d_{1} \cap (α)

A \in d_{1} \Rightarrow A (2 - a; 1 + 3 a; 1 + 2 a) A \in (α) \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow A (3; - 2; - 1)

• Gọi

B = d_{2} \cap (α)

\begin{array}{l} B \in d_{2} \Rightarrow B (1 - 3 b; - 2 + b; - 1 - b) \\ B \in (α) \Rightarrow b = 1 \Rightarrow B (- 2; - 1; - 2) \end{array}

• d đi qua điểm

A (3; - 2; - 1)

và có vectơ chỉ phương

\vec{A B} = (- 5; 1; - 1)

Vậy phương trình chính tắc của d là

\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1} .