116 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 23)

Câu 1:

Cho đường tròn (O) và dây cung AB của (O) không là đường kính. Gọi I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OI tại P và Q.

a) Chứng minh rằng AP.AQ = AI².

Xem đáp án

Cho đường tròn (O) và dây cung AB của (O) không là đường kính. Gọi I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi đi qua (ảnh 1)

a) Ta có:

$\hat{A I P} = \hat{P Q I}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung IP)

$\Rightarrow \hat{A I P} = \hat{A Q I}$

Xét ∆AIP và ∆AQI có:

$\hat{A I P} = \hat{A Q I}$ (cmt)

$\hat{A}$ : góc chung

Þ ∆AIP ᔕ ∆AQI (g.g)

$\Rightarrow \frac{A I}{A Q} = \frac{A P}{A I} \Rightarrow A P . A Q = A I^{2}$ (1) (đpcm)

Câu 2:

c) Chứng minh rằng K là trung điểm của AI.

Xem đáp án

c. Từ (1) và (2) suy ra $A K . A B = A I^{2} (= A P . A Q)$

Mà I là trung điểm của AB nên $A K . 2 A I = A I^{2} \Leftrightarrow 2 A K = A I$ .

Vậy K là trung điểm của AI.

Câu 3:

Cho đường tròn (C) tâm O với I là trung điểm của dây AB không đi qua O. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn (C₁) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng:

a) Tích AP.AQ không đổi.

Xem đáp án

Cho đường tròn (C) tâm O với I là trung điểm của dây AB không đi qua O. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn (C1) (ảnh 1)

a) Ta có:

$\hat{A I P} = \hat{P Q I}$ (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung IP)

$\Rightarrow \hat{A I P} = \hat{A Q I}$

Xét ∆AIP và ∆AQI có:

$\hat{A I P} = \hat{A Q I}$ (cmt)

$\hat{A}$ : góc chung

Þ ∆AIP ᔕ ∆AQI (g.g)

$\Rightarrow \frac{A I}{A Q} = \frac{A P}{A I} \Rightarrow A P . A Q = A I^{2}$ (1)

Mà AI là cố định nên tích AP.AQ không đổi.

Câu 4:

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B.

Xem đáp án

b. Lấy điểm K sao cho K khác B là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và đoạn thẳng AB.

Ta có:

$\hat{P Q K} = \hat{K B P}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung PK)

$\Rightarrow \hat{A Q K} = \hat{A B P}$

Xét ∆AQK và ∆ABP có:

$\hat{A Q K} = \hat{A B P}$ (cmt)

$\hat{A}$ : góc chung

Þ ∆AQK ᔕ ∆ABP (g.g)

$\Rightarrow \frac{A Q}{A B} = \frac{A K}{A P} \Rightarrow A K . A B = A P . A Q$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A K . A B = A I^{2} (= A P . A Q)$

Mà I là trung điểm của AB nên $A K . 2 A I = A I^{2} \Leftrightarrow 2 A K = A I$

Vậy K là trung điểm của AI nên K cố định.

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B là K.

Câu 5:

Cho parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1; 2. Đường thẳng (d) có phương trình y = mx + n.

a) Tìm tọa độ hai điểm A, B. Tìm m, n biết (d) đi qua hai điểm A, B.

Xem đáp án

Cho parabol 9P): y= 1/2x^2 và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1; 2. Đường thẳng (d) có phương trình y = mx + n. (ảnh 1)

a) Tung độ hai điểm A, B Î (P) là:

$\{\begin{cases} y_{A} = \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} = \frac{1}{2} \\ y_{B} = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} = 2 \end{cases}$

Vậy $A (- 1; \frac{1}{2}); B (2; 2)$ .

Đường thẳng (d) đi qua hai điểm $A (- 1; \frac{1}{2}); B (2; 2)$ có phương trình là:

(d): $\frac{x + 1}{2 + 1} = \frac{y - \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{3} = \frac{2 y - 1}{3}$

$\Leftrightarrow y = \frac{1}{2} x + 1$

Vậy

\{\begin{cases} m = \frac{1}{2} \\ n = 1 \end{cases}

là các giá trị cần tìm.

Câu 6:

b) Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB. (điểm O là gốc tọa độ).

Xem đáp án

b) Ta có:

$O H = d_{O / A B} = \frac{|\frac{1}{2} .0 - 0 + 1|}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Câu 7:

Cho parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1; 2. Đường thẳng (d) có phương trình y = mx + n.

a) Tìm tọa độ hai điểm A, B.

Xem đáp án

Cho parabol (P): y= 1/2x^2 và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1; 2. Đường thẳng (d) có phương trình y = mx + n. a) Tìm tọa độ hai điểm A, B. (ảnh 1)

a) Tung độ hai điểm A, B Î (P) là:

$\{\begin{cases} y_{A} = \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} = \frac{1}{2} \\ y_{B} = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} = 2 \end{cases}$ .

Vậy $A (- 1; \frac{1}{2}); B (2; 2)$ .

Câu 8:

b) Tìm m, n biết (d) đi qua hai điểm A, B.

Xem đáp án

b) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm $A (- 1; \frac{1}{2}); B (2; 2)$ có phương trình là:

(d): $A (- 1; \frac{1}{2}); B (2; 2)$

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{3} = \frac{2 y - 1}{3}$

$\Leftrightarrow y = \frac{1}{2} x + 1$

Vậy $\{\begin{cases} m = \frac{1}{2} \\ n = 1 \end{cases}$ là các giá trị cần tìm.

Câu 9:

Cho tan a + cot a = m. Tìm m để tan² a + cot² a = 7.

Xem đáp án

Ta có: tan² a + cot² a = 7

Û (tan a + cot a)² − 2tan a.cot a = 7

Û m² − 2.1 = 7

Û m² = 9

Û m = ± 3.

Vậy m = ± 3 là các giá trị cần tìm của m.

Câu 10:

Cho tan a + cot a = m. Tính tan³ a + cot³ a theo m.

Xem đáp án

Ta có:

• tan² a + cot² a

= (tan a + cot a)² − 2tan a.cot a

= m² − 2.1

= m² − 2

• tan³ a + cot³ a

= (tan a + cot a)(tan² a − tan a.cot a + cot² a)

= m.(m² − 2 − 1)

= m.(m² − 3)

= m³ − 3m

Câu 11:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$ .

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.

Xem đáp án

a) Ta có $A = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

$= \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} x + 3 \neq 0 \\ 2 - x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x \neq - 3 \\ x \neq 2 \end{cases}$ .

Câu 12:

b) Rút gọn A.

Xem đáp án

b) $A = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

$= \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 2)}$

$= \frac{x^{2} - 4 - 5 - x - 3}{(x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} - x - 12}{(x + 3) (x - 2)}$

$= \frac{(x + 3) (x - 4)}{(x + 3) (x - 2)} = \frac{x - 4}{x - 2}$ .

Câu 13:

c) Tìm x để $A = \frac{- 3}{4}$ .

Xem đáp án

c) Để $A = \frac{- 3}{4}$ thì:

$A = \frac{x - 4}{x - 2} = \frac{- 3}{4}$

$\Leftrightarrow 4 (x - 4) = - 3 (x - 2)$

$\Leftrightarrow 4 x - 16 = - 3 x + 6$

$\Leftrightarrow 7 x = 22$

$\Leftrightarrow x = \frac{22}{7}$ (thỏa mãn điều kiện).

Câu 14:

d) Tìm x để biểu thức A có giá trị nguyên

Xem đáp án

d) Ta có: $A = \frac{x - 4}{x - 2} = \frac{x - 2 - 2}{x - 2} = 1 - \frac{2}{x - 2}$

Vì 1 Î ℤ nên để A Î ℤ thì $\frac{2}{x - 2} \in ℤ$

Þ x − 2 Î Ư (2) = {±1; ±2}

Þ x Î {0; 1; 3; 4}.

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x Î {0; 1; 3; 4}.

Câu 15:

e) Tìm giá trị của A khi x² − 9 = 0.

Xem đáp án

e) x² − 9 = 0

Þ (x + 3)(x − 3) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 3 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 (K T M) \\ x = 3 (T M) \end{array}$

Thay vào biểu thức A, ta có:

$A = \frac{x - 4}{x - 2} = \frac{3 - 4}{3 - 2} = - 1$ .

Câu 16:

Cho biểu thức $P = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$ . Tìm x để $P = \frac{- 3}{4}$ .

Xem đáp án

Ta có $P = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

$= \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} x + 3 \neq 0 \\ 2 - x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x \neq - 3 \\ x \neq 2 \end{cases}$

$P = \frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

$= \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 2)}$

$= \frac{x^{2} - 4 - 5 - x - 3}{(x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} - x - 12}{(x + 3) (x - 2)}$

$= \frac{(x + 3) (x - 4)}{(x + 3) (x - 2)} = \frac{x - 4}{x - 2}$

Để $P = \frac{- 3}{4}$ thì: $P = \frac{x - 4}{x - 2} = \frac{- 3}{4}$

$\Leftrightarrow 4 (x - 4) = - 3 (x - 2) \Leftrightarrow 4 x - 16 = - 3 x + 6 \Leftrightarrow 7 x = 22$

$\Leftrightarrow x = \frac{22}{7}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với $\Leftrightarrow x = \frac{22}{7}$ thì $P = \frac{- 3}{4}$ .

Câu 17:

Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu bỏ chữ số 0 ở tận cùng bên phải số đó ta được số mới mà hiệu của số mới và số đã cho bằng 135.

Xem đáp án

Gọi số có 3 chữ số cần tìm là .

Ta có $\bar{a b 0}$ − $\bar{a b}$ = 135

Þ 10 × $\bar{a b}$ − $\bar{a b}$ = 135

Þ 9 × $\bar{a b}$ = 135

Þ $\bar{a b}$ = 15

Þ $\bar{a b 0}$ = 150

Vậy số cần tìm là 150

Câu 18:

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm 1 chữ số 0 vào giữa chữ số hàng trăm và hàng chục của số đó ta được số mới gấp 6 lần số phải tìm.

Xem đáp án

Gọi số có 3 chữ số cần tìm là $\bar{a b c}$ .

Ta có = 6 × $\bar{a b c}$

Þ 1000 × a + $\bar{b c}$ = 6 × (100 × a + $\bar{b c}$ )

Þ 1000 × a + $\bar{b c}$ = 600 × a + 6 × $\bar{b c}$

Þ 400 × a = 5 × $\bar{b c}$

Þ 80 × a = $\bar{b c}$ .

Với a là số tự nhiên thỏa mãn 1 £ a £ 9 thì:

• Với a = 1 Þ $\bar{b c}$ = 80 (thỏa mãn)

Þ $\bar{a b c}$ = 180.

• Với a = 2 Þ $\bar{b c}$ = 160 (loại vì $\bar{b c}$ là số có 2 chữ số).

• Với a > 2 Þ $\bar{b c}$ > 160 (loại vì $\bar{b c}$ là số có 2 chữ số).

Vậy số cần tìm là 180.

Câu 19:

Giải phương trình $9^{x^{2} + x - 1} - {10.3}^{x^{2} + x - 2} + 1 = 0$ .

Xem đáp án

$9^{x^{2} + x - 1} - {10.3}^{x^{2} + x - 2} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {9.9}^{x^{2} + x - 2} - {10.3}^{x^{2} + x - 2} + 1 = 0$ (*)

Đặt $t = 3^{x^{2} + x - 2} (t > 0)$ thì phương trình (*) trở thành:

$(*) \Leftrightarrow 9 t^{2} - 10 t + 1 = 0$

Û (9t − 1)(t − 1) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 9 t - 1 = 0 \\ t - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{9} \\ t = 1 \end{array}$

• Với $t = \frac{1}{9} \Rightarrow 3^{x^{2} + x - 2} = \frac{1}{9}$

$\Rightarrow x^{2} + x - 2 = - 2$ $\Leftrightarrow x (x + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x + 1 = 0 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array}$

• Với $t = 1 \Rightarrow 3^{x^{2} + x - 2} = 1$

$\Rightarrow x^{2} + x - 2 = 0$ .

$\Leftrightarrow (x + 2) (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 2 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là x Î {−2; -1,0,1}

Câu 20:

Phương trình $9^{x^{2} + x - 1} - {10.3}^{x^{2} + x - 2} + 1 = 0$ có tập nghiệm là

A. {−2; −1; 1; 2};

B. {−2; 0; 1; 2};

C. {−2; −1; 0; 1};

D. {−1; 0; 2}.

Xem đáp án

Chọn C

Câu 21:

Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Xem đáp án

Giả sử a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Û 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

Û 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ca

Û (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) ≥ 0

Û (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0

Mà (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

(a − b)² + (b − c)² + (c − a)² ≥ 0 (luôn đúng).

Vậy a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (đpcm).

Câu 22:

Cho a² + b² + c² = ab + bc + ca. Chứng minh a = b = c.

Xem đáp án

Ta có: a² + b² + c² = ab + bc + ca

Û 2(a² + b² + c²) = 2(ab + bc + ca)

Û 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca

Û (a² − 2ab + b²) + (b² − 2bc + c²) + (c² − 2ca + a²) = 0

Û (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0

Mà (a − b)² ≥ 0; (b − c)² ≥ 0; (c − a)² ≥ 0 nên suy ra

$\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} = 0 \\ {(b - c)}^{2} = 0 \\ {(c - a)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ b = c \\ c = a \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c$ (đpcm).

Câu 23:

Cho hình thoi ABCD, có $\hat{A} = 60 °$ . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 5 điểm E, F, G, H, B, D cùng thuộc một đường tròn

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD, có góc A=60 độ . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 5 điểm E, F, G, H, B, D (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của BD $\Rightarrow I D = I B = \frac{B D}{2}$ (1)

Xét tam giác ABD có $\hat{A} = 60 °$ và AB = AD nên ∆ABD đều Þ AB = BD

+) E và I là trung điểm của BA và BD nên EI là đường trung bình của ∆BAD

$\Rightarrow E I = \frac{A D}{2}$ (2)

+) Tương tự $H I = \frac{A B}{2}$ (3)

Chứng minh tương tự ta có tam giác BDC đều và $G I = \frac{B C}{2}; F I = \frac{C D}{2}$ (4)

Mặt khác $A B = B C = C D = D A = B D$ (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra IB = ID = IE = IH = IG = IF

Vậy 5 điểm E, F, G, H, B, D cùng thuộc đường tròn tâm I, đường kính BD.

Câu 24:

Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC. Vẽ BM, CN cùng vuông góc với d. Chứng minh: ∆BAM = ∆CAN.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC. Vẽ BM, CN cùng vuông góc với d. Chứng minh: ∆BAM = ∆CAN. (ảnh 1)

Xét tam giác ACN vuông tại N

$\Rightarrow \hat{N C A} + \hat{N A C} = 90 °$ (1)

Mà $\hat{N A C} + \hat{M A B} = \hat{B A C} = 90 °$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{N C A} = \hat{M A B}$ (hai góc cùng phụ với $\hat{N A C}$

Xét ∆NCA và ∆MAB vuông tại N và M có:

$\hat{N C A} = \hat{M A B}$ (cmt)

AC = BA (hai cạnh góc vuông của tam giác vuông cân)

Do đó ∆NCA = ∆MAB (cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy ∆BAM = ∆CAN (đpcm).

Câu 25:

Chứng minh rằng:

b) MN = BM + CN.

Xem đáp án

b) ∆NCA = ∆MAB Þ BM = AN và CN = AM (các cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

Þ MN = MA + AN = CN + BM

Vậy MN = BM + CN (đpcm)

Câu 26:

Số nghiệm của phương trình cos 2x + 3sin x − 2 = 0 trên khoảng (0; 20π) là bao nhiêu?

Xem đáp án

cos 2x + 3sin x − 2 = 0

Û 1 − 2sin² x + 3sin x − 2 = 0

Û − 2sin² x + 3sin x − 1 = 0

Û 2sin² x − 3sin x + 1 = 0

Û (2sin x − 1)(sin x − 1) = 0

+) TH1: sin x = 1

$\Rightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$

Với x Î (0; 20π)

$\Rightarrow 0 < \frac{π}{2} + k 2 π < 20 π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow \frac{- 1}{4} < k < \frac{39}{4} (k \in ℤ)$

Þ 0 £ k £ 9 (k Î ℤ)

Vậy TH1 cho 10 nghiệm x thỏa mãn

+) TH2: $\sin x = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k_{1} 2 π (k_{1} \in ℤ) \\ x = - \frac{π}{6} + k_{2} 2 π (k_{1} \in ℤ) \end{array}$

Với x Î (0; 20π)

$\Rightarrow [\begin{array}{l} 0 < \frac{π}{6} + k_{1} 2 π < 20 π (k_{1} \in ℤ) \\ 0 < - \frac{π}{6} + k_{2} 2 π < 20 π (k_{2} \in ℤ) \end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} \frac{- 1}{12} < k_{1} < \frac{119}{12} (k_{1} \in ℤ) \\ \frac{1}{12} < k_{2} < \frac{121}{12} (k_{2} \in ℤ) \end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} 0 \leq k_{1} \leq 9 (k_{1} \in ℤ) \\ 1 \leq k_{2} \leq 10 (k_{2} \in ℤ) \end{array}$

Vậy TH2 cho 20 nghiệm x thỏa mãn.

Vậy có 30 nghiệm của x thỏa mãn phương trình.

Câu 27:

Giải phương trình: cos 2x + 3sin x − 2 = 0.

Xem đáp án

cos 2x + 3sin x − 2 = 0

Û 1 − 2sin² x + 3sin x − 2 = 0

Û − 2sin² x + 3sin x − 1 = 0

Û 2sin² x − 3sin x + 1 = 0

Û (2sin x − 1)(sin x − 1) = 0

• TH1: sin x = 1

$\Rightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$

• TH2: $\sin x = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π (k \in ℤ) \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π (k \in ℤ) \end{array}$

Vậy $S = \{\frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{6} + k 2 π; - \frac{π}{6} + k 2 π\}$ là tập nghiệm của phương trình với (k Î ℤ).

Câu 28:

Tính sin x, cos x, tan x, cot x biết . $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

Xem đáp án

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \sin x = \sqrt{2} - \cos x$

Lại có: $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$

$\Rightarrow {(\sqrt{2} - \cos x)}^{2} + \cos^{2} x = 1$

$\Leftrightarrow 2 co s^{2} x - 2 \sqrt{2} \cos^{2} x + 2 = 1$

$\Leftrightarrow 2 co s^{2} x - 2 \sqrt{2} \cos^{2} x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{2} \cos x - 1)}^{2} = 0$

$\Rightarrow \sqrt{2} \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Khi đó

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1; \cot x = \frac{1}{\tan x} = 1

Câu 29:

Cho $\sin x + \cos x = \frac{2}{3}$ . Hãy tính: A = sin x.cos x.

Xem đáp án

$\sin x + \cos x = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow {(\sin x + \cos x)}^{2} = \frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = \frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow 1 + 2 \sin x \cos x = \frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x = \frac{- 5}{9}$

$\Leftrightarrow \sin x \cos x = \frac{- 5}{18}$

Vậy $A = \sin x \cos x = - \frac{5}{18}$

Câu 30:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA vuông góc (ABCD), SC hợp với đáy một góc 45° và AB = 3a, BC =4a. Tính thể tích khối chóp.

Xem đáp án

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA vuông góc (ABCD), SC hợp với đáy một góc 45° và AB = 3a, BC =4a. Tính thể tích khối chóp. (ảnh 1)

Ta có SA ^ (ABCD)

$\Rightarrow \hat{(S C, (A B C D))} = \hat{S C A} = 45 °$ .

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = 5 a$ .

Trong ∆SAC vuông tại A

$\Rightarrow S A = A C . \tan \hat{S C A} = 5 a . \tan 45 ° = 5 a$ .

Khi đó, thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} S A . A B . B C$

$= \frac{1}{3} .5 a .3 a .4 a = 20 a^{3}$ .

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với đáy một góc 45° và $S C = 2 a \sqrt{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD.

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với đáy một góc 45° (ảnh 1)

Ta có SA ^ (ABCD) Þ SA ^ AC

Þ ∆SAC vuông cân tại A

$\Rightarrow S A = A C = \frac{S C}{\sqrt{2}} = \frac{2 a \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 a$ .

Xét tam giác vuông ABC ta có:

$B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Khi đó, thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} S A . A B . B C$

$= \frac{1}{3} .2 a . a . a \sqrt{3} = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Câu 32:

Cho đường tròn (O) tâm O đường kính AB lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm C cắt tia OI tại điểm D.

a) Chứng minh OI // BC.

Xem đáp án

Cho đường tròn (O) tâm O đường kính AB lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. (ảnh 1)

a) ΔABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB

Þ ΔABC vuông tại C Þ CB ^ AC (1)

Ta có: OA = OC = R Þ ΔOAC cân tại O mà OI là trung tuyến

Þ OI cũng là đường cao và là đường phân giác

Þ OI ^ AC (2)

Từ (1) và (2) Þ CB // OI (đpcm)

Câu 33:

b) Chứng minh DA là tiếp tuyến đường tròn (O).

Xem đáp án

b) Xét ΔDOA và ΔDOC có:

OD: cạnh chung

OA = OC = R

$\hat{D O A} = \hat{D O C}$

Þ ΔDOA = ΔDOC (c.g.c)

$\Rightarrow \hat{D A O} = \hat{D C O} = 90 °$

Þ DA ^ OA

Mà DA giao với đường tròn (O) tại điểm A

Þ DA là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

Câu 34:

c) Vẽ CH vuông góc với AB, H thuộc AB và vẻ BK vuông góc với CD, K thuộc CD. Chứng minh: CK² = AH.BH

Xem đáp án

c) OB = OC Þ ΔOBC cân ở O $\Rightarrow \hat{O B C} = \hat{O C B}$

Ta có: $\hat{B C K} + \hat{O C B} = 90 °; \hat{B C H} + \hat{O B C} = 90 °; \hat{O B C} = \hat{O C B}$

$\Rightarrow \hat{B C K} = \hat{B C H}$

Þ ΔBCH = ΔBCK (ch - gn)

Þ CH = CK

Vì ΔABC vuông ở A có AH là đường cao nên

AH.BH = CH² (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Þ AH.BH = CH² (đpcm).

Câu 35:

Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho $\hat{A M B} = 60 °$ . Biết chu vi tam giác MAB là 18 cm, tính độ dài dây AB

Xem đáp án

Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho (ảnh 1)

Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác MAB cân tại M.

Mặt khác $\hat{A M B} = 60 °$ nên tam giác MAB đều.

Theo giả thiết có chu vi tam giác ABM là:

3.AB = 18 Û AB = 6 (cm)

Câu 36:

Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho $\hat{A M B} = 60 °$ . Biết chu vi tam giác MAB là 24 cm, tính độ dài bán kính đường tròn.

Xem đáp án

Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc AMB= 60 độ . Biết chu vi tam giác MAB là 24 cm, tính độ dài bán kính đường tròn. (ảnh 1)

Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác MAB cân tại M

Mặt khác $\hat{A M B} = 60 °$ nên tam giác MAB đều

Theo giả thiết có chu vi tam giác ABM là:

3.AB = 24 Û AB = 8 (cm)

Þ MA = MB = AB = 8 cm.

Lại có $\hat{A M O} = \frac{1}{2} \hat{A M B} = 30 °$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét tam giác vuông MAO có: $\tan \hat{A M O} = \frac{O A}{M A} \Rightarrow O A = M A . \tan 30 ° = \frac{4}{\sqrt{3}} (c m)$

Câu 37:

A \ B được gọi là phần bù của B trong A khi nào?

A. A Ì B;

B. B Ì A;

C. A Ç B;

D. A È B.

Xem đáp án

Theo lý thuyết khi B ⊂ A thì A \ B được gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu là C_AB.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 38:

$|A| - |B| \leq |A - B|$ . Dấu “=” xảy ra khi nào?

Xem đáp án

$|A| - |B| \leq |A - B|$

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Câu 39:

a) Tìm BC của 4 và 6.

Xem đáp án

a) Ta có: 4 = 2²; 6 = 2.3

BCNN(4, 6) = 2².3 = 12

Þ BC(4, 6) = B(12) = {0; 12; 24; 36; …}.

Câu 40:

b) Tìm ƯC của 10 và 20.

Xem đáp án

b) Ta có: 10 = 2.5; 20 = 2².5

Þ ƯCLN(10, 20) = 2.5 = 10

Þ ƯC(10, 20) = Ư(10) = {1; 2; 5; 10}.

Câu 41:

Tìm ƯC thông qua tìm ƯCLN: 10; 20 và 70.

Xem đáp án

Ta có: 10 = 2.5; 20 = 2².5; 70 = 2.5.7

ƯCLN(10, 20, 70) = 2.5 = 10

Þ ƯC(10, 20, 70) = Ư(10) = {1; 2; 5; 10}.

Câu 42:

Cho biểu thức $P = (\sqrt{x} - \frac{x + 2}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 4}{1 - x})$ .

a) Rút gọn P.

Xem đáp án

a) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4.

$P = (\sqrt{x} - \frac{x + 2}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} - 4}{1 - x})$

$= (\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) - (x + 2)}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} + \frac{\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)})$

$= (\frac{x + \sqrt{x} - x - 2}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{x - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} + \frac{\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)})$

$= \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} : \frac{x - 4}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (x - 4)}$

$= \frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2}$

Câu 43:

b) Tìm giá trị của x để P < 0.

Xem đáp án

b) Ta có P < 0

$\Rightarrow \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} < 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 1 < 0$

$\Rightarrow \sqrt{x} < 1 \Rightarrow x < 1$ .

Kếu hợp ĐKXĐ suy ra 0 £ x < 1 thì P < 0.

Câu 44:

c) Tìm GTNN của P.

Xem đáp án

$P = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 2 - 3}{\sqrt{x} + 2} = 1 - \frac{3}{\sqrt{x} + 2}$

do $\sqrt{x} + 2 \geq 2 \Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow P \geq 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow P_{\min} = - \frac{1}{2}$ khi $\sqrt{x} + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0$

Câu 45:

Cho biểu thức $P = (1 + \frac{\sqrt{a}}{a + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2 \sqrt{a}}{a \sqrt{a} + \sqrt{a} - a - 1})$ .

a) Rút gọn P.

Xem đáp án

$P = (1 + \frac{\sqrt{a}}{a + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2 \sqrt{a}}{a \sqrt{a} + \sqrt{a} - a - 1})$

$= (1 + \frac{\sqrt{a}}{a + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2 \sqrt{a}}{(a + 1) (\sqrt{a} - 1)})$

ĐKXĐ: a ≥ 0; a ≠ −1; a ≠ 1.

Ta có:

P = (1 + \frac{\sqrt{a}}{a + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2 \sqrt{a}}{(a + 1) (\sqrt{a} - 1)})

= \frac{a + \sqrt{a} + 1}{a + 1} : (\frac{a + 1}{(a + 1) (\sqrt{a} - 1)} - \frac{2 \sqrt{a}}{(a + 1) (\sqrt{a} - 1)})

= \frac{a + \sqrt{a} + 1}{a + 1} : \frac{a - 2 \sqrt{a} + 1}{(a + 1) (\sqrt{a} - 1)}

= \frac{a + \sqrt{a} + 1}{a + 1} : \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{(a + 1) (\sqrt{a} - 1)}

= \frac{a + \sqrt{a} + 1}{a + 1} : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 1}

= \frac{(a + \sqrt{a} + 1) (a + 1)}{(a + 1) (\sqrt{a} - 1)}

= \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}

Câu 46:

b) Tìm giá trị của a để P < 1.

Xem đáp án

Để P < 1 thì $P = \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} < 1$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a} - 1 + a + 2}{\sqrt{a} - 1} < 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{a + 2}{\sqrt{a} - 1} < 1 \Leftrightarrow \frac{a + 2}{\sqrt{a} - 1} < 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a + 2 > 0 \\ \sqrt{a} - 1 < 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a + 2 < 0 \\ \sqrt{a} - 1 > 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a > - 2 \\ a < 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a < - 2 \\ a > 1 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 < a < 1 (T M) \\ \{\begin{cases} a < - 2 \\ a > 1 \end{cases} (K T M) \end{array}$

Kết hợp ĐKXĐ suy ra 0 £ x < 1 thì P < 1.

Câu 47:

c) Tìm giá trị của P nếu . $a = 19 - 8 \sqrt{3}$

Xem đáp án

c) Ta có: $a = 19 - 8 \sqrt{3} = 16 - 2.4 \sqrt{3} + 3 = {(4 - \sqrt{3})}^{2}$ .

Khi đó $P = \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{19 - 8 \sqrt{3} + \sqrt{{(4 - \sqrt{3})}^{2}} + 1}{\sqrt{{(4 - \sqrt{3})}^{2}} - 1}$

= \frac{20 - 8 \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3} - 1} = \frac{24 - 9 \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{15 - \sqrt{3}}{2}

.

Câu 48:

Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2; 4), B(−1; 4), C(−5; 1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Xem đáp án

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì: $\vec{C D} = \vec{B A}$

$\Leftrightarrow (x_{D} + 5; y_{D} - 1) = (2 + 1; 4 - 4)$

$\Leftrightarrow (x_{D} + 5; y_{D} - 1) = (3; 0)$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{D} + 5 = 3 \\ y_{D} - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{D} = - 2 \\ y_{D} = 1 \end{cases}$

Vậy D(−2; 1).

Câu 49:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(−4; 2), B(2; 4), C(8; −2). Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Xem đáp án

Để tứ giác ABCD là hình bình hành thì: $\vec{C D} = \vec{B A}$

$\Leftrightarrow (x_{D} - 8; y_{D} + 2) = (- 4 - 2; 2 - 4)$

$\Leftrightarrow (x_{D} - 8; y_{D} + 2) = (- 6; - 2)$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x_{D} - 8 = - 6 \\ y_{D} + 2 = - 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{D} = 2 \\ y_{D} = - 4 \end{cases}$

Vậy D(2; −4).

Câu 50:

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến PA, PB tới (O) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ AH vuông góc với đường kính BC. Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm I của AH.

Xem đáp án

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến PA, PB tới (O) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ AH vuông góc với đường kính BC. (ảnh 1)

Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và BP

I là giao điểm của PC và AH.

Ta có $\hat{B A C} = 90 °$ (BClà đường kính)

$\Rightarrow \hat{B A D} = 90 °$ (kề bù) hay $\Rightarrow \hat{D A P} + \hat{P A B} = 90 °$ (1)

∆ABD vuông tại A (cmt) $\Rightarrow \hat{A B D} + \hat{A D B} = 90 °$ (2)

Mặt khác PA, PB là hai tiếp tuyến của (O) nên PA = PB và $\hat{P A B} = \hat{P B A}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \hat{D A P} = \hat{A D P}$ .

Do đó ∆APD cân tại P

Þ PA = PD, mà PA = PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Þ PD = PB

Lại có DB // AH (^ BC).

Xét △PBC có: IH // PB $\Rightarrow \frac{I H}{P B} = \frac{I C}{P C}$ (4) (định lí Ta-lét).

Tương tự △PCD có: AI // PD $\Rightarrow \frac{A I}{D P} = \frac{I C}{P C}$ (5)

Từ (4), (5) $\Rightarrow \frac{I H}{P B} = \frac{A I}{D P} \Rightarrow I H = I A$ (vì PB = PD).

Vậy PC cắt AH tại trung điểm I của AH.

Câu 51:

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A tới đường kính BC, đoạn thẳng PC cắt AH tại E.

a) Chứng minh bốn điểm P, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn.

Xem đáp án

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc (ảnh 1)

a) PA, PB là 2 tiếp tuyến với đường tròn tâm O

$\Rightarrow \hat{P A O} = \hat{P B O} = 90 °$ .

$\Rightarrow \hat{P A O} + \hat{P B O} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Vậy tứ giác PAOB nội tiếp.

Câu 52:

b) Chứng minh OB.AH = CH.PB và E là trung điểm của AH.

Xem đáp án

b) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và BP.

Ta có $\hat{B A C} = 90 °$ (BClà đường kính)

$\Rightarrow \hat{B A D} = 90 °$ (kề bù) hay $\Rightarrow \hat{D A P} + \hat{P A B} = 90 °$ (1)

∆ABD vuông tại A (cmt) $\Rightarrow \hat{A B D} + \hat{A D B} = 90 °$ (2)

Mặt khác PA, PB là hai tiếp tuyến của (O) nên PA = PB và $\hat{P A B} = \hat{P B A}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \hat{D A P} = \hat{A D P}$

Do đó ∆APD cân tại P

Þ PA = PD, mà PA = PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Þ PD = PB

Lại có DB // AH (^ BC).

Xét ∆PBC có: EH // PB $\Rightarrow \frac{E H}{P B} = \frac{E C}{P C}$ (4) (định lí Ta-lét)

Tương tự △PCD có: AE // PD $\Rightarrow \frac{A E}{D P} = \frac{E C}{P C}$ (5)

Từ (4), (5) $\Rightarrow \frac{E H}{P B} = \frac{A E}{D P} \Rightarrow E H = E A$ (vì PB = PD).

Vậy PC cắt AH tại trung điểm E của AH.

Do EH // BP (^ BC)

$\Rightarrow \frac{E H}{P B} = \frac{C H}{C B} \Leftrightarrow \frac{2 E H}{P B} = \frac{C H}{\frac{C B}{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{A H}{P B} = \frac{C H}{O B} \Leftrightarrow O B . A H = C H . P B$ .

Câu 53:

c) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.

Xem đáp án

c) K là chân đường vuông góc kẻ từ A đến OP.

Ta có: $O K = \frac{O A^{2}}{O P} = \frac{R^{2}}{d}$ ;

$A K = \sqrt{O A^{2} - O K^{2}} = \sqrt{R^{2} - {(\frac{R^{2}}{d})}^{2}}$ ;

$A H = \frac{O K . A B}{O B} = \frac{2 O K . A K}{O B}$

$= \frac{2 \frac{R^{2}}{d} . \sqrt{R^{2} - {(\frac{R^{2}}{d})}^{2}}}{R}$

$= 2 \frac{R}{d} \sqrt{R^{2} - {(\frac{R^{2}}{d})}^{2}}$ .

Câu 54:

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: $|\vec{M A} + \vec{M C}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

Xem đáp án

$|\vec{M A} + \vec{M C}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

$\Leftrightarrow 2 |\vec{M I}| = |\vec{B A}|$ (Với I là trung điểm của AC)

Û 2MI = BA.

Vậy M thuộc đường tròn tâm I đường kính BA với I là trung điểm của AC.

Câu 55:

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M trong trường hợp sau: $\vec{M A} = \vec{M B}$

Xem đáp án

Ta có: $\vec{M A} = \vec{M B}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} - \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{B A} = \vec{0} \Leftrightarrow B \equiv A$ (trái với giả thiết).

Vậy không có điểm M nảo thỏa mãn.

Câu 56:

Cho phương trình x²− (2m + 5)x + 2m + 1 = 0 với m là tham số có hai nghiệm dương phân biệt x₁, x₂. Tìm m thỏa mãn $|\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}|$ có giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(2 m + 5)}^{2} - 4 (2 m + 1) > 0 \\ x_{1} + x_{2} = 2 m + 5 > 0 \\ x_{1} x_{2} = 2 m + 1 > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m^{2} + 12 m + 21 > 0 \\ m > - \frac{5}{2} \\ m > - \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow m > - \frac{1}{2}$ .

Đặt $A = |\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}| > 0$

$\Leftrightarrow A^{2} = x_{1} + x_{2} - 2 \sqrt{x_{1} x_{2}}$

$\Leftrightarrow A^{2} = 2 m + 5 - 2 \sqrt{2 m + 1}$

$\Leftrightarrow A^{2} = 2 m + 1 - 2 \sqrt{2 m + 1} + 1 + 3$

$\Leftrightarrow A^{2} = {(\sqrt{2 m + 1} - 1)}^{2} + 3 \geq 3$

$\Rightarrow A \geq \sqrt{3} \Rightarrow A_{\min} = \sqrt{3}$ khi $\sqrt{2 m + 1} = 1 \Rightarrow m = 0$ .

Vậy GTNN của $|\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}|$ bằng $\sqrt{3}$ khi m = 0.

Câu 57:

Cho phương trình: x² − 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biết với mọi m.

Xem đáp án

a) Ta thấy: $Δ^{'} = {(m - 1)}^{2} - (2 m - 5) = m^{2} - 4 m + 6$

$= {(m - 2)}^{2} + 2 \geq 2 > 0, \forall m \in ℝ$ .

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m thực

Câu 58:

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 2 < x₂.

Xem đáp án

b) Áp dụng định lý Vi-ét với x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình thì:

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) \\ x_{1} x_{2} = 2 m - 5 \end{cases}$ .

Khi đó, để x₁ < 2 < x₂ Û (x₁ − 2)(x₂ − 2) < 0

Û x₁x₂ − 2(x₁ + x₂) + 4 < 0

Û 2m − 5 − 4(m − 1) + 4 < 0

Û − 2m + 3 < 0 .

Vậy $m > \frac{3}{2}$ là giá trị của m thỏa mãn.

Câu 59:

So le ngoài là như thế nào? Lấy ví dụ.

Xem đáp án

Hai góc so le trong là hai góc về hai phía đối vớí cát tuyến và nằm bên ngoài của hai đường thẳng song đó.

Ví dụ: $\hat{E G A} = \hat{C H F}$ .

Câu 60:

Cặp góc so le trong cùng phía; cặp góc so le ngoài cùng phía; cặp góc so le trong; cặp góc đồng vị là gì?

Xem đáp án

- Cặp góc so le trong cùng phía là những góc nằm ở vị trí so le nhau nằm trong hình và cùng nằm ở 1 đường thẳng.

- Góc so le ngoài cùng phía là những góc nằm ở vị trí so le nhau nằm trong hình và cùng nằm trên 1 đường thẳng.

- Cặp góc so le trong là những góc nằm ở vị trí so le nhau nằm trong hình và cùng nằm ở 1 đường thẳng.

- Cặp góc đồng vị là những góc nằm ở vị trí giống nhau ở hai đường thẳng song song.

Câu 61:

Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm thẳng hàng?

A. Vô số đường tròn;

B. Một đường tròn;

C. Hai đường tròn;

D. Không có đường tròn nào.

Xem đáp án

Không có đường tròn đi qua ba điểm thẳng hàng.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 62:

Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng?

A. Vô số đường tròn;

B. Một đường tròn;

C. Hai đường tròn;

D. Không có đường tròn nào.

Xem đáp án

Có một và chỉ một đường tròn đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 63:

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M:

. $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |\vec{M A} + 2 \vec{M B}|$

Xem đáp án

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Gọi I là điểm nằm trên AB sao cho $\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$

$|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = |\vec{M A} + 2 \vec{M B}|$ .

$\Leftrightarrow |\vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C}| = |\vec{M I} + \vec{I A} + 2 (\vec{M I} + \vec{I B})|$

$\Leftrightarrow |3 \vec{M G}| = |3 \vec{M I}|$

$\Leftrightarrow M G = M I$

Tập hợp M là đường trung trực của đoạn thẳng IG.

Câu 64:

Cho đường thẳng (d): y = (m + 1)x + 2m − 3. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Xác định điểm cố định đó.

Xem đáp án

d): y = (m + 1)x + 2m − 3

= mx + x + 2m − 3

= m(x + 2) + x – 3.

Điểm cố định mà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

$\{\begin{cases} x + 2 = 0 \\ y = x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 5 \end{cases}$ .

Vậy điểm cố định cần tìm có tọa độ là (−2; −5).

Câu 65:

Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = (m − 1)x + 2m − 3 luôn đi qua

Xem đáp án

(d): y = (m − 1)x + 2m − 3

= mx − x + 2m − 3

= m(x + 2) − x – 3.

Điểm cố định mà (d) luôn đi qua có tọa độ là:

$\{\begin{cases} x + 2 = 0 \\ y = - x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 1 \end{cases}$ .

Vậy điểm cố định cần tìm có tọa độ là (−2; −1).

Câu 66:

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

a) Chứng minh: BD ^ AC và AB² = AD.AC.

Xem đáp án

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn (O). (ảnh 1)

a) Vì BD là đường kính của (O)

Þ BD ^ DC Þ BD ^ AC .

Tam giác ABC có AB ^ BC và BD ^ AC nên AB² = AD.AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Câu 67:

b) Từ C vẽ dây CE // OA; BE cắt OA tại H. Chứng minh H là trung điểm của BE và AE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem đáp án

b) Ta có:

BE ^ CE Þ AO ^ BE (Do CE // OA)

Þ H là trung điểm của BE

Þ B, E đối xứng với nhau qua OA

$\Rightarrow \hat{A E O} = \hat{A B O} = 90 °$

Þ AE là tiếp tuyến của (O).

Câu 68:

c) Chứng minh $\hat{O C H} = \hat{O A C}$ .

Xem đáp án

c) Ta có: OB ^ AB, BH ^ AO Þ OB² = OH.OA

Þ OC² = OH.OA $\Rightarrow \frac{O H}{O C} = \frac{O C}{O A}$ .

Xét ∆OHC và ∆OCA có:

$\hat{O}$ : góc chung

$\frac{O H}{O C} = \frac{O C}{O A}$ (cmt)

Do đó ∆OHC ᔕ ∆OCA (c.g.c)

Suy ra $\hat{O C H} = \hat{O A C}$ (hai góc tương ứng)

Câu 69:

d) Tia OA cắt đường tròn (O) tại F. Chứng minh FA.CH = HF.CA.

Xem đáp án

d) Ta có: $\hat{A E F} = \hat{F B E} = \hat{F E B}$

Þ EF là phân giác của $\hat{A E H}$

$\Rightarrow \frac{F H}{F A} = \frac{E H}{E A} = \sin \hat{H A E} = \sin \hat{E B C}$

$= \frac{E C}{B C} = \frac{2 O H}{2 O C} = \frac{O H}{O C}$

Mà ∆OHC ᔕ ∆OCA

$\Rightarrow \frac{C A}{C H} = \frac{O C}{O H} \Rightarrow \frac{F H}{F A} . \frac{C A}{C H}$

Þ FA.CH = HF.CA (đpcm).

Câu 70:

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho

$|2 (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})| = |3 (\vec{M B} + \vec{M C})|$ .

Xem đáp án

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Gọi I là điểm nằm trên BC sao cho

$|2 (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})| = |3 (\vec{M B} + \vec{M C})|$

$\Leftrightarrow |2 (\vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C})| = |3 (\vec{M I} + \vec{I B} + \vec{M I} + \vec{I A})|$

$\Leftrightarrow |2.3. \vec{M G}| = |3.2. \vec{M I}|$

$\Leftrightarrow |\vec{M G}| = |\vec{M I}|$

$\Leftrightarrow M G = M I$ .

Vậy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của GI.

Câu 71:

Cho ∆ABC cân tại A. Kẻ AH ^ BC (H Î BC).

a) Chứng minh HB = HC.

Xem đáp án

Cho ∆ABC cân tại A. Kẻ AH  BC (H  BC). a) Chứng minh HB = HC. (ảnh 1)

a) Có ∆ABC cân tại A:

Þ AB = AC (tính chất tam giác cân)

Và $\hat{B} = \hat{C}$ (tính chất tam giác cân)

Xét ∆AHB cân tại H và ∆AHC cân tại H có:

AH: cạnh chung

AB = AC

Þ ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Þ HB = HC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Câu 72:

b) Kẻ HM ^ AB (M Î BC); HN ^ AC (N Î BC). CMR: ∆HMN là tam giác cân

Xem đáp án

b) Xét ∆HMB vuông tại M và ∆HNC vuông tại N có:

BH = CH (cmt)

$\hat{B} = \hat{C}$ (cmt)

Do đó ∆HMB = ∆HNC (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra HM = HN (1) (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Þ ∆HMN cân tại H

Câu 73:

c) Chứng minh: MN song song với BC.

Xem đáp án

c) ∆HMB = ∆HNC

Þ MB = NC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Mà AB = AC Þ AM = AN (2)

Từ (1) và (2) nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng MN

Þ AH ^ MN

Mà AH ^ BC nên suy ra MN // BC (đpcm

Câu 74:

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh:

a) HB = HC.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh: a) HB = HC. (ảnh 1)

a) Có ∆ABC cân tại A:

Þ AB = AC (tính chất tam giác cân)

Và $\hat{B} = \hat{C}$ (tính chất tam giác cân)

Xét ∆AHB cân tại H và ∆AHC cân tại H có:

AH: cạnh chung

AB = AC

Þ ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Þ HB = HC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Câu 75:

b) Kẻ HM ^ AB, HN ^ AC. Chứng minh ∆HMB = ∆HNC.

Xem đáp án

b) Xét ∆HMB vuông tại M và ∆HNC vuông tại N có:

BH = CH (cmt)

$\hat{B} = \hat{C}$ (cmt)

Þ ∆HMB = ∆HNC (cạnh huyền - góc nhọn)

Þ HM = HN (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Þ ∆HMN cân tại H

Câu 76:

c) Chứng minh tam giác AMN cân.

Xem đáp án

c) ∆HMB = ∆HNC

Þ MB = NC (hai cạnh tương ứng bằng nhau).

Mà AB = AC Þ AM = AN.

Vậy tam giác AMN cân tại A.

Câu 77:

Tìm điều kiện của x để biểu thức $\frac{3 x - 1}{x^{2} - 4}$ là phân thức.

Xem đáp án

Ta có $\frac{3 x - 1}{x^{2} - 4} = \frac{3 x - 1}{(x - 2) (x + 2)}$ .

Ta có: (x − 2)(x + 2) ≠ 0

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq - 2 \end{cases}$ .

Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ ± 2.

Câu 78:

Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 6, 7, 9. Lấy 3 chữ số lập thành số a. Có bao nhiêu số a < 400?

Xem đáp án

Chọn chữ số hàng trăm có 2 cách: {2; 3}.

Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy lập được 2.5.4 = 40 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 79:

Cho sáu chữ số: 2, 3, 5, 6, 7, 9.

a) Có bao nhiêu số có ba chữ số, các chữ số trong mỗi số đều khác nhau, được lập thành từ các chữ số trên?

Xem đáp án

a) Để lập được số có ba chữ số với các chữ số trong mỗi số đều khác nhau thì:

• Chọn chữ số hàng trăm có: 6 cách.

+ Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy có: 6.5.4 = 120 số thỏa mãn.

Câu 80:

b) Trong các số dược thành lập có bao nhiêu số nhỏ hơn 400? Bao nhiêu số là số lẻ? Bao nhiêu số chia hết cho 5?

Xem đáp án

b) • Số có ba chữ số nhỏ hơn 400 với các chữ số khác nhau.

+ Chọn chữ số hàng trăm có 2 cách: {2; 3}.

+ Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy lập được 2.5.4 = 40 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Số lẻ có ba chữ số với các chữ số khác nhau.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có 4 cách: {3; 5; 7; 9}.

+ Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy lập được 4.5.4 = 80 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Số có ba chữ số chia hết cho 5 với các chữ số khác nhau.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có 1 cách: {5}.

+ Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

+ Chọn chữ số hàng đơn vị có: 4 cách.

Vậy lập được 1.5.4 = 20 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 81:

Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4, 5, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.

Xem đáp án

Gọi số có 6 chữ số khác nhau cần tìm là $\bar{a b c d e f}$ .

Ta có: 8 = 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4.

Vậy có 2 cách chọn nhóm 3 số để làm các số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn.

Ứng với 1 bộ số có 3! = 6 cách lập ra số $\bar{c d e}$

Chọn ra các số còn lại a, b, f là chọn 3 trong 6 số còn lại có tính đến thứ tự, tức là có $A_{6}^{3} = 120$ cách chọn.

Vậy ứng với 1 bộ số ở trên, ta có thể lập được 6.120 = 720 số.

Vậy có tất cả 720.2 = 1440 số thảo mãn yêu cầu bài toán.

Câu 82:

Xác định parabol y = ax²+ bx + c, (a ≠ 0), biết rằng đỉnh của parabol đó có tung độ bằng −25, đồng thời parabol đó cắt trục hoành tại hai điểm A(−4; 0) và B(6; 0).

Xem đáp án

Đỉnh của parabol là $\frac{- Δ}{4 a}$ nên theo bài ra ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} \frac{- Δ}{4 a} = - 25 \\ 16 a - 4 b + c = 0 \\ 36 a + 6 b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - 4 a c = 100. a \\ 16 a - 4 b + c = 0 \\ 36 a + 6 b + c = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - 4 a c = 100. a \\ 2 a + b = 0 \\ 24 a + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a^{2} + 96 a^{2} = 100. a \\ b = - 2 a \\ c = - 24 a \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 100 a^{2} = 100. a \\ b = - 2 a \\ c = - 24 a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} a = 0 (K T M) \\ a = 1 (T M) \end{array} \\ b = - 2 a \\ c = - 24 a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \\ c = - 24 \end{cases}$ .

Vậy parabolcần tìm là: y = x²− 2x − 24.

Câu 83:

Xác định parabol (p): y = ax²+ bx + c, (a ≠ 0), biết (p) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi $x = \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} c = 1 \\ - \frac{b}{2 a} = \frac{1}{2} \\ - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = \frac{3}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 1 \\ b = - a \\ b^{2} - 4 a c = - 3 a \end{cases}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 1 \\ b = - a \\ a^{2} - a = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 1 \\ b = - a \\ [\begin{array}{l} a = 0 (K T M) \\ a = 1 (T M) \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 1 \\ c = 1 \end{cases}$

Vậy parabol cần tìm là (p): y = x²− x + 1.

Câu 84:

Cho hai đường thẳng

(d₁): y = ax + b (a ≠ 0);

(d₂): y = a'x + b' (a' ≠ 0);

(d₁) và (d₂) song song, cắt nhau, trùng nhau khi nào?

Xem đáp án

• Để (d₁) và (d₂) song song suy ra a = a' và b ≠ b'.

• Để (d₁) và (d₂) cắt nhau suy ra a ≠ a'.

• Để (d₁) và (d₂) trùng nhau suy ra a = a' và b = b'

Câu 85:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng $(d_{1}) : \{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = 1 - 5 t \end{cases}$ và (d₂): 2x − 5y − 14 = 0.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (d₁), (d₂) song song với nhau;

B. (d₁), (d₂) vuông góc với nhau;

C. (d₁), (d₂) cắt nhưng không vuông góc với nhau;

D. (d₁), (d₂) trùng nhau.

Xem đáp án

Ta có:

• $(d_{1}) : \{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = 1 - 5 t \end{cases}$ nên VTCP của đường thẳng d₁ là $\vec{u_{d_{1}}} = (2; - 5)$ .

• (d₂): 2x − 5y − 14 = 0 nên VTPT của đường thẳng d₂ là $\vec{n_{d_{2}}} = (2; - 5)$ .

Vì $\vec{u_{d_{1}}} = \vec{n_{d_{2}}}$ nên (d₁) và (d₂) vuông góc với nhau.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 86:

Tìm dư trong phép chia 325 cho 9.

Xem đáp án

Ta có: 325 = 9 × 36 + 1.

Vậy phép chia của 325 cho 9 có thương là 36 và dư là 1.

Câu 87:

Trong khoảng từ 160 đến 325 có bao nhiêu số chia hết cho 9?

Xem đáp án

Số chia hết cho 9 có dạng 9k (với k Î ℤ).

Do số đó thuộc khoảng từ 160 đến 325 nên ta có:

160 < 9k < 325

$\Leftrightarrow \frac{160}{9} < k < \frac{325}{9}$

Û 18 £ k £ 39 (với k Î ℤ).

Vậy trong khoảng từ 160 đến 325 có 22 số chia hết cho 9.

Câu 88:

Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (1 − 2x)¹².

Xem đáp án

Ta có ${(1 - 2 x)}^{12} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} {(- 2 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{12} C_{12}^{k} {(- 2)}^{k} x^{k}$ .

Số hạng thứ 8 theo lũy thừa tăng dần tương ứng với k = 7 là: $C_{12}^{7} {(- 2)}^{7} x^{7} = - 101376 x^{7}$

Vậy số hạng cần tìm là $- 101376 x^{7}$ .

Câu 89:

Hệ số của số hạng thứ 8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn (2 + 3x)¹⁴.

Xem đáp án

Ta có ${(2 + 3 x)}^{14} = \sum_{k = 0}^{14} C_{14}^{k} 2^{14 - k} {(3 x)}^{k} = \sum_{k = 0}^{14} C_{14}^{k} 2^{14 - k} 3^{k} x^{k}$

Số hạng thứ 8 theo lũy thừa tăng dần tương ứng với k = 7 là :

$C_{14}^{7} 2^{14 - 7} 3^{7} x^{7} = C_{14}^{7} 2^{7} 3^{7} x^{7}$ .

Vậy hệ số cần tìm là $C_{14}^{7} 2^{7} 3^{7}$ .

Câu 90:

Cho hàm số y = (m − 1)x + 2 có đồ thị là đường thẳng (d).

a) Tìm m biết (d) đi qua điểm M(2; 1).

Xem đáp án

a) Để đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 1) nên ta có:

(m − 1).2 + 2 = 1

Û 2m − 2 + 2 = 1

Û 2m = 1

$\Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

Câu 91:

b) Viết phương trình của đường thẳng (d') đi qua điểm B(1; 3) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (d') đã tìm được.

Xem đáp án

b) Đường thẳng d' có dạng (d'): ax + b (a ≠ 0).

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} a + b = 3 \\ b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = 5 \end{cases}$ .

Vậy đường thẳng (d') cần tìm là (d'): y = −2x + 5.

Câu 92:

Cho hàm số y = (m + 1)x − 2 có đồ thị là đường thẳng (d).

a) Tìm m để đồ thị hàm số (d) cắt đồ thị hàm số y = x + 3 tại điểm tung độ là 2.

Xem đáp án

a) y = 2 Û x + 3 = 2 Û x = −1 Þ M(−1; 2).

Đồ thị hàm số (d) đi qua điểm M(−1; 2) nên ta có:

(m + 1)(−1) − 2 = 2

Û − m − 1 − 2 = 2

Û m = −5.

Vậy m = −5 là giá trị của tham số m thỏa mãn.

Câu 93:

b) Vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a . Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số với hai trục tọa độ.

Xem đáp án

b) Đường thẳng (d): y = −4x – 2.

• Với x = 0 Þ y = −2. Vậy A(0; −2).

• Với x = −1 Þ y = 2. Vậy B(−1; 2).

Đồ thị hàm số (d):

b) Vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a . Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số với hai trục tọa độ. (ảnh 1)

A(0; −2) là giao điểm của (d) với trục tung.

Với y = 0 $\Rightarrow x = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $C (- \frac{1}{2}; 0)$ là giao điểm của (d) với trục hoành.

Ta có: OA = 2 và . $O C = \frac{1}{2}$

Vậy diện tích tam giác OAC vuông tại O là:

$S_{O A C} = \frac{1}{2} O A . O C = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} .2 = \frac{1}{2}$ .

Câu 94:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB, SC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD).

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB, SC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD). (ảnh 1)

Lấy F và E lần lượt là giao điểm của NM với AB và NP với BC.

Lấy G và H lần lượt là giao điểm của FE với AD và CD.

Vậy giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) là giao tuyến của mặt phẳng (NME) với mặt phẳng (ABCD), tức là GH.

Câu 95:

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC. Tìm giao điểm của (MNP) và SD.

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC. Tìm giao điểm của (MNP) và SD. (ảnh 1)

Lấy F và E lần lượt là giao điểm của NM với AB và NP với BC.

Lấy G và H lần lượt là giao điểm của FE với AD và CD.

Lấy I là giao điểm của PH và SD.

Vậy giao điểm của SD và (MNP) là giao điểm của SI và (NEIF), tức là I.

Câu 96:

Cho phân thức $A = \frac{4 x^{2} - 2 x + 7}{2 x - 1} (x \neq \frac{1}{2})$ . Tìm x Î ℤ để A Î ℤ.

Xem đáp án

Ta có $A = \frac{4 x^{2} - 2 x + 7}{2 x - 1} = \frac{2 x (2 x - 1) + 7}{2 x - 1}$

$= \frac{2 x (2 x - 1)}{2 x - 1} + \frac{7}{2 x - 1} = 2 x + \frac{7}{2 x - 1}$ .

Vì 2x Î ℤ với x Î ℤ nên để A Î ℤ thì $\frac{7}{2 x - 1} \in ℤ$

Þ 2x − 1 Î Ư(7) = {±1; ±7}

Þ x Î {−3; 0; 1; 4}.

Vậy x Î {−3; 0; 1; 4} là các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 97:

Tìm phân thức P biết $P : \frac{4 x^{2} - 16}{2 x + 1} = \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x - 2}$

Xem đáp án

Ta có $P : \frac{4 x^{2} - 16}{2 x + 1} = \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x - 2}$

$\Leftrightarrow P = \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x - 2} \cdot \frac{4 x^{2} - 16}{2 x + 1}$

$\Leftrightarrow P = \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x - 2} \cdot \frac{4 (x - 2) (x + 2)}{2 x + 1}$

$\Leftrightarrow P = 4 (2 x + 1) (x + 2)$

$\Leftrightarrow P = 4 (2 x^{2} + x + 4 x + 2)$ $\Leftrightarrow P = 4 (2 x^{2} + 5 x + 2)$

$\Leftrightarrow P = 8 x^{2} + 20 x + 8$ .

Câu 98:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho $A D = \frac{a}{2}$ . Chứng minh rằng BD vuông góc với AM.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC, điểm D thuộc AC sao cho (ảnh 1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

AB ^ AC Û $\vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$ (vì D thuộc AC)

Vì M là trung điểm của BC nên ta có $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ .

Lại có: $\vec{B D} = \vec{A D} - \vec{A B}$ (quy tắc ba điểm).

Khi đó ta có: $2 \vec{A M} . \vec{B D}$

$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{A D} - \vec{A B})$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - {\vec{A B}}^{2} + \vec{A C} . \vec{A D} - \vec{A C} . \vec{A B}$

$= 0 - A B^{2} + A C . A D . \cos 0 ° - 0$

$= - a^{2} + 2 a . \frac{a}{2} = 0$ .

Vậy

\vec{A M} . \vec{B D} = 0 \Leftrightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{B D} \Leftrightarrow A M ⊥ C D

(đpcm).

Câu 99:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a. Tính độ dài của $\vec{A B} + \vec{A C}$ và $\vec{A B} - \vec{A C}$ .

Xem đáp án

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A nên

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(2 a)}^{2}} = a \sqrt{5}$ .

Lấy M là trung điểm của tam giác ABC vuông tại A.

$\Rightarrow A M = \frac{B C}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Ta có:

• $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |2 \vec{A M}| = 2. A M = a \sqrt{5}$ .

• $|\vec{A B} - \vec{A C}| = |\vec{C B}| = B C = a \sqrt{5}$ .

Câu 100:

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho

$|2 (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})| = |3 (\vec{M B} + \vec{M C})|$ .

Xem đáp án

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Gọi I là điểm nằm trên BC sao cho $\vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ .

$|2 (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})| = |3 (\vec{M B} + \vec{M C})|$

$\Leftrightarrow |2 (\vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C})| = |3 (\vec{M I} + \vec{I B} + \vec{M I} + \vec{I A})|$ .

$\Leftrightarrow |2.3. \vec{M G}| = |3.2. \vec{M I}|$

$\Leftrightarrow |\vec{M G}| = |\vec{M I}|$

$\Leftrightarrow M G = M I$

Vậy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực của GI.

Câu 101:

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:

$|\vec{M A} + \vec{M C}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$ .

Xem đáp án

$|\vec{M A} + \vec{M C}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$

$\Leftrightarrow 2 |\vec{M I}| = |\vec{B A}|$ (Với I là trung điểm của AC)

Û 2MI = BA.

Vậy M thuộc đường tròn tâm I đường kính BA với I là trung điểm của AC.

Câu 102:

Vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2} x + 3 (d_{1})$ và $y = \frac{3}{2} x - 1 (d_{2})$ .

a) Tìm tọa độ giao điểm bằng phép toán.

Xem đáp án

Vẽ đồ thị hàm số y= 1/2x+ 3( d1) và y= 3/2x-1 (d2) . a) Tìm tọa độ giao điểm bằng phép toán. (ảnh 1)

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d₂) và (d₁) là nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{2} x + 3 = \frac{3}{2} x - 1$

$\Leftrightarrow x = 4$ Û y = 5.

Vậy giao điểm của (d₂) và (d₁) là điểm M(4; 5).

Câu 103:

b) Xác định a, b để (d): y = ax + b song song với (d₂) và cắt (d₁) tại M(4; 5).

Xem đáp án

b) Để (d): y = ax + b song song với (d₂) thì: $\{\begin{cases} a = \frac{3}{2} \\ b \neq - 1 \end{cases}$ .

Để $(d) : y = \frac{3}{2} x + b (b \neq - 1)$ đi qua điểm M(4; 5) thì:

$\frac{3}{2} .4 + b = 5 \Leftrightarrow b = - 1 (K T M)$ .

Vậy không tồn tại đồ thị hàm số (d) nào thỏa mãn.

Câu 104:

Cho hai hàm số $y = \frac{1}{2} x (d_{1})$ và $y = 2 x - 3 (d_{2})$ .

a) Tìm tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₂).

Xem đáp án

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d₂) và (d₁) là nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2} x = 2 x - 3$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} x = 3$

$\Leftrightarrow x = 2$ Û y = 1.

Vậy giao điểm của (d₂) và (d₁) là điểm M(2; 1).

Câu 105:

Cho đường thẳng (d): y = (m + 2)x − m² (m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) và các đường thẳng y = x − 1; x − 2y = 3 cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án

Ta có: y = x − 1 Û x − y = 1.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng x − y = 1 và x − 2y = 3 là:

$\{\begin{cases} x - y = 1 \\ x - 2 y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 2 \end{cases}$

Thay x = −1 và y = −2 vào y = (m + 2)x − m², ta được:

− m² + (m + 2)(−1) = −2

Û − m² − m − 2 = −2

Û m² + m = 0

Þ m = 0 hoặc m = −1.

Vậy m = 0 và m = −1 là giá trih của tham số m thỏa mãn.

Câu 106:

Cho (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (m + 2)x − 2m (m là tham số).

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

Xem đáp án

a) Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):

x² = (m + 2)x − 2m

Û x² − (m + 2)x + 2m = 0 (1)

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt

Û ∆ = (m + 2)² − 8m > 0

Û (m − 2)² > 0 Û m ≠ 2.

Câu 107:

b) Gọi hoành độ của A và B lần lượt là x₁, x₂. tìm m để x₁² + (m + 2)x₂ = 12.

Xem đáp án

b) Theo hệ thức Viét: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ x_{1} x_{2} = 2 m \end{cases}$

${x_{1}}^{2} + (m + 2) x_{2} = 12$

$\Leftrightarrow x_{1} (x_{1} + x_{2}) - x_{1} x_{2} + (m + 2) x_{2} = 12$

$\Leftrightarrow (m + 2) x_{1} - 2 m + (m + 2) x_{2} = 12$

$\Leftrightarrow (m + 2) (x_{1} + x_{2}) - 2 m - 12 = 0$

$\Leftrightarrow {(m + 2)}^{2} - 2 m - 12 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 8 = 0$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} m = - 4 (T M) \\ m = 2 (K T M) \end{array}$ .

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Câu 108:

Chứng minh rằng: 13ⁿ − 1 chia hết cho 12.

Xem đáp án

Ta có: 13ⁿ − 1

$= (13 - 1) (13^{n - 1} + 13^{n - 2} + ... + 13^{1} + 1)$ .\

$= 12. (13^{n - 1} + 13^{n - 2} + ... + 13^{1} + 1)$

Vậy 13ⁿ − 1 chia hết cho 12 (đpcm).

Câu 109:

Chứng minh với mọi n Î ℕ*, ta có: 13ⁿ − 1 chia hết cho 6.

Xem đáp án

Ta có: 13ⁿ − 1

$= (13 - 1) (13^{n - 1} + 13^{n - 2} + ... + 13^{1} + 1)$ .

$= 12. (13^{n - 1} + 13^{n - 2} + ... + 13^{1} + 1)$

Vì 12 chia hết cho 6 suy ra 13ⁿ − 1 chia hết cho 6 (đpcm).

Câu 110:

Cho hình vẽ:

Chứng minh AD // BC.

Xem đáp án

Xét ∆CAB và ∆ACD có:

AC: cạnh chung

AB = CD (gt)

CB = AD (gt)

Suy ra ∆CAB = ∆ACD (c.c.c)

$\Rightarrow \hat{B C A} = \hat{D A C}$ (hai cặp góc tương ứng bằng nhau)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Câu 111:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường phân giác của góc A và B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy BC. Chứng minh AD + BC = DC.

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường phân giác của góc A và B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy BC. Chứng minh AD + BC  DC. (ảnh 1)

Vì AB // CD Þ $\hat{A_{2}} = \hat{K_{1}}$ (hai góc so le trong)

Mà AK là phân giác của $\hat{B A D} \Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$

Do đó, $\hat{A_{1}} = \hat{K_{1}}$ Þ ∆ADK cân tại D Þ AD = KD (1)

Ta lại có AB // CD $\Rightarrow \hat{B_{2}} = \hat{K_{2}}$ (hai góc so le trong)

Mà BK là phân giác của $\hat{A B C} \Rightarrow \hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}$

Do đó $\hat{B_{1}} = \hat{K_{2}}$ Þ ∆BCK cân tại C Þ BC = KC (2)

Từ (1) và (2) Þ AD + BC = KD + KC.

Mặt khác K Î CD nên CD = KD + KC Þ CD = AD + BC (đpcm).

Câu 112:

Một người làm 50 sản phảm thì hết 8 giờ. Hỏi người đó làm 12 giờ thì được bau nhiêu sản phẩm?

Xem đáp án

Người đó làm 12 giờ thì làm được số sản phẩm là:

50 × 12 : 8 = 75 (sản phẩm)

Đáp số: 75 sản phẩm.

Câu 113:

Cho phương trình x² − (m − 2)x + m − 5 = 0 (1) trong đó m là tham số. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

Xem đáp án

x² − (m − 2)x + m − 5 = 0 (1)

Ta có: $Δ = {(m - 2)}^{2} - 4 (m - 5) = m^{2} - 8 m + 24$ .

Để (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m khi

$\Leftrightarrow Δ \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 24 \geq 0$

$\Leftrightarrow {(m - 4)}^{2} + 8 \geq 0$ (luôn đúng, với mọi m).

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

Câu 114:

Tìm m để các nghiệm x₁, x₂ của phương trình:

x² + (m − 2).x + m + 5 = 0 thỏa mãn x₁² + x₂² = 10.

Xem đáp án

x² + (m − 2).x + m + 5 = 0

Theo định lí Viét ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - m + 2 \\ x_{1} x_{2} = m + 5 \end{cases}$

Ta có: x₁² + x₂² = 10

Û (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 10

Û (−m + 2)² − 2(m + 5) = 10

Û m² − 6m − 16 = 0

Û (m − 8)(m + 2) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m - 8 = 0 \\ m + 2 = 0 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 8 \\ m = - 2 \end{array}$ .

Vậy m = −2 và m = 8 là các giá trị của tham số thỏa mãn.

Câu 115:

Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh:

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$ .

Xem đáp án

ABCDEF là lục giác đều tâm O nên suy ra

$\vec{O A} = - \vec{O D}$ ; $\vec{O B} = - \vec{O E}$ ; $\vec{O C} = - \vec{O F}$

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = - (\vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F})$

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$ (đpcm).

Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh: OA+ OB+ OC+ OD+ OE+ OF=0. (ảnh 1)

Câu 116:

Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O. Chứng minh rằng:

$\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O E} = \vec{0}$ .

Xem đáp án

Ta có: $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O E} = \vec{O A} + \vec{A B} + \vec{O E} = \vec{O B} + \vec{O E} = \vec{0}$

Vậy $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O E} = \vec{0}$ (đpcm).