Ta có: \(\frac{{{x^6} - {y^6}}}{{{x^4} - {y^4} - {x^3}y + x{y^3}}}\)

\( = \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^3} - {{\left( {{y^2}} \right)}^3}}}{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right) - \left( {{x^3}y - x{y^3}} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {{x^3} - {y^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{{x^3}\left( {x - y} \right) + {y^3}\left( {x - y} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}\)\( = {x^2} + xy + {y^2}\).

Gọi số cần tìm là \[\overline {ab} \] (a,b là chữ số; a khác 0)

Theo đề bài \[\overline {ab} .9{\rm{ }} = \;\overline {a0b} \]

⇒ 90a + 9b = 100a + b

⇒ 100a ‒ 90a = 9b ‒ b

⇒ 10a = 8b

Vì a ≠ 0 và a,b là chữ số nên a = 4 ⇒ b = 5.

Số cần tìm là 45.

Ta có:

x³ + y³ + z³ + mxyz

= (x + y + z)³ − 3(x + y)(y + z)(x + z) + mxyz

= (x + y + z)³ − 3[xy(x + y) + yz( y+ z) + xz(x + z) + 2xyz] + mxyz

= (x + y + z)³ − 3[xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + y + z) − xyz] + mxyz

= (x + y + z)³ − 3(x + y + z)(xy + yz + xz) + 3xyz + mxyz

= (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − xz) + (m + 3).xyz

Như vậy, để x³ + y³ + z³ + mxyz chia hết cho đa thức x+ y + z ∀x, y, z thì (m + 3)xyz ⋮ (x + y + z), ∀x, y, z

⇒ m + 3 = 0 ⇒ m = −3.

Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán;

x là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Toán;

y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và Toán;

z là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Sử.

Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 − 6 = 39

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}a + x + z + 5 = 25\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b + y + z + 5 = 18\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\c + x + y + 5 = 20\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x + y + z + a + b + c + 5 = 39\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\]

Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có:

a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 63 (5)

Từ (4) và (5) ta có:

a + b + c + 2(39 − 5 − a − b − c) + 15 = 63

⇔ a + b + c = 20.

Vậy chỉ có 2020 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

3x(x ‒ 1) + x ‒ 1 = 0

⇒ 3x(x ‒ 1) + (x ‒ 1) = 0

⇒ (3x + 1)(x ‒ 1) = 0

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{3}\\x = 1\end{array} \right.\]

Mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định là: Với mọi n ∈ ℕ*, (1 + 2 + .... + n) chia hết cho 11.

\[P = 1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\], n = 11

⇒ P chia hết cho 11.

Vậy tồn tại số tự nhiên n để P chia hết cho 11.

Ta có : 1,4 × 10 = 14.

\(\ln {2.2^x} + \ln {2.2^y}\frac{{dy}}{{dx}} = \ln {2.2^{x + y}}\left( {1 + \frac{{dy}}{{dx}}} \right)\)

\( \Rightarrow {2^x} + {2^y}\frac{{dy}}{{dx}} = {2^{x + y}}\left( {1 + \frac{{dy}}{{dx}}} \right)\)

\( \Rightarrow {2^x} + {2^y}\frac{{dy}}{{dx}} = {2^{x + y}} + {2^{x + y}}\frac{{dy}}{{dx}}\)

\( \Rightarrow \left( {{2^y} - {2^{x + y}}} \right)\frac{{dy}}{{dx}} = \left( {{2^{x + y}} - {2^x}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{2^{x + y}} - {2^x}}}{{{2^y} - {2^{x + y}}}}\)

\( \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{2^x}\left( {{2^y} - 1} \right)}}{{{2^y}\left( {1 - {2^x}} \right)}}\)

\( \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = {2^{x - y}}\left( {\frac{{{2^y} - 1}}{{1 - {2^x}}}} \right)\).

\[3\sin \left( {4x + \frac{\pi }{3}} \right) - 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{4}{3}\]

Do \[\sin \left( {4x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\] mà \[\frac{4}{3} > 1\] nên phương trình vô nghiệm.

5x ‒ 1 = 0 \[ \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\].

\[8{\sin ^2}x + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 8.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4 - 4\cos 2x + \left( {m - 1} \right)\sin 2x + 2m - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4\cos 2x - \left( {m - 1} \right)\sin 2x = 2m - 2\]

Phương trình có nghiệm:

\[ \Leftrightarrow {4^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} \ge {\left( {2m - 2} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 16 + {m^2} - 2m + 1 \ge 4 - 8m + 4{m^2}\]

\[ \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m - 13 \le 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{3 - 4\sqrt 3 }}{3} \le m \le \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{3}\]

Vì m ∈ ℤ ⇒ m ∈ {‒1; 0; 1; 2; 3}.

\[\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2} + 2ab}}{{{a^2} - {b^2} + {c^2} + 2ac}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{{{\left( {a + c} \right)}^2} - {b^2}}}\]

\[ = \frac{{\left( {a + b - c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{\left( {a + c - b} \right)\left( {a + c + b} \right)}}\]

\[ = \frac{{a + b - c}}{{a + c - b}}\].

Ta có: \[A = \left[ { - 2; - 1} \right] \cup \left[ {1;2} \right]\]; \[B = \left( { - \infty ;m - 2} \right] \cup \left[ {m; + \infty } \right)\]

Để A ⊂ B, ta có:

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge - 1\\m \le 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow m = 1\].

TH2. m ≤ 2.

TH3. m ‒ 2 ≥ 2 ⇔ m ≥ 4.

Vậy \[\left[ \begin{array}{l}m \ge 4\\m \le - 2\\m = 1\end{array} \right.\] thì A ⊂ B.

f′(x) = 2x − 2

Do phương trình tiếp tuyến với (c) tại điểm thuộc (c) có hoành độ x₀ = 1 nên thay x = 1 vào f’(c) ta có: f(1) = 2

Phương trình tiếp tuyến: y = 2.

Gọi M là giao điểm của (C) với trục hoành \[ \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{3};0} \right)\].

\[y' = \frac{{3\left( {1 - x} \right) + 3x + 1}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\]

\[y'\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{9}{4}\].

Phương trình tiếp tuyến: \[y = \frac{9}{4}\left( {x + \frac{1}{3}} \right) + 0 = \frac{9}{4}x + \frac{3}{4}\].

Với A = (2 – m; 4) và B = [m; +∞), để A ∩ B= ∅ thì 2 ‒ m < 4 ≤ m

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 4\).

Để B có đúng 2 tập con thì B có duy nhất một phần tử, và B ⊂ A nên B có một phần tử thuộc A.

Nên mx² ‒ 4x + m ‒ 3 = 0   (1)   có nghiệm duy nhất > 0.

m = 0 ta có phương trình: ‒4x ‒ 3 = 0 \[ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3}}{4}\] (loại).

m ≠ 0, Phương trình (1) có nghiệm duy nhất lớn hơn 0 khi:

∆’ = 4 ‒ m(m ‒ 3) = 0

⇔ m² + 3m + 4 = 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.\]

Với m = 1 ta có: ‒x² ‒ 4x ‒ 4 = 0 ⇔ x = ‒2 (loại).

Với m = 4 ta có: 4x² ‒ 4x + 1 = 0

Phương trình có nghiệm \[x = \frac{1}{2} > 0\].

Vậy m = 4.

Ta có: \(\frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k }} = \frac{{\sqrt k }}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \sqrt k \left( {\frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}} \right)\)

        \( = \sqrt k \left( {\frac{1}{{\sqrt k }} + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\)

        \( = \left( {1 + \frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\)

Do \(\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }} < 1 \Rightarrow 1 + \frac{{\sqrt k }}{{\sqrt {k + 1} }} < 2 \Rightarrow \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\sqrt k }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}} \right)\)

Áp dụng BĐT này, ta có: \(\frac{1}{2} < 2\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

                                         \(\frac{1}{{3\sqrt 2 }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)

                                         \(\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\)

Cộng tất cả các BĐT trên ta được:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)\).

\(\; \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{{3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{4\sqrt 3 }} + \ldots + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\sqrt n }} < 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) < 2\) (đpcm).

Ta có:

\[f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right]\] với mọi x ∈ D.

Đặt \[{f_1}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]\], \[{f_2}\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right]\] với mọi x ∈ D.

Khi đó \[{f_1}\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) + f\left( { - \left( { - x} \right)} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) + f\left( x \right)} \right] = {f_1}\left( x \right)\] với mọi x ∈ D.

\[{f_2}\left( { - x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) - f\left( { - \left( { - x} \right)} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {f\left( { - x} \right) - f\left( x \right)} \right] = \frac{{ - 1}}{2}\left[ {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)} \right] = - {f_2}\left( x \right)\] với mọi x ∈ D.

Vậy f₁(x) là hàm số chẵn, f₂(x) là hàm số lẻ.

Gỉa sử số cần tìm có 10 chữ số khác nhau tương ứng với 10 vị trí.

Vì chữ ố 0 không đứng vị trí đầu tiên nên có 9 cách xếp vị trí cho chữ số 0 .

Có \[A_9^3\] cách xếp các chữ số 7; 8 ;9 vào 9 vị trí còn lại .

Vì chữ số 6 đứng trước chữ số 5 nên có 5 cách xếp vị trí cho chữ số 6 và 1 cách xếp cho các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 theo thứ tự tăng dần. Theo quy tắc nhân \[9.5.A_9^3 = 22680\] số thoả mãn.

Sau khi lấy ra ở mỗi ngăn 10 quyển thì hiệu số sách 2 ngăn không đổi. 

Lúc đầu, số sách ngăn 1 chiếm: 

\[\frac{2}{{3 - 2}} = 2\] (hiệu số sách) 

Lúc sau, số sách ngăn 2 chiếm:

\[\frac{3}{{5 - 3}} = \frac{3}{2}\] (hiệu số sách) 

10 quyển sách chiếm:

\[\frac{2}{1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\] (hiệu số sách) 

Hiệu số sách 2 ngăn là:

10 : 1 × 2 = 20 (quyển) 

Số sách ngăn 1 lúc đầu là:

20 × 2 = 40 (quyển) 

Số sách ngăn 2 lúc đầu là:

40 + 20 = 60 (quyển) 

Đáp số: Ngăn 1: 40 quyển sách;

            Ngăn 2: 60 quyển sách.

Số người công nhân hiện có là:

       9 + 18 = 27 (người)

27 người đắp được số đoạn đường là:

      \[\frac{{27}}{9} \times 60 = 180\]

      Đáp số: 180m.

Số thùng hàng còn lại là:

480 ‒ 300 = 180 (thùng)

Số ki - lô - gam 180 thùng nặng là:

180 × 65 = 11700 (kg)

Đáp số: 11700 kg.

Gọi x là diện tích trồng đậu, y là diện tích trồng cà, (đơn vị a = 100 m²), điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0\), ta có \(x + y \le 8\).

Số công cần dùng là \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\).

Số tiền thu được là

                       \(F = 3000000x + 4000000y{\rm{\;}}\)(đồng)

Hay \(F = 3x + 4y\) (triệu đồng)

Ta cần tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 8}\\{2x + 3y \le 18}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)

Sao cho \(F = 3x + 4y\) đạt giá trị lớn nhất.

Biểu diễn tập nghiệm của \(\left( {\rm{H}} \right)\) ta được miền tứ giác \({\rm{OABC}}\) với \({\rm{A}}\left( {0;6} \right),{\rm{B}}\left( {6;2} \right)\), \(C\left( {8;0} \right)\) và \(O\left( {0;0} \right)\).

Xét giá trị của \({\rm{F}}\) tại các đỉnh \({\rm{O}},{\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}\) và so sánh ta suy ra \(x = 6,y = 2\) (tọa độ điểm B) là diện tích cần trồng mỗi loại để thu được nhiều tiền nhất là \({\rm{F}} = 26\) (triệu đồng).

Đáp số: Trồng 6 (a) đậu, 2 (a) cà, thu hoạch 26 000 000 đồng.

297 000 đồng ứng với số phần trăm giá ban đầu của bộ quần áo là: 100% ‒ 40% = 60%

Giá ban đầu của bộ quần áo là: 297 000 : 60% = 495 000 (đồng)

Đáp số: 495 000 đồng.

Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} + 1 = 3x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = 3x - 1\)

\[ \Leftrightarrow \left| {x--2} \right| = 3x - 1\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 1 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3x - 1\\x - 2 = - 3x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\x = \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow x = \frac{3}{4}\).

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là 1 điểm thuộc \({\rm{d}} \Rightarrow 3{x_0} + {y_0} - 2 = 0\) (1)

Gọi M' là ảnh của \({\rm{M}}\) qua phép vị tự tâm O tỉ số k Þ M’ ∈ d’.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M'}} = k{x_M}}\\{{y_{M'}} = k{y_M}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M'}} = - \frac{1}{2}{x_0}}\\{{y_{M'}} = - \frac{1}{2}{y_0}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = - 2{x_{M'}}}\\{{y_0} = - 2{y_{M'}}}\end{array}} \right.\)

Thế vào (1): \(3.\left( { - 2{x_{M'}}} \right) - 2{y_{M'}} - 2 = 0\)

                    \( \Leftrightarrow 3{x_{M'}} + {y_{M'}} + 1 = 0\)

Vậy phương trình d' có dạng: \(3x + y + 1 = 0\).

Giả sử AB = 5, AC=8.

Xét trường hợp \(\widehat {BAC}\) là góc nhọn:

Áp dụng công thức sau đây: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}\)

Do \(\sin \widehat {BAC} < 1\) nên \({S_{ABC}} < \frac{{AB.AC}}{2}\).

Xét trường hợp \(\widehat {BAC}\) là góc tù.

Có công thức sau đây: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \left( {{{180}^{\rm{o}}} - \widehat {BAC}} \right)\)

Lập luận tương tự vẫn có \({S_{ABC}} < \frac{{AB.AC}}{2}\).

Trường hợp \(\widehat {BAC}\) là góc vuông ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC\)

Vậy giá trị lớn nhất của ∆ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{5.8}}{2} = 20\).

Ta có: R ∖ B = (‒∞;+∞) ∖ {(‒∞; ‒3) ∪ [3; +∞)} = [‒3; 3)

Mà A ∪ B = ℝ ⇒ [‒3; 3) ⊂ \(A = \left[ {1 - m;\frac{{m + 3}}{2}} \right]\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m \le 3\\3 \le \frac{{m + 3}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 \le m\\6 \le m + 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 \le m\\3 \le m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \ge 4\).

(x⁵ + 2x⁴ + 3x⁴ + x ‒ 3) : (x² + 1)

\( = \frac{{{x^5} + {x^3} + 2{x^4} + 2{x^2} + 2{x^3} + 2x - 2x{}^2 - 2 - x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

\( = {x^3} + 2{x^2} + 2x - 2 + \frac{{ - x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

Để số dư là 0 thì ‒x ‒ 1 = 0 ⇔ x = ‒1.

Tứ giác có 2 góc đối bằng 90° không có nghĩa tứ giác đấy là hình chữ nhật, vì tứ giác có 3 góc bằng 90° mới là hình chữ nhật.

Số có 5 chữ số khác nhau mà có 1, 2, 5 thì 2 chữ số còn lại lấy từ 4 chữ số 0, 3, 4, 6.

Lấy 2 số trong 4 số có \(C_2^4\) cách, trong đó có 3 trường hợp gồm 0; 3, 0; 4, 0; 6 . 

Ba trường hợp trên giống nhau và có 3.4.4.3.2.1 = 288 số.

Ba trường hợp còn lại giống nhau và có 3.5! = 360 số.

Vậy có tất cả 288 + 360 = 648 số cần tìm.

Số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 3.

Ta có các bộ ba có tổng chia hết cho 3 là: (1; 2; 3), (1; 2; 6), (1; 3; 5), (1; 5; 6), (2; 3; 4), (2; 4; 6), (3; 4; 5), (4; 5; 6).

Mỗi bộ ba có 3! cách sắp xếp để được một số chia hết cho 3.

Vậy số các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6 chia hết cho 3 là: 8.3! = 48 (số).