7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng có đáp án

Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

1535 lượt thi
7 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{- 1}$ .Tìm một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng D đi qua , vuông góc với đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất.

A. .B. .C. .D. .

Xem đáp án

Xét là mặt phẳng qua và .

Mặt phẳng qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình: .

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và D.

Khi đó nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi .

Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là .

Vì nên .

Lại nên .

Vậy .

Chọn C.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 z - 3 = 0$ và điểm $A (5; 3; - 2)$ . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M, N$ .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = A M + 4 A N$ .

A. $S_{\min} = 30$ .

S_{\min} = 20

S_{\min} = 5 \sqrt{34} - 9

S_{\min} = \sqrt{34} - 3

Xem đáp án

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (2; - 1; 1)$ , bán kính $R = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2} - (- 3)} = 3$ .

Ta có: $A I = \sqrt{{(2 - 5)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(1 + 2)}^{2}} = \sqrt{34} > R$ nên A nằm ngoài mặt cầu $(S)$ .

Ta lại có: $S = A M + 4 A N$ .

Đặt $A M = x, x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Mà $A M . A N = A I^{2} - R^{2} = 34 - 9 = 25 \Rightarrow A N = \frac{25}{A M}$ .

Do đó: $S = f (x) = x + \frac{100}{x}$ với $x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Ta có: $f^{'} (x) = 1 - \frac{100}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 100}{x} < 0$ với $x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Do đó: $\min_{[\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]} f (x) = f (\sqrt{34} + 3) = 5 \sqrt{34} - 9$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow A, M, N, I$ thẳng hàng và $A M = \sqrt{34} + 3; A N = \sqrt{34} - 3$ .

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ .

Giá trị nhỏ nhất của $A M + 2 M B$ bằng

A. $\sqrt{105}$ .

2 \sqrt{26}

2 \sqrt{29}

\sqrt{102}

Xem đáp án

Mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ có tâm $I (1; 2; 3)$ và bán kính $R = 6$ .

Ta có $I A = 12 = 2 R$ .

Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu $(S)$ suy ra E là trung điểm của IA nên $E (5; 4; 7)$ .

Gọi F là trung điểm của IE suy ra $F (3; 3; 5)$ .

Xét $Δ M I F$ và $Δ A I M$ có $\hat{A I M}$ chung và $\frac{I F}{I M} = \frac{I M}{I A} = \frac{1}{2}$ .

Suy ra $Δ M I F Δ A I M (c.g.c) \Rightarrow \frac{M A}{M F} = \frac{A I}{M I} = 2 \Rightarrow M A = 2 M F$ .

Do đó $A M + 2 M B = 2 (M F + M B) \geq 2 B F = 2 \sqrt{29}$ (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu $(S)$ .

Chọn C.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,-2,4), B(-3,3,-1) và đường thẳng

d : \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{- 1}

. Xét M là điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ nhất của

2 M A^{2} + 3 M B^{2}

bằng

A. 14.

B. 160.

4 \sqrt{10}

D. 18.

Xem đáp án

Chọn B

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,0,3), B(-3,1,3), C(1,5,1). Gọi $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thuộc mặt phẳng tọa độ $(O x y)$ sao cho biểu thức $T = 2 |\vec{M A}| + |\vec{M B} + \vec{M C}|$ có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $x_{0} - y_{0}$ bằng

A. $x_{0} - y_{0} = - \frac{8}{5}$ .

x_{0} - y_{0} = \frac{8}{5}

x_{0} - y_{0} = - 2

x_{0} - y_{0} = 2

Xem đáp án

Chọn C

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,-3),B(-2,-2,1) và mặt phẳng $(α)$ có phương trình $2 x + 2 y - z + 9 = 0$ . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng $(α)$ sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.

A. $\{\begin{cases} x = - 2 - t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$ .

\{\begin{cases} x = - 2 + 2 t \\ y = - 2 - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 1 \end{cases}

Xem đáp án

Chọn C

Câu 7:

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và hai điểm $A (1; 1; 3), B (21; 9; - 13)$ .

Điểm $M (a; b; c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $3 M A^{2} + M B^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức $T = a . b . c$ bằng

A. 3.

B. 8.

C. 6.

- 18

Xem đáp án

Chọn B

Bắt đầu thi ngay