50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 1 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 3)

Câu 1:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. (ảnh 1)

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$

C. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

D. $y = - x^{3} + 6 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Nhận dạng đồ thị hàm số bậc ba

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy khi $x \to + \infty$ thì $y \to + \infty$ nên hệ số $a > 0 \Rightarrow$ Loại phương án C và D

Mặt khác đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm: $x = 0$ và $x = x_{0} > 0$

Xét $y = x^{3} + 3 x^{2} + 2 \Rightarrow y' = 3 x^{2} + 6 x, y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 < 0 \end{array} \Rightarrow$ Loại phương án B

Ta chọn phương án A.

Câu 2:

Cho hàm số

y = \frac{a x + b}{x - c}

có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Cho hàm số y = ax +b/ x-c có đồ thị như hình vẽ bên (ảnh 1)

A. $a > 0, b < 0, c > 0$

B. $a > 0, b > 0, c < 0$

C. $a > 0, b < 0, c < 0$

D. $a < 0, b > 0, c > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{x - c}$ có hai đường tiệm cận: $x = c$ và $y = a$ , đồng thời cắt trục hoành tại điểm $(- \frac{b}{a}; 0)$

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = x_{0} < 0 \Rightarrow c < 0$ , đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = y_{0} > 0 \Rightarrow a > 0$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $(x'_{0}; 0), x'_{0} > 0 \Rightarrow - \frac{b}{a} > 0$

Mà $a > 0 \Rightarrow b < 0$

Vậy

a > 0, b < 0, c < 0

Câu 3:

Cho hàm số

y = \frac{2 x + 3}{x - 1}

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đường thẳng

y = 2

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

B. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

C. Hàm số có một điểm cực trị.

D. Hàm số nghịch biến trên

ℝ

.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Hàm bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Cách giải:

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất không có giá trị nhỏ nhất.

Câu 4:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

y = x + \frac{2}{x - 1}

và đường thẳng

y = 2 x

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành đồ giao điểm của hai hàm số đó.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x + \frac{2}{x - 1} = 2 x, x \neq 1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{x - 1} = x \Rightarrow 2 = x^{2} - x \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array}$

$\Rightarrow$ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số là 2.

Câu 5:

Cho hình chóp S.BACD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

A B = a, A C = \sqrt{5} a

. Cạnh bên

S A = \sqrt{2} a

và SA vuông góc với

(A B C D)

. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{\sqrt{10}}{3} a^{3}$

B. $V = \sqrt{2} a^{3}$

C. $V = \frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

D. $V = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} S . h$

Với: S là diện tích của đáy,

h là chiều cao của khối chóp.

Cách giải:

Cho hình chóp S.BACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, (ảnh 1)

Xét tam giác vuông ABC có:

$B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{5 a^{2} - a^{2}} = 2 a$

Diện tích đáy ABCD: S= AB .BC = a.2a = 2a²

V = \frac{1}{3} S_{d a y} . S A = \frac{1}{3} .2 a^{2} . \sqrt{2} a = \frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}

Câu 6:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2} + 1

trên đoạn

[0; 2]

A. M = 9

B. M = 10

C. M = 1

D. M = 0

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

- TXĐ

- Tính nghiệm và tìm các điểm không xác định ' y

- Tìm các giá trị tại $x = 0, x = 2$ và các điểm đã tìm ở trên (nằm trong đoạn đang xét) 0, 2 x x

- Xác định giá trị lớn nhất trong các giá trị đó.

Cách giải:

TXĐ:

D = ℝ

\begin{array}{l} y = x^{4} - 2 x^{2} + 1 \Rightarrow y' = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array} \\ f (0) = 1, f (2) = 9, f (1) = 0 \Rightarrow \underset{[0; 2]}{m a x} y = 9 \end{array}

Câu 7:

Cho

\log_{2} 3 = a

. Tính

T = \log_{36} 24

theo a.

A. $T = \frac{2 a + 2}{a + 3}$

B. $T = \frac{3 a + 2}{a + 2}$

C. $T = \frac{a + 2}{3 a + 2}$

D. $T = \frac{a + 3}{2 a + 2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: $\log_{a} b = \frac{\log_{c} a}{\log_{c} b}, 0 < a, b, c \neq 1$

Cách giải: $T = \log_{36} 24 = \frac{\log_{2} 24}{\log_{2} 36} = \frac{\log_{2} 8 + \log_{2} 3}{\log_{2} 4 + \log_{2} 9} = \frac{3 + \log_{2} 3}{2 + 2 \log_{2} 3} = \frac{3 + a}{2 + 2 a}$

Câu 8:

Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục của hình nón đó là tam giác vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình nón đó.

A. $\frac{\sqrt{2} π}{2} a^{2}$

B. $2 π a^{2}$

C. $2 \sqrt{2} π a^{2}$

D. $\sqrt{2} π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của khối nón: $S_{x q} = π R l$

Cách giải:

Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục của hình nón (ảnh 1)

Theo đề bài, ta có tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S, $S O = a$

$\Rightarrow R = O A = S O = a$

Độ dài đường sinh: $l = S A = O A \sqrt{2} = a \sqrt{2}$

Diện tích xung quanh của khối nón:

S_{x q} = π R l = π . a . a \sqrt{2} = \sqrt{2} π a^{2}

Câu 9:

Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

y = x - \ln x

trên đoạn

[\frac{1}{2}; e]

lần lượt là

A. 1 và e-1

B. 1 và e

C. $\frac{1}{2} + \ln 2 v à e - 1$

D. $1 v à \frac{1}{2} + \ln 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tìm nghiệm và các điểm không xác định của y’ trên đoạn $[\frac{1}{2}; e]$

- Tính các giá trị tại $\frac{1}{2}, e$ và các điểm vừa tìm được

- Kết luận GTLN, GTNN của hàm số từ các giá trị trên.

Cách giải:

TXĐ: $D = (0; + \infty)$

$y = x - \ln x \Rightarrow y = 1 - \frac{1}{x}; y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có: $y (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \ln 2; y (1) = 1; y (e) = e - 1$

=> Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là: 1 và e-1

Câu 10:

Tập xác định của hàm số

y = {(x + 1)}^{- 2}

là

A. $(- 1; + \infty)$

B. $[- 1; + \infty)$

C. $ℝ$

D. $ℝ \ \{- 1\}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Tập xác định của hàm số $y = x^{α}$ :

+) Nếu $α$ là số nguyên dương thì TXĐ: $D = ℝ$

+) Nếu $α$ là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ: $D = ℝ \ \{0\}$

+) Nếu $α$ là số không nguyên thì TXĐ: $D = (0; + \infty)$

Cách giải:

Hàm số xác định $\Leftrightarrow x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq - 1$

Vây tập xác định của hàm số $y = {(x + 1)}^{- 2}$ là $ℝ \ \{- 1\}$

Câu 11:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A,

\hat{B A C} = 120^{0}

,

B C = A A' = \sqrt{3} a

. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

A. $V = \frac{9 a^{3}}{4}$

B. $V = \frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{2}$

C. $V = \frac{3 \sqrt{6} a^{3}}{6}$

D. $V = \frac{3 a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ: $V = S h$ , trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao.

Cách giải:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A (ảnh 1)

Tam giác ABC cân tại A, $\hat{B A C} = 120^{0}$ ,

gọi I là trung điểm của BC $\Rightarrow \{\begin{cases} A I ⊥ B C \\ B A I = 60^{0} \end{cases}$

$\begin{array}{l} B I = \frac{B C}{2} = \frac{\sqrt{3} a}{2}; A I = \frac{B I}{\tan 60^{0}} = \frac{\frac{\sqrt{3} a}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2} \\ \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} . A I . B C = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \sqrt{3} a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \end{array}$

Thể tích khối lăng trụ:

V = S_{A B C} . A A' = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \sqrt{3} a = \frac{3 a^{3}}{4}

Câu 12:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

A B = a, A D = \sqrt{2} a, A C' = 2 \sqrt{3} a

. Tính theo a thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

A. $V = 2 \sqrt{6} a^{3}$

B. $V = \frac{2 \sqrt{6}}{3} a^{3}$

C. $V = 3 \sqrt{2} a^{3}$

D. $V = 6 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc

Cách giải:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a (ảnh 1)

ABCD là hình chữ nhật $\Rightarrow A C = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2}} = \sqrt{3} a$

ACC’A’ là hình chữ nhật $\Rightarrow A A' = \sqrt{A C'^{2} - A C^{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{3} a)}^{2} - {(\sqrt{3} a)}^{2}} = 3 a$

Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = A B . A D . A A' = a . \sqrt{2} a .3 a = 3 \sqrt{2} a^{3}

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ

\vec{u} = (1; 2; 3)

và

\vec{v} = (- 5; 1; 1)

. Khẳng định nào đúng?

A. $\vec{u} = \vec{v}$

B. $\vec{u} ⊥ \vec{v}$

C. $|\vec{u}| = |\vec{v}|$

D. $\vec{u} / / \vec{v}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp :

Thử lần lượt từng đáp án.

Cách giải:

$\vec{u} = (1; 2; 3), \vec{v} = (- 5; 1; 1) \Rightarrow \vec{u} . \vec{v} = 1. (- 5) + 2.1 + 3.1 = 0 \Rightarrow \vec{u} ⊥ \vec{v}$

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

A (2; 1; - 1), B (3; 3; 1), C (4; 5; 3)

. Khẳng định nào đúng?

A. $A B ⊥ A C$

B. A, B, C thẳng hàng.

C. AB = AC

D. O, A, B, C là 4 đỉnh của một hình tứ diện.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp :

Tính các vectơ $\vec{A B}; \vec{A C}$ và nhận xét.

Cách giải:

$A (2; 1; - 1), B (3; 3; 1), C (4; 5; 3) \Rightarrow \vec{A B} = (1; 2; 2), \vec{A C} = (2; 4; 4) \Rightarrow \vec{A C} = 2 \vec{A B} \Rightarrow$ A, B, C thẳng hàng.

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác OAB có

A (- 1; - 1; 0), B (1; 0; 0)

. Tính độ dài đường cao kẻ từ O của tam giác OAB.

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

B. $\sqrt{5}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{10}$

D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian:

$d (A; Δ) = \frac{|[\vec{u}; \vec{M A}]|}{|\vec{u}|}$ , với $\vec{u}$ là VTCP của $Δ$ và M là điểm bất kì thuộc

Cách giải:

Đường thẳng AB có 1 VTCP $\vec{u} = \vec{A B} = (2; 1; 0)$

$[\vec{u}; \vec{O A}] = (0; 0; - 1)$

Độ dài đường cao kẻ từ O của tam giác OAB bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng AB:

d (O; A B) = \frac{|[\vec{u}; \vec{O A}]|}{|\vec{u}|} = \frac{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + {(- 1)}^{2}}}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}

Câu 16:

Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng

(- \infty; + \infty)

A. $y = \frac{x - 1}{x + 2}$

B. $y = x^{3} + 2$

C. $y = x + 1$

D. $y = x^{5} + x^{3} - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

* Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

- Bước 1: Tìm tập xác định, tính $f' (x)$

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó $f' (x) = 0$ hoặc $f' (x)$ không xác định

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

+) $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ ta có $y' = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 2 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 2); (- 2; + \infty)$

+) $y = x^{3} + 2 \Rightarrow y' = 3 x^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ$ : Hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

+) $y = x + 1 \Rightarrow y' = 1 > 0, \forall x \in ℝ$ : Hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

+) $y = x^{5} + x^{3} - 1 \Rightarrow y' = 5 x^{4} + 3 x^{2} \geq 0, \forall x \in ℝ; y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Câu 17:

Với a, b, c là các số thực dương, a và c khác 1 và

α \neq 0

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\log_{a} b . \log_{c} a = \log_{c} b$

B. $\log_{a^{α}} b = α \log_{a} b$

C. $\log_{a} (\frac{b}{c}) = \log_{a} b - \log_{a} c$

D. $\log_{a} b c = \log_{a} b + \log_{a} c$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng các công thức liên quan đến logarit.

Cách giải:

\log_{a^{α}} b = α \log_{a} b

: là mệnh đề sai. (sửa lại:

\log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b

)

Câu 18:

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Khẳng định nào đúng?

A. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trùng với đỉnh S.

B. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là tâm của mặt đáy ABCD.

C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm của đoạn thẳng nối S với tâm của mặt đáy ABCD.

D. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trọng tâm tam giác SAC.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

- Xác định tâm I của đáy, dựng đường (d) vuông góc với mặt đáy tại I

- Dựng mặt phẳng trung trực (P) của cạnh SA

- Xác định giao tuyến O của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d). O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Cách giải:

Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Khẳng định nào đúng? (ảnh 1)

Gọi O là tâm của đáy $\Rightarrow O A = O B = O C = O D (1)$

Do hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên $Δ S A C = Δ B A C \Rightarrow O S = O A = O C (2)$

Từ (1), (2)

\Rightarrow O A = O B = O C = O D = O S \Rightarrow

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là tâm của mặt đáy ABCD.

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

\hat{A B C} = 120^{0}

. Cạnh bên

S A = \sqrt{3} a

và SA vuông góc với (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.BCD.

A. $V = \frac{a^{3}}{2}$

B. $V = \frac{a^{3}}{4}$

C. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

D. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Thể tích khối chóp: V = Sh

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, (ảnh 1)

Tam giác ABC cân tại A, $\hat{A B C} = 120^{0}$

$\Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C \sin 120^{0} = \frac{1}{2} . a . a . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \Rightarrow S_{B C D} = S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Thể tích V của khối chóp S.BCD: $V = \frac{1}{3} . S A . S_{B C D} = \frac{1}{3} . \sqrt{3} a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4}$

Câu 20:

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Đồ thị các hàm số

y = a^{x}

và

y = {(\frac{1}{a})}^{x} 0 < a \neq 1

đối xứng nhau qua trục tung.

B. Hàm số

y = a^{x} 0 < a \neq 1

đồng biến trên

ℝ

C. Hàm số

y = a^{x} a > 1

nghịch biến trên

ℝ

D. Đồ thị hàm số

y = a^{x} 0 < a \neq 1

luôn đi qua điểm có tọa độ (a;1)

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số mũ và tính đơn điệu của hàm số mũ.

Cách giải:

Đáp án A: Ví dụ đồ thị các hàm số $y = 2^{x}$ và $y = {(\frac{1}{2})}^{x} 0 < a \neq 1$

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A. Đồ thị các hàm số (ảnh 1)

Chúng đối xứng nhau qua trục tung. Do đó đáp án A đúng.

Đáp án B và C hiển nhiên sai.

Đáp án D sai vì (a;1) thuộc đồ thị hàm số $y = a^{x} \Leftrightarrow 1 = a^{a}$ không phải luôn đúng.

Câu 21:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{x + 2}

là

A. x = 2

B. y = -2

C. x = -2

D. y = 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{a x + b}{c x + d}, a, c \neq 0, a d - b c \neq 0$ có tiệm cận đứng là $- \frac{d}{c}$ , tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$

Cách giải:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 2}$ là y = 2

Câu 22:

Ông An gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn 1 năm với lãi suất 8%/năm. Sau 5 năm ông rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại ông tiếp tục gửi vào ngân hàng với kỳ hạn và lãi suất như lần trước. Số tiền lãi mà ông An nhận được sau 10 năm gửi gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 34,480 triệu.

B. 81,413 triệu.

C. 107,946 triệu.

D. 46,933 triệu.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Công thức lãi kép, không kỳ hạn: $A_{n} = M {(1 + r %)}^{n}$

Với: $A_{n}$ là số tiền nhận được sau tháng thứ n,

M là số tiền gửi ban đầu,

n là thời gian gửi tiền (tháng),

r là lãi suất định kì (%)

Cách giải:

Số tiền ông An rút lần 1 là: $100. {(1 + 8 %)}^{5} = 146, 9328077$ (triệu đồng)

Số tiền ông An gửi lần 2 là: $146.9328077 : 2 = 73, 46640384$ (triệu đồng)

Số tiền ông An rút lần 2 (gửi 5 năm tiếp theo) là:

$73, 46640384. {(1 + 8 %)}^{5} = 107, 9462499$ (triệu đồng)

Số tiền lãi là:

107, 9462499 - 73, 4660384 = 34, 47984602 \approx 34, 480

(triệu đồng).

Câu 23:

Đạo hàm của hàm số

y = x \ln x

trên khoảng

(0; + \infty)

là

A. $y' = \ln x$

B. $y' = 1$

C. $y' = \frac{1}{x}$

D. $y' = 1 + \ln x$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: $(u v)' = u' v + u v'$

Cách giải: $y = x \ln x \Rightarrow y' = 1. \ln x + x . \frac{1}{x} = \ln x + 1$

Câu 24:

Cho biểu thức

P = \sqrt{x \sqrt[5]{x^{3}}}

, với x > 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x^{\frac{14}{5}}$

B. $P = x^{\frac{3}{5}}$

C. $P = x^{\frac{4}{15}}$

D. $P = x^{\frac{4}{5}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: $\sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}}; x^{m} . x^{n} = x^{m + n}$

Cách giải: $P = \sqrt{x \sqrt[5]{x^{3}}} = {(x . x^{\frac{3}{5}})}^{\frac{1}{2}} = {(x^{\frac{8}{5}})}^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{8}{5} . \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{5}}$

Câu 25:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A. Giá trị cực đại của hàm số là y = 2

B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (-1;2)

C. Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm x = 2

D. Hàm số đạt cực đại tại điểm

x = - 1

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Dựa vào bảng biến thiên.

Cách giải:

Dựa vào BBT ta dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 2 nên Đáp án C sai.

Câu 26:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

B. $\int 3 x^{2} d x = x^{3} + C$

C. $\int \frac{1}{2 x} d x = \frac{\ln |x|}{2} + C$

D. $\int \sin 2 x d x = 2 \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

$\begin{array}{l} \int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C \\ \int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C \\ \int \frac{d x}{x} = \ln |x| + C \\ \int \sin k x d x = - \frac{1}{k} \cos k x + C \end{array}$

Cách giải:

$\int \sin 2 x d x = 2 \cos 2 x + C$ là mệnh đề sai (sửa lại: $\int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$ )

Câu 27:

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = x + 1 + \sqrt{x^{2} + 2 x + 3}

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x)$

Nếu $\lim_{x \to + \infty} f (x) = a$ hoặc $\lim_{x \to - \infty} f (x) = a \Rightarrow y = a$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Cách giải:

TXĐ: D = R

$\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} (x + 1 + \sqrt{x^{2} + 2 x + 3}) = \lim_{x \to + \infty} x (1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}) = + \infty \\ \lim_{x \to - \infty} (x + 1 + \sqrt{x^{2} + 2 x + 3}) = \lim_{x \to - \infty} (\frac{{(x + 1)}^{2} - (x^{2} + 2 x + 3)}{x + 1 - \sqrt{x^{2} + 2 x + 3}}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 2}{x + 1 - \sqrt{x^{2} + 2 x + 3}} \\ = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 2}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}} = 0 \end{array}$

Vậy, đồ thị hàm số có tất cả 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ

\vec{a} = (1; 1; 0), \vec{b} = (2; - 1; - 2), \vec{c} = (- 3; 0; 2)

. Khẳng định nào đúng?

A. $\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = 0$

B. $2 |\vec{a}| + |\vec{b}| = |\vec{c}|$

C. $\vec{a} = 2 \vec{b} - \vec{c}$

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp: $\vec{u} = (a; b; c); \vec{v} = (a'; b'; c')$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |\vec{u}| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\ \vec{u} + \vec{v} = (a + a'; b + b'; c + c') \end{array}$

Cách giải:

+) $\vec{b} + \vec{c} = (- 1; - 1; 0) \Rightarrow \vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = 1. (- 1) + 1 (- 1) + 0.0 = - 2 \neq 0 \Rightarrow$ Đáp án A sai.

+) $|\vec{a}| = \sqrt{2}, |\vec{b}| = 3, |\vec{c}| = \sqrt{13} \Rightarrow 2 |\vec{a}| + |\vec{b}| \neq |\vec{c}| \Rightarrow$ Đáp án B sai.

+)

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \Rightarrow

Đáp án D đúng

Câu 29:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

\log_{\frac{e}{π}} (x + 1) < \log_{\frac{e}{π}} (3 x - 1)

A. $S = (- \infty; 1)$

B. $S = (1; + \infty)$

C. $S = (\frac{1}{3}; 1)$

D. $S = (- 1; 3)$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp: $\log_{a} f (x) < \log_{a} g (x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) > 0 \\ f (x) > g (x) \end{cases}$ với $0 < a < 1$

Cách giải:

$\log_{\frac{e}{π}} (x + 1) < \log_{\frac{e}{π}} (3 x - 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 3 x - 1 > 0 \\ x + 1 > 3 x - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > \frac{1}{3} \\ x < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < x < 1$

Bất phương trình có tập nghiệm

S = (\frac{1}{3}; 1)

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

A (1; 2; 3), B (2; 1; 5), C (2; 4; 2)

. Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng

A. $60^{0}$

B. $150^{0}$

C. $30^{0}$

D. $120^{0}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Đường thẳng d và d’ có các VTCP lần lượt là $\vec{u}, \vec{v} \Rightarrow \cos (d; d') = \frac{|\vec{u} . \vec{v}|}{|\vec{u}| . |\vec{v}|}$

Cách giải:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (1; - 1; 2), \vec{A C} = (1; 2; - 1) \\ \Rightarrow \cos (A B; A C) = \frac{|\vec{A B} . \vec{A C}|}{|\vec{A B}| . |\vec{A C}|} = \frac{|1.1 + (- 1) .2 + 2. (- 1)|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} . \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow (A B; A C) = 60^{0} \end{array}$

Câu 31:

Tập xác định của hàm số

y = \ln (- x^{2} + 5 x - 6)

A. $(2; 3)$

B. $R \ \{2; 3\}$

C. $R \ (2; 3)$

D. $[2; 3]$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Hàm số $y = \ln x$ xác định $\Leftrightarrow x > 0$

Cách giải:

Điều kiện xác định: $- x^{2} + 5 x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3$

Vậy tập xác định của hàm số $y = \ln (- x^{2} + 5 x - 6)$ là (2;3)

Câu 32:

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình

\sqrt{25 - x^{2}} \log_{2} (x^{2} - 4 x + 5) \leq 0

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Giải bất phương trình và tìm số nghiệm nguyên.

Cách giải:

Điều kiện xác định:

\{\begin{cases} 25 - x^{2} \geq 0 \\ x^{2} - 4 x + 5 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 5 \leq x \leq 5

\begin{array}{l} \sqrt{25 - x^{2}} \log_{2} (x^{2} - 4 x + 5) \leq 0 [\begin{array}{l} \sqrt{25 - x^{2}} = 0 \\ \{\begin{cases} \sqrt{25 - x^{2}} > 0 \\ \log_{2} (x^{2} - 4 x + 5) \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = - 5 \end{array} \\ \{\begin{cases} - 5 < x < 5 \\ x^{2} - 4 x + 5 \leq 1 \end{cases} \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = - 5 \\ \{\begin{cases} - 5 < x < 5 \\ x^{2} - 4 x + 4 \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = - 5 \\ \{\begin{cases} - 5 < x < 5 \\ {(x - 2)}^{2} \leq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = - 5 \\ \{\begin{cases} - 5 < x < 5 \\ x = 2 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = - 5 \\ x = 2 \end{array} \end{array}

Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.

Câu 33:

Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 4000 bản in khổ giấy A4 trong một giờ. Chi phí để bảo trì, vận hành một máy mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí in ấn của n máy chạy trong một giờ là

20 (3 n + 5)

nghìn đồng. Hỏi nếu in 50 000 bản in khổ A4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu được lãi nhiều nhất?

A. 6 máy

B. 7 máy

C. 5 máy

D. 4 máy

Xem đáp án

Đáp án C

Cách giải:

Nhận xét: Để thu được nhiều lãi nhất thì tổng chi phí bảo trì, chi phí in ấn là ít nhất.

Gọi số máy in cần sử dụng là n (máy), $n \in N; n \in (0; 8)$

Số giờ cần để in hết 50 000 bản in là: $\frac{50 000}{4000 n} = \frac{25}{2 n}$ (giờ)

Chi phí để n máy hoạt động trong $\frac{25}{2 n}$ giờ là:

$50. n + 20 (3 n + 5) . \frac{25}{2 n} = 50 n + 750 + \frac{1250}{n} \geq 2. \sqrt{50 n . \frac{1250}{n}} + 750 = 500 + 750 = 1250$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $50 n = \frac{1250}{n} \Leftrightarrow n^{2} = \frac{1250}{50} = 25 \Rightarrow n = 5$

Vậy, nếu in 50 000 bản in khổ A4 thì phải sử dụng 5 máy sẽ thu được lãi nhiều nhất.

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng côsin của góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng

\frac{2 \sqrt{19}}{19}

. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{\sqrt{19} a^{3}}{6}$

B. $V = \frac{\sqrt{15} a^{3}}{6}$

C. $V = \frac{\sqrt{19} a^{3}}{2}$

D. $V = \frac{\sqrt{15} a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(α; β)$

- Tìm giao tuyến $Δ$ của $(α; β)$

- Xác định 1 mặt phẳng $γ ⊥ Δ$

- Tìm các giao tuyến $a = α \cap γ, b = β \cap γ$

- Góc giữa hai mặt phẳng $(α; β) : (α; β) = (a; b)$

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S (ảnh 1)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Tam giác SAB cân tại S $\Rightarrow S I ⊥ A B$

Vì mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) nên $S I ⊥ (A B C D)$

Ta có:

IJ ⊥ C D, S I ⊥ C D \Rightarrow C D ⊥ (S I J)

\begin{array}{l} \{\begin{cases} (S C D) \cap (A B C D) = C D \\ (S I J) ⊥ C D \\ (S I J) \cap (S C D) = S J \\ (S I J) \cap (A B C D) = I J \end{cases} \Rightarrow ((S C D); (A B C D)) = (S J; I J) = \hat{S J I} d o \hat{S J I} < 90^{0} \\ \cos \hat{S J I} = \frac{2 \sqrt{19}}{19} \\ \Rightarrow \frac{I J}{S J} = \frac{2 \sqrt{19}}{19} \Rightarrow S = \frac{a}{\frac{2 \sqrt{19}}{19}} = \frac{a \sqrt{19}}{2} \\ \Rightarrow S I = \sqrt{S J^{2} - I J^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{19}}{2})}^{2} - a^{2}} = \frac{a \sqrt{15}}{2} \end{array}

Thể tích của khối chóp S.ABCD:

V = \frac{1}{3} . S I . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{15}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}

Câu 35:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là

f' (x) = \frac{1}{2 x - 1}

và f(1) = 1. Giá trị f(5)

A. 1 + ln3

B. ln2

C. 1 + ln2

D. ln3

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Tính $f (x) = \int f' (x) d x$

+) $f (1) = 1 \Rightarrow C$

+) Tính f(5)

Cách giải:

$\begin{array}{l} f' (x) = \frac{1}{2 x - 1} \Rightarrow f (x) = \int \frac{1}{2 x - 1} d x = \frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + C \\ f (1) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \ln 1 + C = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + 1 \\ \Rightarrow f (5) = \frac{1}{2} \ln 9 + 1 = \ln 3 + 1 \end{array}$

Câu 36:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}

A. $\int f (x) d x = 2 \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C$

B. $\int f (x) d x = \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C$

C. $\int f (x) d x = \ln |\frac{x + 1}{x - 1}| + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

$\int \frac{a - b}{(x - a) (x - b)} d x = \ln |\frac{x - a}{x - b}| + C$

Cách giải:

$\int f (x) d x = \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x = \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x = \ln |x - 1| - \ln |x + 1| + C = \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C$

Câu 37:

Giá trị của tham số m để phương trình

4^{x} - m {.2}^{x + 1} + 2 m = 0

có 2 nghiệm

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} + x_{2} = 3

là

A. m = 2

B. m = 3

C. m = 1

D. m = 4

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Đặt $2^{x} = t, t > 0$ . Chuyển về bài toán tìm m để phương trình bậc 2 ẩn t có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn $t_{1} . t_{2} = 8$

Cách giải:

$4^{x} - m {.2}^{x + 1} + 2 m = 0 \Leftrightarrow 4^{x} - 2 m {.2}^{x} + 2 m = 0 (1)$

Đặt $2^{x} = t, t > 0$ , phương trình trở thành: $t^{2} - 2 m t + 2 m = 0 (2)$

Để phương trình (1) có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 3$ thì phương trình (2) có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn $t_{1} . t_{2} = 2^{x_{1}} {.2}^{x_{2}} = 2^{x_{1} + x_{2}} = 2^{3} = 8$

Khi đó:

\{\begin{cases} Δ' \geq 0 \\ 2 m = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 2 m \geq 0 \\ m = 4 \end{cases} \Leftrightarrow m = 4

Câu 38:

Cho hàm số

f (x) = \frac{1}{2 x + 3}

. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Khẳng định nào sau là sai?

A. $F (x) = \frac{\ln |2 x + 3|}{2} + 1$

B. $F (x) = {\frac{\ln |2 x + 3|}{4}}^{2} + 3$

C. $F (x) = \frac{\ln |4 x + 6|}{4} + 2$

D. $F (x) = \frac{\ln |x + \frac{3}{2}|}{2} + 4$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

$\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C$

Cách giải:

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d (2 x + 3)}{2 x + 3} = \frac{\ln |2 x + 3|}{2} + C$

Khi $C = 1 \Rightarrow$ Đáp án A đúng.

Đáp án B: $F (x) = \frac{\ln {|2 x + 3|}^{2}}{4} + 3 = \frac{2 l n |2 x + 3|}{4} + 3 = \frac{l n |2 x + 3|}{2} + 3 \Rightarrow C = 3$

Đáp án D: $F (x) = \frac{\ln |x + \frac{3}{2}|}{2} + 4 = \frac{\ln |2 x + 3| - \ln 2}{2} + 4 = \frac{\ln |2 x + 3|}{2} - \frac{\ln 2}{2} + 4 \Rightarrow C = - \frac{\ln 2}{2} + 4$

$\Rightarrow F (x) = \frac{\ln |4 x + 6|}{4} + 2$ là khẳng định sai

Câu 39:

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

y = - x^{3} - 2 x^{2} + m x + 1

đạt cực tiểu tại điểm

x = - 1

A. $m < - 1$

B. $m \neq - 1$

C. $m = - 1$

D. $m > - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Hàm số bậc ba y = f(x) đạt cực tiểu tại $x = x_{0}$ khi và chỉ khi $\{\begin{cases} f' (x_{0}) = 0 \\ f' (x_{0}) > 0 \end{cases}$

Cách giải:

$y = - x^{3} - 2 x^{2} + m x + 1 \Rightarrow y' = - 3 x^{2} - 4 x + m, y'' = - 6 x - 4$

Hàm số

y = - x^{3} - 2 x^{2} + m x + 1

đạt cực tiểu tại điểm x= -1

\Leftrightarrow \{\begin{cases} y' (- 1) = 0 \\ y'' (- 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 + 4 + m = 0 \\ 6 - 4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 1

Câu 40:

Cho hàm số

f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c

với

a > 0, c > 2017, a + b + c < 2017

. Số cực trị của hàm số

y = |f (x) - 2017|

là

A. 1

B. 5

C. 3

D. 7

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

+) Xét hàm số $h (x) = f (x) - 2017 = a x^{4} + b x^{2} + c - 2017$

+) Tìm số điểm cực trị của hàm số h(x) bằng cách giải phương trình h'(x)

+) Xác định dấu của $h (0); h (1); h (- 1)$ và vẽ đồ thị hàm số y = h(x), từ đó vẽ đồ thị hàm số $y = |h (x)|$ và kết luận.

Cách giải:

Xét hàm số $h (x) = f (x) - 2017 = a x^{4} + b x^{2} + c - 2017$ ,

với

a > 0, c > 2017, a + b + c < 2017

nên b < 0

Ta có:

h' (x) = 4 a x^{3} + 2 b x = 2 x (2 a x^{2} + b) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = - \frac{b}{2 a} \end{array}

Do $a > 0, b < 0 \Rightarrow - \frac{b}{2 a} > 0$ nên h'(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow y = h (x)$ có 3 cực trị

Ta có: $h (0) = c - 2017 > 0, h (- 1) = h (1) = a + b + c - 2017 < 0$

$\Rightarrow h (0) . (h - 1) < 0, h (0) . h (1) < 0$

$\Rightarrow \exists x_{1}, x_{2} : x_{1} \in (- 1; 0), x_{2} \in (0; 1)$ mà $h (x_{1}) = h (x_{2}) = 0$

Do đó, đồ thị hàm số y = h(x) và $y = |h (x)|$ dạng như hình vẽ bên.

Vậy, số cực trị của hàm số $y = |f (x) - 2017|$ là 7

Câu 41:

Số nghiệm của phương trình

\log_{3} (x^{2} + 4 x) + \log_{\frac{1}{3}} (2 x + 3) = 0

là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

$\begin{array}{l} \log_{a^{n}} f (x) = \frac{1}{n} \log_{a} f (x) \\ \log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) \Rightarrow f (x) = g (x) \\ 0 < a \neq 1; f (x) > 0; g (x) > 0 \end{array}$

Cách giải:

Điều kiện xác định:

\{\begin{cases} x^{2} + 4 x > 0 \\ 2 x + 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 0 \\ x < - 4 \end{array} \\ x > - \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x > 0

\begin{array}{l} \log_{3} (x^{2} + 4 x) + \log_{\frac{1}{3}} (2 x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + 4) - \log_{3} (2 x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + 4) = \log_{3} (2 x + 3) \\ \Rightarrow x^{2} + 4 x = 2 x + 3 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 (t m) \\ x = - 3 (k t m) \end{array} \end{array}

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 1

Câu 42:

Nguyên hàm của

f (x) = x \cos x

là

A. $F (x) = - x \sin x - \cos x + C$

B. $F (x) = x \sin x + \cos x + C$

C. $F (x) = x \sin x - \cos x + C$

D. $F (x) = - x \sin x + \cos x + C$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp: $\int u d v = u v - \int v d u$

Cách giải:

$F (x) = \int f (x) d x = \int x \cos x d x = \int x d s i n x = x \sin x - \int \sin x d x = x \sin x + \cos x + C$

Câu 43:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm

f' (x) = x^{2} (x - 1) {(x - 4)}^{2}

. Khi đó số cực trị của hàm số

y = f (x^{2})

là

A. 3

B. 4

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Tính và xét dấu của $f (x^{2})'$ từ đó tính số cực trị.

Cách giải:

$y = f (x^{2}) \Rightarrow y' = 2 x . f' (x^{2}) = 2 x . {(x^{2})}^{2} (x^{2} - 1) {(x^{2} - 4)}^{2} = 2 x^{5} (x^{2} - 1) {(x^{2} - 4)}^{2}$

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{array}$ , y’ đổi dấu tại các điểm

x = 0, x = - 1, x = 1

=> Số cực trị của hàm số

y = f (x^{2})

là 3.

Câu 44:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng r, chiều cao bằng h. Khẳng định nào sai?

A. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng

2 π r h + π r^{2} + π h^{2}

B. Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật có diện tích

2 r h

C. Thể tích của khối trụ bằng

π r^{2} h

D. Khoảng cách giữa trục của hình trụ và đường sinh của hình trụ bằng r.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào các công thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ.

Cách giải:

Diện tích toàn phần của hình trụ bằng $2 π r h + 2 π r^{2}$ . Do đó đáp án A sai.

Câu 45:

Cho hàm số liên tục trên khoảng $(a; b)$ và $x_{0} \in (a; b)$ . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) Hàm số đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ khi và chỉ khi $f' (x_{0}) = 0$ .

(2) Nếu hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm $x_{0}$ thỏa mãn điều kiện $f' (x_{0}) = f'' (x_{0}) = 0$ thì điểm $x_{0}$ không phải là điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ .

(3) Nếu $f' (x)$ đổi dấu khi x qua điểm $x_{0}$ thì điểm $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số $y = f (x)$

(4) Nếu hàm số

y = f (x)

có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm

x_{0}

thỏa mãn điều kiện

f' (x_{0}) = 0, f'' (x_{0}) > 0

thì điểm

x_{0}

là điểm cực tiểu của hàm số

y = f (x)

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào khái niệm cực trị và các kiến thức liên quan.

Cách giải:

(1) chỉ là điều kiện cần mà không là điều kiện đủ.

VD hàm số $y = x^{3}$ có $y' = 3 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ . Tuy nhiên $x = 0$ không là điểm cực trị của hàm số.

(2) sai, khi $f'' (x_{0}) = 0$ , ta không có kết luận về điểm $x_{0}$ có là cực trị của hàm số hay không.

(3) hiển nhiên sai.

Vậy (1), (2), (3): sai; (4): đúng

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, hình chiếu của S lên (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn HB = 2HA, góc giữa SC và (ABCD) bằng

60^{0}

. Biết rằng khoảng cách từ A đến (SCD) bằng

\sqrt{26}

. Thể tích V của khối chóp S.ABCD là

A. $V = \frac{128 \sqrt{78}}{27}$

B. $V = \frac{128 \sqrt{26}}{3}$

C. $V = \frac{128 \sqrt{78}}{9}$

D. $V = \frac{128 \sqrt{78}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

+) $d (A; (S C D)) = d (H; (S C D))$ xác định khoảng cách từ H đến (SCD).

+) Xác định góc giữa SC và mặt đáy.

+) Đặt cạnh của hình vuông ở đáy là x, tính SH và HI theo x.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm x.

+) Tính

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D}

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, hình chiếu của S lên (ABCD) (ảnh 1)

Do $A H / / (S C D)$ nên $d (A; (S C D)) = d (H; (S C D))$

Kẻ $H I / / A D, I \in C D, H K ⊥ S I, K \in S I$

$\Rightarrow d (H; (S A C)) = H K = \sqrt{26}$

Giả sử độ dài cạnh hình vuông ở đáy là x. Khi đó, $H I = x$

$Δ H B C$ vuông tại B $\Rightarrow H C = \sqrt{H B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{{(\frac{2}{3} x)}^{2} + x^{2}} = \frac{\sqrt{13} x}{3}$

$S H ⊥ (A B C D) \Rightarrow (S C; (A B C D)) = \hat{S C H} = 60^{0}$

$Δ S H C$ vuông tại H $\Rightarrow S H = H C . \tan 60^{0} = \frac{\sqrt{13} x}{3} . \sqrt{3} = \frac{\sqrt{39} x}{3}$

$Δ S H I$ vuông tại H,

$\begin{array}{l} H K ⊥ S I \Rightarrow \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{I H^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{26} = \frac{1}{\frac{13 x^{2}}{3}} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{16}{13 x^{2}} \Leftrightarrow x^{2} = 32 \Rightarrow x = 4 \sqrt{2} \\ \Rightarrow S H = \frac{\sqrt{39} .4 \sqrt{2}}{3} = \frac{4 \sqrt{78}}{3} \end{array}$

Thể tích khối chóp S.ABCD:

V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{4 \sqrt{78}}{3} . {(4 \sqrt{2})}^{2} = \frac{128 \sqrt{78}}{9}

Câu 47:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

A B = a, A D = \sqrt{2} a

, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng

60^{0}

. Gọi H là trung điểm của AB. Biết rằng tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC

A. $\frac{9 \sqrt{2} a}{8}$

B. $\frac{\sqrt{62} a}{16}$

C. $\frac{\sqrt{62} a}{8}$

D. $\frac{\sqrt{31} a}{32}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

+) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC và E là trung điểm của BC.

+) Qua I dựng đường thẳng song song với SH, qua E dựng đường thẳng song song với IH, hai đường thẳng này cắt nhau tại O => O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AHC. O

+) Tính IH, sử dụng công thức $R = \frac{a b c}{4 S}$ với a, b, c là ba cạnh của tam giác AHC, S là diện tích tam giác AHC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC.

+) Tính HE.

+) Sử dụng định lí Pytago tính OH.

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = căn bậc hai 2 a , góc giữa hai (ảnh 1)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = căn bậc hai 2 a , góc giữa hai (ảnh 2)

Kẻ HK vuông góc AB tại K, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC, E là trung điểm của SH.

Ta có: H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S $\Rightarrow S H ⊥ A B$

Mà SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

$Δ A H K$ đồng dạng $Δ A C B$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{A H}{A C} = \frac{H K}{B C} \Leftrightarrow \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{a^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2}}} = \frac{H K}{\sqrt{2} a} \Leftrightarrow H K = \frac{a}{\sqrt{6}}$

Ta có: $H K ⊥ A C, S H ⊥ A C \Rightarrow A C ⊥ (S H K) \Rightarrow A C ⊥ S K$

$\Rightarrow ((S A C); (A B C D)) = \hat{S K H} = 60^{0}$

$Δ S K H$ vuông tại H, $\hat{S K H} = 60^{0} \Rightarrow S H = H K . \tan 60^{0} = \frac{a}{\sqrt{6}} . \sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow E H = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$

Ta có: $S_{Δ A H C} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . S_{A B C D} = \frac{S_{A B C D}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB

$\Rightarrow I H = R = \frac{A H . H C . A C}{4 S_{Δ A H C}} = \frac{\frac{a}{2} . \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2}} . \sqrt{a^{2} + {(\sqrt{2} a)}^{2}}}{4. \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}} = \frac{\frac{a}{2} . \frac{3 a}{2} . \sqrt{3} a}{a^{2} \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{3} a}{4 \sqrt{2}}$

Tứ giác OEHI là hình chữ nhật

$\Rightarrow O H = \sqrt{I H^{2} + E H^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 \sqrt{2} a}{4 \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{a}{2 \sqrt{2}})}^{2}} = \sqrt{\frac{27 a^{2}}{32} + \frac{a^{2}}{8}} = \frac{\sqrt{62} a}{8}$

Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC là

\frac{\sqrt{62} a}{8}

Câu 48:

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (O; r). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho

S A = A B = \frac{8 r}{5}

. Tính theo r khoảng cách từ O đến (SAB).

A. $\frac{2 \sqrt{2} r}{5}$

B. $\frac{3 \sqrt{13} r}{20}$

C. $\frac{3 \sqrt{2} r}{20}$

D. $\frac{\sqrt{13} r}{20}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

+) Xác định khoảng cách từ O đến (SAB)

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách vừa xác định được.

Cách giải:

Gọi I là trung điểm của AB, kẻ OH vuông góc SI tại H.

Ta có: $\{\begin{cases} O I ⊥ A B \\ S O ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S O I) \Rightarrow A B ⊥ O H$

Mà $S I ⊥ O H \Rightarrow O H ⊥ (S A B) \Rightarrow d (O; (S A B)) = O H$

Ta có: $A B = \frac{8 r}{5} \Rightarrow A I = \frac{4 r}{5}$

$Δ S A I$ vuông tại I $\Rightarrow S I = \sqrt{S A^{2} - A I^{2}} = \sqrt{{(\frac{8 r}{5})}^{2} - {(\frac{4 r}{5})}^{2}} = \frac{4 \sqrt{3} r}{5}$

$Δ O A I$ vuông tại I $\Rightarrow O I = \sqrt{O A^{2} - A I^{2}} = \sqrt{r^{2} - {(\frac{4 r}{5})}^{2}} = \frac{3 r}{5}$

$Δ S O I$ vuông tại O $\Rightarrow O S = \sqrt{S I^{2} - O I^{2}} = \sqrt{{(\frac{4 \sqrt{3} r}{5})}^{2} - {(\frac{3 r}{5})}^{2}} = \frac{\sqrt{39} r}{5}$

Δ S O I

vuông tại O,

O H ⊥ S I \Rightarrow O H . S I = S O . O I \Leftrightarrow O H . \frac{4 \sqrt{3} r}{5} = \frac{\sqrt{39} r}{5} . \frac{3 r}{5} \Leftrightarrow O H = \frac{3 \sqrt{13} r}{20}

Câu 49:

Tìm m để phương trình

2^{|x|} = \sqrt{m^{2} - x^{2}}

có 2 nghiệm phân biệt.

A. $[\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 1 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 2 \end{array}$

C. $- 3 < m < - 1$

D. $[\begin{array}{l} m < - 2 \\ m > 2 \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

+) Số nghiệm của phương trình $2^{|x|} = \sqrt{m^{2} - x^{2}}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2^{|x|}$ và $y = \sqrt{m^{2} - x^{2}}$

+) Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng hệ trục tọa độ và biện luận.

Cách giải:

Tìm m để phương trình 2^ trị tuyệt đối x = căn bậc hai m^2 - x^2 có 2 nghiệm phân biệt (ảnh 1)

Số nghiệm của phương trình $2^{|x|} = \sqrt{m^{2} - x^{2}}$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2^{|x|}$ và $y = \sqrt{m^{2} - x^{2}}$

Trong đó, $y = \sqrt{m^{2} - x^{2}}$ có đồ thị là nửa đường tròn $x^{2} + y^{2} = m^{2}$ (phần nằm phía trên trục hoành)

Quan sát đồ thị, ta thấy: để 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì bán kính của đường tròn $x^{2} + y^{2} = m^{2}$ phải lớn hơn 1 $\Rightarrow |m| > 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 1 \end{array}$

Câu 50:

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

\sqrt[3]{m - x} + \sqrt{2 x - 3} = 4

có ba nghiệm phân biệt là

A. 7

B. 6

C. 5

D. 8

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

+) Đặt $t = \sqrt{2 x - 3}, t \geq 0$ , rút x theo t.

+) Thế vào phương trình, lập phương hai vế, cô lập m, đưa phương trình về dạng m = f(t)

+) Khảo sát và lập BBT của hàm số $y = f (t), t \geq 0$ Biện luận để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

Đặt $\sqrt{2 x - 3} = t, t \geq 0 \Rightarrow x = \frac{t^{2} + 3}{2}$ . Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{m - \frac{t^{2} + 3}{2}} + t = 4 \Leftrightarrow \sqrt[3]{m - \frac{t^{2} + 3}{2}} = 4 - t \Leftrightarrow m - \frac{t^{2} + 3}{2} = {(4 - t)}^{3} \\ \Leftrightarrow m = \frac{t^{2} + 3}{2} + {(4 - t)}^{3} \Leftrightarrow m = \frac{t^{2}}{2} + \frac{3}{2} + 64 - 48 t + 12 t^{2} - t^{3} \Leftrightarrow m = - t^{3} + \frac{25}{2} t^{2} - 48 t + \frac{131}{2} \end{array}$

Xét hàm số $y = f (t) = - t^{3} + \frac{25}{2} t^{2} - 48 t + \frac{131}{2}, t \geq 0$

ta có: $f' (t) = - 3 t^{2} + 25 t - 48 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 3 \\ t = \frac{16}{3} \end{array}$

Bảng biến thiên:

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình (ảnh 1)

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt $t \geq 0$ thì $7 < m < \frac{721}{54} \Rightarrow m \in \{8; 9; 10; 11; 12; 13\}$

=> Có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.