39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề thi giữa kì 2 Toán 12 có đáp án năm 2022-2023 (Đề 9)

Câu 1:

y = f (x)

có đạo hàm là hàm số liên tục trên R. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

\int f (x) d x = f^{'} (x) + C

.

B.

\int f (x) d x = f^{'} (x)

.

C.

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C

.

D.

\int f^{'} (x) d x = f (x)

.

Xem đáp án

Chọn C.
Ta có phát biểu C là đúng.

Câu 2:

Nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{3} + 3 x + 1

là

A.

3 x^{2} + 3 + C

.

B.

\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + 1 + C

.

C.

\frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + x + C

.

D.

x^{4} + 3 x^{2} + x + C

.

Xem đáp án

Chọn C.
Ta có

\int (x^{3} + 3 x + 1) d x = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2} + x + C

.

Câu 3:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số

f (x) = \frac{1}{2 x + 3} .

Biết

F (- 2) = 2018.

A.

\frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + 2018

.

B.

\frac{1}{2} \ln |2 x + 3| - 2018

.

C.

\ln |2 x + 3| + 2018

.

D.

2 \ln |2 x + 3| + 2018

.

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có

F (x) = \int \frac{1}{2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + C

.
Mà

F (- 2) = 2018 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln |2. (- 2) + 3| + C = 2018 \Leftrightarrow C = 2018

.
Vậy

F (x) = \frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + 2018

.

Câu 4:

Tính

\int e^{x} . e^{x + 1} d x

ta được kết quả nào sau đây?

A.

e^{x} . e^{x + 1} + C

.

B.

\frac{1}{2} e^{2 x + 1} + C

.

C.

2 e^{2 x + 1} + C

.

D.

e^{x^{2} + x} + C

.

Xem đáp án

Chọn B.

\int e^{x} . e^{x + 1} d x = \int e^{2 x + 1} d x

Câu 5:

Cho

F (x) = \frac{1}{m x^{2}}

là một nguyên hàm của hàm số

\frac{f (x)}{x}

(m là hằng số khác 0). Tìm nguyên hàm của hàm số

f^{'} (x) \ln x .

A.

\int f^{'} (x) \ln x d x = - \frac{1}{m} (\frac{2 \ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) + C

.

B.

\int f^{'} (x) \ln x d x = \frac{1}{m} (\frac{2 \ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) + C

.

C.

\int f^{'} (x) \ln x d x = - \frac{1}{m} (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}}) + C

.

D.

\int f^{'} (x) \ln x d x = - \frac{1}{m} (\frac{2 \ln x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}) + C

.

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có

\frac{f (x)}{x} = {(\frac{1}{m x^{2}})}^{'} = - \frac{2}{m x^{3}} \Rightarrow f (x) = - \frac{2}{m x^{2}}

Đặt

\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{d x}{x} \\ v = f (x) \end{cases}

.
Ta được

\int f^{'} (x) \ln x d x = f (x) \ln x - \int \frac{f (x)}{x} d x = - \frac{2 \ln x}{m x^{2}} - \frac{1}{m x^{2}} + C = - \frac{1}{m} (\frac{2 \ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) + C

.

Câu 6:

Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x)

, trục Ox, hai đường thẳng

x = a, x = b (a < b)

quanh trục Ox.

A.

V = π \int_{a}^{b} |f (x)| d x .

B.

V = \int_{a}^{b} |f (x)| d x .

C.

V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .

D.

V = \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .

Xem đáp án

Chọn C

V = π \int_{a}^{b} |f^{2} (x)| d x = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

.

Câu 7:

Cho

\int_{1}^{2} f (x) d x = 1

và

\int_{1}^{2} g (x) d x = - 3

. Khi đó

\int_{1}^{2} [f (x) - g (x)] d x

có giá trị là

A. -2.

B. -4.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn D

\int_{1}^{2} [f (x) - g (x)] d x = \int_{1}^{2} f (x) d x - \int_{1}^{2} g (x) d x = 1 - (- 3) = 4

Câu 8:

Tích phân

I = \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x

có giá trị là

A. ln 2.

B.

\ln 2 - 1

.

C.

1 - \ln 2

.

D.

- \ln 2

.

Xem đáp án

Chọn A

I = \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x = {(\ln |x + 1|)|}_{0}^{1} = \ln 2

.

Câu 9:

Giá trị của tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \cos 2 x d x

bằng

A.

- 2

.

B. 2.

C.

- 1

.

D. 1.

Xem đáp án

Chọn D

\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \cos 2 x d x = {[\sin 2 x]}_{0}^{\frac{π}{4}} = 1 - 0 = 1

.

Câu 10:

Biết

\int_{0}^{b} (2 x - 4) d x = 0

, khi đó b nhận giá trị bằng

A.

[\begin{array}{l} b = 1 \\ b = 4 \end{array}

.

B.

[\begin{array}{l} b = 0 \\ b = 2 \end{array}

.

C.

[\begin{array}{l} b = 1 \\ b = 2 \end{array}

.

D.

[\begin{array}{l} b = 0 \\ b = 4 \end{array}

.

Xem đáp án

Chọn D

\int_{0}^{b} (2 x - 4) d x = 0 \Leftrightarrow {[x^{2} - 4 x]}_{0}^{b} = 0 \Leftrightarrow b^{2} - 4 b = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 0 \\ b = 4 \end{array}

.

Câu 11:

Biết rằng

\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2} + 3 x} d x = a \ln 5 + b \ln 2 (a, b \in ℤ)

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

a + 2 b = 0

.

B.

2 a - b = 0

.

C.

a - b = 0

.

D.

a + b = 0

.

Xem đáp án

Chọn D

\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2} + 3 x} d x = \int_{1}^{5} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3}) d x = {(\ln | x | - \ln | x + 3 |)|}_{1}^{5} = \ln 5 - \ln 2

.
Vậy

a = 1, b = - 1

.

Câu 12:

Biết

I = \int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2 x + 1} - 5} d x = a + b \ln 2

với a, b là số nguyên. Tính

S = a + b

.

A.

S = 3

.

B.

S = - 3

.

C.

S = 5

.

D.

S = 7

.

Xem đáp án

Chọn B
Đặt

t = \sqrt{2 x + 1} \Rightarrow t^{2} = 2 x + 1 \Rightarrow 2 t d t = 2 d x

.
Đổi cận:

[\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 3 \end{array}

.

I = \int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2 x + 1} - 5} d x = \int_{1}^{3} \frac{t}{t - 5} d t = \int_{1}^{3} (1 + \frac{5}{t - 5}) d t = {(t + 5 \ln |t - 5|)|}_{1}^{3} = 2 - 5 \ln 2

.
Suy ra:

a = 2; b = - 5 \Rightarrow S = a + b = - 3

.

Câu 13:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = - x^{3} + 3 x^{2}

và trục hoành là

A.

\frac{27}{4}

.

B.

\frac{5}{6}

.

C. . D. .

D.

\frac{24}{7}

.

Xem đáp án

Chọn A
Đặt

(C) : y = - x^{3} + 3 x^{2}

. Phương trình hoành độ giao điểm:

- x^{3} + 3 x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}

Khi đó:

S = \int_{0}^{3} |- x^{3} + 3 x^{2}| d x = |\int_{0}^{3} (- x^{3} + 3 x^{2}) d x| = |(- \frac{x^{4}}{4} + x^{3}) |\begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array}| = \frac{27}{4}

.

Câu 14:

Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc tọa độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ sau.

A. $S = \frac{25}{6} .$

B.

S = \frac{20}{3} .

C.

S = \frac{10}{3} .

D.

S = 9.

Xem đáp án

Chọn C
Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x^{2}, y = x + 2, x = 0, x = 2

.

\Rightarrow S_{1} = \int_{0}^{2} (x + 2 - x^{2}) d x = {(\frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2} + 2.2 - \frac{2^{3}}{3} = \frac{10}{3}

.

Câu 15:

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

quay xung quanh trục . Tìm để thể tích

.

A.

k = e^{2}

.

B.

k = 2 e

.

C.

k = 4

.

D.

k = 8

.

Xem đáp án

Chọn C
Theo công thức, thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng đã cho quanh trục hoành là

V = π \int_{1}^{k} {(\frac{1}{x} + 1)}^{2} d x = π \int_{1}^{k} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x} + 1) d x = π {(- \frac{1}{x} + 2 \ln x + x)|}_{1}^{k}

= π [(- \frac{1}{k} + 2 \ln k + k) - (- \frac{1}{1} + 2 \ln 1 + 1)] = π (k - \frac{1}{k} + \ln k^{2})

Theo giả thiết,

V = π (\frac{15}{6} + \ln 16) \Rightarrow k = 4

.

Câu 16:

Tính mô đun của số phức z = a+2ai (a là số thực dương)

A.

a \sqrt{5}

.

B.

5 a^{2}

.

C.

a \sqrt{3}

.

D.

a \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn A.

|z| = \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}} = a \sqrt{5}

.

Câu 17:

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.

A. Số phức

z = i^{2}

là số thuần ảo.

B. Số 3 không phải là số phức.

C. Số phức

z = 3 i + 4

có phần thực là 3 và phần ảo là 4.

D. Số phức liên hợp của

z = 3 i + 4

là

z = 4 - 3 i

.

Xem đáp án

Chọn D.
•

z = i^{2} = - 1

là số thực

\Rightarrow

A sai.
• Số 3 là số phức có phần ảo bằng 0

\Rightarrow

B sai.
• Số phức

z = 3 i + 4

có phần thực là 4 và phần ảo là 3

\Rightarrow

C sai.
• Số phức liên hợp của

z = 3 i + 4

là

z = 4 - 3 i

\Rightarrow

D đúng.

Câu 18:

Điểm biểu diễn của số phức

z = 3 - 4 i

trên mặt phẳng có tọa độ Oxyz là:

A.

(3; 4)

.

B.

(3; - 4)

.

C.

(- 3; - 4)

.

D.

(- 4; 3)

.

Xem đáp án

Chọn B.
Điểm biểu diễn của số phức

z = 3 - 4 i

trên mặt phẳng có tọa độ là

(3; - 4)

.

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

A (x_{1}; y_{1}; z_{1})

và

B (x_{2}; y_{2}; z_{2})

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

\vec{A B} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}; z_{1} + z_{2})

.

B.

\vec{A B} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}

.

C.

\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})

.

D.

\vec{A B} = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2}; z_{1} - z_{2})

.

Xem đáp án

Chọn C.
Ta có

\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})

.

Câu 20:

Cho A(1;0;0), B(0;0;1), C(3;1;1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

A.

D (1; 1; 2) .

B.

D (4; 1; 0) .

C.

D (- 1; - 1; - 2) .

D.

D (- 3; - 1; 0) .

Xem đáp án

Chọn B.
Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì

\vec{A D} = \vec{B C}

, với

\vec{A D} = (x_{D} - 1; y_{D}; z_{D})

,

\vec{B C} = (3; 1; 0) \Rightarrow D (4; 1; 0)

.

Câu 21:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm M(2;3;-1), N(-1;1;1), P(1, m-1;2). Tìm tất cả các giá trị thực của m để tam giác MNP vuông tại N?

A.

m = 3

.

B.

m = 2

.

C.

m = 1

.

D.

m = 0

.

Xem đáp án

Chọn D.
Để tam giác MNP vuông tại N thì

\vec{N M} . \vec{N P} = 0

, với

\vec{N M} = (3; 2; - 2)

,

\vec{N P} = (2; m - 2; 1)

\Leftrightarrow 3.2 + 2. (m - 2) - 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 0

Câu 22:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;5;1), B(-2;-6;2), C(1;2;-1) và điểm M(m;m;m), để

M A^{2} - M B^{2} - M C^{2}

đạt giá trị lớn nhất thì bằng

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn B.
Ta có

\vec{A M} = (m - 2; m - 5; m - 1)

,

\vec{B M} = (m + 2; m + 6; m - 2)

,

\vec{C M} = (m - 1; m - 2; m + 1)

T = M A^{2} - M B^{2} - M C^{2} = {\vec{A M}}^{2} - {\vec{B M}}^{2} - {\vec{C M}}^{2} = - 3 m^{2} + 24 m - 20 = - 3 {(m - 4)}^{2} + 28 \leq 28

\Rightarrow T_{\max} = 28

khi m = 4.

Câu 23:

Cho mặt phẳng (P): x - 2y +3z -1 = 0. Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là (P)

A.

\vec{n} = (1; 2; 3) .

B.

\vec{n} = (1; - 2; 3) .

C.

\vec{n} = (1; 3; - 2) .

D.

\vec{n} = (1; - 2; - 3) .

Xem đáp án

Chọn B.
Tọa độ điểm (2;-2;0) nghiệm đúng phương trình mp (P) nên chọn B.

Câu 24:

Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 4 = 0. Tính khoảng cách từ điểm A(2;3;-1) đến mặt phẳng (P)

A.

d (A, (P)) = \frac{12}{\sqrt{14}}

.

B.

d (A, (P)) = \frac{8}{\sqrt{14}}

.

C.

d (A, (P)) = \frac{1}{\sqrt{14}}

.

D.

d (A, (P)) = \frac{8}{\sqrt{6}}

.

Xem đáp án

Chọn B.
Ta có:

$d (A, (P)) = \frac{|2 x_{A} + 3 y_{A} + z_{A} - 4|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{|2.2 + 3.3 - 1 - 4|}{\sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{14}}$

Câu 25:

Mặt phẳng qua ba điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;3) có phương trình.

A.

x - 2 y + 3 z = 1.

B.

\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 6.

C.

\frac{x}{- 1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1.

D.

6 x - 3 y + 2 z = 6.

Xem đáp án

Chọn D.
Vì

A \in O x, B \in O y, C \in O z

nên phương trình theo đoạn chắn của mp (ABC) là:

\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6 x - 3 y + 2 z - 6 = 0

Câu 26:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y -2z +1 = 0và hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1). Viết Phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

A.

(Q) : 2 x + 2 y + 3 z - 7 = 0.

B.

(Q) : 2 x - 2 y + 3 z - 7 = 0.

C.

(Q) : 2 x + 2 y + 3 z - 9 = 0.

D.

(Q) : x + 2 y + 3 z - 7 = 0.

Xem đáp án

Chọn A.
Ta có

\vec{A B} = (2; 4; - 4)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

\vec{n} = (2; 1; - 2)

Vì

\{\begin{cases} A, B \in (Q) \\ (P) ⊥ (Q) \end{cases} \Rightarrow

vectơ pháp tuyến của mp (Q) là

[\vec{A B}, {\vec{n}}_{(P)}] = (- 4; - 4; - 6)

.
Khi đó mp (Q) đi qua điểm A nhận

{\vec{n}}_{(Q)} = (2; 2; 3)

làm vectơ pháp tuyến nên có pt:

2 x + 2 y + 3 z - 7 = 0

.

Câu 27:

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;-1) và nhận vectơ

\vec{u} = (1; 2; 3)

làm vectơ chỉ phương.

A.

(d) \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + 2 t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}

.

B.

(d) \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - 2 t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}

.

C.

(d) \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 + 3 t \end{cases}

.

D.

(d) : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn D.
Đường thẳng (d) đi qua điểm

A (1; 2; - 1)

và nhận vectơ

\vec{u} = (1; 2; 3)

làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}

.

Câu 28:

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-4;2;-6) và song song với đường thẳng:

d : \frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{1}

.

A.

\{\begin{cases} x = - 4 - 2 t \\ y = 2 - 4 t \\ z = - 6 - t \end{cases}

.

B.

\{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = 1 - 4 t \\ z = - 3 - t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 + 4 t \\ z = - 3 + t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = - 4 + 2 t \\ y = - 2 + 4 t \\ z = 6 + t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn A.
Phương trình đường thẳng đi qua

A (- 4; 2; - 6)

và song song với đường thẳng nên nhận

{\vec{u}}_{d} = (2; 4; 1)

làm một vtcp nên ta có phương trình đường thẳng:

\{\begin{cases} x = - 4 - 2 t \\ y = 2 - 4 t \\ z = - 6 - t \end{cases}

.

Câu 29:

Cho d là đường thẳng qua M(1;-2;3) và vuông góc với mp (Q): 4x + 3y -7z +1 = 0. Tìm phương trình tham số của d?

A.

\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - 2 + 4 t \\ z = 3 - 7 t \end{cases}

.

B.

\{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = 3 - 7 t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - 7 t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 1 - 4 t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = 3 - 7 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Chọn B.
Cho d là đường thẳng qua

M (1; - 2; 3)

và vuông góc với

m p (Q) : 4 x + 3 y - 7 z + 1 = 0

nên nhận

{\vec{n}}_{Q} = (4; 3; - 7)

làm một vtcp nên ta có phương trình đường thẳng d:

\{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = - 2 + 3 t \\ z = 3 - 7 t \end{cases}

.

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), (1;6;2), C(5;0;4) và D(4;0;6) Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tứ diện ABCD

A.

\frac{x - 5}{6} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 3}{3}

.

B.

\frac{x + 5}{6} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z + 3}{3}

.

C.

\frac{x - 6}{5} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 3}{3}

.

D.

\frac{x + 6}{5} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z + 3}{3}

.

Xem đáp án

Chọn A.

\vec{B C} = (4; - 6; 2), \vec{B D} = (3; - 6; 4) \Rightarrow [\vec{B C}, \vec{B D}] = (- 12; - 10; - 6) = - 2. (6; 5; 3)

Đường cao kẻ từ đỉnh A của tứ diện ABCD sẽ đi qua điểm A và nhận

\vec{u} = (6; 5; 3)

làm véc tơ chỉ phương, có phương trình là

\frac{x - 5}{6} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 3}{3}

.

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho

\vec{u} = (2; - 3; 4)

,

\vec{v} = (- 3; - 2; 2)

khi đó

\vec{u} . \vec{v}

bằng

A. 20.

B. 8.

C.

\sqrt{46}

.

D.

2 \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

\vec{u} . \vec{v} = 2. (- 3) + (- 3) . (- 2) + 4.2 = 8

.

Câu 32:

Trong không gian oxyz, cho

A (1; 0; 6)

,

B (0; 2; - 1)

,

C (1; 4; 0)

. Bán kính mặt cầu (S) có tâm

I (2; 2; - 1)

và tiếp xúc với mặt phẳng

(A B C)

bằng

A.

\frac{8 \sqrt{3}}{3}

.

B.

\frac{8 \sqrt{77}}{77}

.

C.

\frac{16 \sqrt{77}}{77}

.

D.

\frac{16 \sqrt{3}}{3}

.

Xem đáp án

Chọn C

Ta có

\vec{A B} = (- 1; 2; - 7)

,

\vec{A C} = (0; 4; - 6)

nên

[\vec{A B}, \vec{A C}] = (16; - 6; - 4)

.

[\vec{A B}, \vec{A C}]

là vectơ pháp tuyến của (ABC), vì thế

\vec{n} = (8; - 3; - 2)

cũng là vectơ pháp tuyến của (ABC).
Phương trình của mặt phẳng là:

8 (x - 1) - 3 y - 2 (z - 6) = 0 \Leftrightarrow 8 x - 3 y - 2 z + 4 = 0

.
Gọi r là bán kính của (S), ta có (S) tiếp xúc với

(A B C) \Leftrightarrow r = d (I, (A B C))

.
Vậy

r = \frac{|8. (2) - 3. (2) - 2. (- 1) + 4|}{\sqrt{8^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{16 \sqrt{77}}{77}

.

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox và đi qua hai điểm

A (1; 2; - 1)

và

B (2; 1; 3)

. Phương trình của (S) là

A.

{(x - 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 14.

B.

{(x + 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 14.

C.

x^{2} + {(y - 4)}^{2} + z^{2} = 14.

D.

x^{2} + y^{2} + {(z - 4)}^{2} = 14.

Xem đáp án

Chọn A

Gọi

I (a; 0; 0)

thuộc trục Ox là tâm của (S).
Ta có:

I A = I B \Leftrightarrow I A^{2} = I B^{2} \Leftrightarrow {(1 - a)}^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2} = {(2 - a)}^{2} + 1^{2} + 3^{2} \Leftrightarrow a = 4.

Suy ra

I (4; 0; 0)

và

I A^{2} = 14

.
Vậy phương trình của (S) là

{(x - 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 14.

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm

I (1; - 2; 3)

và tiếp xúc với mặt phẳng

(P) : 2 x - 2 y + z + 3 = 0

. Phương trình của (S) là

A.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16.

B.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9.

C.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 16.

D.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4.

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

d (I, (P)) = \frac{|2.1 - 2. (- 2) + 3 + 3|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{12}{3} = 4

.
S) tiếp xúc với (P)

\Leftrightarrow d (I, (P))

bằng bán kính của (S).
Vậy phương trình của (S) là

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16.

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

E (1; 1; 3); F (0; 1; 0)

và mặt phẳng

(P) : x + y + z - 1 = 0.

Gọi

M (a; b; c) \in (P)

sao cho

|2 \vec{M E} - 3 \vec{M F}|

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

T = 3 a + 2 b + c .

A. 4

B. 3

C. 6

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Gọi

I (m; n; p)

là điểm thỏa mãn:

2 \vec{I E} - 3 \vec{I F} = \vec{0} .

Ta có

\vec{I E} = (1 - m; 1 - n; 3 - p); \vec{I F} = (- m; 1 - n; - p) .

2 \vec{I E} - 3 \vec{I F} = \vec{0} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 (1 - m) + 3 m = 0 \\ 2 (1 - n) - 3 (1 - n) = 0 \\ 2 (3 - p) + 3 p = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 2 \\ n = 1 \\ p = - 6 \end{cases} \Rightarrow I (- 2; 1; - 6) .

Ta có

|2 \vec{M E} - 3 \vec{M F}| = |2 (\vec{M I} + \vec{I E}) - 3 (\vec{M I} + \vec{I F})| = |\vec{I M}| = M I .

|2 \vec{M E} - 3 \vec{M F}|

đạt giá trị nhỏ nhất,

M \in (P) \Leftrightarrow M I

nhỏ nhất,

M \in (P) \Leftrightarrow M

là hình chiếu vuông góc của I trên (P)
Khi đó :

\vec{M I} = (- 2 - a; 1 - b; - 6 - c)

cùng phương với vectơ pháp tuyến của (P) là

\vec{n} = (1; 1; 1)

;

M \in (P)

Tọa độ M là nghiệm của hệ

\{\begin{cases} a - b = - 3 \\ b - c = 7 \\ a + b + c - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{3} \\ b = \frac{11}{3} \\ c = \frac{- 10}{3} \end{cases} \Rightarrow T = 3 a + 2 b + c = 6.

Câu 36:

Vận tốc (tính bằng

\frac{m}{s}

) của một hạt chuyển động theo một đường được xác định bởi công thức

v (t) = t^{3} - 8 t^{2} + 17 t - 10

, trong đó t được tính bằng giây.
Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian

1 \leq t \leq 5

là bao nhiêu?

A.

\frac{32}{3} m

.

B.

\frac{71}{3} m

.

C.

\frac{38}{3} m

.

D.

\frac{71}{6} m

.

Xem đáp án

Chọn D

Tổng quãng đường mà hạt đi được trong khoảng thời gian

1 \leq t \leq 5

là

\int_{1}^{5} |v (t)| d t = \int_{1}^{5} |t^{3} - 8 t^{2} + 17 t - 10| d t = \int_{1}^{2} |t^{3} - 8 t^{2} + 17 t - 10| d t + \int_{2}^{5} |t^{3} - 8 t^{2} + 17 t - 10| d t

= \int_{1}^{2} (t^{3} - 8 t^{2} + 17 t - 10) d t + \int_{2}^{5} - (t^{3} - 8 t^{2} + 17 t - 10) d t = (\frac{1}{4} t^{4} - \frac{8}{3} t^{3} + \frac{17}{2} t^{2} - 10 t) |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} - (\frac{1}{4} t^{4} - \frac{8}{3} t^{3} + \frac{17}{2} t^{2} - 10 t) |\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array} = \frac{71}{6}

(m).

Câu 37:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = 4 x^{3} + 1

và

F (0) = 1

. Tính giá trị của

F (1)

.

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Ta có:

\int f (x) d x = \int (4 x^{3} + 1) d x = x^{4} + x + C

.
Xét

F (x) = x^{4} + x + C

với

F (0) = 1

ta tìm được

F (x) = x^{4} + x + 1

C = 1

, tức .
Vậy

F (1) = 3

.

Chọn D

Câu 38:

Cho hàm số f(x) xác định trên

ℝ \ \{2\}

thỏa mãn

f^{'} (x) = \frac{1}{x - 2}, f (1) = 2020, f (3) = 2021

. Tính

P = f (4) - f (0)

.

A.

P = 4

.

B.

P = \ln 2

.

C.

P = \ln 4041

.

D.

P = 1

.

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

\int f^{'} (x) d x = \int \frac{1}{x - 2} d x = \ln |x - 2| + C = \{\begin{cases} \ln (x - 2) + C_{1} k h i x > 2 \\ \ln (2 - x) + C_{2} k h i x < 2 \end{cases}

.
Theo giả thiết:

f (1) = 2020

,

f (3) = 2021 \Rightarrow \{\begin{cases} \ln 1 + C_{1} = 2021 \\ \ln 1 + C_{2} = 2020 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} C_{1} = 2021 \\ C_{2} = 2020 \end{cases}

.

\Rightarrow f (x) = \{\begin{cases} \ln (x - 2) + 2021 khi x > 2 \\ \ln (2 - x) + 2020 khi x < 2 \end{cases}

Do

P = f (4) - f (0) = \ln 2 + 2021 - \ln 2 - 2020 = 1

.

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho (P): x + 2y - z + 1 = 0 và đường thẳng

d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = - 2 + t \end{cases}

. Đường thẳng d cắt (P) tại điểm M, đường thẳng

Δ

đi qua M và vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (P). Tìm phương trình đường thẳng

Δ

.

A.

\{\begin{matrix} x = 4 t^{'} \\ y = - 2 - 2 t^{'} \\ z = - 3 \end{matrix}

.

B.

\{\begin{matrix} x = 4 t^{'} \\ y = 2 - 2 t^{'} \\ z = - 3 \end{matrix}

.

C.

\{\begin{matrix} x = 4 t^{'} \\ y = 2 + 2 t^{'} \\ z = - 3 \end{matrix}

.

D.

\{\begin{matrix} x = 4 t^{'} \\ y = 2 + 2 t^{'} \\ z = 3 \end{matrix}

.

Xem đáp án

Chọn A.
Tọa độ của M là nghiệm của hệ

\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = - 2 + t \\ x + 2 y - z + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ y = - 2 \\ z = - 3 \\ t = - 1 \end{cases} \Rightarrow M (0; - 2; - 3)

.

\vec{n_{(P)}} = (1; 2; - 1)

và

\vec{u_{d}} = (1; 2; 1) \Rightarrow [\vec{n_{(P)}}; \vec{u_{d}}] = (4; - 2; 0)

.
Đường thẳng

Δ

đi qua M và nhận véc tơ

\vec{u} = (4; - 2; 0)

làm véc tơ chỉ phương, có phương trình là

\{\begin{cases} x = 4 t^{'} \\ y = - 2 - 2 t^{'} \\ z = - 3 \end{cases}

.