Ta có

Từ 20/3 đến 20/11 trong 1 năm có số ngày là:

365 – 10 – 31 – 31 – 28 –  20 = 245 (ngày)

Ta có:

245 : 7 = 35

Vậy ngày 20/11 năm đó cũng là ngày Chủ nhật.

a) Ta có

\[\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } - \sqrt {8 - 2\sqrt 7 } = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 7 } \right)}^2}} \]

\[ = \left| {1 + \sqrt 7 } \right| - \left| {1 - \sqrt 7 } \right|\]\( = 1 + \sqrt 7 + 1 - \sqrt 7 = 2\)

b) Ta có

\(\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^2}} \)

\( = \left| {1 + \sqrt 2 } \right| - \left| {2 - \sqrt 2 } \right| = 1 + \sqrt 2 - 2 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 - 1\)

Đáp án đúng là: A

Xét tứ giác ADME có

\(\widehat {DA{\rm{E}}} = \widehat {A{\rm{E}}M} = \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật

Do đó AM = DE

Để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất

Khi đó M là hình chiếu của A trên BC

Vậy ta chọn đáp án A.

Gọi x (km) là quãng đường Hà Nội – Hải Phòng. Điều kiện: x > 0

Thời gian dự định đi:

10 giờ 30 phút – 8 giờ = 2 giờ 30 phút = \(\frac{5}{2}\) giờ

Thời gian thực tế đi:

11 giờ 20 phút – 8 giờ = 3 giờ 20 phút = \(\frac{{10}}{3}\) giờ.

Vận tốc dự định đi là \(x:\frac{5}{2} = \frac{{2x}}{5}\) (km/h).

Vận tốc thực tế đi là \(x:\frac{{10}}{3} = \frac{{3x}}{{10}}\) (km/h).

Vận tốc thực tế đi chậm hơn vận tộc dự định đi 10 km/h nên ta có phương trình:

Đáp án đúng là: C

Biểu thức tọa độ của phép quay tâm I(x₀; y₀), góc quay φ là

Thay vào phương trình đường thẳng d ta được:

Vậy ta chọn đáp án C.

a) Ta có

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x.

b) Ta có

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x.

c) Chia cả 2 vế cho 2 ta có

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{ - \pi }}{{24}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là B

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AH² = BH . CH

Ta có \({S_{ABH}} = \frac{1}{2}AH.BH = 54\)

Suy ra AH . BH = 108

Ta có \({S_{ACH}} = \frac{1}{2}AH.CH = 96\)

Suy ra AH . CH = 192

Ta có AH . BH . AH . CH = 108 . 192

Hay AH⁴ = 20 736 = 12⁴

Suy ra AH = 12 (cm)

Ta có \({S_{ABC}} = {S_{ABH}} + {S_{ACH}} = 54 + 96 = 150\)

Mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC\)

Suy ra \(\frac{1}{2}.12.BC = 150 \Rightarrow BC = 25\left( {cm} \right)\)

Vậy ta chọn đáp án B.

Nửa chu vi tam giác đó là

p = (13 + 14 + 15) : 2 = 21

Diện tích tam giác đó là

Gọi số cần tìm là abc (a ≠ 0 ; a, b, c là các chữ số)

Gọi k là thương hay số dư với k ∈ ℕ*

Ta có abc : 75 = k dư k

Hay abc = 75k + k

Suy ra abc = 76k

Vì abc lớn nhất nên 76k lớn nhất có 3 chữ số, 1000 : 75 = 13,333

Suy ra k = 13

Khi đó abc = 76k = 988

Vậy số cần tìm là 988.

Vì x ⋮ 14 (x ∈ ℕ)

Nên x ∈ B(14)

Suy ra x ∈ {0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; 112; 126; 140; 154; 168; ...}

Mà 140 < x < 156

Suy ra x = 154

Vậy x = 154.

Đáp án đúng là C

Ta biểu diễn các tập hợp như trong biểu đồ: Thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán được biểu diễn màu trắng, Thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lý được biểu diễn màu xanh. Thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa được biểu diễn màu hồng. Mỗi tập hợp nhỏ bên trong gọi tên như trong hình.

Ta có số thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật Lí và Hóa Học là

            n(A₇) = 18

45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật Lí ta được 

            n(A₇) + n(A₂) = 45

32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Hóa Học ta được 

            n(A₇) + n(A₄) = 32

21 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật Lí và Hóa Học ta được 

            n(A₇) + n(A₆) = 21

Số thí sinh đạt điểm giỏi chỉ hai môn là

n(A₆) + n(A₄) + n(A₂) = n(A₇) + n(A₂) + n(A₇) + n(A₄) + n(A₇) + n(A₆) – 3n(A₇)

= 45 + 32 + 21 – 3 . 18 = 44

86 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán ta được 

            n(A₃) + n(A₄) + n(A₂) + n(A₇) = 86

61 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lí ta được 

            n(A₁) + n(A₆) + n(A₂) + n(A₇) = 61

76 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa Học ta được 

            n(A₄) + n(A₆) + n(A₅) + n(A₇) = 76

Số thí sinh đạt điểm giỏi chỉ một môn là

    n(A₁) + n(A₃) + n(A₅)

= 86 + 61 + 76 – 3n(A₇) – 2[n(A₆) + n(A₄) + n(A₂)]

= 86 + 61 + 76 – 3 . 18 – 2 . 44 = 81

Số thí sinh đạt điểm giỏi gồm

n(A₁) + n(A₂) + n(A₃) + n(A₄) + n(A₅) + n(A₆) + n(A₇)

= [n(A₁) + n(A₃) + n(A₅)] + [n(A₆) + n(A₄) + n(A₂)] + n(A₇)

= 81 + 44 + 18 = 143

Trường THPT Triệu Quang Phục có số thí sinh tham dự kì thi đánh giá năng lực lần I
năm học 2018 – 2019 bao gồm số thí sinh đạt điểm giỏi và số thí sinh không đạt điểm giỏi nên bằng: 782 + 143 = 925 (thí sinh)

Vậy ta chọn đáp án C.

a) x thuộc B(8) và x ≥ 30

Ta có: x ∈ B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48;...}

Mà x ≥ 30

Suy ra x = {32; 40; 48; ...}

b) x chia hết cho 9 và x < 40

Ta có x ⋮ 9

Nên x ∈ B(9) = {0; 9; 18; 27; 36; 45; 54;...}

Mà x < 40

Suy ra x = {0; 9; 18; 27; 36}

c) x chia hết cho 6 , x chia hết cho 21 và x < 200

Do x chia hết cho 6, 21 nên x ∈ BC(6; 21)

Ta có 6 = 2 x 3, 21 = 3 x 7 

Suy ra BCNN(6; 21) = 2 x 3 x 7 = 42

Do đó BC(6; 21) = {0; 42; 84; 126; 168; 210; 252; ...}

Mà x < 200

Suy ra x = {0; 42; 84; 126; 168}

d) x chia hết cho 5, x chia hết 7, x chia hết cho 8 và ≥ 500

Do x chia hết cho 5, 7, 8 nên x ∈ BC(5; 7; 8)

Ta có: 5 = 5; 7 = 7; 8 = 2³ 

Suy ra BCNN(5; 7; 8)= 2³ x 5 x 7 = 280

Do đó BC(5; 7; 8) = {0; 280; 560; 840; 1120;...}

Mà x ≥ 500

Suy ra x={560; 840; 1120;...}

e) 150 chia hết cho x , 120 chia hết cho x và x lớn nhất

Ta có: 150 ⋮ x; 120 ⋮ x nên x ∈ ƯC(150; 120)

Phân tích: 150 = 2 x 3 x 5² ; 120 = 2³ x 3 x 5

Suy ra ƯC(150; 120) = {2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Mà x lớn nhất suy ra x = 30

Ta có x² – 9 = 0

⇔ (x – 3)(x + 3) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\)

Vậy x = 3 hoặc x = – 3.

Ta có 2sin² x – sinx – 1 = 0

⇔ (2sinx + 1)(sinx – 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 1\\{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\{\rm{x}} = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \), \(x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có:

• \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} } \right)\)

                  \( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \)

• \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)

                     \( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} \)

Theo bài: \(\left| {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right|\)

\[ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} } \right|\]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} } \right|^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AC} ^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} + {\overrightarrow {BD} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + {\overrightarrow {DB} ^2}\]

\[ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} + {\overrightarrow {BD} ^2} = - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} + {\overrightarrow {BD} ^2}\]

\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \]

Suy ra AC ⊥ BD.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lý hàm số cosin ta có

BC² = AB² + AC² – 2AB . AC . cos A = 3² + 6² – 2 . 3 . 6 . cos60° = 27

Suy ra \(BC = 3\sqrt 3 \)

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.3.6.\sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.{h_a}\)

Suy ra \({h_a} = \frac{{2{\rm{S}}}}{{BC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{3\sqrt 3 }} = 3\)

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là A

Vì – 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên phương trình có nghiệm khi – 1 ≤ m ≤ 1

Vậy ta chọn đáp án A.

Theo định lý sin ta có

\(\frac{a}{{\sin {\rm{A}}}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2{\rm{R}}\)

Suy ra a = 2R . sinA, b = 2R . sinB, c = 2R . sinC

Ta có a² = a²

\[ \Leftrightarrow {a^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2}\]

⇔ a² = ab . cosC + ac . cosB

⇔ a = bcosC + ccosB

⇔ 2R . sinA = 2R . sinBcosC + 2R . sinC cosB

⇔ sin A = sinB.cosC + sinC.cosB

Vậy sin A = sinB.cosC + sinC.cosB.

Ta có:

Vậy A = \(\sqrt 2 \).

Ta có

VP = cosA + cosB + cosC

=\(2\cos \frac{{A + B}}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos C\)

\( = 2\cos \frac{{180^\circ - C}}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos C\)

\[ = 2\cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right).\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \left( {2.\frac{C}{2}} \right)\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2} + 1 - 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left( {cos\frac{{A - B}}{2} - \sin \frac{C}{2}} \right) + 1\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)} \right] + 1\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{180^\circ - C}}{2}} \right] + 1\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left[ {cos\frac{{A - B}}{2} - \cos \frac{{A + B}}{2}} \right] + 1\]

\[ = 2\sin \frac{C}{2}\left( {2\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}} \right) + 1\]

\[ = 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} + 1\]               (1)

Ta có \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\) và \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{abc}}{{4{\rm{R}}{\rm{.}}\frac{{a + b + c}}{2}}}\)

\( = \frac{{\sin {\rm{A}}.2{\rm{R}}.\sin B.2{\rm{R}}.\sin C.2{\rm{R}}}}{{2{\rm{R}}\left( {\sin {\rm{A}}2{\rm{R}} + \sin B.2{\rm{R + }}\sin C.2{\rm{R}}} \right)}}\)

\( = \frac{{2{\rm{R}}\sin A.\sin B.\sin C}}{{\sin {\rm{A}} + \sin B + \sin C}}\)

Ta có: \(\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \frac{{A + B}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \sin C\)

\( = 2\sin \frac{{180^\circ - C}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)

\( = 2\sin \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right).c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left( {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \sin \frac{C}{2}} \right)\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \left( {90^\circ - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{180^\circ - C}}{2}} \right]\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left[ {c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right]\)

\( = 2\cos \frac{C}{2}.\left( {2\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}} \right)\)

\( = 4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}\)

Suy ra

\(r = \frac{{2{\rm{R}}\sin A.\sin B.\sin C}}{{4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}}}\)

\(r = \frac{{2{\rm{R}}{\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{A}{2}.\cos \frac{A}{2}} \right){\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{B}{2}.\cos \frac{B}{2}} \right){\rm{.}}\left( {{\rm{2}}{\rm{.}}\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}} \right)}}{{4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}}}\)

\(r = 4R.\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\)

Suy ra \(1 + \frac{r}{R} = 1 + \frac{{4R.\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}}{R} = 1 + 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\)       (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(1 + \frac{r}{R} = \cos A + \cos B + \cos C\)

Vậy \(1 + \frac{r}{R} = \cos A + \cos B + \cos C\).

Ta có

\(B = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right).\left( {1 - \frac{1}{3}} \right).\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{20}}} \right)\)

\(B = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}.....\frac{{19}}{{20}}\)

\(B = \frac{{1.2.3....19}}{{2.3.4....20}} = \frac{1}{{20}}\)

Vì 20 < 21 nên \(\frac{1}{{20}} > \frac{1}{{21}}\)

Vậy \(B > \frac{1}{{21}}\).

Ta có \[{\rm{A}} = \left( {3\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)\sqrt {6 - 3\sqrt 3 } \]

\[{\rm{A}} = \sqrt 2 \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {6 - 3\sqrt 3 } \]

\[{\rm{A}} = \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {12 - 6\sqrt 3 } \]

\[{\rm{A}} = \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {9 - 6\sqrt 3 + 3} \]

\[{\rm{A = }}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \]

\[{\rm{A}} = \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)\]

A = 9 – 3 = 6

Vậy A = 6.

Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_a}a = \frac{1}{2}{h_b}b = \frac{1}{2}{h_c}c\)

Suy ra \[{h_b} = \frac{{2{{\rm{S}}_{ABC}}}}{b},{h_c} = \frac{{2{{\rm{S}}_{ABC}}}}{c},{h_a} = \frac{{2{{\rm{S}}_{ABC}}}}{a}\]

Ta có h_b + h_c = 2h_a

\( \Leftrightarrow \frac{{2{{\rm{S}}_{ABC}}}}{b} + \frac{{2{{\rm{S}}_{ABC}}}}{c} = \frac{{{\rm{4}}{{\rm{S}}_{ABC}}}}{a}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{a}\)

Áp dụng định lí sin ta có

\(\frac{1}{{\sin {\rm{A}}}} + \frac{1}{{\sin B}} = \frac{{2R}}{b} + \frac{{2{\rm{R}}}}{c} = 2{\rm{R}}\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = 2{\rm{R}}.\frac{2}{a} = \frac{2}{{\sin {\rm{A}}}}\)

Vậy \(\frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} = \frac{2}{{\sin {\rm{A}}}}\).

a) 6x² – 3xy = 3x(2x – y)

b) x² – y² – 6x + 9 = (x² – 6x + 9) – y²

= (x – 3)² – y²

= (x – 3 – y)(x – 3 + y)

a) 2sin2x + sinx = 0

⇔ 4sinx.cosx + sinx = 0

⇔ sinx(4cosx + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 0\\{\rm{cosx = }}\frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = k\pi \\{\rm{x = ar}}cc{\rm{os }}\frac{{ - 1}}{4} + k2\pi \\x = - {\rm{ar}}cc{\rm{os }}\frac{{ - 1}}{4} + k2\pi \end{array} \right.\) (k ∈ ℤ)

b) sinx + cos3x = 0

\[ \Leftrightarrow sinx + sin\left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow sinx = sin\left( {3x--\frac{\pi }{2}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = 3{\rm{x}} - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\{\rm{x = }}\pi - 3{\rm{x}} - \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2{\rm{x}} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\{\rm{4x = }}\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi {\rm{ }}\end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\{\rm{x = }}\frac{{3\pi }}{8} + \frac{{k\pi }}{2}{\rm{ }}\end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

c) sinx + 2cosx = 0

⇔ sinx = – 2cosx

\( \Leftrightarrow \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{\rm{cosx}}}} = \frac{{ - 2co{\rm{sx}}}}{{\cos x}}\)

⇔ tanx = – 2

⇔ x = arctan(– 2) + kπ (k ∈ ℤ)

d) 2sin² 3x = 1

\[ \Leftrightarrow si{n^2}3x = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3{\rm{x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\sin 3{\rm{x}} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3{\rm{x}} = \sin \frac{\pi }{4}\\\sin 3{\rm{x}} = \sin \frac{{ - \pi }}{4}\end{array} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{\rm{x}} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3{\rm{x}} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3{\rm{x}} = \frac{{ - \pi }}{4} + k2\pi \\3{\rm{x}} = \pi + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\{\rm{x}} = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3}\\{\rm{x}} = \frac{{ - \pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\{\rm{x}} = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\) (k ∈ ℤ)

e) cos2x = 2cosx – 1

⇔ 2cos²x – 1 = 2cosx – 1

⇔ 2cos²x – 2cosx = 0

⇔ 2cosx(cosx – 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cosx = 0}}\\{\rm{cosx = 1}}\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\{\rm{x = }}k2\pi {\rm{ }}\end{array} \right.\] (k ∈ ℤ)

Ta có

Ta có

Ta có

Ta có sin² x – cos² 3x = 0

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - co{s^2}x}}{2} - \frac{{1 + cos6{\rm{x}}}}{2} = 0\)

⇔ cos2x + cos6x = 0

⇔ 2cos2x . cos4x = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}cos4{\rm{x}} = 0\\cos2{\rm{x}} = 0\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\2{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\\{\rm{x}} = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\) (k ∈ ℤ)

+) Với \(x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\)

Vì 0 ≤ x ≤ π

Nên \(0 \le \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4} \le \pi \)

\[ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{8} \le \frac{{k\pi }}{4} \le \pi - \frac{\pi }{8}\]

⇔ – 0,5 ≤ k ≤ 3,5

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; 3}

Khi đó \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{8};\frac{{3\pi }}{8};\frac{{5\pi }}{8};\frac{{7\pi }}{8}} \right\}\)

+) Với \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

Vì 0 ≤ x ≤ π

Nên \(0 \le \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \le \pi \)

\( \Leftrightarrow - \frac{\pi }{4} \le \frac{{k\pi }}{2} \le \pi - \frac{\pi }{4}\)

⇔ – 0,5 ≤ k ≤ 1,5

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}

Khi đó \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{8};\frac{{3\pi }}{8};\frac{{5\pi }}{8};\frac{{7\pi }}{8};\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\).

• Ta có \(\frac{1}{4}\) giờ = 15 phút nên \(\frac{1}{4}\) giờ < 40 phút;

• Ta có \(\frac{1}{5}\) giờ = 12 phút, \(\frac{1}{6}\) giờ = 10 phút nên \(\frac{1}{6}\)giờ < \(\frac{1}{5}\)giờ;

• Ta có \(\frac{1}{2}\) giờ = 30 phút, \(\frac{1}{3}\) giờ = 20 phút nên \(\frac{1}{2}\)giờ > \(\frac{1}{3}\)giờ.

73² – 27²

= (73 + 27)(73 – 27)

= 100 . 46

= 4 600

Vậy 73² – 27² = 4 600.

Ta có:

Vậy \[{\rm{x}} \in \left\{ { - 1;\frac{{ - 1}}{2};0} \right\}\].

Đáp án đúng là: A

Vì điểm B thuộc đường thẳng D: 2x – y – 5 = 0 nên B(x_B; 2x_B – 5)

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 2;1} \right)\)

Gọi C(x_C; y_C)

Suy ra \(\overrightarrow {CB} = \left( {{x_B}--{x_C};2{x_B} - 5 - {y_C}} \right)\)

Vì OABC là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CB} \)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_C} = - 2\\2{x_B} - 5 - {y_C} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = {x_C} - 2\\2{x_B} = 6 + {y_C}\end{array} \right.\)

Suy ra y_C + 6 = 2(x_C – 2)

Hay y_c  = 2x_C – 10

Suy ra quỹ tích điểm C là đường thẳng y = 2x – 10

Hay 2x – y – 10 = 0

Vậy ta chọn đáp án A.

Ta có

Đặt sin² 2x = t ( t ∈ [– 1; 1])

Suy ta 3t² – 6t – 12 = – 4m                           (*)

Lập bảng biến thiên hàm số f(t) = 3t² – 6t – 12 ta có

Suy ra phương trình (*) có nghiệm khi

Khi đó \(a = \frac{3}{4},b = \frac{{15}}{4}\)

Ta có: \(ab = \frac{3}{4}.\frac{{15}}{4} = \frac{{45}}{{16}}\)

Vậy \(ab = \frac{{45}}{{16}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có

Đặt sin 2x = t (với t ∈ [– 1; 1])

Suy ta 3t² – 6t – 4 = m                       

Xét sự biến thiên hàm số y = f(t) = 3t² – 6t – 4 trong [– 1; 1] có

y’ = 6t – 6

y’ = 0 ⟺ 6t – 6 = 0 ⟺ t = 1

Ta có f(1) = – 7 và f(– 1) = 5

Suy ra phương trình có nghiệm khi – 7 ≤ m ≤ 5

Do đó các giá trị nguyên của m là {– 7; – 6; – 5; – 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}

Vậy ta chọn đáp án A.

a) (1 + x²)² – 4x(1 – x²)

b) (x² – 8)² + 36 = x⁴ – 16x² + 64 + 36 = x⁴ – 16x² + 100

= x⁴ + 20x² + 100 – 36x²

= (x² + 10)² – 36x²

= (x² + 10 – 6x)(x² + 10 + 6x).

Ta có:

Đặt x + y = u, xy = v

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = a + 1\\uv = a\end{array} \right.\)

Khi đó u, v là hai nghiệm của phương trình

X² – (a + 1)X + a = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 1\\X = a\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = a\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = a\\v = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = a\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\xy = a\end{array} \right.\)

Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình

M² – M + a = 0                         (1)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm kép

⇔ D = 0

⇔ 1 – 4a = 0

\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\)

+) Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}u = a\\v = 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\xy = 1\end{array} \right.\)

Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình

N² – aN + 1 = 0                        (2)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm kép

⇔ D = 0

⇔ a² – 4 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\end{array} \right.\)

Vậy \(a \in \left\{ {\frac{1}{4};2; - 2} \right\}\) .

Áp dụng định lí cosin ta có

Vì 0° < \(\widehat A\) < 180° nên sinA > 0

Ta có sin²A + cos²A = 1

Suy ra

Áp dụng định lí sin ta có

Có hàm số vừa chẵn vừa lẻ

Vì dụ hàm số y = f(x) = 0

Giải thích:

f(x) là hàm số chẵn khi f(– x) = f(x)

f(x) là hàm số lẻ khi f(– x) = – f(x)

Mà f(x) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ

Suy ra f(x) = – f(x)

Hay f(x) = 0.

+) Xét m = 0

Phương trình (*) ⇔ 1 = 0 (vô lý)

+) Xét m ≠ 0

Phương trình (*) \[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{{2m - 1}}{m}\]

Vì – 1 ≤ sin x ≤ 1

Nên phương trình có nghiệm khi \( - 1 \le \frac{{2m - 1}}{m} \le 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m - 1}}{2} \ge - 1\\\frac{{2m - 1}}{2} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3m - 1}}{m} \ge 0\\\frac{{m - 1}}{m} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge \frac{1}{3}\\m \le 0\end{array} \right.\\0 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\frac{1}{3} \le m \le 1\end{array} \right.\)

Mà m ≠ 0

Suy ra \(\frac{1}{3} \le m \le 1\)

Vậy \(\frac{1}{3} \le m \le 1\).

Mua 1 mét vải phải trả số tiền là:

100 000 : 5 = 20 000 ( đồng )

Mua 7,5 mét vải phải trả số tiền là:

20 000 × 7,5 = 150 000 ( đồng )

Vậy người đó mua 7,5 m vải cùng loại thì phải trả 150 000 đồng.

Chia đôi nình chữ nhật theo chiều dài, ta được hai hình vuông có diện tích bằng nhau, cạnh hình vuông đúng bằng chiều rộng hình chữ nhật

Diện tích mỗi hình vuông mới là: 32 : 2 = 16 m²

Cạnh hình vuông hay chiều rộng hình chữ nhật là: 4 m.

Chiều dài hình chữ nhật là: 4 × 2 = 8 m.

Chu vi hình chữ nhật là: 24 m.

Vậy chu vi hình chữ nhật đó là 24 m.

Điều kiện xác định: x ≠ kπ, k ∈ ℤ

Ta có cotx = 0

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).