Câu hỏi:

23/06/2022 89

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d : y = m x + 2$ . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A. S = 4

B. S = $\frac{4}{3}$

Đáp án chính xác

C. S = 0

D. S = $\frac{2}{3}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là :

$x^{2} + 1 = m x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 1 = 0 ()$

Ta có $Δ = m^{2} + 4 > 0, \forall m \in R$ nên phương trình () luôn có 2 nghiệm phân biệt $x = a$ và $x = b (a < b) .$

Do đó (P) luôn cắt d tại 2 điểm phân biệt $A (a; m a + 2)$ và $B (b; m b + 2) .$

Với mọi m, đường thẳng d luôn đi qua điểm $M (0; 2) .$ Mà $y_{C T} = 1.$

Suy ra $m x + 2 \geq x^{2} + 1, \forall x \in [a; b] .$

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là.

$\begin{array}{l} S = \int_{a}^{b} (m x + 2 - (x^{2} + 1)) d x = \int_{a}^{b} (m x + 1 - x^{2}) d x = (\frac{m x}{2} + x - \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} b \\ a \end{array} \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + a b)] \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b] \\ \Rightarrow S^{2} = {(b - a)}^{2} {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \\ = [{(b + a)}^{2} - 4 a b] {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \end{array}$

Vì a, b là nghiệm của phương trình (*) nên ta có $\{\begin{cases} a + b = m \\ a b = - 1 \end{cases} .$

Khi đó $S^{2} = (m^{2} + 4) {(\frac{m^{2}}{6} + \frac{2}{3})}^{2} \geq 4. \frac{4}{9} = \frac{16}{9} .$

Đẳng thức xảy ra khi $m = 0.$ Vậy $S_{\min} = \frac{4}{3} .$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ là:

Xem đáp án » 23/06/2022 165

Câu 2:

Trong không gian Oxyz với hệ tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ cho $\vec{O A} = - \vec{i} + 3 \vec{k}$ . Tìm tọa độ điểm A

Xem đáp án » 23/06/2022 150

Câu 3:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = x e^{x^{2}}$ . Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

Xem đáp án » 23/06/2022 149

Câu 4:

Tích phân $I = \int_{0}^{\ln 2} x e^{- x} d x$ bằng:

Xem đáp án » 23/06/2022 146

Câu 5:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần có đánh dấu gạch trong hình) là:

Xem đáp án » 23/06/2022 137

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1; 2; -3), B(1; 0; 2), C(x,y,-2) thẳng hàng. Khi đó tổng x + y bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 23/06/2022 133

Câu 7:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sin 3 x \cos 2 x$ là :

Xem đáp án » 23/06/2022 129

Câu 8:

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = a x + \frac{b}{x^{2}} (x \neq 0)$ , biết rằng $F (- 1) = 1$ , $F (1) = 4$ , $f (1) = 0$ . F(x) là biểu thức nào sau đây

Xem đáp án » 23/06/2022 127

Câu 9:

Cho hai hàm số $f (x)$ và $g (x)$ liên tục trên $[a; b]$ và thỏa mãn:

$0 < g (x) < f (x), \forall x \in [a; b]$ . Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: $y = f (x), y = g (x)$ , $x = a; x = b$ . Khi đó V dược tính bởi công thức nào sau đây?

Xem đáp án » 23/06/2022 121

Câu 10:

Tính nguyên hàm $I = \int \frac{\ln (l n x)}{x} d x$ được kết quả nào sau đây?

Xem đáp án » 23/06/2022 118

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có S(1;3;-1), A(1;0;0), B(0,-2,0), C(0;0;4) . Độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD bằng

Xem đáp án » 23/06/2022 118

Câu 12:

Trong không gian $O x y z$ , cho bốn điểm $A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1), D (- 2; 1; - 1)$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Xem đáp án » 23/06/2022 116

Câu 13:

Cho $\vec{a} (1; - 3; 2), \vec{b} (m + 1; m - 2; 1 - m), \vec{c} (0; m - 2; 2)$ .

Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.

Xem đáp án » 23/06/2022 114

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1; 2; 4); B (- 1; 1; 4); C (0; 0; 4). Tìm số đo của $\hat{A B C}$

Xem đáp án » 23/06/2022 114

Câu 15:

Tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin^{2} \frac{x}{2} d x$ bằng:

Xem đáp án » 23/06/2022 113

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35875 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35139 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32304 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22490 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20668 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 17924 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17228 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 16884 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12411 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12165 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »