Hùng hơn Dũng số viên bi là:

14 – 6 = 9 (viên bi)

Số bi của Hùng là :

(45 + 9) : 2 = 27 (viên bi)

Số bi của Dũng là:

27 – 9 = 18 (viên bi)

Đáp số: 18 viên bi, 27 viên bi

Thùng thứ nhất hơn thùng thứ hai số lít dầu là:

7 × 2 = 14 (l)

Thùng thứ nhất có số lít dầu là:

(82 + 14) : 2 = 48 (l)

Thùng thứ hai có số lít dầu là:

82 – 48 = 34 (l)

Đáp số: 48 lít; 34 lít

Ta có: f(x) = x³ + ax² + bx + 2 chia cho x + 1 dư 5

Suy ra f(x) – 5 chia hết cho x + 1

Hay x³ + ax² + bx + 2 – 5 chia hết cho x + 1

Suy ra x³ + ax² + bx – 3 chia hết cho x + 1

Do đó x = -1 là nghiệm của đa thức f(x)

Khi đó (-1)³ + a(-1)² + b(-1) - 3 = 0

Þ -1 + a – b – 3 = 0

Þ a – b = 4 hay b = a – 4

Tương tự ta được f(x) – 8 chia hết cho x + 2

Hay x³ + ax² + bx + 2 – 8 chia hết cho x + 2

Suy ra x³ + ax² + bx – 6 chia hết cho x + 2

Þ x = –2 là nghiệm của đa thức f(x)

Þ (–2)³ + a(–2)² + b(–2) – 6 = 0

Þ –8 + 4a – 2b – 6 = 0

Þ 4a – 2b = 14

Þ 2a – b = 7

Thay b = a – 4 vào ta có:

2a – (a – 4) = 7

2a – a + 4 = 7

a + 4 = 7

a = 3

Þ b = 3 – 4 = –1

Vậy (a; b) = (3; –1)

Ta có: (x) = x³ + ax + b chia cho x – 2 dư 3

Suy ra f(x) – 3 chia hết cho x – 2

Hay x³ + ax + b – 3 chia hết cho x – 2

Do đó x = 2 là nghiệm của đa thức f(x)

Khi đó 2³ + 2a + b – 3 = 0

Þ 8 + 2a + b – 3 = 0

Þ 2a + b = –5 hay b = –2a – 5

Tương tự ta được f(x) – 5 chia hết cho x – 3

Hay x³ + ax + b – 5 chia hết cho x – 3

Do đó x = 3 là nghiệm của đa thức f(x)

Þ 3³ + 3a + b – 5 = 0

Þ 27 +3a + b – 5 = 0

Þ 3a + b = –22

Thay b = –2a – 5 vào ta có:

3a + (–2a – 5) = –22

3a – 2a – 5 = –22

a – 5 = –22

a = –17

Þ b = (–2)(–17) – 5 = 29

Vậy đa thức f(x) = x³ – 22 + 29.

Ta có: 49. 1 = 49

49. 2 = 98

Suy ra 49 và 98 là hai bội của 49

Vậy 2 bội của 49 là 49 và 98.

Ta có: 108 = 2². 3³

Þ Ư(108) = {1; 2; 3; 4; 9; 27; 108}

Vậy các ước của 108 là {1; 2; 3; 4; 9; 27; 108}

Cạnh hình vuông là :

20 : 4 = 5 (m )

Diện tích hình vuông là :

5 × 5 = 25 (m²)

Đáp số: 25 m²

36 = 6 × 6

Cạnh hình vuông là: 6 m

Chu vi hình vuông là:

6 × 4 = 24 (m)

Đáp số: 24 m

Ta có: A = a³ – a = a(a² – 1) = a(a – 1)(a + 1)

Vì a(a – 1)(a + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho 3.

Nếu số đó là bội của 5 và chia hết cho 3 thì số đó là bội của 15.

Các số từ 1 đến 100 là B(15) là: 15; 30; 45; 60; 75; 90

Vậy có 6 số từ 1 đến 100 là bội của 5 và chia hết cho 3.

Nếu số đó là bội của 7 và chia hết cho 3 và 5 thì số đó là bội của 105.

Các số từ 1 đến 300 là B(105) là: 105; 210

Vậy có 2 số từ 1 đến 300 là bội của 7 và chia hết cho 3 và 5.

Chiều rộng của sân vận động đó hình chữ nhật là:

180 : 2 = 90 (m)

Diện tích của sân vận động hình chữ nhật là:

180 × 90 = 16 200 (m²)

Đáp số: 16200 m²

Nửa chu vi sân vận động hình chữ nhật là:

400 : 2 = 200 (m)

Ta có sơ đồ:

Chiều dài sân vận động hình chữ nhật là:

200 : (2 + 3) × 3 = 120 (m)

Chiều rộng sân vận động hình chữ nhật là:

200 – 120 = 80 (m)

Đáp số: Chiều dài: 120 m;

Chiều rộng: 80 m

Vì ao cá là hình vuông nên cạnh của ao cá là 0,4 hm

Chu vi ao cá là:

0,4 × 4 = 1,6 (hm)

Đáp số: 1,6 hm

Cạnh của hình vuông là:

36 : 4 = 9 (cm)

Diện tích hình vuông là:

9 × 9 = 36 (m²)

Đáp số: 36 m²

Nửa chu thửa ruộng vi hình chữ nhật là:

240 : 2 = 120 (m)

Ta có sơ đồ:

Chiều rộng thửa ruộng hình chữ nhật là:

120 : (3 + 5) × 3 = 45 (m)

Chiều dài thửa ruộng hình chữ nhật là:

120 – 45 = 75 (m)

Diện tích thửa ruộng hình chữ nhật là:

45 × 75 = 3375 (m²)

Một m² thu được số thóc là:

\[\frac{8}{5}\]: 5 = \[\frac{8}{{25}}\] (kg)

Số thóc thu được là:

3375 × \[\frac{8}{{25}}\] = 1080 (kg)

Đáp số: 1080 kg

Tháng 8 sửa được số ki-lô-mét đường là:

12,54 × 2 = 25,08 (km)

Tháng 8 sửa được số ki-lô-mét đường là:

12,54 – 3,45 = 9,09 (km)

Trong quý III đội công nhân đó sửa được số ki-lô-mét đường là:

 12,54 + 25,08 + 9.09 = 46,71 (km)

Đáp số: 46,71 km

Đội đó làm trong số ngày là:

15 + 12 = 27 (ngày)

Trong 27 ngày đội đó sửa được số mét đường là:

475 + 470 = 945 (m)

Trung bình mỗi ngày đội đó sửa được số mét đường là:

945 : 27 = 35 (m)

Đáp số: 35 m

Số gạo tẻ và nếp còn lại là:

150 – 30 = 120 (kg)

Ta có sơ đồ:

Số gạo nếp là:

120 : (3 + 5) × 3 = 45 (kg)

Số gạo tẻ lúc sau :

120 – 45 = 75 (kg)

Số gạo tẻ lúc đầu :

75 + 30 = 105 (kg)

Đáp số: Gạo tẻ: 105 kg;

             Gạo nếp: 45 kg

Số ngô và khoai còn lại là:

200 – 30 – 10 = 160 (kg)

Ta có sơ đồ:

Số ngô còn lại là:

160 : (3 + 1) × 1 = 40 (kg)

Số khoai còn lại là:

160 – 40 = 120 (kg)

Số ngô lúc đầu là:

40 + 30 = 70 (kg)

Số khoai lúc đầu là:

200 – 70 = 130 (kg)

Đáp số: Ngô: 70 kg;

             Khoai: 130 kg

Ta có xⁿ – yⁿ = (x – y)(x^n-1 + x^n-2y + x^n-3y² +…+ xy^n-2 + y^n-1)

Vì x – y chia hết cho x – y nên (x – y)(x^n-1 + x^n-2y + x^n-3y² +…+ xy^n-2 + y^n-1) chia hết cho x – y.

Suy ra (x – y)(x – y)(x^n-1 + x^n-2y + x^n-3y² +…+ xy^n-2 + y^n-1) chia hết cho (x – y)²

Vậy (x – y)(xⁿ – yⁿ) chia hết cho (x – y)².

Vì xⁿ – yⁿ = (x – y)(x^n-1 + x^n-2y + x^n-3y² +…+ xy^n-2 + y^n-1)

Vì x – y chia hết cho x – y nên (x – y)(x^n-1 + x^n-2y + x^n-3y² +…+ xy^n-2 + y^n-1) chia hết cho x – y.

Vậy xⁿ – yⁿ chia hết cho x – y.

11^{n + 2} + 12^{2n + 1} = 121. 11ⁿ + 12. 144ⁿ

= (133 – 12). 11ⁿ + 12 . 144ⁿ = 133 . 11ⁿ + (144ⁿ – 11ⁿ) . 12

Ta có: 133. 11ⁿ chia hết 133; 

144ⁿ – 11ⁿ chia hết (144 – 11) hay 144ⁿ – 11ⁿ chia hết cho 133.

⇒ 144ⁿ – 11ⁿ chia hết 133 

Vậy 11^{n + 1} + 12^{2n + 1}.

Ban đầu thùng nhỏ có số lít dầu là:

19,5 + 3,75 = 23,25 (l)

Ban đầu thùng to có số lít dầu là:

23,25 + 4,5 = 27,75 (l)

Ban đầu cả hai thùng có số lít dầu là:

23,25 + 27, 75 = 51 (l)                                              

Đáp số: 51 lít dầu

Thùng bé có số lít dầu là  

75,5 − 23,5 = 52 (lít)

Cả hai thùng có số lít dầu là:

75,5 + 52 = 127,5 (lít)

127,5 được chia vào số chai dầu là:

127,5 : 0,75 = 170 (chai)

Cửa hàng đã bán số chai dầu là:

170 – 68 = 102 (chai)

Cửa hàng đã bán được số lít dầu là:       

0,75 ×  102 = 76,5 (lít)

Đáp số: 76,5 lít

|x – 0,7| = 1,3

Trường hợp 1: x – 0,7 = 1,3

x = 1,3 + 0,7

x = 2

Trường hợp 2: x – 0,7 = –1,3

x = –1,3 + 0,7

x = –0,6

Vậy các giá trị x thỏa mãn phương trình là 2 và –0,6.

|2x – 1,8| = 2,2

Trường hợp 1: 2x – 1,8 = 2,2

x = 2,2 + 1.8

x = 5

Trường hợp 2: 2x – 1,8 = –2,2

x = –2,2 + 1,8

x = –0,4

Vậy các giá trị x thỏa mãn phương trình là 5 và – 0,4.

Chiều rộng sân trường hình chữ nhật là:

\[120 \times \frac{5}{6} = 10\,0\,\,(m)\]

Chu vi sân trường hình chữ nhật là:

(120 + 100) × 2 = 440 (m)

Diện tích sân trường hình chữ nhật là:

120 × 100 = 12000 (m²)

 Đáp số: Chu vi: 440 m;

Diện tích: 12000 m²

Chiều rộng sân vận động hình chữ nhật là:

\[90 \times \frac{2}{3} = 60\,\,(m)\]

Chu vi sân vận động hình chữ nhật là:

(90 + 60) × 2 = 300 (m)

Diện tích sân vận động hình chữ nhật là:

90 × 60 = 5400 (m²)

Đáp số: Chu vi: 300 m;

Diện tích: 5400 m²

Đổi \[3\frac{{65}}{{100}} = \frac{{365}}{{100}} = 3,65\]

Cả hai ngày cửa hàng đó bán được số tấn gạo là:

2,75 + 3,65 = 6,4 (tấn)

Đáp số: 6,4 tấn gạo.

Đổi \[3\frac{{48}}{{100}} = \frac{{348}}{{100}} = 3,48\]

\[1\frac{{96}}{{100}} = \frac{{196}}{{100}} = 1,96\]

Ngày thứ 2 cửa hàng đó bán được số tấn gạo là:

3,48 – 1,96 = 1,52 (tấn)

Đáp số: 1,52 tấn gạo

Để thương tăng 1 đơn vị thì số bị chia phải tăng số đơn vị là:

1 × 7 = 7 (đơn vị)

Vì số đó chia 7 dư 3 nên để phép chia đó trở thành phép chia hết thì phải thêm vào số bị chia số đơn vị là: 

7 − 3 = 4 (đơn vị)

Đáp số: 4 đơn vị.

Để thương tăng 2 đơn vị thì số bị chia phải tăng số đơn vị là:

2 × 6 = 12 (đơn vị)

Vì số đó chia 6 dư 4 nên để phép chia đó trở thành phép chia hết thì phải thêm vào số bị chia số đơn vị là: 

12 − 4 = 8 (đơn vị)

Đáp số: 8 đơn vị.

a) Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật sau khi cắt đi là:

4 − x (m)

Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật sau khi cắt đi là:

7 – x (m)

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật sau khi cắt đi là:

y = 2[(4 − x) + (7 − x)] = 2 (4 – x + 7 − x) = 2(11 − 2x) = 22 − 4x (1)

Vậy biểu thức liên hệ giữa x và y là y = 22 − 4x

b) Thay x = 0,5 vào (1) được: y = 22 − 4. 0,5 = 20 (m)

Vậy khi x = 0,5 m chu vi mảnh đất hình chữ nhật là 20 m.

20 × 21 × 22 × 23 × . . . × 28 × 29

Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0

Ta lại có 25 = 5 × 5 nên 2 thừa số 5 này khi nhân với 2 số chẵn cho tích tận cùng bằng 2 chữ số 0.

Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0.

30 × 31 × 32 × 33 × . . . × 38 × 39 × 40

Tích trên có 2 số tròn chục là 20; 30 nên tích tận cùng bằng 2 chữ số 0

Ta lại có 35 = 5 × 7 nên thừa số 5 này khi nhân với 1 số chẵn cho tích tận cùng bằng 1 chữ số 0.

Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0.

Một năm sau xã đó có số người là:

2500 : 100 × (100 + 4) = 2 600 (người)

2 năm sau xã đó có số người là

2600 : 100 × (100 + 4) = 2 704 (người)

Đáp số: 2704 người

Hiện nay số dân xã đó là:

2780 : 100 × (100 + 5) = 2 919 (người)

Đáp số: 2 919 người.

\[M = \frac{x}{{x + y + z}} + \frac{y}{{x + y + t}} + \frac{z}{{y + z + t}} + \frac{t}{{x + z + t}}\]

Ta có:

\[\frac{x}{{x + y + z}} > \frac{x}{{x + y + z + t}}\]

\[\frac{y}{{x + y + t}} > \frac{y}{{x + y + z + t}}\]

\[\frac{z}{{y + z + t}} > \frac{z}{{x + y + z + t}}\]

\[\frac{t}{{x + z + t}} > \frac{t}{{x + y + z + t}}\]

\[ \Rightarrow M > \frac{x}{{x + y + z + t}} + \frac{y}{{x + y + z + t}} + \frac{z}{{x + y + z + t}} + \frac{t}{{x + y + z + t}}\]

Þ M > 1

Lại có:

\[\frac{x}{{x + y + z}} < \frac{{x + t}}{{x + y + z + t}}\]

\[\frac{y}{{x + y + t}} < \frac{{y + z}}{{x + y + z + t}}\]

\[\frac{z}{{y + z + t}} < \frac{{z + x}}{{x + y + z + t}}\]

\[\frac{t}{{x + z + t}} < \frac{{t + y}}{{x + y + z + t}}\]

\[ \Rightarrow M < \frac{{x + t}}{{x + y + z + t}} + \frac{{y + z}}{{x + y + z + t}} + \frac{{z + x}}{{x + y + z + t}} + \frac{{t + y}}{{x + y + z + t}}\]

\[ \Rightarrow M < \frac{{2(x + y + z + t)}}{{x + y + z + t}}\]

Þ M < 2

Do đó, 1 < M < 2

Vậy M không phải là số tự nhiên.

Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên đặt a = 18k; b = 18q (ƯCLN(q, k) = 1; k < q)

Ta có: a + b = 162

18k + 18q = 162

18(k + q) = 162

k + q = 9

Ta có bảng:

Vậy các cặp số (a, b) thỏa mãn là {(18; 144); (36; 126); (54; 108); (72; 90)}

Vì ƯCLN(a, b) = 7 nên đặt a = 7k; b = 7q (ƯCLN(q, k) = 1; k < q)

Ta có: a + b = 35

7k + 7q = 35

7(k + q) = 35

k + q = 5

Ta có bảng: 

Vậy các cặp số (a, b) thỏa mãn là {(7; 28); (14; 21)}

Ta có sơ đồ tuổi mẹ và con hiện nay:

Hiện nay hiệu số tuổi của 2 mẹ con là:

3 − 1 = 2 (phần)

Ta có sơ đồ tuổi mẹ và con 12 năm trước:

Cách đây 12 năm hiệu số tuổi của 2 mẹ con là:

7 − 1 = 6 (phần)

Vì hiệu số tuổi của 2 người không đổi theo thời gian nên 2 lần tuổi con hiện nay bằng 6 lần tuổi con cách đây 12 năm.

Tuổi con hiện nay bằng số lần tuổi con cách đây 12 năm là:

6 : 2 = 3 (lần)

Ta có sơ đồ sau:

Nhìn vào sơ đồ ta có tuổi con hiện nay là:

12 : (3 − 1) × 3 = 18 (tuổi)

Tuổi mẹ hiện nay là:

18 × 3 = 54 (tuổi)

Đáp số: Mẹ: 54 tuổi;

              Con: 18 tuổi

Ta có sơ đồ tuổi mẹ và con hiện nay:

Hiện nay hiệu số tuổi của 2 mẹ con là:

4 − 1 = 3 (phần)

Ta có sơ đồ tuổi mẹ và con 12 năm trước:

Cách đây 8 năm hiệu số tuổi của 2 mẹ con là:

10 − 1 = 9 (phần)

Vì hiệu số tuổi của 2 người không đổi theo thời gian nên 3 lần tuổi con hiện nay bằng 9 lần tuổi con cách đây 8 năm.

Tuổi con hiện nay bằng số lần tuổi con cách đây 12 năm là:

9 : 3 = 3 (lần)

Ta có sơ đồ sau:

Nhìn vào sơ đồ ta có tuổi con hiện nay là:

8 : (3 − 1) × 3 = 12 (tuổi)

Tuổi mẹ hiện nay là:

12 × 4 = 48 (tuổi)

Đáp số: Con: 12 tuổi;

             Mẹ: 48 tuổi

Tổng 3 số là:

24 × 3 = 72

Tổng của số thứ 3 sau khi tăng số thứ nhất lên 2 lần là:

28 × 3 = 84

Số thứ nhất là:

84 – 72 = 12

Tổng 3 số sau khi tăng số thứ 2 lên 3 lần là:

36 × 3 = 108

Hai lần số thứ hai là:

108 – 72 = 36

Số thứ 2 là:

36 : 2 = 18

Số thứ ba là:

72 − (12 + 18) = 40

Đáp số: 12; 18; 40

Tổng 3 số lúc đầu là: 

36 × 3 = 108

Tổng của 3 số sau khi tăng số thứ nhất lên 2 lần là:

54 × 3 = 162

Số thứ nhất là:

162 – 108 = 54

Tổng của 3 số sau khi tăng số thứ hai lên 3 lần là:

46 × 3 = 138

Hai lần số thứ 2 là: 

138 – 108 = 30

Số thứ 2 là:

30 : 2 = 15

Số thứ 3 là:

108 – 54 – 15 = 39

Đáp số: 54; 15; 39

Tổng 3 số là:

120 × 3 = 360

Ta có sơ đồ:

Số thứ 3 là:

360 : (1 + 2) = 120

Đáp số: 120

Tổng 3 số là:

120 × 3 = 360

Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải số thứ nhất ta được số thứ hai nên số thứ hai gấp 10 lần số thứ nhất.

Ta có sơ đồ:

Số thứ nhất là:

360 : (1 + 10 + 4) = 24

Số thứ hai là:

24 × 10 = 240

Số thứ 3 là:

24 × 4 = 96

Đáp số: Số thứ nhất: 24;

Số thứ hai: 240;

Số thứ ba: 96

Gọi số bài kiểm tra của Tâm là x (bài) (x Î ℕ^*)

Ta có phương trình:

84(x − 1) + 100 = 86x

Û 84x – 84 + 100 = 86x

Û 2x = 16

Û x = 8 (tmđk)

Vậy có 8 bài kiểm tra trong năm.

Số điểm qua 5 lần thi của Hoa là:

64,5. 5 = 322,5 (điểm)

Số điểm tối thiểu Hoa cần đạt được để được cấp chứng chỉ là:

70. 6 = 420 (điểm)

Trong lần kiểm tra cuối cùng Hoa phải đạt ít nhất số điểm là:

420 – 322,5 = 97,5 (điểm)

Đáp số: 97,5 điểm

Lần thứ 1 có 2¹ mảnh

Lần thứ 2 có 2² mảnh

Lần thứ 3 có 2³ mảnh

...

...

Suy ra lần thứ 10 có 2¹⁰ = 1024 mảnh

Vậy sau 10 lần cắt có 1024 mảnh.

Số lần Hoa gấp đôi giấy là:

1 + 5 = 6 (lần)

Lần thứ 1 gấp đôi được 2¹ lớp giấy

Lần thứ 2 gấp đôi được 2² lớp giấy

...

Lần thứ 6 gấp đôi được 2⁶ = 64 lớp giấy

Vì có 64 lớp giấy nên khi chọc đinh tạo ra 64 lỗ.

Vậy có tất cả 64 lỗ.

(6x – 2)²⁰ – (6x – 2)¹⁰ = 0

Û (6x – 2)¹⁰[(6x – 2)¹⁰ – 1] = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(6x - 2)}^{10}} = 0}\\{{{(6x - 2)}^{10}} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(6x - 2)}^{10}} = 0}\\{{{(6x - 2)}^{10}} = 1}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6x - 2 = 0}\\{6x - 2 = 1}\\{6x - 2 = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{3}}\\{x = \frac{1}{2}}\\{x = \frac{1}{6}}\end{array}} \right.\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{6}} \right\}\].

(3x – 2)⁵ = (3x – 2)¹⁰

Û (3x – 2)⁵ – (3x – 2)¹⁰ = 0

Û (3x – 2)⁵[(3x – 2)⁵ – 1] = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(3x - 5)}^5} = 0}\\{{{(3x - 5)}^5} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(3x - 5)}^5} = 0}\\{{{(3x - 5)}^5} = 1}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 5 = 0}\\{3x - 5 = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{5}{3}}\\{x = 2}\end{array}} \right.\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\frac{5}{3};\,\,2} \right\}\]

Ta có: 209 = 11. 19 = 1. 209

Vậy Ư(209) = {1, 11, 19, 209}

Ta có: 180 = 2². 3². 5

Vậy số 180 chia hết cho các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90 và 180.

Tổng của 3 số đó là:

369 × 3 = 1107

Ta có: 1107 = 1000 + 100 + 7 = 999 + 1 + 99 + 1 + 7 = 999 + 99 + 9

Suy ra 3 chữ số a, b, c lần lượt là: 9; 99; 999 (vì 9; 99 và 999 đều là số lớn nhất có 1, 2 và 3 chữ số. Nếu có một số giảm xuống thì 1 hoặc 2 số còn lại phải tăng nên, khi đó không thỏa mãn điều kiện bài toán)

Vậy 2 số a, b, c là 9, 99, 999.

Buổi sáng cửa hàng bán được số tấn gạo là:

2,5 : 5 × 1 = 0,5 (tấn)

Cửa hàng còn lại số gạo là:

 2,5 - 0,5 = 2 (tấn) = 20 (tạ)

Đáp số: 20 tạ gạo.

Buổi sáng bán được số gạo là:

 450 × 65 : 100 = 292,5 (tấn)

Buổi chiều bán được số gạo là:

450 – 292,5 = 157,5 (tấn)

Đáp số: 157,5 tấn gạo.

Ta có: 2(10a + b) - (3a + 2b) = 20a + 2b - 3a - 2b = 17a.

 Vì 17 ⋮ 17 nên 17a ⋮ 17.

 Do đó: 2(10a + b) - (3a +2b) ⋮ 17

 Vì (3a + 2b) ⋮ 17 nên 2(10a + b) ⋮ 17

 Mà (2, 17) = 1 nên 10a + b ⋮ 17

 Vậy nếu 3a + 2b ⋮ 17 thì 10a + b ⋮ 17.

Ta có :

3a + 3b và a + 2b đều chia hết cho 3

Suy ra (3a + 3b) − (a + 2b) ⋮ 3

Do đó, 2a + b ⋮ 3 (đpcm)

Vậy a + 2b chia hết cho 3 khi và chỉ khi b + 2a cũng chia hết cho 3.

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x² = mx – m + 1

Û x² – mx + m – 1 = 0 (1)

Thay m = 4 vào phương trình (1) ta có:

x² – 4x + 3 = 0

Û x² – x – 3x + 3 = 0

Û x(x – 1) – 3(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x – 3) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 0}\\{x - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{y = 9}\end{array}} \right.\]

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 4 là A(1; 1) và B(3; 9).

b) Phương trình: x² – mx + m – 1 = 0 (1)

Û x² – 1 – mx + m = 0

Û (x – 1)(x + 1) – m(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x + 1 – m) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 0}\\{x + 1 - m = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = m - 1}\end{array}} \right.\]

Để (d) cắt (P) tạo hai điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó, \[m - 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 2\]

Ta có: x₁ = 9x₂

Trường hợp 1: 1 = 9(m – 1)

Û 1 = 9m – 9

Û 9m = 10

Û \[m = \frac{{10}}{9}\] (tmđk)

Trường hợp 2: m – 1 = 9. 1

Û m – 1 = 9

Û m = 10 (tmđk)

Vậy tập hợp các giá trị m thoả mãn đề bài là \[S = \left\{ {\frac{{10}}{9};10} \right\}\].

Ta có sơ đồ:

Số bé là:

(340 – 240) : 2 = 50

Đáp số: 50

Tổng hai số là:

270 + 15 ´ 2 = 300

Ta có sơ đồ:

Số lớn là:

(300 + 120) : 2 = 210

Đáp số: 210

Vì ban đầu số hoa của Lan bằng \[\frac{3}{5}\] số hoa của Hồng

Ta có sơ đồ:

Hiệu số phần bằng nhau là:

      5 – 3 = 2 (phần)

Sau khi hai bạn hái thêm 15 bông hoa thì số hoa của Lan bằng \[\frac{9}{{13}}\] số hoa của Hồng.

Ta có sơ đồ:

Hiệu số phần bằng nhau là:

13 – 9 = 4 (phần)

Khi hai bạn cùng hái thêm 15 bông hoa thì hiệu số phần tăng lên là:

4 : 2 = 2 (lần)

Số hoa của Lan ban đầu là:

15 × 2 = 30 (bông hoa)

Số hoa của Hồng ban đầu là:

30 : 3 × 5 = 50 (bông hoa)

Đáp số: Lan: 30 bông hoa;

             Hồng: 50 bông hoa

a) \[5\frac{{11}}{{12}} = \frac{{5 \times 12 + 11}}{{12}} = \frac{{60 + 11}}{{12}} = \frac{{71}}{{12}}\]

b) \[7\frac{2}{{17}} = \frac{{7 \times 17 + 2}}{{17}} = \frac{{119 + 2}}{{17}} = \frac{{121}}{{17}}\]

a) \[\frac{{126}}{{15}} = \frac{{120 + 6}}{{15}} = \frac{{8 \times 15 + 6}}{{15}} = 8 + \frac{6}{{15}} = 8\frac{6}{{15}}\]

b) \[\frac{{1267}}{{41}} = \frac{{1230 + 37}}{{41}} = \frac{{30 \times 41 + 37}}{{41}} = 30 + \frac{{37}}{{41}} = 30\frac{{37}}{{41}}\]

Vì mỗi năm mỗi người tăng lên 1 tuổi.

Tổng tuổi hiện nay của hai mẹ con là:

5 ´ 2 + 34 = 44 (tuổi)

Ta có sơ đồ:

Tuổi con là :

(44 – 22) : 2 = 11 (tuổi)

Tuổi mẹ là :

11 + 22 = 33 (tuổi)

Đáp số: 11 tuổi; 33 tuổi

Vì mỗi năm mỗi người tăng lên 1 tuổi.

Tổng tuổi hiện nay của hai mẹ con là:

54 – 3 ´ 2 = 48 (tuổi)

Ta có sơ đồ:

Tuổi con là :

(48 – 30) : 2 = 9 (tuổi)

Tuổi mẹ là :

9 + 30 = 39 (tuổi)

Đáp số: 9 tuổi; 39 tuổi

Thể tích nước đổ vào là:

90 ´ 30 = 2700 (lít) = 2,7 (m³)

Chiều rộng của bể nước là:

2,7 : (3 ´ 0,4) = 2,25 (m)

Thể tích của bể nước là:

2,25 ´ 3 ´ 1,5 = 10,125 (m³)

Đáp số: 10,125 m³.

a) Thể tích nước đổ vào là:

120 ´ 20 = 2400 (lít) = 2,4 (m³)

Chiều rộng của bể nước là:

2,4 : (2 ´ 0,8) = 1,5 (m)

b) Thể tích của bể nước là:

2400 + 60 ´ 20 = 3600 (lít) = 3,6 (m³)

Chiều cao của bể nước:

3,6 : (2 ´ 1,5) = 1,2 (m)

Đáp số: a) 1,5 m;

   b) 1,2 m.

14 giờ 30 phút = 14,5 giờ

7 giờ 30 phút = 7,5 giờ

1 giờ 30 phút = 1,5 giờ

Thời gian ô tô đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Đà Lạt mà không tính thời gian nghỉ là:

14,5 – 7,5 – 1,5 = 5,5 (giờ)

Độ dài quãng đường là:

49,6 ´ 5,5 = 272,8 (km)

Đáp số: 272,8 km

5 giờ 30 phút = 5,5 giờ

15 phút = 0,25 giờ

Thời gian ô tô đi quãng đường mà không tính thời gian đổ xăng là:

7 – 5,5 – 0,25 = 1,25 (giờ)

Độ dài quãng đường là:

52,5 : 1,25 = 42 (km/h)

Đáp số: 42 km/h

Đổi: 3 tấn 6 tạ = 3600 kg;

        4 tạ = 400 kg.

Ta có sơ đồ:

Thửa ruộng thứ nhất thu được số thóc là:

(3 600 – 400) : 2 = 1 600 (kg)

Thửa ruộng thứ hai thu được số thóc là:

3 600 – 1 600 = 2 000 (kg)

Đáp số: 1 600 kg; 2 000 kg

Đổi 8 tấn 9 tạ = 8 900 kg;

13 tạ = 1 300 kg.

Ta có sơ đồ:

Thửa ruộng thứ nhất thu được số thóc là:

(8900 + 1300) : 2 = 5100 (kg)

Thửa ruộng thứ hai thu được số thóc là:

5100 – 1300 = 3800 (kg)

Đáp số: Thửa ruộng thứ 1: 5100 kg;

              Thửa ruộng thứ 2: 3800 kg.

Vì Phúc đi nhanh bằng \[\frac{4}{3}\] lần Quang nên trong 72 phút, Phúc đi được \[\frac{4}{7}\] quãng đường và Quang đi được \[\frac{3}{7}\] quãng đường.

Phúc đi cả quãng đường trong thời gian là:

\[72:\frac{4}{7} = 126\,\,(ph\'u t)\]

Phúc đi nửa quãng đường trong thời gian là:

126 : 2 = 63 (phút)

Quang đi cả quãng đường trong thời gian là:

\[72:\frac{3}{7} = 168\,\,(ph\'u t)\]

Quang đi nửa quãng đường trong thời gian là:

168 : 2 = 84 (phút)

Do đó, muốn gặp Quang tại chính giữa đường thì Phúc phải khởi hành sau Quang số phút là:

84 – 63 = 21 (phút)

Đáp số: 21 phút

Vì An nhanh bằng \[\frac{3}{5}\] lần Huệ nên trong 45 phút, An đi được \[\frac{3}{8}\] quãng đường và Huệ đi được \[\frac{5}{8}\] quãng đường.

Họ gặp nhau ở \[\frac{1}{4}\] quãng đường tính từ nhà Huệ nên khi đó An đi được \[\frac{3}{4}\] quãng đường và Huệ đi được \[\frac{1}{4}\] quãng đường.

An đi cả quãng đường trong thời gian là:

\[45:\frac{3}{8} = 120\,\,(ph\'u t)\]

An đi \[\frac{3}{4}\] quãng đường trong thời gian là:

\[120 \times \frac{3}{4} = 90\,(ph\'u t)\]

Huệ đi cả quãng đường trong thời gian là:

\[45:\frac{5}{8} = 72\,\,(ph\'u t)\]

Huệ đi \[\frac{1}{4}\] quãng đường trong thời gian là:

\[72 \times \frac{1}{4} = 18\,\,(ph\'u t)\]

An phải khởi hành trước Huệ số phút để họ gặp nhau ở \[\frac{1}{4}\] quãng đường tính từ nhà

Huệ là:

90 – 18 = 72 (phút)

Đáp số: 72 phút

Vì khi xếp hàng 3 hoặc hàng 5 đều dư 2 em nên nếu bỏ đi 2 em thì số học sinh lớp 6A chia hết cho cả 3 và 5.

BC(3, 5) = {15, 30, 45,…}

Vì số học sinh lớp 6A từ 40 đến 50 em nên số học sinh lớp 6A là 45 em.

Đáp số: 45 em

Vì xếp hàng 4, 5 hoặc 7 đều dư 1 em nên nếu trừ đi 1 em thì số học sinh khối 7 chia hết cho cả 4, 5 và 7.

BC(4, 5, 7) = {140, 280, 420,…}

Vì học sinh khối 7 một trường có từ 200 đến 300 em nên số học sinh khối 7 của trường đó là 280 em.

Đáp số : 280 em

A = 1 + 10 + 10² + 3³ + … + 10²⁰⁰

= (1 + 10 + 10²) + (10³ + 10⁴ + 10⁵) + .... + (10¹⁹⁸ + 3¹⁹⁹ + 3²⁰⁰)

= (1 + 10 + 10²) + 10³(1 + 10 + 10²) +.... + 10¹⁹⁸(1 + 10 + 10²)

= (1 + 10 + 10²)(1 + 10³ + .... + 10¹⁹⁸)

= 111(1 + 10³ + .... + 10¹⁹⁸)

Vì 111 chia hết cho 111 và (1 + 10³ + .... + 10¹⁹⁸) ∈ ℕ^*

Nên 111(1 + 10³ + .... + 10¹⁹⁸) chia hết cho 111

Vậy A chia hết cho 111.