IMG-LOGO

Câu hỏi:

31/10/2024 10

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \mathbb{R}\] và \[f\left( 0 \right) = - 1\].

Giá trị của tích phân \[\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 1} \right)f\left( x \right)dx} \] bằng

A. \[1.\]

B. \[\frac{2}{3}.\]

C. \[\frac{1}{2}.\]

Đáp án chính xác

D. \[\frac{3}{2}.\]

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \mathbb{R}\] \[ \Rightarrow \frac{{ - f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - \left( {2x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}\].

\[ \Rightarrow {\left( {\frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = - \left( {2x + 1} \right),\forall x \in \mathbb{R}\]

Vậy \[\frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \int {\left( {2x + 1} \right)dx} = - {x^2} - x + C\]

Suy ra \[f\left( x \right) = \frac{1}{{ - {x^2} - x + C}}\].

Mà \[f\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow C = - 1.\]

Vậy \[f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\].

Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 1} \right)f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left[ { - \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} = \frac{1}{2}.\]

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

I. Nhận biết

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Chọn mệnh đề đúng.

Xem đáp án » 31/10/2024 10

Câu 2:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right)\] và \[f'\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Chọn mệnh đề đúng.

Xem đáp án » 31/10/2024 10

Câu 3:

Tính tích phân \[\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} \] bằng

Xem đáp án » 31/10/2024 10

Câu 4:

Giá trị \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \] bằng

Xem đáp án » 31/10/2024 10

Câu 5:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Chọn mệnh đề sai.

Xem đáp án » 31/10/2024 9

Câu 6:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và \[a,b,c \in \mathbb{R}\] thỏa mãn \[a < b < c\]. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề đúng là

Xem đáp án » 31/10/2024 9

Câu 7:

Cho \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = - 1} \]; \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = 5} \]. Tính \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \]

Xem đáp án » 31/10/2024 9

Câu 8:

Giá trị của \[I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 2} \right|dx} \] bằng

Xem đáp án » 31/10/2024 9

Câu 9:

Cho \[\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx = - 4} \] và \[\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx = - 3} \]. Xét các mệnh đề sau:

a) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = - 7} .\]

b) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = 1} .\]

c) \[\int\limits_{ - 3}^0 { - 3f\left( x \right)dx = 12} .\]

d) \[\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx = - 51} .\]

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

Xem đáp án » 31/10/2024 9

Câu 10:

Cho \[f\left( x \right),\] \[g\left( x \right)\] là hai hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {1;3} \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} = 10,\]\[\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = 6.\] Tính giá trị \[I = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \]

Xem đáp án » 31/10/2024 9

Câu 11:

Biết \[F\left( x \right) = {x^2}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\]. Giá trị của \[\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]dx} \] bằng

Xem đáp án » 31/10/2024 9

Câu 12:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\], \[y = g\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\],\[{\rm{ }}k\] là hằng số . Xét các mệnh đề sau:

a) \[\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx.} } } \]

b) \[\int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx.\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx.} } } \]

c) \[\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } .\]

d) \[\int\limits_a^b {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx = \frac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} }}} .\]

Số mệnh đề đúng là

Xem đáp án » 31/10/2024 8

Câu 13:

II. Thông hiểu

Tính \[I = \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}dx} \]

Xem đáp án » 31/10/2024 8

Câu 14:

Vận tốc của một vật chuyển động là \[v\left( t \right) = 3{t^2} + 5{\rm{ }}\left( {m/s} \right)\]. Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

Xem đáp án » 31/10/2024 8

Câu 15:

Biết \[\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx = \frac{{a + b\sqrt 3 }}{2} + \frac{{5{\pi ^2}}}{c}} \] với \[\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\]. Khi đó giá trị của \[P = a + 2b + 3c\] là

Xem đáp án » 31/10/2024 8

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »