40 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 1 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 7)

Câu 1:

Hỏi hàm số $y = 2 x^{4} + 1$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(0; + \infty)$

B. $(- \infty; - \frac{1}{2})$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(- \frac{1}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $y' = 8 x^{3}, y' > 0 \leftrightarrow x > 0$ . Nên hàm số đã cho đồng biến trên $(0; + \infty)$

Câu 2:

Số điểm cực trị của hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + x + 1$ là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số bậc ba đã cho có

y' = - 3 x^{2} 6 x + 1

là tam thức bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 2 cực trị.

Câu 3:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2}$ trên đoạn $[- 2; 1]$

A. $\max_{[- 2; 1]} y = 2$

B. $\max_{[- 2; 1]} y = 0$

C. $\max_{[- 2; 1]} y = 20$

D. $\max_{[- 2; 1]} y = 54$

Xem đáp án

Chọn C

$y' = - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 2$ (loại)

$\Rightarrow y (- 2) = 20; y (0) = 0; y (1) = 2$

Vậy: $\max_{[- 2; 1]} y = 20$

Câu 4:

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ có các đường tiệm cận là:

A. y = -2 và x = -2

B. y = 2 và x = -2

C. y = -2 và x = 2

D. y = 2 và x = 2

Xem đáp án

Chọn B

Nhắc lại đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đường tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$ và đường tiệm cận đứng là $x = \frac{- d}{c}$ .

Câu 5:

Cho đồ thị như hình vẽ bên. Đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{3} + 3 x^{2}$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = - x^{3} - 3 x^{2}$

D. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn A

Khi x tiến tới $+ \infty$ thì y tiến tới $+ \infty$ , do đó hệ số của x³ phải dương => Loại B, C

Hàm số đi qua điểm (0;0) nên hàm số ở ý D không thỏa mãn

Câu 6:

Cho biểu thức

P = \sqrt{x^{4} \sqrt[3]{x}}

với x là số dương khác 1. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $P = x \sqrt{x^{2} \sqrt[3]{x}}$

B. $P = x^{2} . \sqrt[3]{x}$

C. $P = x^{\frac{13}{6}}$

D. $P = \sqrt[6]{x^{13}}$

Xem đáp án

Chọn B

Với $x > 0, x \neq 1$ thì $P = \sqrt{x^{4} . x^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{x^{\frac{13}{3}}} = {(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{13}{6}} = x^{2} . x^{\frac{1}{6}} = x^{2} \sqrt[6]{x}$ .

Câu 7:

Tính giá trị của biểu thức

A = \log_{a} \frac{1}{a^{2}}

, với

a > 0

và

a \neq 1

A. A = -2

B. $A = - \frac{1}{2}$

C. A = 2

D. $A = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $A = \log_{a} = \frac{1}{a^{2}} = \log_{a} a^{- 2} = - 2. \log_{a} a = - 2$ .

Câu 8:

Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của một khối hộp chữ nhật lên gấp đôi thì thể tích khối hộp tương ứng sẽ:

A. tăng 2 lần.

B. tăng 4 lần.

C. tăng 6 lần.

D. tăng 8 lần.

Xem đáp án

Chọn D.

Giả sử chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp chữ nhật là a, b, c.

Thể tích của khối hộp là V = abc.

Khi tăng tất cả các cạnh của khối hộp lên gấp đôi thì thể tích khối hộp thu được là $V ’ = 2 a .2 b .2 c = 8 a b c = 8 V$

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3a, AC = 4a, SB vuông góc (ABC),

S C = 5 a \sqrt{2}

. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

A. $10 a^{3}$

B. $30 a^{3}$

C. $10 a^{3} \sqrt{2}$

D. $5 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Bước 1: Diện tích tam giác vuông tại A : $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . A B . A C$ .

Bước 2: Tính độ dài đường cao $S B = \sqrt{S C^{2} - B C^{2}}$ .

Bước 3: Thể tích khối chóp $V_{S . A B C} = \frac{1}{2} . S_{Δ A B C} . S B = 10 a^{3}$ (đvtt).

Câu 10:

Cho hình nón (N) có thiết diện qua trục là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng a (cm) . Tính thể tích V của khối nón đó.

A. $V = \frac{a^{3} π}{8} c m^{3}$

B. $V = \frac{a^{3} π}{6} c m^{3}$

C. $V = \frac{a^{3} π}{24} c m^{3}$

D. $V = \frac{a^{3} π}{3} c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình nón (N) có thiết diện qua trục là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng a (cm) (ảnh 1)

Thiết diện qua trục của hình nón sẽ là một tam giác cân, từ giả thiết suy ra tam giác vuông cân. Đường cao từ đỉnh có góc vuông của thiết diện chính là đường cao của hình nón và độ dài cạnh huyền chính là đường kính đáy của hình nón. Do đó ta có: $r = \frac{a}{2}$ và $h = \frac{a}{2}$ .

Vậy $V = \frac{1}{3} π {(\frac{a}{2})}^{3} = \frac{a^{3} π}{24} c m^{3}$ .

Câu 11:

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số

y = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + (2 m - m^{2}) x - 1

có 2 điểm cực trị.

A. $m \neq 1$

B. $m \in ℝ$

C. m = 1

D. $m \in (- \infty; 1)$

Xem đáp án

Chọn A.

TXĐ: D = R. Ta có:

$y' = x^{2} - 2 x + 2 m - m^{2} = (x - m) (x + m - 2); y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = m \\ x = 2 - m \end{array}$ .

Hàm số có 2 điểm cực trị <=> y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m \neq 2 - m \Leftrightarrow m \neq 1$ .

Câu 12:

Hàm số nào nghịch biến trên R

A. $y = \frac{1}{x}$

B. $y = x^{4} + 5 x^{2}$

C. $y = - x^{3} + 2$

D. $y = \cot x$

Xem đáp án

Chọn C

Để hàm số nghịch biến trên R thì hàm số đó phải xác định trên R.

Các hàm số $y = \frac{1}{x}$ và $y = \cot x$ không xác định trên toàn tập R

Hàm số bậc 4 không thể nghịch biến trên R

Hàm số

y = - x^{3} + 2

xác định trên R và có

y' = - 3 x^{2} \leq 0

nên nghịch biến trên R

Câu 13:

Cho hàm số

y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 5

. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng:

A. 5

B. 6

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

$y' = - 6 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc x = 1

$y " = - 12 x + 6; y " (0) = 6 > 0 \Rightarrow x = 0$ là điểm cực tiểu

Giá trị cực tiểu $y (0) = 5$

Câu 14:

Cho hàm số

y = x^{4} + 4 x^{3} - m

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:

A. Số cực trị của hàm số không phụ thuộc vào tham số m

B. Số cực trị của hàm số phụ thuộc vào tham số m.

C. Hàm số có đúng một cực trị

D. Hàm số có đúng một cực tiểu

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số có đạo hàm $y' = 4 x^{3} + 12 x^{2} = 4 x^{2} (x + 3)$ nên số cực trị của hàm số không phụ thuộc vào tham số m ⇒ Câu B sai

y' = 0 có 2 nghiệm x = 0 và x = -3 nhưng y' chỉ đổi dấu khi đi qua giá trị x = -3 (từ âm sang dương) nên hàm số có đúng 1 cực trị và là cực tiểu.

Câu 15:

Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi 40cm. Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất có diện tích S là

A. $S = 100 c m^{2}$

B. $S = 400 c m^{2}$

C. $S = 49 c m^{2}$

D. $S = 40 c m^{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

$S = a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} = {(\frac{20}{2})}^{2} = 100$

Câu 16:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật

s = - t^{3} + 3 t^{2}

. Khi đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (giây) bằng:

A. t = 2

B. t = 0

C. t = 1

D. $[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 2 \end{array}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $v = s' = - 3 t^{2} + 6 t = - 3 {(t - 1)}^{2} + 3 \leq 3$ . Dấu “=” xảy ra <=> t = 1

Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 1

Câu 17:

Cho hàm số

y = f (x)

thỏa mãn điều kiện

\lim_{x \to + \infty} y = a \in ℝ; \lim_{x \to - \infty} y = + \infty; \lim_{x \to x_{0}^{-}} y = + \infty

. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A. Đồ thị hàm số

y = f (x)

có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng

B. Đồ thị hàm số

y = f (x)

có 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng

C. Đồ thị hàm số

y = f (x)

có tiệm cận ngang y = a

D. Đồ thị hàm số

y = f (x)

có tiệm cận đứng x = x_o

Xem đáp án

Chọn B.

$\lim_{x \to + \infty} y = a \in ℝ \Rightarrow y = a$ là 1 đường tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to - \infty} y = + \infty$ nên ta không thể kết luận được về tiệm cận ngang và đứng.

\lim_{x \to x_{0}^{-}} y = + \infty

là tiệm cận đứng.

Câu 18:

Đồ thị hàm số nào sau đây không có đường tiệm cận:

A. $y = \frac{x}{2 x^{2} - 1}$

B. y = -x

C. $y = \frac{x - 2}{3 x + 2}$

D. $y = x + 2 - \frac{1}{x - 3}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 19:

Biết rằng đường thẳng

y = - 2 x + 2

cắt đồ thị hàm số

y = x^{3} + x + 2

tại điểm duy nhất; kí hiệu

x_{0}; y_{0}

là tọa độ của điểm đó. Tìm

y_{0}

A. $y_{0} = 2$

B. $y_{0} = 4$

C. $y_{0} = 0$

D. $y_{0} = - 1$

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm là $x^{3} + x + 2 = - 2 x + 2 \to x = 0$ . Nên $x_{0} = 2 \to y_{0} = 2$

Câu 20:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

y = \frac{x + 1}{\sqrt{m x^{2} + 1}}

có hai tiệm cận ngang.

A. m < 0

B. m = 0

C. m > 0

D. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem đáp án

Chọn C

Để tìm tiệm cận ngang ta phải tính các giá trị của . Quan sát các đáp án ta dễ dàng thấy được chỉ có giá trị m > 0 thì mới thỏa mãn yêu cầu đề bài ra.

Nếu m = 0 thì y = x + 1 không có tiệm cận, m < 0 thì xét dưới mẫu số ta thấy x có điều kiện ràng buộc nên không thể xét x tới vô cùng được

Nếu m > 0 thì ta có $\lim_{x \to \infty} y = \frac{x (\frac{1}{x} + 1)}{|x| \sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}}$ sẽ có 2 tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{\sqrt{m}}, y = \frac{- 1}{\sqrt{m}}$

Câu 21:

Giải phương trình

\log_{4} (x - 1) = 3

A. x = 63

B. x = 65

C. x = 82

D. x = 80

Xem đáp án

Chọn B

$\log_{4} (x - 1) = 3 \to x - 1 = 4^{3} \to x = 65$

Câu 22:

Cho các số thực dương a, b với

a \neq 1

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\log_{a^{2}} (a b) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b$

B. $\log_{a^{2}} (a b) = 2 + \log_{a} b$

C. $\log_{a^{2}} (a b) = \frac{1}{4} \log_{a} b$

D. $\log_{a^{2}} (a b) = \frac{1}{2} \log_{a} b$

Xem đáp án

Chọn A

Các em áp dụng công thức này nhé:

$\log_{a^{x}} b^{y} = \frac{y}{x} \log_{a} b, \log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y$ ta sẽ được kết quả là đáp án A

Câu 23:

Tìm nghiệm của bất phương trình

\log_{\frac{1'}{2}} (3 x - 1) > 3

.

A. $x < \frac{3}{8}$

B. $\frac{1}{3} < x < \frac{3}{8}$

C. $x > \frac{3}{8}$

D. $\frac{1}{3} < x < \frac{5}{8}$

Xem đáp án

Chọn B.

Khi giải bất phương trình logarit chú ý đặt điều kiện và cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1.

Điều kiện: $3 x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}; \log_{\frac{1}{2}} (3 x - 1) > 3 \Leftrightarrow 3 x - 1 < \frac{1}{8} \Leftrightarrow x < \frac{3}{8}$ .

Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là $\frac{1}{3} < x < \frac{3}{8}$ .

Cách khác: Có thể sử dụng MTCT để giải nhanh bài toán này. Nhập MODE + 7 (TABLE)

Nhập

f (X) = \log_{\frac{1}{2}} (3 X - 1) - 3 \to_{}^{} \{\begin{cases} S t a r t : X = \frac{1}{3} \\ E n d : X = \frac{5}{8} \\ S t e p : X = \frac{1}{15} (\frac{5}{8} - \frac{1}{3}) \end{cases} \Rightarrow f (x) > 0, \forall x \in (\frac{1}{3}; \frac{3}{8})

.

Câu 24:

Cho các hàm số sau:

(1) $y = {(x - 2)}^{π}$ .

(2) $y = {(x - 2)}^{- 2}$ .

(3) $y = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

(4) $y = \frac{1}{x - 2}$ . (5) $y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ . (6) $y = \sqrt[3]{x - 2}$ .

Hỏi có bao nhiêu hàm số có tập xác định là

D = (2; + \infty)

?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C.

Các hàm số (1), (3), (5) có tập xác định là

D = (2; + \infty)

; các hàm số (2) (4) có tập xác định là

ℝ \ \{2\}

; hàm số (6) có tập xác định là R

Câu 25:

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', có cạnh đáy bằng a. Góc giữa A'C và đáy (ABCD) bằng 45^o . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $a^{3} \sqrt{2}$

C. $a^{2} \sqrt{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' , có cạnh đáy bằng a . Góc giữa A'C (ảnh 1)

Lăng trụ tứ giác đều $A B C D . A' B' C' D'$ là lăng trụ đứng và có đáy là hình vuông.

Góc giữa A'C và đáy (ABCD) là $\hat{A' C A} = 45 °$

Ta có $S_{A B C} = \frac{1}{2} a^{2}, A C = a \sqrt{2}, A A' = A C . \tan \hat{A' C A} = a \sqrt{2}$

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{A B C} = a \sqrt{2} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 26:

Cho hình nón (N)có đỉnh Ovà tâm của đáy là H.

(α)

là mặt phẳng qua O. Nên kí hiệu

d (H; (α))

là khoảng cách từ H đến mặt phẳng

(α)

. Biết chiều cao và bán kính đáy của hình nón lần lượt là h, r. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu

d (H, (α)) > \frac{r h}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}

thì

(α) \cap (N) = \emptyset

B. Nếu

d (H, (α)) < \frac{r h}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}

thì

(α) \cap (N)

là tam giác cân

C. Nếu

d (H, (α)) = \frac{r h}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}

thì

(α) \cap (N)

là đoạn thẳng

D. Nếu

d (H, (α)) > \frac{r h}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}

thì

(α) \cap (N)

là một điểm

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình nón (N) có đỉnh O và tâm của đáy là H . (anpha) là mặt phẳng qua O . Nên kí hiệu (ảnh 1)

Xét tam giác OBH vuông tại H có đường cao HK ta có

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{h^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \Rightarrow H K = \frac{r h}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}$ . Do đó ta có các vị trí tương đối giữa mặt phẳng qua đỉnh và hình nón là:

Nếu $d (H, (α)) < \frac{r h}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}$ thì $(α) \cap (N)$ là tam giác cân.

Nếu $d (H, (α)) = \frac{r h}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}$ thì $(α) \cap (N)$ là đoạn thẳng.

Nếu

d (H, (α)) > \frac{r h}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}

thì

(α) \cap (N)

là một điểm là O

Câu 27:

Cho khối nón (N) đỉnh O có bán kính đáy là r . Biết thể tích khối nón (N) là

V_{0}

. Tính diện tích S của thiết diện qua trục của khối nón.

A. $S = \frac{V_{0}}{π r}$

B. $S = \frac{3 V_{0}}{π r^{2}}$

C. $S = \frac{3 V_{0}}{π r}$

D. $S = \frac{3 π r}{V_{0}}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có công thức $V_{0} = \frac{1}{3} π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{3 V_{0}}{π r^{2}}$ .

Từ đó diện tích thiết diện qua trục $S = \frac{1}{2} A B . O H = \frac{1}{2} .2 r . \frac{3 V_{0}}{π r^{2}} = \frac{3 V_{0}}{π r}$ .

Câu 28:

Cho khối chóp tam giác S.ABC có (SBA) và (SBC) cùng vuông góc với (ABC) , đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SC bằng

a \sqrt{7}

. Đường cao của khối chóp S.ABC bằng

A. a

B. $2 a \sqrt{2}$

C. $a \sqrt{6}$

D. $a \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho khối chóp tam giác S.ABC có (SBA) và ()SBC cùng vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a (ảnh 1)

$\{\begin{cases} (S B A) ⊥ (A B C) ⊥ (S B C) \\ (S B A) \cap (S B C) = S B \end{cases} \Rightarrow S B ⊥ (A B C)$

$B C = A B = A C = a$ do tam giác ABC đều

$S B = \sqrt{S C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{6}$

Câu 29:

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh AB bằng

a \sqrt{3}

, góc giữa A'C và (ABC) bằng 45^o . Khi đó đường cao của lăng trụ bằng:

A. a

B. $a \sqrt{3}$

C. $a \sqrt{2}$

D. 3a

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh AB bằng (ảnh 1)

A là hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC)

$\Rightarrow (\hat{A' C, (A B C)}) = 45^{0} = \hat{A' C A}$

Lại có $A C = a \sqrt{3}$ vì tam giác ABC cân tại A.

Tam giác AA'C vuông tại A có góc $\hat{A' C A} = 45^{0}$ nên vuông cân tại A

\Rightarrow A A' = a \sqrt{3}

.

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật,

A B = 2 a, B C = a, S A = a,

S B = a \sqrt{3}

, (SAB) vuông góc với (ABCD) . Khi đó thể tích của khối chóp SABCD bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $2 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, SA = a, SB = căn bậc hai 3 (ảnh 1)

Dễ thấy $S A^{2} + S B^{2} = A B^{2} = 4 a^{2}$ do đó tam giác SAB vuông tại S . Dựng $S H ⊥ A B$ , mặt khác $(S A B) ⊥ (A B C D)$

Do đó $S H ⊥ (A B C D)$

Lại có $S H = \frac{S A . S B}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Do vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 31:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = \sin^{3} x - 3 \sin x

trên đoạn

[0; \frac{π}{3}]

A. -2

B. 0

C. $- \frac{9 \sqrt{3}}{8}$

D. $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $t = sinx$ với $x \in [0; \frac{π}{3}] \Rightarrow t \in [0; \frac{\sqrt{3}}{2}] \Rightarrow |t| < 1$

$y = t^{3} - 3 t \Rightarrow y' = 3 t^{2} - 3 < 0 \Rightarrow y = f (x) = \sin^{3} x - 3 \sin x \geq f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{9 \sqrt{3}}{8}$ .

Câu 32:

Cho hàm số

y = m x^{4} + (m^{2} - 9) x^{3} + 10

. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.

A. $[\begin{array}{l} m < - 1 \\ 0 < m < 2 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} m < - 3 \\ 0 < m < 3 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} m < 3 \\ - 1 < m < 0 \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} m < 0 \\ 1 < m < 3 \end{array}$

Xem đáp án

Chọn B

Xét hàm số $y = m x^{4} + (m^{2} - 9) x^{2} + 10, \forall x \in ℝ$ . Ta có $y' = 4 m x^{3} + 2 (m^{2} - 9) x$

Phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow 4 m x^{3} + 2 (m^{2} - 9) x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 m x^{2} = 9 - m^{2} (*) \end{array}$

Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Hay $\{\begin{cases} m \neq 0 \\ \frac{9 - m^{2}}{m} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 < m < 3 \\ m < - 3 \end{array}$ là giá trị cần tìm.

Câu 33:

Cho $\log_{2} 5 = a; \log_{3} 5 = b$ . Tính $\log_{6} 1080$ theo a và b ta được:

A. $\frac{a b + 1}{a + b}$

B. $\frac{2 a + 2 b + a b}{a + b}$

C. $\frac{3 a + 3 b + a b}{a + b}$

D. $\frac{2 a - 2 b + a b}{a + b}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\log_{2} 3 = \frac{\log_{5} 3}{\log_{5} 2} = \frac{\log_{2} 5}{\log_{3} 5} = \frac{a}{b}$

$\Rightarrow \log_{6} 100 = \frac{\log_{2} (2^{3} \times 3^{3} \times 5)}{\log_{2} 6} = \frac{3 + 3 \log_{2} 3 + \log_{2} 5}{1 + \log_{2} 5} = \frac{3 + \frac{3 a}{b} + a}{1 + \frac{a}{b}} = \frac{3 b + 3 a + a b}{a + b}$ .

Câu 34:

Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m³. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a, b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể.

Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m3. Người thợ này (ảnh 1)

A. $a = 3, 6 m; b = 0, 6 m; c = 0, 6 m$

B. $a = 2, 4 m; b = 0, 9 m; c = 0, 6 m$

C. $a = 1, 8 m; b = 1, 2 m; c = 0, 6 m$

D. $a = 1, 2 m; b = 1, 2 m; c = 0, 9 m$

Xem đáp án

Chọn C.

Thể tích bể cá là: $V = a b c = 1, 296$

Diện tích tổng các miếng kính là $S = a b + 2 a c + 3 b c$ (kể cả miếng ở giữa)

Ta có: $\frac{S}{a b c} = \underset{C a u c h y c h o 3 s o \frac{1}{c}, \frac{2}{b}, \frac{3}{a}}{\underset{⏟}{\frac{1}{c} + \frac{2}{b} + \frac{3}{a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{c} . \frac{2}{b} . \frac{3}{a}}}} = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{\sqrt{a b c}} = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{\sqrt{1, 296}}$

Dấu “=” xảy ra khi

\{\begin{cases} \frac{1}{c} = \frac{2}{b} = \frac{3}{a} \\ a b c = 1, 296 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1, 8 \\ b = 1, 2 \\ c = 0, 6 \end{cases}

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD là điểm I thuộc AD sao cho $A I = 2 I D, S B = \frac{a \sqrt{7}}{2}$ , ABCD là hình vuông có cạnh bằng a. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{11}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{11}}{18}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{18}$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD là điểm thuộc (ảnh 1)

Ta có $S I ⊥ (A B C D) \Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S I . S_{A B C D}$

$A I = 2 I D \Rightarrow A I = \frac{2}{3} A D = \frac{2 a}{3} \Rightarrow B I = \sqrt{A I^{2} + A B^{2}} = \frac{a \sqrt{13}}{3}$

Xét tam giác vuông SB, $S I^{2} + I B^{2} = S B^{2}$

$\Leftrightarrow S I = \sqrt{S B^{2} - I B^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{7}}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{13}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{11}}{6}$

Do đó $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S I . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{11}}{6} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{11}}{18}$ .

Câu 36:

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

y = 2 x^{2} |x^{2} - 2|

tại 6 điểm phân biệt.

A. 0 < m < 2

B. 0 < m < 1

C. 1 < m < 2

D. Không tồn tại m

Xem đáp án

Chọn A.

Xét hàm số $y = g (x) = 2 x^{2} (x^{2} - 2) = 2 x^{4} - 4 x^{2}$

Ta có $g^{'} (x) = 8 x^{3} - 8 x = 8 x (x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$ .

Ta có đồ thị hàm số $g (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2}$ , từ đó suy ra đồ thị hàm số $y = 2 x^{2} |x^{2} - 2|$

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (ảnh 1)

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị để phương trình có 6 nghiệm phân biệt khi 0 < m < 2

Câu 37:

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho hàm số

y = m x^{3} + 3 x^{2} + m^{2}, (m \neq 0)

đồng biến trên khoảng (a;b) và nghịch biến trên các khoảng

(- \infty; a), (b; + \infty)

sao cho

|a - b| = 2

.

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số m

Xem đáp án

Chọn B.

TXĐ: D = R. Ta có: . Điều kiện $m \neq 0$ .

Vẽ bảng xét dấu đạo hàm y' ta cần biết dấu của hệ số a = 3m. Ta có nhận xét sau:

Nếu $a = 3 m > 0 \Rightarrow x_{2} < x_{1}$ thì ta có bảng xét dấu

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho hàm số (ảnh 1)

Khi đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; x_{2})$ và $(x_{1}; + \infty)$ . Không thỏa đề nên loại trường hợp a = 3m > 0.

Nếu

a = 3 m < 0 \Leftrightarrow m < 0 \Rightarrow x_{1} < x_{2}

, ta có bảng xét dấu

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho hàm số (ảnh 2)

Dựa vào bảng xét dấu ta nhận thấy hàm số chỉ luôn đồng biến trên khoảng $(x_{1}; x_{2})$ .

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow |x_{2} - x_{1}| = 2 \Leftrightarrow |- \frac{2}{m} - 0| = 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m = - 1

Câu 38:

Cho

a = 10^{\frac{m}{n - \log b}}; b = 10^{\frac{m}{n - \log c}}

với a, b, c, m, n là các số nguyên sao cho các biểu thức có nghĩa. Tính biểu thức logc theo loga.

A. $\log c = \frac{(m^{2} - n) \log a - m n}{n \log a - m}$

B. $\log c = \frac{(n^{2} - m) \log a - m n}{n \log a - m}$

C. $\log c = \frac{(n^{2} - m) \log a - n}{n \log a - m n}$

D. $\log c = \frac{(m^{2} - n) \log a - m n}{m \log a - n}$

Xem đáp án

Chọn B.

$a = 10^{\frac{m}{n - \log b}} \Leftrightarrow \log a = \frac{m}{n - \log b} \Leftrightarrow n - \log b = \frac{m}{\log a} \Leftrightarrow \log b = \frac{n \log a - m}{\log a}$ ;

$b = 10^{\frac{m}{n - \log c}} \Leftrightarrow \log b = \frac{m}{n - \log c}$

Ta có

$\log b = \frac{m}{n - \log c} = \frac{n \log a - m}{\log a} \Leftrightarrow n - \log c = \frac{m \log a}{n \log a - m} \Leftrightarrow \log c = \frac{(n^{2} - m) \log a - m n}{n \log a - m}$

Câu 39:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Độ dài

S B = \frac{a \sqrt{5}}{2}

. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60^o . Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD .

A. $\frac{a^{3} π \sqrt{3}}{24}$

B. $\frac{a^{3} π \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{a^{3} π \sqrt{3}}{27}$

D. $a^{3} π \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp đều s.abcd có đáy abcd là hình vuông. Độ dài sb = a căn bậc hai 5 /2 . (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm BC . Ta chứng minh được góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABCD) bằng góc $\hat{S M O} = 60 °$ .

Đặt AB = x. Độ dài $S O = O M . \tan 60 ° = \frac{x \sqrt{3}}{2}$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow S B = \sqrt{S O^{2} + O B^{2}} = \sqrt{{(\frac{x \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}} \\ = \frac{x \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = a \end{array}$

Khối nón có chiều cao $h = S O = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , bán kính đáy $R = O M = \frac{a}{2}$ .

Thể tích $V = \frac{1}{3} V_{®¸y} . h = \frac{1}{3} π R^{2} . h = \frac{1}{3} π {(\frac{a}{2})}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} π \sqrt{3}}{24}$ .

Câu 40:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của AA' và B'C'. N là điểm thuộc cạnh A'D' thỏa mãn 3A'N = ND'. Tính diện tích S_o của thiết diện của (MNP) với hình lập phương.

A. $S_{0} = \frac{3 a^{2} \sqrt{85}}{32}$

B. $S_{0} = \frac{15 a^{2}}{32}$

C. $S_{0} = \frac{3 a^{2} \sqrt{21}}{8}$

D. $S_{0} = \frac{3 a^{2} \sqrt{21}}{16}$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của AA' và B'C'. N là điểm thuộc cạnh A'D' (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của A'D'. Khi đó MN // AE // BP. Do đó thiết diện cần tìm là hình thang MNPB. Dựa vào các tam giác vuông thì $B P = \sqrt{B B'^{2} + B' P^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ và $M N = \frac{1}{2} A E = \frac{a \sqrt{5}}{4}$ .

$M B = \frac{a \sqrt{5}}{2}; N P = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{16}} = \frac{a \sqrt{17}}{4}$ ;

$M P = \sqrt{P A'^{2} + A' M^{2}} = \sqrt{A' B'^{2} + B' P^{2} + A' M^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Sử dụng công thức Hê-rông để tính $S_{Δ M P B} = \frac{a^{2} \sqrt{21}}{8}$ .

Ta có chiều cao hình thang là $h = \frac{2 S_{Δ M B P}}{B P} = \frac{2. \frac{a^{2} \sqrt{21}}{8}}{\frac{a \sqrt{5}}{2}} = \frac{a \sqrt{105}}{10}$ .

Vậy $S_{0} = \frac{h (M N + B P)}{2} = \frac{3 a^{2} \sqrt{21}}{16}$ .