Quả dưa hấu nặng số kg là:

\[2 + \frac{2}{5} = \frac{{10}}{5} + \frac{2}{5} = \frac{{12}}{5}\] (kg)

Đáp số: \[\frac{{12}}{5}\] kg.

Số lớn nhất có 5 chữ số được viết bởi các số đã cho là: 75 310.

Do có 2 chữ số ở phần nguyên nên số có dạng: 75,31.

Nhưng nếu số tận cùng trong phần thập phân là 00 thì dù viết vào hay không cũng không thay đổi giá trị nên số đó là: 75,301.

Vậy số cần tìm là 75,301.

Ta có: 99; 27; 63 đều chia hết cho 9 nên 99a + 27b + 63c chia hết cho 9.

Mà 1 236 000 không chia hết cho 9 (do tổng các chữ số bằng 12 không chia hết cho 9).

Vậy không tồn tại a; b; c thuộc ℕ để 99a + 27b + 63c = 1 236 000.

x . 3 . 5 = 2,7

x . 15 = 2,7

x = 2,7 : 15

x = 0,18

Vậy x = 0,18

Vì |x – 3| ≥ 0; |y – 5| ≥ 0

Nên để |x – 3| + |y – 5| = 0 thì x – 3 = 0 và y – 5 = 0

• Với x – 3 = 0 thì x = 3.

• Với y – 5 = 0 thì y = 5.

Vậy x = 3, y = 5.

Tổng số cân nặng của cả 3 con là:

(5,3 + 6,9 + 5,8) : 2 = 9 (kg)

Con gà cân nặng số kg là: 9 – 6,9 = 2,1 (kg)

Con vịt cân nặng số kg là: 5,3 – 2,1 = 3,2 (kg)

Con ngỗng cân nặng số kg là: 6,9 – 3,2 = 3,7 (kg)

Đáp số: Con gà: 2,1 kg;

    Con vịt: 3,2 kg;

    Con ngỗng: 3,7 kg.

Gọi số cần tìm là a 

Vì bạn đó đặt tích riêng thẳng cột nên ta có: 6 . a + 4 . a = 1960

(6 + 4) . a = 1960

10 . a = 1960

a = 196

Vậy tích đúng là: 196 . 46 = 9 016.

Đáp án đúng là: A

Xác suất để một viên trúng vòng 10 là: \[\sqrt[3]{{0,008}} \approx 0,0928\].

Xác suất để một viên trúng vòng 9 là: 

1 − 0,4 − 0,0928 − 0,15 = 0,3572.

Các trường hợp xảy ra để thỏa mãn yêu cầu bài toán:

* Điểm ba lần bắn là 28 điểm, có 2 trường hợp: hai viên vòng 9 và một viên vòng 10 hoặc hai viên vòng 10 và một viên vòng 8.

Xác suất trong trường hợp này bằng:

\[\mathop P\nolimits_1 = C_3^2\,\,.\,\,{(0,3572)^2}\,.\,\,0,0928 + C_3^2\,\,.\,\,{(0,0928)^2}\,.\,\,0,15 \approx 0,0394\].

* Điểm ba lần bắn là 29 điểm, có 1 trường hợp: hai viên vòng 10 và một viên vòng 9. Xác suất trường hợp này bằng: 

\[{P_2} = C_3^2\,\,.\,{(0,0928)^2}\,.\,\,0,3572 \approx 0,0092\].

* Điểm ba lần bắn là 30 điểm, có 1 trường hợp là cả ba viên vòng 10: Xác suất bằng 0,0008.

Vậy xác suất cần tìm bằng: P₁ + P₂ + 0,0008 = 0,00494.

• Vì a ⁝ m nên ta có: a = m. q

• Vì b ⁝ m nên ta có: b = m. p  

Do đó a - b = mq – mp = m(q – p) ⁝ m

Hay (a – b) ⁝ m

Lấy 4 lần lượt nhân với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được: 0; 4; 8; 12; 16; 20; …

Khi đó B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; …}.

x⁵ + x⁴ - x³ + x² – x + 2 = 0

⇔ x⁵ + 2x⁴ – x⁴ – 2x³ + x³ + 2x² – x² – 2x + x + 2 = 0

⇔ x⁴(x + 2) – x³(x + 2) + x²(x + 2) – x(x + 2) + (x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x⁴ – x³ + x² – x + 1) = 0 (1)

Ta xét phương trình: x⁴ – x³ + x² – x + 1 = 0                (2)

\[ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + \frac{1}{3} = 0\]

Do \[{\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} + \frac{1}{3} > 0\,\,\,\forall x\]

Nên phương trình (2) vô nghiệm

Suy ra phương trình (1) tương đương với:

x + 2 = 0 ⇔ x = –2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

Gọi số thứ nhất là a, số thứ hai là b 

Ta có a + b = 10,45

a + 4b = 22,45

3b = 22,45 – 10,45 

3b = 12,45 

b = 4,15 

Do đó a = 10,45 – 4,15 hay a = 6 ,3 

Vậy số thứ nhất là 6,3; số thứ hai là 4,15.

x . 3,9 + x . 0,1 = 2,7

⇔ x . (3,9 + 0,1) = 2,7

⇔ x = 2,7 : 4 

⇔ x = 0,625

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0,625.

Điều kiện: x ≠ 0

\[\frac{{12,5}}{x} - \frac{{3,5}}{x} = 10\]

\[\frac{{12,5 - 3,5}}{x} = 10\]

\[\frac{9}{x} = 10\]

x = 0,9

Vậy x = 0,9.

Xe lửa gặp người thứ hai lúc 8 giờ 30 phút ở D, gặp người thứ nhất lúc 8 giờ 40 phút ở E.

Thời gian người thứ nhất đi EC là:

10 giờ – 8 giờ 40 phút = 80 phút
Thời gian xe lửa đi CE là:

80 : 2 = 40 (phút)
Xe lửa khởi hành từ C lúc là:
8 giờ 40 phút – 40 phút = 8 giờ
Thời gian xe lửa đi CD là:
8 giờ 30 phút – 8 giờ = 30 phút
Thời gian người thứ hai đi CD là:

10 giờ – 8 giờ 30 phút = 90 phút
Tỉ số vận tốc xe lửa và vận tốc người thứ hai là:

90 : 30 = 3 (lần)

Tỉ số vận tốc người thứ nhất và vận tốc người thứ hai là:

3 : 2= 1,5 (lần)

Quãng đường AC gấp rưỡi quãng đường BC nên quãng đường AC gấp ba AB, tức là:

30 . 3 = 90 (km)

Vì x ⋮ 15 nên x ∈ B(15) = {0; 15; 30; 45; 60; 75;…}.

Mà 0 < x < 40 nên x ∈ {15; 30}.

Chúng ta có 10 người trong nhóm và mỗi người có thể bắt tay với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 hoặc 8 người.

• Người bắt tay với 8 người sẽ bắt tay với tất cả mọi người ngoại trừ vợ/chồng của chính mình.

Vì mọi người khác bắt tay với ít nhất 1 người, điều đó có nghĩa là vợ/chồng của người này phải là người bắt tay với người trả lời là 0.

Câu trả lời của 8 và 0 được ghép nối, và đây là một cặp vợ chồng.

• Người bắt tay với 7 người, có nghĩa là bắt tay với tất cả mọi người ngoại trừ người vợ/chồng của chính họ và người trả lời 0.

Bây giờ mọi người khác, ngoại trừ bạn đời và người trả lời 0, phải bắt tay với ít nhất 2 người, nghĩa là vợ/chồng của người đó phải là người bắt tay với 1 người.

Câu trả lời của 7 và 1 được ghép nối, và đây là một cặp vợ chồng.

• Tương tự có thể được tiếp tục cho thấy rằng câu trả lời của 6 và 2 là một cặp vợ chồng, cũng như câu trả lời của 5 và 3.

Theo phương pháp loại trừ, câu trả lời còn lại phải là câu trả lời của bà Brain, người đã bắt tay với 4 người.

Ông Brain sẽ bắt tay với những người đưa ra câu trả lời 8, 7, 6 và 5 nên ông ấy không thể bắt tay với người trả lời 4 (vợ anh ta).

Câu trả lời 3 bắt tay với câu trả lời 8, 7 và 6; câu trả lời 2 bắt tay với câu trả lời 8 và 7; và câu trả lời của 1 bắt tay với câu trả lời là 8.

Câu trả lời 0 không bắt tay ai.

Do đó, ông Brain bắt tay với đúng 4 người, giống như vợ mình.

Vậy vợ chồng ông Brain mỗi người bắt tay với 4 người.

Gọi số có 5 chữ số đó là \[\overline {abc{\rm{d}}e} \].

Ta có: \[\overline {abc{\rm{d}}e} \cdot 1000 = \overline {abc{\rm{d}}e000} \].

Xét chữ số hàng trăm của \[\overline {abc{\rm{d}}e000} \] bằng 0.

Xét số \[\overline {abc{\rm{d}}e000} \] có 8 chữ số

Vậy kết quả của cả 2 bạn đều sai.

Gọi số có ba chữ số cần tìm là: \[\overline {abc} \] (a khác 0)

Theo đề ta có, số đó chia hết cho 45: \[\overline {abc} \] ⋮45 hay \[\overline {abc} \] ⋮ 5 và \[\overline {abc} \] ⋮ 9

Để \[\overline {abc} \] ⋮ 5 thì c là 0 hoặc 5 (1)

Để \[\overline {abc} \] ⋮ 9 thì a + b + c chia hết cho 9 (2)

Lại có: Khi viết thứ tự ngược lại ta được số có ba chữ số vẫn chia hết cho 45 nên ta có: \[\overline {cba} \] ⋮ 45 hay \[\overline {cba} \] ⋮ 5 và \[\overline {cba} \] ⋮ 9 (c khác 0)

Để \[\overline {cba} \] ⋮ 5 thì a là 0 hoặc 5 (3)

Để \[\overline {cba} \] ⋮ 9 thì c + b + a chia hết cho 9 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: \[\overline {5b5} \]

Mà 5 + b + 5 chia hết cho 9 nên b là 8.

Vậy số cần tìm là 585

S = 1 + x + x² + x³ + …. + xⁿ

⇔ S = x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ

⇒ xS = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹

⇒ xS – S = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹ - (x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ)

⇔ S(x - 1) = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹ - x⁰ - x¹ - x² - x³ - …... - xⁿ

⇔ S(x - 1) = xⁿ⁺¹ - x⁰

⇔ S(x-1) = xⁿ⁺¹ - 1

⇒ \[S = \frac{{{x^{n + 1}} - 1}}{{x - 1}}\]

Số gạo đó đủ cho số người ăn trong 1 ngày là:

50 . 10 = 500 (người)

Số gạo đã ăn đủ cho số người ăn trong 1 ngày là:

50 . 3 = 150 (người)

Số gạo còn lại đủ cho số người ăn trong 1 ngày là:

500 – 150 = 350 (người)

Sau ngày thứ 3 thì có số người ăn là:

50 + 20 = 70 (người)

Số ngày còn lại là:

10 – 3 = 7 (ngày)

Số suất ăn cần là:

70 . 7 = 490 (suất)

Cần thêm số suất ăn là:

490 – 350 = 140 (suất)

Đáp số: 140 suất.

Với cùng một cánh đồng nên số người làm cỏ hết cánh đồng đó và số giờ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Hệ số tỉ lệ bằng: 3 . 6 = 18

Gọi số giờ để 12 người làm cỏ hết cánh đồng là x (giờ)

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch ta có x . 12 = 18 suy ra x = 1,5

Vậy 12 người làm cỏ cánh đồng hết 1,5 giờ (1 giờ 30 phút)

7a + 4b = 26

⇒ 7a = 26 - 4b ⇒ 7a = 2(13 - 2b)

⇒ 7a ⁝ 2 mà (2,7) = 1

⇒ a ⁝ 2

Vì 7a = 26 - 4b ⇒ 7a ≤ 26 ⇒ a < 4 ⇒ a = 0; 2

Xét a = 0 ⇒ 4b = 26 – 0 = 26 ⇒ b = \[\frac{{13}}{4}\] (vô lí)

Xét a = 2 ⇒ 4b = 26 – 2 . 7 = 26 – 14 = 12 ⇒ a = 3

Vậy a = 2, b = 3

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\[B = 2{\rm{a}} + 3b + \frac{6}{a} + \frac{{10}}{b} = a + b + a + 2b + \frac{6}{a} + \frac{{10}}{b}\]

    \[ = 4 + a + \frac{4}{a} + 2b + \frac{8}{b} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b}\]

    \[ \ge 4 + 2\sqrt {a \cdot \frac{4}{a}} + 2 \cdot 2\sqrt {b \cdot \frac{4}{b}} + 2 \cdot \frac{4}{{a + b}}\]

    = 4 + 2 . 2 + 2 . 2 . 2 + 2 . 1 = 4 + 2 . 2 + 2 . 2 . 2 + 2 . 1

    = 4 + 4 + 8 + 2 = 18.

Nên GTNN của B là 18 đạt được khi a = b = 2.

Các số cần tìm là: 3,45; 3,54; 4,35; 4,53; 5,34; 5,43.

Gọi x (kg) là số cam người đó buôn (x > 0)

Số tiền người đó dùng để mua cam: 15 000x (đồng)

Số tiền thu được khi bán \[\frac{5}{7}\] số cam là: \[20{\rm{ }}000 \cdot \frac{5}{7}x\](đồng)

Số tiền thu được khi bán số cam còn lại là: \[18{\rm{ }}000 \cdot \frac{2}{7}x\] (đồng)

Do người đó lãi 620 000 đồng nên ta có phương trình:

\[20{\rm{ }}000\,\,.\,\,\frac{5}{7}x + 18{\rm{ }}000\,\,.\,\,\frac{2}{7}x - 15{\rm{ }}000\,\,.\,\,x = 620{\rm{ }}000\]

\[ \Leftrightarrow 20\,\,.\,\,\frac{5}{7}x + 18\,\,.\,\,\frac{2}{7}x - 15x = 620\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{100}}{7}x + \frac{{{\rm{36}}}}{7}x - 15x = 620\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{31}}{7}x = 620\]

⇔ x = 140 (TMĐK)

Vậy người đó buôn 140 kg cam.

Vận tốc trung bình đi và về trên đoạn AC là 12 km/giờ.

Do đó vận tốc trung bình đi và về trên DB cũng bằng 12 km/giờ và vận tốc trung bình cả đi lẫn về trên AB cũng bằng 12 km/giờ.

Quãng đường cả đi lẫn về trên AB là: 12 . 3 = 36 (km)

Quãng đường AB dài là: 36 : 2 = 18 (km)

Vậy quãng đường AB là 18 km.

Vì thời gian về bằng thời gian đi nên vận tốc lúc về bằng vận tốc trung bình trên cả quãng đường đi.

Đi 2 km trên đoạn đường đầu hết: \[2 \cdot \frac{1}{{40}} = \frac{1}{{20}}\] (giờ).

Đi 1km trên đoạn đường tiếp theo hết: \[1:60 = \frac{1}{{60}}\] (giờ).

Vậy vận tốc trung bình trên cả quãng đường là:

\[3:\left( {\frac{1}{{20}} + \frac{1}{{60}}} \right) = 45\] (km/giờ).

Vậy vận tốc lúc về là 45 km/giờ.

Ta có  \[\frac{5}{{100}}\,\,c{m^2} = 5\,\,m{m^2}\]

\[\frac{1}{{100}}\,\,d{m^2} = 100\,\,m{m^2}\]

S = 1 + x + x² + x³ + …. + xⁿ

⇔ S = x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ

⇒ xS = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹

⇒ xS – S = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹ – (x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ)

⇔ S(x – 1) = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹ – x⁰ – x¹ – x² – x³ – …... – xⁿ

⇔ S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – x⁰

⇔ S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – 1

Vậy \[S = \frac{{{x^{n + 1}} - 1}}{{x - 1}}\].

y : 15 – 34,87 = 52,21 + 6

⇔ y : 15 – 34,87 = 58,21

⇔ y : 15 = 58,21 + 34,87

⇔ y : 15 = 83,08

⇔ y = 83,08 . 15

⇔ y = 1246,2.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm y = 1246,2.

• \[\overline {2x3y} \] ⁝ 2 và 5 nên y = 0 

• \[\overline {2x3y} \] ⁝ 9 ⇒ 2 + x + 3 + y = 5 + x ⁝ 9 

Vì x là chữ số nên x = 4 . ta có tổng 2 số là 2430

Số lớn là: (2430 + 1554) : 2 = 1992

Số bé là: 2430 - 1992 = 438

Vậy 2 số cần tìm là 1992 và 438.

S = 1 + x + x² + x³ + …. + xⁿ

⇔ S = x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ

⇒ xS = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹

⇒ xS – S = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹ – (x⁰ + x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ)

⇔ S(x – 1) = x¹ + x² + x³ + ...... + xⁿ⁺¹ – x⁰ – x¹ – x² – x³ – …... – xⁿ

⇔ S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – x⁰

⇔ S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – 1

Ta có 6,5 = 0,5 + 4,5 + 1,5

Trong 0,5 km đầu hết 6500 đồng

Trong 4,5 (hay \[\frac{9}{2}\]) km tiếp theo hết: 

9 . 5500 = 49 500 (đồng)

Trong 1,5 (hay \[\frac{3}{2}\]) km còn lại hết: 

3 . 4500 = 13 500 (đồng)

Vậy nếu người đó đi Taxi thì sẽ hết: 

6500 + 49 500 + 13 500 = 69 500 (đồng)

An mua vở hết số phần tiền lúc đầu là: 

\[\left( {1 - \frac{2}{3}} \right) \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\] ​(số tiền lúc đầu)

Số phần tiền An đã dùng là:

\[\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{{11}}{{12}}\] (phần)

Số tiền An có lúc đầu là:

\[3000:\left( {1 - \frac{{11}}{{12}}} \right) = 36{\rm{ }}000\] (đồng)

Đáp số: 36 000 đồng.

a) Ta có 25 000 : 2000 = 12 (dư 1000)

Vậy Mai mua được nhiều nhất 12 cây bút loại I.

b) Ta có 25 000 : 1500 = 16 (dư 1000)

Vậy Mai mua được nhiều nhất 16 cây bút loại II.

c) Ta có 25 000 : (2000 + 1500) = 7 (dư 500)

Vậy Mai mua được nhiều nhất 7 cây bút loại I và 7 cây bút loại II.

Gọi số cần tìm là \[\overline {abc} \] (0 < a, c ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9)
Có: \[\overline {cab} - \overline {abc} = 765\]

100c + 10a + b – (100a + 10b + c) = 765 
99c – 90a – 9b = 765

11c – 10a – b = 85 ⇒ 10c + c – 10a – b = 85 
10(c – a) + c – b = 85 (*) 
Từ (*) thấy 10(c – a) có chữ số tận cùng là 0

Nên c – b phải có chữ số tận cùng là 5 
Vì điều kiện của c và b có: c – b ≤ 9

Do đó c – b = 5 
Vì c – b = 5 nên phải có 10(c – a) = 80.

Do đó a = 1, c = 9 là thỏa mãn.
Khi đó a = 1, c = 9, b = 4.

Vậy số cần tìm là 149.

Số nhỏ nhất có hai chữ số chia hết cho 33 là: 12;

Số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 33 là: 99.

Do đó ta có dãy: 12; 15; 18; …...; 96; 99.

Dãy trên có số số hạng là:

(99 − 12) : 3 + 1 = 30(99 − 12) : 3 + 1 = 30  (số hạng)

Vậy có 30 số hạng chia hết cho 3 và có 2 chữ số.

Từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau lần thứ hai ở C, người thứ hai đi được quãng đường là BA + 6 km (1), cả hai người đi được 3AB

Vận tốc của người thứ hai bằng \[\frac{2}{3}\] vận tốc người thứ nhất

Nên quãng đường của người thứ hai đi được bằng \[\frac{2}{5}\] tổng quãng đường hai người đi được tức là bằng: \[3{\rm{A}}B \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}AB\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{1}{5}AB\] dài 16 km.

Quãng đường AB dài là

\[6:\frac{1}{5} = 30\] (km)

Vậy quãng đường AB là 30 km.

Khi nhân số A với 235 do sơ ý bạn Cúc đã đặt các tích riêng thẳng cột nên được kết quả là 10 285. 

Tức là bạn Cúc đã nhân lần lượt với 5; 20; 30 rồi cộng các kết quả lại .

A . 5 + A . 20 + A . 30 = 10 285

A . 55 = 10 285

A = 10 285 : 55

A = 187

Vậy tích đúng là:

 235 . 187 = 43 945

Cả 3 ngày làm được:

1,5 . 3 = 4,5 (km)

Ngày thứ 3 sửa được:

4,5 - 3,3 = 1,2 (km)

Ngày thứ nhất sửa được:

4,5 – 2,9 = 1,6 (km)

Ngày thứ 2 sửa được:

4,5 – 1,2 – 1,6 = 1,7 (km)

Đáp số: Ngày thứ nhất: 1,2 km;

   Ngày thứ hai: 1,7 km;

   Người thứ ba: 1,6 km.

Từ 10 đến 70 có số các số là:

(70 − 10) : 1 + 1 = 61(70 − 10) : 1 + 1 = 61 (số)

Khi xóa đi 5 số, viết lại 1 số là số trung bình cộng của số đã xóa thì lúc đó trên bảng sẽ mất đi 4 số so với ban đầu

Sau n lần xóa thì trên bảng đã mất đi số các số là: 4.n (số)

Khi chỉ còn 1 số trên bảng thì trên bảng đã mất đi

61 – 1 = 60 (số)

Khi đó ta có số lần xóa là: 60 = 4 . n hay n = 15

Vậy sau 15 lần xóa.